mapas de Karnaugh

1. Método de
   reducción de mapas de Karnaugh
2. Mapas de Karnaugh de 5
   variables
3. Mapas de Karnaugh de 6
   variables

Otra manera de simplificar funciones es
representándolas en mapas de
Karnaugh. Esto es equivalente a resolver las simplificaciones por
teoremas. Sin embargo, mucha gente considera que resulta
más fácil visualizar las simplificaciones si se
presentan gráficamente.
Los mapas de Karnaugh
pueden aplicarse a dos, tres, cuatro y cinco variables.
Para más variables, la
simplificación resulta tan complicada que conviene en ese
caso utilizar teoremas mejor. Para efectos de clase, veremos las
simplificaciones de dos, tres y cuatro variables.
Ejemplo 1: Simplifica la función de
dos variables f = a'b + ab' + ab
Lo primero que debo de hacer es representarlo en un mapa de dos
variables. Se representa como una tabla. Para llenar la tabla,
pongo un uno donde se intersecte el valor de la
función. Por ejemplo, para el primer
término de la función f = a'b + ab' + ab, se ha
marcado en rojo donde se puso el 1 en la tabla.

Una vez hecho el mapa, debemos marcar las regiones contiguas que
manejen 1s. Aquí en el dibujo vemos
cómo se marcan dos regiones. Estas regiones son las
simplificaciones. Como la región azul involucra solamente
a la b, eso representa. La región verde, por su parte,
involucra solamente a la a. Para cada región, debemos
checar qué variables involucra. En el caso de la
región azul, cubre a la b, pero con respecto a la variable
a maneja tanto a como a', y por eso se descarta la a. Una vez
definidas las regiones, se escribe la función simplificada
f= b + a.

Ejemplo 2: Simplifica la función de tres variables f = a'b
+ ab'c + c'
Lo primero que debo de hacer es representarlo en un mapa de tres
variables. Se representa como se muestra en la
tabla. Para llenar la tabla, pongo un uno donde se intersecte el
valor de la
función. Por ejemplo, para los términos de la
función f = a'b +ab'c + c', se ha marcado donde se puso el
1 en la tabla.

Ahora debemos buscar las regiones que nos indiquen la
función simplificada. Lo primero que debemos observar es
que las regiones pueden agruparse de los extremos del mapa, como
la región azul. Esta región representa a c'. Ahora,
vemos que queda un bit en a'bc, pero siempre conviene agruparlo
lo más posible, en regiones cuyas celdas sean
múltiplos de 2 (1, 2, 4, 8…) En este caso, la agrupamos
con el 1 contiguo, para que la región quede como a'b.
La región verde se agrupa para formar ab'. Así, la
función resultante sería f = a'b + ab' + c.

Ejemplo 3: Simplifica la función de cuatro variables f =
ac'd' + a'bd + abcd + ab'cd + a'bc'd' +
a'b'c'd'
Nuevamente, lo primero que hacemos es vaciar la función al
mapa. Nótese la forma que toma el mapa.
Ahora, lo siguiente es agrupar las variables en regiones. La
primer a región, la roja, está agrupada de las
esquinas. Esta agrupación representa a c'. La siguiente
región, la verde la agrupo con el 1 que tiene abajo. Pude
haberla agrupado con el 1 a la derecha, pero hubiera significado
agrupar un 1 ya agrupado, y dejar otro 1 aún no agrupado
sin agrupar. Así que se agrupa de esta forma, y la
región verde representa a a'bd. Los 1s que quedan hasta
este momento libre pueden agruparse juntos, en la región
azul. Esto representa a acd.

Es importante notar la región naranja. Representa
a bcd. Esta región es una simplificación adicional
válida, que pudo haberse manejado. En ocasiones,
habrá varias formas de agrupar a los 1s. Todas son
válidas, y representan soluciones
equivalentes. Sin embargo, hay que cuidar de siempre agrupar las
regiones lo más grandes posibles, y cuidando de agrupar a
los 1s de manera que se repitan lo menos posible.

MÉTODO
DE REDUCCIÓN DE MAPAS DE KARNAUGH

El Álgebra de
Boole, resuelve problemas que
dependiendo del número de términos
que tenía la función
canónica, siendo el número de
compuertas lógicas utilizadas 
igual al número de
términos obtenidos MÁS
UNO; por lo tanto, los circuitos
obtenidos son de dos niveles de
conmutación con un tiempo mínimo
de retardo, pero que de ninguna manera es el
más sencillo ni el más
económico.

2.1 Generación de MAPA DE KARNAUGH de 2 y
3 variables.

    Los mapas de
Karnaugh es uno de los métodos
más prácticos. Se puede decir que es el
más poderoso, cuando el
número de variables de entrada es
menor o igual a seis; más allá, ya
no es tan práctico. En general, el mapa
de Karnaugh se considera como la
forma gráfica de una tabla de
verdad o como una extensión del
diagrama de Venn.

    Antes de explicar como se utiliza el
mapa de Karnaugh en la
minimización de
funciones, veremos como se obtiene el
mapa. Esto nace de la
representación geométrica de los
números binarios. Un
número binario de n
bits, puede representarse por lo que se denomina un punto
en un espacio N. Para entender lo que se quiere
decir con esto, considérese el conjunto
de los números binarios de un bit, es
decir 0 o 1. Este
conjunto puede representarse por dos
puntos en un espacio 1; esto es, por
dos puntos unidos por una
línea. Tal representación se
denomina un cubo 1.

De la Figura 2.1, se observa que el
cubo 1 se obtuvo proyectando al
cubo 0 y que el cubo 2 se
obtendrá proyectando al cubo
1.    

De la Figura 2.2, se observa que al
reflejarse el cubo 1 se obtiene
un cuadrilátero cuyos
vértices representan un
número binario. Estos
números se obtienen al
agregar un 0 a la
izquierda de los
vértices del cubo
reflejado. Del cubo 2 se observa
que se obtienen 4 vértices, los cuales
corresponden a las combinaciones de dos
variables
(22=4),
pero si se sigue la trayectoria indicada en la
Figura 2.2.b, se podrá
observar que al pasar de un
vértice al otro, existe un solo
cambio, lo que da lugar a un código
especial, debido que a no sigue la formación del
código binario, como se muestra en la
siguiente tabla. Más adelante le daremos
un nombre a este código.

 Ahora, si a cada vértice del cubo
2 se le asigna un casillero, se tendrá la
Figura 2.3.

    De la Figura
2.3.(b), si proyectamos el cubo 2,
obtendremos el cubo 3, el cual se muestra en la
Figura 2.4.

 De la Figura 2.4.b, si seguimos
la trayectoria marcada por las flechas
obtendremos la siguiente tabla, en donde de
un carácter a
otro existe un solo cambio;
otra característica de la
tabla, es el reflejo que existe
entre los caracteres 1-2 y 5-6
de la columna C y el reflejo
entre los caracteres 2-3-4-5 en la columna
B. El reflejo que existe
siempre es con respecto al eje central de
simetría.

 Ahora que tenemos el cubo 3,
podemos obtener la
representación en la forma de la
Figura 2.3.(a),
(b) y (c), lo cual se muestra
en la Figura 2.5.

 El levantamiento del cubo
3, a partir de la Figura 2.5, se
muestra en la Figura 2.6.

 Ahora, si asignamos una área a cada punto,
como se muestra en la Figura 2.7, se
obtendrá la
representación que se denomina
mapa del cubo N, que
en este caso fue desarrollado para un cubo 3.
Como se tienen 8 casilleros, éstos
corresponden a las combinaciones de tres
variables, la cuales pueden ser A,
B y C, siendo
A la más significativa y
C la menos significativa, por
lo que la tabla funcional para presentar este
mapa es:

    La primera
tabla corresponde al código
binario y la otra corresponde al código
especial que en realidad se le conoce como
código de Gray o código
reflejado. Como veremos, ambos
códigos están implícitos en
el mapa de Karnaugh.

    Si observamos el mapa de la
Figura 2.8.(d), cada casillero tiene asignado un
número, el cual corresponde a un
número del código
binario. De la misma figura pero del inciso
(e), si seguimos la trayectoria marcada por las
flechas, cada número representa a un
carácter del código
Gray.

En la tabla anterior, se muestran cada
uno de los códigos
mencionados.

2.2 Procedimiento
para MINIMIZAR una FUNCIÓN por MAPAS K

    En forma definitiva, el mapa que se
utilizará para la minimización de
funciones booleanas con tres
variables, será el que se muestra en la
Figura 2.9.(d). A continuación
explicaremos la forma como se utilizará
en este mapa. Los pasos a seguir serán
los mismos para cualquier mapa, no importa cual
sea el número de variables.

1. De la
definición del problema y de la tabla
funcional se obtiene la función
canónica.

2. Los
minitérminos o
maxitérminos de la función
canónica se trasladan al mapa K.
Se coloca un 1 si es
minitérmino y 0 si es
maxitérmino.

3. Se realizan los
enlaces abarcando el
mayor número de términos bajo los
siguientes criterios:

a) El número de
términos que se enlazan
(agrupan) deben seguir la regla de
formación binaria, es decir, de
1 en 1, de 2
en 2, de 4 en
4, de 8 en 8,
etc.

b) Al agrupar los
términos, se debe cuidar la
simetría con los ejes
centrales y secundarios.

4. El hecho de que se haya tomado un
término para un enlace
no quiere decir que éste mismo no pueda
utilizarse para otros
enlaces.

5. La función reducida
tendrá tantos términos como
enlaces se hayan realizado.

6. Para obtener el
término reducido se realizan dos
movimientos sobre el mapa, uno
vertical, que barre a las
variables más significativas y
otro horizontal, que barre a las
variables menos significativas.

7. Se aplican los siguientes
postulados:

A . A' = 0
A . A = A

  EJEMPLO 1.
Diseñar un circuito lógico
combinatorio que detecte, mediante
UNOS, los números
pares para una combinación de 3
variables de entrada.

SOLUCIÓN

a) Diagrama a bloques.
El diagrama a
bloques se presenta en la figura adjunta.

b) Tabla funcional:
Para propósitos del problema, se considera a
0 como un número
impar:

c) Función
canónica.

Z = Sumaminitérminos
(2,4,6)

d) Reducción por mapas
de Karnaugh.

La figura adjunta muestra los
minitérminos de la función
de conmutación y los enlaces
Correspondientes.

e) Obtención de la
función reducida.

Del mapa, figura anexa, se observa que existen
dos enlaces; por lo tanto la
función reducida tendrá dos
términos, de acuerdo con el paso
5 del procedimiento de
reducción.

  Para cada enlace, se
realiza el barrido para
cada una de las variables. Por orden, es
conveniente iniciar con la variable de mayor peso
binario, en este caso A.

Como se muestra en la figura adjunta, una parte
del enlace (1), el elemento
6, se encuentra dentro del
barrido y otra, el elemento 2,
fuera de él. Esto indica que se tiene
A.A', que es igual a
0, por lo que esa variable no
participa, se elimina, del
término reducido.

Para mayor claridad, tomemos la suma de los
minitérminos 2 y
6:

A'BC' + ABC' = (A' + A)BC' =
BC'

Como puede observarse, la variable A se
elimina del término
reducido.

 La figura adjunta presenta el
barrido de B. En este caso, el
enlace (1) está
contenido dentro del barrido, lo cual
corresponde a B.B = B, lo que
significa que esta variable forma parte del
término reducido.

  Finalmente, el
barrido de la variable C, de
menor peso binario, es
horizontal y se muestra en la figura
adjunta. Claramente se observa que el enlace (1)
está fuera del barrido, es decir se encuentra en
C', indicando que dicha variable forma
parte del término reducido.

    El término
reducido correspondiente al enlace (1)
es BC'.

    Siguiendo el mismo procedimiento y
apoyándonos en las 3 figuras previas, se
encuentra que para el enlace (2), el
término reducido es AC'.
La función reducida en este primer
ejemplo es:

Z(A,B,C) = BC’+AC’

(1) (2)

f) El logigrama
queda:

Para ver el gráfico seleccione la
opción "Descargar" del menú superior

EJEMPLO 2. COLECTOR
AUTOMÁTICO DE PEAJE.

Se han introducido colectores
automáticosde peaje en diversas
casetas de autopistas para acelerar el flujo de tráfico.
Se nos pide construir un circuito
lógico combinatorio que sea parte del
colector automático. Este circuito es
para contar la cantidad de monedas que han sido
colocadas en el colector. Si se depositan
15 pesos (únicamente monedas de
5 y 10 pesos), entonces se
enciende una luz de
pasa (color
verde) y se envía una señal al
colector para recolectar las
monedas; de otra manera, la luz de
alto (color
rojo) permanecerá encendida.

    SOLUCION

Examinando el planteamiento del
problema, se observa que hay dos
señales de entrada y una
señal de salida, las que se definen
como:

C = Número de
monedas de cinco pesos depositadas
D = Número de monedas de
diez pesos depositadas
Z = Comando para la señal
luminosa y el control de
recolección

    Estas variables tomarán los
siguientes valores enteros y
lógicos:

0 <= C
<= 3 Número
de monedas de cinco pesos
0 <= D <=
1 Número de monedas de
diez pesos
Z = 0 No
contiene los 15 pesos (luz
roja)
Z = 1
Si contiene los 15 pesos
(luz verde)

Ahora, se puede codificar la información como sigue:

a) Tabla
funcional:

b) Función
canónica:

Z(c1,c2,d1) =
Sumaminitérminos (3,5,6,7)

 c) Reduciendo
por mapas K:

Para ver el gráfico seleccione la
opción "Descargar" del menú superior

d) Siguiendo el mismo procedimiento del
ejemplo anterior para cada uno de los enlaces
del mapa K, se obtiene la siguiente
función reducida:

Z(c1,c2,d1) =
c1 c2 + c2 d1 +
c1 d1 =
                         
(1)        
(2)         
(3)

= [c1 c2 + c2
d1 + c1 d1]''
=

Z(c1,c2,d1) =
[(c1 c2)' (c2 d1)'
(c1 d1)']'

e) De la función
reducida, obsérvese que ésta se
complementó 2 veces y después se
aplicó uno de los
complementos, de tal manera que cada uno de los
términos puede generarse por medio de una
compuerta NO-Y. Por tanto, el
logigrama queda como:

Para ver el gráfico seleccione la
opción "Descargar" del menú
superior 

EJEMPLO 3. Un contador
digital contiene un registro de
3 bits. El contador cuenta desde 0 = [0
0 0] hasta 7 = [1 1 1], se restablece y
empieza la cuenta nuevamente. Este contador es
usado, como se muestra en el diagrama a bloques
adjunto, para generar tres
señales de control,
C1, C2 y
C3. Estas
señales toman un valor de
1, de acuerdo con las siguientes
condiciones:

C1 = 1 para
una cuenta de 0, 1,
3, 5 y 7
C2 = 1 para una
cuenta de 0, 3,
5 y 6
C3 = 1 para una
cuenta de 0, 3,
4 y 7

    Diseñe un
circuito lógico combinacional que genere
C1, C2 y
C3.

SOLUCION

a) Tabla funcional:

Para este caso en particular, no es
necesario realizar la tabla funcional,
ya que las condiciones del problema definen
claramente para qué valores de
entrada las funciones de salida tienen un
valor de 1; es decir, los
minitérminos asociados a cada
función de salida. Sin embargo, por
procedimiento, siempre es conveniente realizar la tabla
funcional.

b) Funciones
lógicas de conmutación de las
variables de salida:

C1(X3,X2,X1)
= Sumaminitérminos
(0,1,3,5,7)

C2(X3,X2,X1)
= Sumaminitérminos
(0,3,5,6)

C3(X3,X2,X1)
= Sumaminitérminos
(0,3,4,7)

c) La figura adjunta muestra
los mapas de Karnaugh para
C1, C2 y
C3.

d) De los mapas
K, se obtienen las funciones
reducidas siguientes:

C1=X1 +
X3'X2'
      
(1)       
(2)

C2=X3'X2'X1'
+ X3'X2X1 +
X3X2X1' +
X3X2'X1
          
(1)
                
(2)
            
(3)
              
(4)

C3=X2X1 +
X2'X1' = X2 OEXC
X1
          
(1)          
(2)

    De la expresión
C2, se observa que no existen
enlaces en el mapa. Por lo tanto, no se obtiene
una función reducida, pero empleando el
método algebraico, vemos que existe
minimización por
exclusividad.

    El siguiente
desarrollo muestra el procedimiento para la
reducción de C2 a
expresiones de
exclusividad:

C2 =
X3'(X2'X1' +
X2X1) +
X3(X2X1' +
X2'X1) = X3'(X2 OEXC
X1)' + X3(X2 OEXC X1)
=

     = [X3 OEXC
(X2 OEXC X1)]' = (X3 OEXC
X2 OEXC X1)'

e) El logigrama
correspondiente a las funciones reducidas
C1, C2 y
C3, se muestra en la siguiente
figura:

Para ver el gráfico seleccione la
opción "Descargar" del menú superior

2.3 MAPAS de KARNAUGH de 4
VARIABLES

Hasta ahora se ha utilizado el mapa de
Karnaugh para minimizar funciones de
3 variables. A continuación se
usará el mapa de Karnaugh para 4
variables.

   El mapa
K para 4 variables se obtiene
proyectando el mapa de 3 variables. Cuando el
número de variables es
par proyectamos hacia
abajo y cuando es impar proyectamos
hacia la derecha. La Figura
2.10.(a) muestra la proyección del cubo
3, para generar el cubo 4.
Obsérvese que al cubo que se proyecta se le
agrega un 0 a la izquierda y al
proyectado un 1 a su
izquierda. Dentro de cada celda
se indica el valor binario asociado a ella, el
cual se obtiene sustituyendo los valores
binarios correspondientes a cada
variable.

Sustituyendo los valores binarios por
su decimal equivalente, se obtiene el mapa de
Karnaugh de 4 variables, el cual se
usará posteriormente para minimizar
funciones de conmutación de 4
variables. Este mapa se muestra en la
Figura 2.10.(b).

Para ver el gráfico seleccione la
opción "Descargar" del menú superior

 Para obtener el
código Gray para 4
variables, se traza la greca de
Gray en el mapa de la Figura
2.10.(b), como se muestra en la Figura
2.10.(c). Obsérvese que se
inicia en la celda 0, hacia
abajo hasta la celda 2, a la
derecha a la celda 6, arriba
hasta la celda 4, a la derecha
a la celda 12, hacia abajo
hasta la celda 14, a la derecha
a la celda 10 y hacia arriba
hasta la celda 8.

Siguiendo la greca de Gray de la figura
adjunta, se obtiene el código de Gray,
como se muestra en la tabla de la Figura
2.10.(d), donde también se presenta la
relación entre los códigos
binario y de Gray.

FIGURA 2.10.(d). Tabla de los
CÓDIGOS BINARIO y GRAY

EJEMPLO 4. Utilizando el
mapa de Karnaugh,
determine las realizaciones
mínimas de suma de
productos de las siguientes
funciones:

a) F(A,B,C,D) =
Sumaminitérminos
(0,4,6,10,11,13)

b) F(A,B,C,D) =
Sumaminitérminos
(3,4,6,7,11,12,14,15)

c) F(A,B,C,D) =
Sumaminitérminos (1,3,6,8,9,11,15) +
Sumaindiferentes (2,13)

SOLUCION

A continuación se presentan los
mapas K para cada inciso,
así como las funciones mínimas,
siguiendo el procedimiento establecido
anteriormente. 

  De los mapas K, se obtienen
las funciones mínimas
siguientes:

  EJEMPLO 5. Se desea
diseñar un circuito lógico
combinatorio de dos salidas y
cuatro entradas que efectúe sumas
en módulo 4. La tabla de suma en
módulo 4 se muestra en
la tabla siguiente. Por ejemplo, (3+3)MÓD
4 = 2. En consecuencia, se anota un
2 en la hilera
3, columna
3 de la tabla (NOTA: no se
considera el acarreo), y así sucesivamente. Los
números de entrada se deben
codificar en binario, en donde un
número de entrada está dado por
X2X1 y el otro por
Y2Y1. La
salida también se codifica como
un número binario
Z2Z1. Es decir,
Z2Z1 = 00 si la
suma es 0; 01
si la suma es 1;
10 si la suma es 2 y
11 si la suma es
3.

   
Determinar las expresiones booleanas
mínimas para Z2 y
Z1 y realizar el
logigrama.

SOLUCION

    En este caso nos podemos ahorrar la
tabla funcional, puesto que podemos sustituir
los valores
directamente en el mapa K, de
acuerdo a la tabla de la suma de
módulo 4 siguiente:

  Para poder
trasladar los valores de
la tabla anterior a un mapa K
de 4 variables, se deben invertir las
columnas para X=2 y
X=3, así como las filas
para Y=2 y Y=3, como se muestra
en la siguiente tabla:

    Ahora, sí hay
coincidencia entre la tabla anterior y el mapa
K de 4 variables. La
figura anterior, muestra los valores de
Z, en el mapa K, en
función de X e
Y:

    Del mapa anterior se observa que
están implícitas
Z2 y Z1.
Por tanto, para poder
determinar las funciones
mínimas de Z2 y
Z1, lo trataremos en forma
individual. Realizando los mapas para
Z2 y Z1,
se obtiene:

 De los mapas anteriores, se obtienen las
siguientes funciones mínimas, las cuales
se reducen a relaciones de
EXCLUSIVIDAD. Asimismo, se presenta el
logigrama para
Z2 y
Z1.

Z2 =
X2'X1'Y2 +
X2X1'Y2 +
X2'Y2Y1' +
X2Y2'Y1' +
X2'X1Y2'Y1 +
X2X1Y2Y1
=
             
(1)
              
(2)
              
(3)
              
(4)
                  
(5)
                  
(6)

     =
X1'(X2'Y2 +
X2Y2') +
Y1'(X2'Y2 +
X2Y2') +
X1Y1(X2'Y2' +
X2Y2) =

     =
X1'(X2 OEXC Y2)
+Y1'(X2 OEXC Y2) +
X1X2(X2 OEXC Y2)'
=

Z2 = (X1' +
Y1')(X2 OEXC Y2) +
X1Y1(X2 OEXC Y2)' =
X1Y1 OEXC (X2 OEXC
Y2)

Z1 = X1Y1' +
X1'Y1 = X1 OEXC
Y1
         
(1)
          
(2)

Para ver el gráfico seleccione la
opción "Descargar" del menú
superior 

2.4 MAPAS DE
KARNAUGH DE 5 VARIABLES

Recordemos que para conseguir el mapa
de 5 variables, debe
proyectarse el mapa de 4
variables. El abatimiento es hacia la
derecha ya que el número de variables es
impar. La figura adjunta muestra la
proyección del mapa de 4
variables.

 Obsérvese que al mapa que se
proyecta se le antepone un 0 y al
proyectado un 1.
También, se ha asociado a cada
celda el número binario
correspondiente, el cual se obtuvo asignando el valor
binario a cada variable en dicha
celda.

  Sustituyendo el
número binario de cada
celda por su equivalente decimal, se obtiene el
mapa de Karnaugh para 5
variables que se empleará para
minimizar funciones de
conmutación de 5 variables
independientes. La figura adjunta presenta este
mapa.

 Para generar el código de
Gray para 5 variables,
se traza la greca de Gray sobre el mapa
K para 5
variables y se escribe el
código binario asociado a cada
celda.

La figura adjunta muestra la greca de
Gray sobre el mapa de Karnaugh de
5 variables.

A continuación se presentan
algunos ejemplos que muestran la
aplicación del mapa para la
minimización de funciones de
conmutación de 5 variables
binarias.

EJEMPLO 6. Minimice
las siguientes funciones, empleando el
método de Karnaugh:

F1 =
Sumaminitérminos
(0,1,3,8,9,11,16-17,19,24,25,29-31)

F2 =
Sumaminitérminos
(0-4,6,9,10,15-20,22,23,25,26,31)

SOLUCION

    Las siguientes figuras
presentan los mapas K para
F1 y
F2:

 Las funciones reducidas
son:

F1(A,B,C,D,E) = C'D' + B'C'D + ABCD +
A'BDE + ABD'E
                              
(1)           (2)
           
(3)
            
(4)
           
(5)

F2(A,B,C,D,E) = B'C' + B'E' + C'D'E +
C'DE' + AB'D + BCDE
                               
(1)       (2)
           (3)
         (4)
          (5)
         
(6)

EJEMPLO 7. Hay 5
personas que actúan como jueces en un
competencia dada. El voto de
cada uno de ellos se indica con un 1
(pasa) o 0
(fracasa) en un línea de
señal. Las 5 líneas de
señal son las entradas a un
circuito lógico combinacional. Las
reglas de la competencia
permiten sólo la
disensión de un voto. Si la
votación es 2-3 o
3-2, la competencia debe
continuar. El circuito lógico
debe tener dos salidas, XY. Si
el voto es 4-1 o
5-0 para pasar,
XY=11. Si el voto es
4-1 o 5-0 para
fracasar, XY=00; si el
voto es 3-2 o
2-3 para continuar,
XY=10.

    Diseñe un circuito
mínimo de suma de
productos.

SOLUCION

    La siguiente tabla
agrupa las condiciones del enunciado:

  En base a la tabla anterior, se
construye la siguiente:

    De la tabla
funcional, se obtienen las siguientes funciones
de conmutación canónicas:

X(A,B,C,D,E) =
Sumaminitérminos
(3,5-7,9-15,17-31)

Y(A,B,C,D,E) =
Sumaminitérminos
(15,23,27,19-31)

Reduciendo por mapas de Karnaugh: Para
mayor claridad, se presenta a
X(A, B,
C, D, E) en
dos mapas:

     El mapa para
Y(A, B,
C, D, E)
es:

Para ver el gráfico seleccione la
opción "Descargar" del menú superior

De los mapas anteriores se tienen las siguientes
funciones reducidas:

X(A,B,C,D,E) = DE + BC + AB + AC + AE + AD + CE
+ CD + BE +
BD
                            
(1)      (2)
      (3)     
(4)      (5)     
(6)       
(7)      (8)
     (9)    
(10)

Y(A,B,C,D,E) = ABCE + ABCD + ACDE + BCDE +
ABDE
                               
(1)           
(2)           
(3)           
(4)           
(5)

El logigrama se presenta en la
siguiente figura:

Para ver el
gráfico seleccione la opción "Descargar" del
menú superior

2.5 MAPAS DE KARNAUGH DE 6
VARIABLES

    Siguiendo el mismo criterio para la
obtención de los mapas anteriores,
proyectando el mapa inmediatamente anterior, se
obtiene el mapa K para 6
variables:

Para ver el gráfico seleccione la
opción "Descargar" del menú superior

EJEMPLO 8. Minimizar las siguientes
funciones por el método de
Karnaugh:

a) Z = Sumaminitérminos
(7,14,28,56) + Sumaindiferentes
(0-6,8-13,16-27,29,32-55,57-59,61)

b) Z = Prodmaxitérminos
(15,30,31,60, 62,63) Prodindiferentes
(0-6,8-13,16-27,29,32-55,57-59,61)

SOLUCION

    Obsérvese que
las funciones, en ambos incisos, son las
mismas, una expresada como
minitérminos y la otra como
maxitérminos. Las siguientes figuras
muestran los mapas para los incisos
a) y b),
respectivamente:

Para ver el gráfico seleccione la
opción "Descargar" del menú superior

De los mapas anteriores, se obtienen las siguientes
funciones reducidas:

Z(A,B,C,D,E,F) = C' + D' + A'E' +
B'F'
                             
(1)    (2)      
(3)       
(4)

Z(A,B,C,D,E,F) = (C' + F') (B' + E')(A' + B' +
D')
                                   
(1)
           
(2)
             
(3)

2.6 EJERCICIOS

1. Minimice las
siguientes funciones booleanas, utilizando el
método de Karnaugh:

a) f(A,B,C,D) =
Sumaminitérminos
(0,4,6,10,11,13)

b) f(w,x,y,z) =
Prodmaxitérminos
(3,4,5,7,11,12,14,15)

c) f(a,b,c,d) =
Sumaminitérminos
(3,5,7,11,15)

d) f(A,B,C,D,E) =
Prodmaxitérminos
(0,1,2,8,9,11,15-19,24,25,29-31)

e) f(A,B,C,D,E,F) =
Sumaminitérminos
(0,2,4,5,7,8,16,18,24,32,36,40,48,56)

2. Un número primo es aquel
que sólo es divisible entre si mismo y la
unidad. Diseñe un
circuito lógico
mínimo que detecte todos los
números primos entre 0 y 31. La
salida F(A, B,
C, D, E),
donde A es la variable de mayor peso
binario, será igual a 1, si y
sólo si los cinco bits de entrada
representan un número primo.
Realice el logigrama utilizando
inversores y compuertas No
Y.

3. En uno de los laboratorios de una
compañía químico farmacéutica se
elaboran 14 distintas soluciones a partir de las
componentes W, X,
Y y Z. Estas sustancias pesan
800, 400, 200
y 100 mg, respectivamente. Las soluciones
depositadas en frascos se transportan por medio de una banda
hasta una báscula. Si el peso indicado en la
báscula es uno de los siguientes:
200, 500, 700,
800, 1100,
1400 o 1500 mg, entonces un
dispositivo electromecánico F,
después de agregar al compuesto la sustancia
Q, sellará el frasco sobre
la báscula y lo apartará de la banda; de otro modo,
el frasco permanecerá abierto y la banda
lo transportará hacia otra etapa del proceso.
Además, por las condiciones previas del
proceso, no es posible que lleguen a la
báscula ni frascos vacíos, ni
frascos que contengan las siguientes sustancias:
WY, YZ, WX o
WZ; todas las demás combinaciones
sí pueden llegar hasta la
báscula.

Determinar la función
booleana del circuito combinatorio L
que acciona el dispositivo F y minimizar
haciendo uso de condiciones
irrelevantes. Realizar el circuito mediante
inversores y compuertas No
O.

4. En la torre de control de un
patio de ferrocarril,un controlador debe seleccionar la ruta de
los furgones de carga que entran a una sección del patio,
mismos que provienen del punto A, como puede
verse en el tablero de control de la
figura adjunta. Dependiendo de las posiciones de los
conmutadores, un furgón puede llegar a uno cualesquiera de
los cuatro destinos. Otros furgones pueden llegar desde
los puntos B o C.

Diseñe un circuito, con
inversores y compuertas No O,
que reciba como entradas las señales
S1 a S5,
indicadores de
las posiciones de los conmutadores correspondientes, y que
encienda una lámpara D0 a
D3, indicando el destino al que
llegará el furgón proveniente de
A.

Para los casos en que los furgones puedan entrar de
B o C
(S2 o S3
en la posición 0), todas las
lámparas de salida deben encenderse,
indicando que un furgón proveniente de A,
no puede llegar con seguridad a su
destino.

NOTA: S1
bit de mayor peso binario.

5. Un circuito lógico tiene
5 entradas A,
B, C, D y
E (donde A es la de mayor peso
binario). Cuatro de las entradas
representan un dígito decimal en BCD
(Decimal Codificado en
Binario, por sus siglas en
inglés). La primera entrada, A, es
de control.

Cuando el control está en 0
lógico, la salida Z e igual a
0 si el número decimal es impar
y 1 si es par.

Cuando el control está en 1
lógico, la salida Z es igual a
1 cuando la entrada en múltiplo
de 3, en caso contrario es
0.

Considerando las condiciones
irrelevantes, diseñe un circuito
mínimo utilizando sólo inversores
y compuertas No O.

NOTA: Considere al 0 como un número
par.

6. Un técnico de un laboratorio
químico tiene 4 productos
A, B, C y
D. Cada producto debe
encontrarse en uno cualesquiera de dos recipientes de
almacenamiento.

Periódicamente, se requiere cambiar uno o
más productos de
un recipiente a otro. La naturaleza de los
productos es tal, que es peligroso guardar A y
B juntos a menos que D
esté presente en el mismo recipiente. También es
peligroso almacenar B y C
juntos a menos que D esté
presente.

Este proceso no permite que alguno de
los tanques esté vacío.

Obtener el circuito mínimo de la
expresión de una variable Z que
deberá tener el valor de 0 para cada
situación peligrosa de almacenamiento, utilizando
sólo inversores y compuertas
No O.

NOTA: Considere a A como la variable de mayor
peso binario.

7. Un posicionador de eje, proporciona
una señal de 4 bits que indica la
posición de un eje en pasos de
30°. Utilizando el
código de Gray, el cual se muestra en la
siguiente tabla, diseñe un circuito
(realización mínima de suma de productos)
que produzca una salida que indique en dónde se encuentra
el eje.

Obtenga el
logigrama utilizando inversores y
compuertas No Y.

8. Obtener el diagrama
lógico mínimo, con inversores y
compuertas No O, de un circuito de
5 entradas: Dos de datos
A y B y tres
de control C2,
C1 y
C0.

 La función de salida depende de los
ocho posibles estados de las señales de
control, de acuerdo a la siguiente tabla:

Considere a
C2 y A como las
variables de mayor peso binario, respectivamente.

9. El sistema nervioso
humano, incluyendo el cerebro,
está hecho de células
especializadas llamadas neuronas. Cada
neurona tiene sinapsis (puntos
de interconexión, como se muestra en la figura
adjunta) de excitación y sinapsis
de inhibición. Una neurona
produce una salida 1 si el número de
sinapsis de excitación con pulsos
1 excede el número de
sinapsis de inhibición con pulsos
1 por al menos el valor
de umbral de la neurona.

Determine la función booleana
f(a,b,c,d,e)
de emisión de pulsos a través del canal de salida
(axón) en el modelo de la
figura, bajo las siguientes condiciones:

(C1) Valor del
umbral = 1 [es decir, se produce una salida
1 si el número de sinapsis de
excitación con pulsos 1,
excede por al menos uno el
número de sinapsis de inhibición
con pulsos 1], y

(C2) Siempre que haya al
menos un pulso 1 en alguna sinapsis del
puerto de excitación, habrá al menos un
pulso 1 en alguna sinapsis del puerto de
inhibición [es decir, no es
posible –en este modelo
restringido– que existan pulsos 1 en
el puerto de excitación si no existe al
menos un pulso 1 en el puerto de
inhibición].

Minimizar
f(a, b,
c, d, e)
haciendo uso de las condiciones irrelevante
(C2). Realizar el
logigrama utilizando inversores
y compuertas No Y.

10. Textura es la
organización de una superficie como un conjunto de
elementos repetidos. En un proceso
automático para clasificar texturas artificiales, un
sensor de 4 puntos (figura adjunta)
envía señales a un circuito combinatorio cuya tarea
es discriminar (emitiendo pulsos
1) los siguientes elementos:

 En todos los casos que inspecciona el sensor
se activan al menos 2 puntos de la rejilla (es
decir, no se presentan casos en los cuales se
activa tan solo un punto
ni casos en los que no se activa
ningún elemento)

Minimizar la función booleana
f(a,b,c,d,e)
a la salida del circuito discriminador, haciendo uso de las
condiciones irrelevantes.
Realizar el circuito mediante
inversores y compuertas No
O.

11. En una fábrica un
dispositivo con 5 fotoceldas (figura
adjunta), registra los caracteres formados abriendo
pequeñas ranuras en una tarjeta de control.
Si en la tarjeta registrada hay uno de los
símbolos:

(Para el símbolo I son
válidas las dos posiciones), entonces el dispositivo
acciona un taladro.

En el proceso no hay tarjetas con
alguno de los caracteres adjuntos:

(Todos los caracteres restantes si son
válidos)

¿Cuál es la función booleana a la
salida del dispositivo que acciona el taladro?
Minimizar la función y realizar el
logigrama utilizando sólo
inversores y compuertas No
Y.

  12. Se desea
diseñar e instrumentar
un circuito combinatorio mínimo de dos entradas con dos
bits cada una, sobre las cuales se codifican dos de los
cuatro tipos de sangra existentes y a su salida se
obtenga una señal que informe sobre la
posibilidad o imposibilidad de la
transfusión de uno de ellos sobre el otro, dadas
las siguientes reglas de compatibilidad entre ellos.

Los tipos de sangre son
4: A, B,
AB y O.

El tipo O puede donar
a cualquier otro tipo, pero sólo puede
recibir de él mismo.

El tipo AB puede
recibir de cualquier otro tipo pero sólo
puede donar a AB.

La clase A puede donar
a A o a AB y
recibir de A u
O únicamente.

Por último, el tipo B puede
donar al mismo B o al tipo AB y
recibir de B u
O.

La señal de salida deberá ser
1 cuando la transfusión propuesta en las
entradas sea permitida.

Realizar el
logigrama utilizando
inversores y compuertas No
O.

13. En un sistema de
detección luminosa que tiene el arreglo
mostrado en la figura adjunta, se genera una
señal de salida con valor de
1 únicamente cuando dos
fotoceldas adyacentes están activadas, siempre y
cuando la fotocelda del centro esté también
activada.

NOTA: No es posible, en este sistema, que
exista una señal de salida 0 o 1 si no hay al
menos tres fotoceldas activadas.

Considerando a A como la variable
más significativa, obtener el
logigrama mínimo,
considerando las condiciones indiferentes y
utilizando sólo inversores y compuertas
No Y.

 14. Un robot de juguete -llamado
U-2– está diseñado para ser
capaz de seguir una trayectoria (previamente programada por medio
de controles que el robot tiene en la espalda) avanzando cuadro
por cuadro en una área de 5×6 cuadros. El
robot U-2 puede realizar
una de las cuatro acciones
siguientes:

(D) Girar (sobre su eje vertical)
90° a la derecha y luego avanzar al
centro del siguiente cuadro si su pequeño
cerebro recibe
la señal binaria 01.

(I) Girar 90° a la
izquierda y luego avanzar al centro del siguiente cuadro
si su diminuto cerebro percibe la señal binaria
10.

(F) Avanzar al frente un
cuadro si su cerebro recibe la señal
00.

(A) Hacer
alto si su cerebro recibe la señal
11.

Programar el robot para que recorra el
laberinto de la Figura (a). Determinar
las funciones booleanas del par de estímulos
binarios que recibe el minicerebro del robot durante
este recorrido y minimizarlas mediante mapas de
Karnaugh. (En este problema hay
condiciones irrelevantes -parte de la solución
consiste en encontrarlas).

Los controles en la espalda del
U-2 están localizados en dos
áreas: En el área
I se indicará el cuadro inicial mediante
los controles de dos posiciones a,
b, c, d y
e [como se muestra en la Figura
(c)]; si el control a se presiona del
lado derecho, el peso de la variable a se
contabilizará para determinar el número asignado al
cuadro inicial (lo mismo ocurrirá para el resto de las
variables). En el área II se programa la
trayectoria por medio de 30 controles de tres
posiciones cada uno.

Mabel Gonzales Urmachea