Aplicación de la matemática borrosa al cálculo del umbral de rentabilidad
1.
Introducción
2. El Umbral de
Rentabilidad
3. Propuesta para el cálculo del
Punto de Equilibrio total de la empresa u
hotel
4. Desarrollo de un
ejemplo hipotético
En cualquier estructura
organizativa, se intenta que la gestión
diaria de la resolución de problemas sea
lo más ágil posible. Es por ello que los procedimientos
estructurales de resolución de problemas de gestión
empresarial tienden a ser cada día más precisos
y, a medida que van dando solución fiable a los problemas
para los cuales fueron creados, van quedando como filtros dentro
de la empresa. No
obstante, conforme pasa el tiempo, algunos
de los procedimientos empleados anteriormente dejarán de
servir para la resolución de nuevos problemas de
gestión. Aparecerán excepciones en las técnicas
mayoritariamente empleadas que dejarán de ser
útiles para la gestión de la actividad, siendo
estos problemas sin una solución fiable los que
pondrán en duda la bondad del sistema de
decisiones empleados.
Si el proceso
anterior es continuo y repetitivo, cabe plantearse muchas
interrogantes a la infinidad de problemas de gestión
empresarial, que si bien todos tienen una solución
más o menos precisa, en muchas ocasiones dejan a los
estudiosos dubitativos en sus desarrollos teóricos y,
mucho más, en sus desarrollos prácticos.
Las nuevas
tecnologías han cambiado la forma de pensar de los
dirigentes empresariales, pero algunos no han sabido coger el
tren de la nueva cultura
empresarial.
La planificación es la clave del éxito
de todo administrador
financiero, quien deberá reconocer sus puntos fuertes,
para sacarles el mayor provecho posible e identificar los puntos
débiles, para intentar medidas correctivas de los
mismos.
En este análisis se hará muchas preguntas y
surgirá una de las cuestiones más importantes, y a
veces de difícil contestación: ¿estamos
trabajando con los datos
correctos? , es
decir, ¿estamos utilizando toda la información disponible? , o por el contrario, ¿la
realidad está distorsionada por la forma que tenemos de
ver y entender las cosas?
Los intervalos de confianza, y todos sus operadores, nos sirven
como instrumentos para medir la incertidumbre y mostrar, mediante
un ejemplo práctico, la dificultad que entraña el
cálculo del Umbral de Rentabilidad,
para lo cual proponemos un nuevo procedimiento que
aquí interrelacionamos con la matemática borrosa,
tomando como objeto a las entidades hoteleras, pero pudiendo
generalizarse a otros tipos de entidades.
¿Qué es el Umbral de
Rentabilidad?
El Umbral de Rentabilidad es aquel punto de la actividad
(volumen de
ventas) donde
los ingresos totales
y los gastos totales
son iguales; es el punto en que las utilidades son
cero.
¿Cuáles son los métodos
tradicionales para calcular el Umbral de
Rentabilidad?
.
Para calcular el Umbral de Rentabilidad o Punto de
Equilibrio, como también se le conoce, se utilizan
tradicionalmente tres métodos:
- Método de la técnica de
ecuación: Ventas = Costos
Variables
+ Costos Fijos + UtilidadUmbral de Rentabilidad en unidades = Costos Fijos /
Margen de contribución unitario- Método de la técnica del margen de
contribución (el margen de contribución es la
diferencia entre las ventas y los costos
variables): - Método gráfico.
¿ Solamente se puede expresar el Umbral de
Rentabilidad en unidades físicas ?
No, el umbral de Rentabilidad (Punto Muerto, Punto de Equilibrio o
Punto Crítico, para algunos autores) puede expresarse en
valor
(dólares de venta) si se
utiliza en las fórmulas de cálculo la razón
del margen de contribución (margen de contribución
por unidad como un porcentaje del precio de
venta).
Umbral de Rentabilidad =Costos Fijos / 1- (Costos Variables /
Precio de venta)
¿Cómo se podría conocer el nivel de
ingresos necesarios para obtener la utilidad
deseada?
Se aplicaría la misma fórmula que para calcular el
Umbral de Rentabilidad, pero adicionándole en el numerador
la utilidad deseada.
¿ Cuáles son las aplicaciones del
análisis del Punto de Equilibrio ?
Tiende a ampliar aplicaciones en la toma de
decisiones por la dirección. El análisis de las
relaciones Costo
–Volumen –Utilidad aporta útil
información para decisiones sobre fijación de
precios de
ventas, alternativas de costos, composición de las ventas,
aumento o supresión de líneas de productos,
aceptación de pedidos especiales, apertura de nuevos
mercados o el
cambio de
disposición de las instalaciones de la planta.
¿En qué supuestos se apoya el Umbral de
Rentabilidad?
Se apoya en los siguientes supuestos:
- El comportamiento de los costos y de los ingresos
se ha determinado fundamentalmente y es recto (lineal) dentro
de la fluctuación adecuada de la actividad. - Los costos pueden descomponerse en elementos fijos y
variables. - Los costos fijos permanecen constantes ante las
fluctuaciones del volumen. - Los costos variables fluctúan
proporcionalmente al volumen. - Los precios de los factores del costo han de ser
invariables. - Los precios de venta han de ser
invariables. - La eficiencia y la
productividad han de ser
invariables. - La composición de las ventas será
constante. - Los ingresos y los costos se comparan con una base
común de actividad. - Todos los factores han sido establecidos sobre la
base del negocio en marcha, a la luz de las
situaciones previstas. - Los cambios en los inventarios
iniciales y finales son insignificantes en importe.
¿Qué dificultades se presentan en el
cálculo del Umbral de Rentabilidad cuando estamos en
presencia de multiproductos?
Ocurre que cada producto tiene
su propio margen de contribución y su razón del
margen de contribución particular, por lo que se presenta
la dificultad de calcular estos indicadores
para la mezcla de productos.
¿Cómo calcular entonces el Umbral de
Rentabilidad cuando estamos en presencia de
multiproductos?
En este caso puede calcularse de forma ponderada, es decir,
ponderado el margen de contribución unitaria (según
se desee el resultado, en unidades o en valor) con el peso
específico que tenga cada producto dentro de la mezcla de
productos, utilizándose la sumatoria del resultado de
estas ponderaciones en el denominador de la fórmula de
cálculo (Razón del Margen de Contribución
ponderada promedio o Margen de Contribución ponderado
promedio), manteniendo en el numerador el costo fijo.
¿Qué procedimiento proponemos para la
determinación del Umbral de rentabilidad en un hotel?
Proponemos el método
ponderado para todos los puntos de ventas que no sean de
alojamiento (Bar, cafetería, Restaurante, 7etc.) expresado
en valor, o sea, utilizando la razón del margen de
contribución. Aquí sólo proponemos incluir
en el numerador los costos fijos que se identifiquen directamente
con dicho punto de venta, o sea, sin llegar a prorratear
incluyéndose en este caso por ejemplo, gastos fijos de
depreciación, gastos fijos de salarios, etc.
Por su parte al calcular la razón del margen de
contribución de cada producto incluiremos como costo
variable unitario el concerniente al costo de mercancía o
a la ficha de costo (en el caso que sea un plato o bebida
elaborado). Pero como pudiera darse el caso de que dentro de un
punto de venta existan otros costos variables directos al
área, pero indirectos al producto, proponemos que la
sumatoria de estos sea adicionada al cálculo del Umbral de
Rentabilidad del referido punto de venta, así como,
deducir los otros ingresos directos del área pero
indirectamente a los productos, o sea:
Umbral de Rentabilidad del Punto de Venta = (Costos
Fijos Directos / Razón del Margen de Contribución
Ponderado Promedio) + Otros Costos Variables – Otros
ingresos.
Como se aprecia proponemos prorratear ningún tipo
de costo indirecto (ni fijo ni variable) evitando así las
dificultades en la selección
de las bases de prorrateo (no siempre adecuadas), en las
aproximaciones, la falta de influencia directa sobre estos costos
indirectos por parte del jefe de responsabilidad, etc.
En el caso de la actividad de alojamiento, le damos un
tratamiento de punto de venta especial, determinando el margen de
contribución de cada tipo de habitación y ponderado
dichos resultados con el peso específico que tenga cada
tipo de habitación dentro de la ocupación
prevista.
3. Propuesta para el
cálculo del Punto de Equilibrio total de la empresa u
hotel.
El Punto de Equilibrio total de la empresa se puede
expresar como la sumatoria de todos los puntos individuales de
venta; a esta sumatoria se deben incluir los costos de ingresos
indirectos totales (costos indirectos que no se pueden asociar
con ningún punto de venta porque no existe una base de
prorrateo para ello) para la exactitud de los cálculos.
Podemos entonces expresar el Punto de Equilibrio total de
una empresa
como:
Punto de Equilibrio = å Puntos de Equilibrio(i) +
Otros Costos Indirectos a los Puntos de Venta – Otros
Ingresos Indirectos a los Puntos de Ventas.
¿Qué relación tiene el
procedimiento propuesto con la ingeniería de productos?
El procedimiento propuesto brinda la información necesaria
para aplicar la matriz B.C.G.,
la cual requiere los datos del índice de popularidad y del
margen bruto de explotación, que tienen sus similares en
el peso específico en las ventas y en la razón del
margen de contribución respectivamente de cada producto.
Es decir, el procedimiento brinda la información necesaria
para aplicar la matriz B.C.G. a nivel de productor, lo cual
permitiría la posterior toma de decisiones en cuanto a
precios, eliminación de productos, variación de
mezcla, etc.
¿Qué relación existe entre Umbral
de Rentabilidad y los Presupuestos?
El Umbral de Rentabilidad como herramienta de dirección se
calcula de forma predeterminada, por lo que la base de datos de
que se nutre para su cálculo, proviene de los
presupuestos. De elaborarse presupuestos flexibles se facilita la
aplicación de la matemática borrosa y del trabajo
con números borrosos triangulares.
La incertidumbre y la teoría
de los subconjuntos borrosos. Procedimientos para su
aplicación al cálculo del Umbral de
Rentabilidad.
La incertidumbre y la toma de decisiones
económicas.
Desde hace un cierto tiempo los estudiosos de la economía y
gestión de empresas,
están intentando canalizar sus inquietudes para resolver
los graves problemas que los sistemas
sociales, económicos y empresariales están
planteando como consecuencia de la situación de
incertidumbre característica de nuestra época.
Irrumpen, así, en los cenáculos científicos
un buen número de propuestas que, en diferentes sentidos,
convergen a dar un nuevo tratamiento, tanto a viejos problemas
como a los que van surgiendo del complejo entramado de relaciones
económico-financieras.
Cuando en el horizonte empiezan a asomar los primeros
destellos del tercer milenio de nuestra era, la comunidad
científica se plantea importantes interrogantes sobre el
futuro de la actividad humana y sobre el contexto de la sociedad y
sistema económico en el que será necesario ejercer
nuestra convivencia. Es tiempo de reflexión. Es bueno el
momento, para que quienes participamos del espíritu
universitario expresemos nuestro pensamiento y
planteemos nuestras inquietudes en torno a aquello
que hoy preocupa, pero, sobre todo, en torno a lo que va a
preocupar a las próximas generaciones.
No resulta honesto cerrar los ojos y decir que se cree
en las certezas, aunque éstas no residan en nuestro mundo.
La incertidumbre puede ser una forma de representar las
inestabilidades y a través de ella intentar comprender el
papel que
juegan en unas reglas de la naturaleza.
Quizás hallemos un universo
incierto, pero que responde a unas determinadas normas de
conducta, la
de los sistemas inciertos, y poder entonces
enunciar leyes que incluso
sean formalizables de una manera cierta.
Los sistemas económicos, caracterizados siempre
por una tupida red de interconexiones, no
escapan, evidentemente, a estas reflexiones.
La configuración de nuestra existencia se ve
asaltada por una sobreinformación difícil de asumir
y controlar, y también por unos cambios profundos en
sentidos no predeterminados, que hacen mirar al futuro envuelto
en un velo de nebulosa incertidumbre. Parece llegado el momento
del declive de las estabilidades y de las seguridades.
La economía, quizás la más joven
entre las ciencias
sociales, aparece de manera tardía y el pensamiento
que gira a su entorno, se estructura inicialmente sobre la base
de una matemática mecanicista entre 1880 y 1914 con el
Equilibrio General (Walras, Pareto, Cournot, Elgewort,
etc.)
Frente a una realidad cuya característica
fundamental era la estabilidad en la vida social y en las
relaciones económicas, grupos de
estudiosos intentan formalizar los procesos que
en ella acontecen.
La matemática del determinismo ha imperado y
continúa imperando aún hoy, en muchos
ámbitos de la actividad científica en
economía y gestión de empresas. Pero al iniciarse
en la sociedad importantes cambios, que tienen cada vez mayor
presencia en el campo económico, se levantan ciertas voces
clamando por una nueva manera de enfocar los problemas y
subrayando la insuficiencia de la matemática mecanicista
para describir la nueva sociedad que estaba
emergiendo.
La situación actual, caracterizada por unos
cambios bruscos e inesperados en direcciones muchas veces
contrapuestas, nos ha llevado, en los últimos años,
a replantear de nuevo el empleo de las
técnicas normalmente utilizadas para el tratamiento de una
realidad que de tan cambiante se ha convertido en
incierta.
En el ámbito de las ciencias
económicas, el concepto de
decisión constituye uno de los términos más
utilizados. Tanto es así que, para muchos, la
economía es la ciencia de
la decisión.
En este ambiente, los
responsables de las empresas e instituciones
deben adoptar unas decisiones con una repercusión
económica y financiera que no se limita al momento en que
son tomadas, sino se prolongan, en muchos casos a lo largo de
varios años. Las dificultades de prevención y
estimación, consustanciales en todo ejecutivo, van
aumentando cada vez más como consecuencia de un reciente
clima de
incertidumbre.
Ahora bien, todo cuanto ha sido expuesto, no debe
inducir a la falsa creencia de la inutilidad de los modelos
basados en los instrumentos surgidos al amparo de los
paradigmas
clásicos. Es más, los indudables avances que en su
aplicación se han producido en los últimos
años han permitido un perfeccionamiento de los estudios
cuantitativos dirigidos al tratamiento de los fenómenos
decisionales, resultando así válidos, aquellos
esquemas, en muchas ocasiones afortunadamente. Sólo cuando
no es posible, honestamente, considerar estimaciones "objetivas",
se debe recurrir a principios y
modos de actuación diferentes. Pero en un mundo
convulsionado como el de nuestros días, no parece que la
incertidumbre vaya a remitir y únicamente conviviendo con
ella resultará fácil la aceptación de nuevas
reglas. Cuando la comunidad científica en su inmensa
mayoría las haya asumido, el nacimiento del nuevo paradigma de
la decisión será una realidad.
Teoría de los Subconjuntos Borrosos.
La Teoría de los Subconjuntos Borrosos es un paso hacia el
acercamiento entre la precisión de la matemática
clásica y la sutil imprecisión real.
El origen de esta teoría se remonta a 1965 con la
definición de conjunto borroso realizada por Lofti
Zadeh.
En Platón y
Aristóteles se encuentra la
proposición según la cual el pensamiento se
balancea siempre entre lo que es cierto y lo que es falso.
Desde hace más de 50 años un elevado número
de matemáticos se han interesado por las lógicas
multivalentes, entre ellos cabe citar a Rusell, Lukaciewicz,
Post, etc., pero es en 1965 cuando Lofti A. Zadeh publica su
primer artículo sobre los "FUZZY SETS". Hasta 1975
sólo se habían publicado dos libros sobre
este tema. Hoy más de 10 000 investigadores: Bellman,
Gottwald, Kandel, Negoita, Nguyen, Sugeno, Zadeh, Zhang.
Zimmermann, Gil Aluja, etc, siendo inevitable resaltar la figura
de Kaufmann, lamentablemente fallecido en 1994, pero una de las
figuras cumbres dentro de esta teoría.
Procedimientos para aplicar la Matemática Borrosa
al Umbral de Rentabilidad;
En el III Congreso del SIGEF, celebrado del 10 al 13 de
noviembre en Buenos Aires,
Argentina, los
profesores Valentín Navarro Miguel y Máximo
Ferrando Bolado, de la Facultad de Ciencias económicas y
Empresariales, de la Universidad de
Valencia, España,
presentaron un interesante trabajo investigativo sobre "Punto
Muerto Multiproducto en la Incertidumbre". A ellos los intervalos
de confianza, y todos sus operadores, les sirvieron como
instrumento para medir la incertidumbre y mostrar mediante un
ejemplo práctico, la dificultad que entraña el
cálculo de un punto muerto multiproducto. Para solucionar
la problemática citada, ellos eligieron el programa
informático GAMS (General Algebraic Modeling System) que
les permitió mediante un lenguaje de
modelización plantear el ejemplo práctico propuesto
mediante un modelo de
programación lineal.
En nuestro caso, proponemos una aplicación del
Umbral de Rentabilidad, pero usando otros procedimientos, que
aunque tienen puntos de contacto con el trabajo
antes mencionado de los profesores españoles, posee a su
vez sus propias particularidades.
Partimos del análisis siguiente:
R.M.C.P. (i) = (Ventas(i) / Ventas Totales)
x (1-(P.C.(i) / P.V(i)))
=(Ventas(i) / Ventas Totales) –
((Ventas(i) x P.C.(i)) / Ventas Totales
(P.V.(i)))
= ((U(i) x P.V. (i)) / Ventas Totales)
–((U(i) x P.V.(i) x
P.C.(i) ) / Ventas
Totales x P.V.(i))
=((U(i) x P.V.(i)) – (U(i)
x P.C.(i) ))/ Ventas Totales
= (U.(i) x (P.V.(i) –
P.C.(i)))/ å (U.(i) x
P.V.(i))
Donde:
R.M.C.P.(i) = Razón del Margen de
Contribución Ponderado del producto i.
Ventas(i) = Ingresos totales obtenidos por las ventas
del producto i.
Ventas Totales = Ingresos totales obtenidos por las ventas de
todos los productos.
P.C.(i) = Precio de costo del producto i.
P.V.(i) = Precio de venta del producto i.
(1-(P.C.(i) / P.V.(i))) = Razón del
Margen de Contribución del producto i.
U.(i) = Unidades vendidas del producto i.
Una vez llegado a la fórmula de la R.M.C.P.(i),
definimos como elementos borrosos a los siguientes:
P.C,(i) ; U(i) ; P.V.(i)
A
partir de esta definición llegamos a la fórmula
para determinar el Punto de Equilibrio según los
procedimientos que hemos propuesto anteriormente:
P.E.(j) = C.F.(j) / å [(U(i) x
(P.V.(i) – P.C.(i)) /
å
(U(i) x P.V.(i))] +
O.C.V(j) – O.I.(j)
Donde:
P.E (J) = Punto de Equilibrio del Punto de venta
J.
C.F. = Costo Fijo Directo del Punto de Equilibrio J. (considerado
como otro elemento borroso)
O.C.V. (J) = Otros Costos Variables del Punto de Venta
J
O.I (J) = Otros Ingresos del Punto de venta J.
En el caso de los otros costos variables del punto de venta J,
nos referimos a aquellos que son directos con el punto, pero
indirectos con los productos. Lo mismo ocurre con los otros
ingresos del punto de venta J.
Tanto O.C.V(J) como O.I(J) son considerados
también elementos borrosos.
Según este análisis, en el ámbito de todo el
hotel el Punto de Equilibrio quedaría así:
P.E(h) = å (P.E(j)) + O.C(h)
– O.I(h)
Donde:
P.E(h) = Punto de Equilibrio en el ámbito de
todo el hotel.
O.C(h) = Otros Costos (fijos variables) en el
ámbito de todo el hotel (indirectos para los puntos de
venta)
O.I(h) = Otros Ingresos a nivel de todo el hotel
(indirectos para los puntos de venta).
Luego de estas definiciones estamos en la posibilidad de trabajar
con triángulos borrosos para los ocho elementos definidos
como borrosos.
La expresión de los valores
borrosos mínimos, medios y
máximos para U(i), O.C.V y O.I quedaría
así:
[R(p.c.i) , M(p.c.i) , S(p.c.i)]
para P.C.(i);
[R(u.i) , M(u.i) , S(u.i)] para
U(i) ;
[R(p.v.i) , M(p.v.i) , S(p.v.i)]
para P.V.(i);
[R(o.c.vj) , M9o.c.vj) ,
S(o.c.v.j)] para O.C.V.(j);
[R(o.i.j) , M(o.i.j) , S(o.i.j)]
para O.I(j);
[R(c.f.j) , M(c.f.j) , S(c.f.j)]
para C.F.(j);
[R(o.c.h) , M(o.c.h) ,
S(o..c,.h)] para O.C.(h) y
[R(o.i.h) , M(o.i.h) ,
S(o.i..h)] para O.I.(h).
Donde:
R = Valor borroso mínimo esperado.
M = Valor borroso medio esperado.
S = Valor borroso máximo esperado.
De esta forma la representación gráfica de los
diferentes triángulos borrosos puede quedar
así:
Donde:
[x, y] = Intervalo de confianza con un nivel de
posibilidad a
K.
a K
= Nivel de posibilidad de un intervalo de confianza.
Partiendo del análisis de las propiedades de los
triángulos, podemos arribar a las siguientes ecuaciones
para determinar los valores de X y
de Y.
X = R + a K
(M-R)
Y = S – a K
(S-M)
Por lo tanto, el intervalo de confianza [R,S] evaluado en
a para cada uno de
nuestros elementos borrosos, quedaría de la siguiente
forma:
[Rua
,, Sua ](i) para las unidades vendidas del
producto i.
[R.p.va ,
S.p.va ]
(i) para el precio de venta del producto i.
[R.o.c.va ,
S.o.c.va
](j) para otros costos variables del punto de
venta j.
[R.o.ia ,
S.o.ia
](j) para otros ingresos del punto de venta
j.
[R.p.ca ,
S.p.ca
](i) para el precio de costo del producto i.
[R o.ca , S
o.ca
](h) para otros costos en el ámbito de
hotel.
[R o.ia ,
S.o.ia
](h) para otros ingresos en el ámbito de
hotel.
[R.c.fa , S
c.fa
](j) para los costos fijos del punto de venta
j.
La fórmula para la determinación del Punto
de Equilibrio Borroso Multiproducto (P.E.B.M) queda expresada de
la siguiente manera para los diferentes puntos de ventas:
P.E.B.M.(j) = [[R c.f.a , S c.f.a ](j) / å ([R ua , S ua ](i) x ([R p.v.a , S p.v.a ](i) – [R
p.v.a , S
p.c.a
](i)) /
([å ([R
ua , S
ua
](i) x [R p.v.a , S p.v.a ](i))]+ [R o.c.v.a , S o.c.v.a ](j) – [R
o.i.a , S
o.i.a
](j)
Mientras que la fórmula para
determinación del Punto de Equilibrio Borroso
Multiproducto a nivel de todo el hotel, queda expresada
así:
P.E.B.M.(h) = å ([R p.e,b.m,a , S p.e.b.m.a ](j) ) + [R
o.ca , S
o.ca
](h) – [R o.ia , S o.ia ](h)
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