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Ensayo en ruta para determinar el coeficiente de forma de un vehículo automotor




Enviado por hector poggi



    1. Obtención de la
      función
    2. Realización del
      ensayo
    3. Consideraciones
      generales
    4. Apéndice

    INTRODUCCIÓN

    Este ensayo nos
    permitirá determinar el coeficiente de forma o coeficiente
    aerodinámico de un vehículo automotor, normalmente
    conocido como Cx, por medio de la realización de un ensayo en
    ruta, cuando no disponemos de un túnel de viento, que es
    lo que generalmente sucede.

    Cabe aclarar que el método
    consiste en una variante mejorada del ya clásico y
    conocido ensayo
    Coasting.

    El método
    tiene, básicamente, la misma operatoria de ensayo que el
    Coasting, pero con la siguiente diferencia sustancial:

    -en el ensayo
    Coasting solo se considera como fuerza
    frenante a la resistencia
    aerodinámica, despreciando la influencia de la resistencia por
    rodadura, lo cual constituye una simplificación que
    introduce un error apreciable en la determinación del
    coeficiente Cx, ya que dicha resistencia no puede ser despreciada
    a menos que hagamos el ensayo a
    velocidades excesivamente altas.

    -en la variante mejorada que mostramos en este trabajo,
    se tienen en cuenta las influencias de ambas resistencias
    al avance, tanto la resistencia aerodinámica como la
    resistencia por rodadura, por lo cual vemos disminuido el error
    cometido en la valoración de dicho coeficiente
    Cx.

    La operatoria de ensayo consiste, entonces, en lo que
    sigue:

    Debemos circular con el vehículo a ensayar por
    una ruta plana y horizontal, en condiciones de viento nulo, a una
    velocidad
    determinada, que para nuestro ensayo será la velocidad
    inicial.

    Si soltamos el acelerador poniendo al mismo tiempo la caja de
    cambio de
    velocidades en punto muerto, el vehículo irá
    reduciendo gradualmente su velocidad, por efecto de las resistencias
    al avance.

    Podemos entonces medir el tiempo que el
    vehículo tarda en reducir su velocidad desde el valor inicial
    hasta otro valor
    previamente establecido.

    Dicho tiempo, reemplazado en la función
    matemática
    correspondiente, nos permitirá conocer el valor del
    coeficiente de forma del vehículo.

    De aquí en más nos abocaremos a la
    obtención de la función
    matemática
    antedicha.

    OBTENCIÓN DE
    LA FUNCIÓN

    En primer lugar, definamos los parámetros que
    intervienen en la obtención de la función, como
    así también las unidades utilizadas:

    F = Fuerza neta
    que actúa sobre el vehículo ( Kg )

    M = Masa del vehículo ( Kg.seg²/m
    )

    A = Aceleración instantánea del
    vehículo ( m/seg² )

    Fm = Fuerza motriz que impulsa al vehículo (
    Kg)

    Rav = Resistencia al avance ( Kg)

    Rr = Resistencia por rodadura ( Kg )

    Ra = Resistencia aerodinámica ( Kg )

    P = Peso del vehículo ( Kg )

    f = Coeficiente de rodadura

    Cx = Coeficiente de forma

    S = Sección frontal del vehículo ( m²
    )

    Vo = Velocidad inicial del vehículo ( m/seg
    )

    V = Velocidad instantánea del vehículo (
    m/seg )

    T = Tiempo transcurrido ( seg )

    G = Aceleración de la gravedad ≈ 10
    m/seg²

    Partimos de la ecuación fundamental de la
    dinámica:

    F = M.A

    Reemplazamos la fuerza neta por la diferencia de fuerzas
    actuantes, la que está a favor del movimiento (
    fuerza motriz) menos la que está en contra (resistencia al
    avance):

    Fm – Rav = M.A

    Reemplazamos la resistencia al avance por la suma de las
    resistencias por rodadura y aerodinámica:

    Fm – ( Rr + Ra ) = M.A

    Pero Fm = 0 pues hemos soltado el acelerador, entonces
    queda, pasando términos:

    M.A + Rr + Ra = 0

    Reemplazando según Rr = P.f ; Ra =
    Cx.S.V²/16 y A = dV/dT

    M.dV/dT + P.f + Cx.S.V²/16 = 0

    Dividiendo todos los términos por la
    masa:

    dV/dT + P.f/M + Cx.S.V²/16M = 0

    Pero P/M = G luego:

    dV/dT + G.f + Cx.S.V²/16M = 0

    Haciendo G.f = a² y Cx.S/16M = b²
    queda:

    dV/dT + b² + a².V² = 0

    Resolveremos esta ecuación diferencial para
    encontrar la función V = f ( T )

    dV/dT = -( b² + a².V² )

    dV/( b² + a².V² ) = -dT

    Sacamos factor común en el
    denominador

    dV/b²( 1 + a².V²/b² ) =
    -dT

    Hacemos la siguiente sustitución: Z = a.V/b ; dZ
    = a.dV/b y dV = b.dZ/a

    b.dZ/a.b²( 1 + Z² ) = -dT

    Simplificando b:

    dZ/a.b( 1 + Z² ) = -dT

    Integrando ambos miembros:

    ( 1/a.b ). ∫dZ/( 1 + Z² ) = -∫dT

    Resolviendo las integrales,
    que son directas:

    ( 1/a.b ).arc tg Z = -T + C

    Reemplazando Z y reordenando:

    arc tg ( a.V/b ) = a.b( C – T )

    Despejando a.V/b queda:

    a.V/b = tg [ a.b( C – T ) ]

    Distribuyendo a.b y despejando V
    queda:

    V = ( b/a ). tg ( a.b.C – a.b.T ) (1)

    Para calcular la constante de integración C debemos tener en
    cuenta que al comenzar el ensayo ( T = 0 ) la velocidad es la
    inicial ( V = Vo ), reemplazando:

    Vo = ( b/a ). tg ( a.b.C )

    reordenando queda:

    a.Vo/b = tg ( a.b.C )

    a.b.C = arc tg ( a.Vo/b )

    Reemplazando en la ecuación (1) queda:

    V = ( b/a ). tg [ arc tg (a.Vo/b ) – a.b.T ]
    (2)

    Debemos ahora reemplazar las constantes a y
    b que veníamos utilizando, recordemos que
    habíamos hecho:

    b² = G.f y a² = Cx.S/16M

    De donde sale:

    b = ( G.f )^½ y a = ( Cx.S/16M
    )^½

    Entonces, por un lado, b/a queda:

    b/a = ( 16M.G.f/Cx.S )^½

    b/a = 4( P.f/Cx.S )^½ (3)

    por otro lado, a/b queda:

    a/b = 0,25( Cx.S/P.f )^½ (4)

    y por último, a.b queda:

    a.b = ( G.f.Cx.S/16M )^½

    a.b = ( G².f.Cx.S/16M.G )^½

    a.b = ( G/4 ).( f.Cx.S/P )^½

    a.b = 2,5( f.Cx.S/P )^½ (5)

    Reemplazando las ecuaciones
    (3), (4) y (5) en la ecuación (2) obtendremos la
    función V = f ( T ) que veníamos
    buscando:

    V = 4( P.f/Cx.S )^½. tg { arc tg [ 0,25Vo(
    Cx.S/P.f )^½ ] – 2,5T( f.Cx.S/P )^½
    }

    En realidad, si hacemos:

    A = 4( P.f/Cx.S )^½ ; B = arc tg [ 0,25Vo(
    Cx.S/P.f )^½ y C = 2,5( f.Cx.S/P )^½

    la función V = f ( T ) responde a la estructura
    matemática del tipo siguiente:

    V = A. tg ( B – C.T )

    REALIZACIÓN
    DEL ENSAYO

    Para realizar el ensayo debemos disponer de los
    siguientes datos del
    vehículo:

    Peso ( P )

    Coeficiente de rodadura ( f )

    Sección frontal ( S )

    Debemos elegir a que velocidad vendrá
    inicialmente el vehículo al comenzar el ensayo ( Vo ) y
    hasta que valor dejaremos que disminuya la velocidad mientras
    dure el ensayo ( V ).

    Luego debemos medir el tiempo que tarda en producirse
    dicho descenso de velocidad ( T ).

    Como vemos, en la función V = f ( T ), el
    único parámetro desconocido, hasta ahora, es el
    coeficiente de forma Cx, que, obviamente, no intentaremos
    despejar.

    Pero nos queda, como alternativa, determinarlo por
    tanteo.

    Es decir: le daremos, en principio, un valor tentativo,
    y con dicho valor verificamos la igualdad. En
    caso de no verificarse la misma, cambiaremos el valor para
    repetir la verificación.

    De más está decir que tendremos que
    repetir este paso matemático tantas veces como sea
    necesario hasta encontrar el valor buscado.

    CONSIDERACIONES
    GENERALES

    En este ensayo se hacen algunas simplificaciones y
    aproximaciones que influyen en la precisión del valor
    obtenido para el coeficiente buscado.

    En primer lugar, estamos suponiendo que el mencionado
    coeficiente aerodinámico ( Cx ) es constante, e
    independiente de la velocidad, lo cual sabemos que no es
    cierto.

    En segundo lugar, estamos suponiendo que el coeficiente
    de rodadura ( f ) también es constante, e independiente de
    la velocidad y de la carga que soportan las cubiertas, lo cual
    tampoco es cierto.

    En tercer término, estamos despreciando las
    variaciones de carga aerodinámica sobre la
    carrocería del vehículo en función de la
    velocidad, lo cual influye en la resistencia por
    rodadura.

    Por último, estamos despreciando también
    las resistencias de origen friccional que se producen en los
    elementos mecánicos del sistema de
    transmisión y en sus fluidos lubricantes, aunque es
    importante hacer notar que estas resistencias quedan reducidas a
    un mínimo ya que dicho sistema no
    está transmitiendo potencia a las
    ruedas.

    Por otra parte, conviene que la velocidad inicial
    elegida ( Vo ) sea lo más grande posible, para que la
    acción de frenado del aire sea
    comparativamente mucho más importante que la acción
    de frenado por rodadura.

    Conviene también que el tiempo de ensayo ( T ) no
    sea muy pequeño, para lo cual debemos elegir una velocidad
    final de ensayo ( V ) no muy próxima a la velocidad
    inicial.

    De todos modos, y como ya explicamos con anterioridad,
    esta variante de ensayo reviste una ventaja sustancialmente
    importante con respecto al clásico y conocido ensayo
    Coasting, en el cual queda directamente despreciada la
    resistencia por rodadura en la valoración del coeficiente
    de forma.

    APÉNDICE

    Podemos determinar el tiempo que tarda el
    vehículo en detener su marcha por completo, llamado tiempo
    de detención ( Td ), igualando a cero la velocidad
    en la función V = f ( T ), para lo cual debe cumplirse, en
    la ecuación (2), lo siguiente:

    arc tg ( a.Vo/b ) = a.b.Td

    despejando Td queda:

    Td = ( 1/a.b ). arc tg ( a.Vo/b ) (6)

    Recordemos que la ecuación (4) nos da la
    relación a/b y de la ecuación (5) surge la
    relación 1/a.b, reemplazando ambas relaciones en la
    ecuación (6) queda:

    Td = 0,4.( P/f.S.Cx )^½. arc tg [ 0,25Vo(
    Cx.S/P.f )^½ ]

    Por otra parte, de más está decir que al
    coeficiente de rodadura ( f ) hay que determinarlo previamente en
    la misma ruta donde se va a determinar el coeficiente de forma (
    Cx ).

    Una buena alternativa para hacerlo es realizar el mismo
    tipo de ensayo, pero a una velocidad muy pequeña, con el
    objeto de poder
    despreciar a la resistencia aerodinámica frente a la
    resistencia por rodadura, de esta manera se reduce al
    mínimo el error cometido en la valoración del
    coeficiente de rodadura.

    Recomendamos efectuar el ensayo, por ejemplo, desde
    velocidades inferiores a los 8Km/h hasta que el automóvil
    se detenga por completo.

    Deduciremos la expresión matemática a ser
    utilizada a tal fin, para lo cual partiremos de las mismas
    ecuaciones que
    en el tratamiento anterior, pero despreciando la resistencia
    aerodinámica:

    M.A + Rr = 0

    M.dV/dT = -P.f

    dV = -P.f.dT/M

    dV = -G.f.dT

    ∫dV = -G.f. ∫dT

    V = -10f.T + C

    La constante de integración C surge de considerar
    que, cuando T = 0, la velocidad es la inicial ( Vo ), por lo
    tanto:

    Vo = C

    Reemplazando y reordenando:

    V = Vo – 10f.T

    Transcurrido el tiempo de detención Td la
    velocidad tomará valor nulo, entonces:

    0 = Vo – 10f.Td

    de donde podemos obtener el coeficiente de rodadura
    buscado f:

    10f.Td = Vo

    f = Vo/10Td

    En realidad, para ser más precisos, en esta
    expresión conviene utilizar el valor 9,8 en lugar de 10
    para la aceleración gravimétrica.

    Héctor Poggi

    Técnico en Automotores e Ingeniero
    Electricista

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