Ensayo en ruta para determinar el coeficiente de forma de un vehículo automotor
Este ensayo nos
permitirá determinar el coeficiente de forma o coeficiente
aerodinámico de un vehículo automotor, normalmente
conocido como Cx, por medio de la realización de un ensayo en
ruta, cuando no disponemos de un túnel de viento, que es
lo que generalmente sucede.
Cabe aclarar que el método
consiste en una variante mejorada del ya clásico y
conocido ensayo
Coasting.
El método
tiene, básicamente, la misma operatoria de ensayo que el
Coasting, pero con la siguiente diferencia sustancial:
-en el ensayo
Coasting solo se considera como fuerza
frenante a la resistencia
aerodinámica, despreciando la influencia de la resistencia por
rodadura, lo cual constituye una simplificación que
introduce un error apreciable en la determinación del
coeficiente Cx, ya que dicha resistencia no puede ser despreciada
a menos que hagamos el ensayo a
velocidades excesivamente altas.
-en la variante mejorada que mostramos en este trabajo,
se tienen en cuenta las influencias de ambas resistencias
al avance, tanto la resistencia aerodinámica como la
resistencia por rodadura, por lo cual vemos disminuido el error
cometido en la valoración de dicho coeficiente
Cx.
La operatoria de ensayo consiste, entonces, en lo que
sigue:
Debemos circular con el vehículo a ensayar por
una ruta plana y horizontal, en condiciones de viento nulo, a una
velocidad
determinada, que para nuestro ensayo será la velocidad
inicial.
Si soltamos el acelerador poniendo al mismo tiempo la caja de
cambio de
velocidades en punto muerto, el vehículo irá
reduciendo gradualmente su velocidad, por efecto de las resistencias
al avance.
Podemos entonces medir el tiempo que el
vehículo tarda en reducir su velocidad desde el valor inicial
hasta otro valor
previamente establecido.
Dicho tiempo, reemplazado en la función
matemática
correspondiente, nos permitirá conocer el valor del
coeficiente de forma del vehículo.
De aquí en más nos abocaremos a la
obtención de la función
matemática
antedicha.
En primer lugar, definamos los parámetros que
intervienen en la obtención de la función, como
así también las unidades utilizadas:
F = Fuerza neta
que actúa sobre el vehículo ( Kg )
M = Masa del vehículo ( Kg.seg²/m
)
A = Aceleración instantánea del
vehículo ( m/seg² )
Fm = Fuerza motriz que impulsa al vehículo (
Kg)
Rav = Resistencia al avance ( Kg)
Rr = Resistencia por rodadura ( Kg )
Ra = Resistencia aerodinámica ( Kg )
P = Peso del vehículo ( Kg )
f = Coeficiente de rodadura
Cx = Coeficiente de forma
S = Sección frontal del vehículo ( m²
)
Vo = Velocidad inicial del vehículo ( m/seg
)
V = Velocidad instantánea del vehículo (
m/seg )
T = Tiempo transcurrido ( seg )
G = Aceleración de la gravedad ≈ 10
m/seg²
Partimos de la ecuación fundamental de la
dinámica:
F = M.A
Reemplazamos la fuerza neta por la diferencia de fuerzas
actuantes, la que está a favor del movimiento (
fuerza motriz) menos la que está en contra (resistencia al
avance):
Fm – Rav = M.A
Reemplazamos la resistencia al avance por la suma de las
resistencias por rodadura y aerodinámica:
Fm – ( Rr + Ra ) = M.A
Pero Fm = 0 pues hemos soltado el acelerador, entonces
queda, pasando términos:
M.A + Rr + Ra = 0
Reemplazando según Rr = P.f ; Ra =
Cx.S.V²/16 y A = dV/dT
M.dV/dT + P.f + Cx.S.V²/16 = 0
Dividiendo todos los términos por la
masa:
dV/dT + P.f/M + Cx.S.V²/16M = 0
Pero P/M = G luego:
dV/dT + G.f + Cx.S.V²/16M = 0
Haciendo G.f = a² y Cx.S/16M = b²
queda:
dV/dT + b² + a².V² = 0
Resolveremos esta ecuación diferencial para
encontrar la función V = f ( T )
dV/dT = -( b² + a².V² )
dV/( b² + a².V² ) = -dT
Sacamos factor común b² en el
denominador
dV/b²( 1 + a².V²/b² ) =
-dT
Hacemos la siguiente sustitución: Z = a.V/b ; dZ
= a.dV/b y dV = b.dZ/a
b.dZ/a.b²( 1 + Z² ) = -dT
Simplificando b:
dZ/a.b( 1 + Z² ) = -dT
Integrando ambos miembros:
( 1/a.b ). ∫dZ/( 1 + Z² ) = -∫dT
Resolviendo las integrales,
que son directas:
( 1/a.b ).arc tg Z = -T + C
Reemplazando Z y reordenando:
arc tg ( a.V/b ) = a.b( C – T )
Despejando a.V/b queda:
a.V/b = tg [ a.b( C – T ) ]
Distribuyendo a.b y despejando V
queda:
V = ( b/a ). tg ( a.b.C – a.b.T ) (1)
Para calcular la constante de integración C debemos tener en
cuenta que al comenzar el ensayo ( T = 0 ) la velocidad es la
inicial ( V = Vo ), reemplazando:
Vo = ( b/a ). tg ( a.b.C )
reordenando queda:
a.Vo/b = tg ( a.b.C )
a.b.C = arc tg ( a.Vo/b )
Reemplazando en la ecuación (1) queda:
V = ( b/a ). tg [ arc tg (a.Vo/b ) – a.b.T ]
(2)
Debemos ahora reemplazar las constantes a y
b que veníamos utilizando, recordemos que
habíamos hecho:
b² = G.f y a² = Cx.S/16M
De donde sale:
b = ( G.f )^½ y a = ( Cx.S/16M
)^½
Entonces, por un lado, b/a queda:
b/a = ( 16M.G.f/Cx.S )^½
b/a = 4( P.f/Cx.S )^½ (3)
por otro lado, a/b queda:
a/b = 0,25( Cx.S/P.f )^½ (4)
y por último, a.b queda:
a.b = ( G.f.Cx.S/16M )^½
a.b = ( G².f.Cx.S/16M.G )^½
a.b = ( G/4 ).( f.Cx.S/P )^½
a.b = 2,5( f.Cx.S/P )^½ (5)
Reemplazando las ecuaciones
(3), (4) y (5) en la ecuación (2) obtendremos la
función V = f ( T ) que veníamos
buscando:
V = 4( P.f/Cx.S )^½. tg { arc tg [ 0,25Vo(
Cx.S/P.f )^½ ] – 2,5T( f.Cx.S/P )^½
}
En realidad, si hacemos:
A = 4( P.f/Cx.S )^½ ; B = arc tg [ 0,25Vo(
Cx.S/P.f )^½ y C = 2,5( f.Cx.S/P )^½
la función V = f ( T ) responde a la estructura
matemática del tipo siguiente:
V = A. tg ( B – C.T )
Para realizar el ensayo debemos disponer de los
siguientes datos del
vehículo:
Peso ( P )
Coeficiente de rodadura ( f )
Sección frontal ( S )
Debemos elegir a que velocidad vendrá
inicialmente el vehículo al comenzar el ensayo ( Vo ) y
hasta que valor dejaremos que disminuya la velocidad mientras
dure el ensayo ( V ).
Luego debemos medir el tiempo que tarda en producirse
dicho descenso de velocidad ( T ).
Como vemos, en la función V = f ( T ), el
único parámetro desconocido, hasta ahora, es el
coeficiente de forma Cx, que, obviamente, no intentaremos
despejar.
Pero nos queda, como alternativa, determinarlo por
tanteo.
Es decir: le daremos, en principio, un valor tentativo,
y con dicho valor verificamos la igualdad. En
caso de no verificarse la misma, cambiaremos el valor para
repetir la verificación.
De más está decir que tendremos que
repetir este paso matemático tantas veces como sea
necesario hasta encontrar el valor buscado.
En este ensayo se hacen algunas simplificaciones y
aproximaciones que influyen en la precisión del valor
obtenido para el coeficiente buscado.
En primer lugar, estamos suponiendo que el mencionado
coeficiente aerodinámico ( Cx ) es constante, e
independiente de la velocidad, lo cual sabemos que no es
cierto.
En segundo lugar, estamos suponiendo que el coeficiente
de rodadura ( f ) también es constante, e independiente de
la velocidad y de la carga que soportan las cubiertas, lo cual
tampoco es cierto.
En tercer término, estamos despreciando las
variaciones de carga aerodinámica sobre la
carrocería del vehículo en función de la
velocidad, lo cual influye en la resistencia por
rodadura.
Por último, estamos despreciando también
las resistencias de origen friccional que se producen en los
elementos mecánicos del sistema de
transmisión y en sus fluidos lubricantes, aunque es
importante hacer notar que estas resistencias quedan reducidas a
un mínimo ya que dicho sistema no
está transmitiendo potencia a las
ruedas.
Por otra parte, conviene que la velocidad inicial
elegida ( Vo ) sea lo más grande posible, para que la
acción de frenado del aire sea
comparativamente mucho más importante que la acción
de frenado por rodadura.
Conviene también que el tiempo de ensayo ( T ) no
sea muy pequeño, para lo cual debemos elegir una velocidad
final de ensayo ( V ) no muy próxima a la velocidad
inicial.
De todos modos, y como ya explicamos con anterioridad,
esta variante de ensayo reviste una ventaja sustancialmente
importante con respecto al clásico y conocido ensayo
Coasting, en el cual queda directamente despreciada la
resistencia por rodadura en la valoración del coeficiente
de forma.
Podemos determinar el tiempo que tarda el
vehículo en detener su marcha por completo, llamado tiempo
de detención ( Td ), igualando a cero la velocidad
en la función V = f ( T ), para lo cual debe cumplirse, en
la ecuación (2), lo siguiente:
arc tg ( a.Vo/b ) = a.b.Td
despejando Td queda:
Td = ( 1/a.b ). arc tg ( a.Vo/b ) (6)
Recordemos que la ecuación (4) nos da la
relación a/b y de la ecuación (5) surge la
relación 1/a.b, reemplazando ambas relaciones en la
ecuación (6) queda:
Td = 0,4.( P/f.S.Cx )^½. arc tg [ 0,25Vo(
Cx.S/P.f )^½ ]
Por otra parte, de más está decir que al
coeficiente de rodadura ( f ) hay que determinarlo previamente en
la misma ruta donde se va a determinar el coeficiente de forma (
Cx ).
Una buena alternativa para hacerlo es realizar el mismo
tipo de ensayo, pero a una velocidad muy pequeña, con el
objeto de poder
despreciar a la resistencia aerodinámica frente a la
resistencia por rodadura, de esta manera se reduce al
mínimo el error cometido en la valoración del
coeficiente de rodadura.
Recomendamos efectuar el ensayo, por ejemplo, desde
velocidades inferiores a los 8Km/h hasta que el automóvil
se detenga por completo.
Deduciremos la expresión matemática a ser
utilizada a tal fin, para lo cual partiremos de las mismas
ecuaciones que
en el tratamiento anterior, pero despreciando la resistencia
aerodinámica:
M.A + Rr = 0
M.dV/dT = -P.f
dV = -P.f.dT/M
dV = -G.f.dT
∫dV = -G.f. ∫dT
V = -10f.T + C
La constante de integración C surge de considerar
que, cuando T = 0, la velocidad es la inicial ( Vo ), por lo
tanto:
Vo = C
Reemplazando y reordenando:
V = Vo – 10f.T
Transcurrido el tiempo de detención Td la
velocidad tomará valor nulo, entonces:
0 = Vo – 10f.Td
de donde podemos obtener el coeficiente de rodadura
buscado f:
10f.Td = Vo
f = Vo/10Td
En realidad, para ser más precisos, en esta
expresión conviene utilizar el valor 9,8 en lugar de 10
para la aceleración gravimétrica.
Héctor Poggi
Técnico en Automotores e Ingeniero
Electricista