Indice
1.
Introducción
2. Componentes de un
SAF
3. El teorema de indecidibilidad de
Gödel
4. Conclusión
En el siguiente trabajo se va a dar una breve
reseña de algunos de los diferentes teoremas, existentes
para la lógica
y la matemática dando una descripción de forma rápida y
precisa acerca de estos teoremas; Entre ellos el teorema de godel
y su teorema de incompletitud Sobre proposiciones formalmente
indecidibles en los Principia Matemática
y sistemas
análogos, además de sus aportes al sistema MIU.
Otro tema también explorado es el de los sistemas
axiomáticos formales el cual se define por medio de una
definición explicita e implícita y se ve regido por
una serie de teoremas.
Las ciencias
formales y las fácticas también son de gran
interés
debido a estas contiene una serie de reglas o proposiciones para
que estas ciencias se
puedan llamar ciencias formales y fácticas.
Los sistemas axiomáticos formales
Las cuatro condiciones de Pasch (1882). Primera
axiomatización de la geometría.
Sistemas anteriores. Casos paradigmáticos:
lógica
y aritmética. Los conceptos de los sistemas anteriores se
aluden en tanto su poder
operativo y su verdad material. Intento de reducir todos los
sistemas anteriores a la misma teoría
axiomatizada, para que sea autosuficiente. (cf. infra)
Vocabulario. ¿Lenguaje
natural o lenguaje
formal?
- Términos lógicos. Dependen de la
lógica subyacente: conectivas y cuantificadores, (signos
auxiliares). - Términos no lógicos. Variables y
constantes de individuo, predicado, etc.
Primitivos: los que aparecen en los axiomas.
Definición por postulados, definición
implícita (Gergonne). El único significado/sentido
de los términos es el asignado por sus relaciones. A veces
sólo podemos establecer un significado relacional, no
explícito. Los postulados no son valuables, son
sólo funciones
proposicionales.
Definidos. Son definidos en función de
los términos primitivos, que son aquellos que aparecen en
los axiomas o postulados.
Reglas de formación. Se trata de reglas sintácticas
que especifican aquellas fórmulas que son parte del
sistema, a las
que se denomina fórmulas bien formadas. Cfr.
Lógica, definición recursiva de fórmula.
Reglas de transformación. Se trata de las reglas
lógicas utilizadas en las demostraciones, que
permitirán el paso de los axiomas a los teoremas. Propiedad: Las
reglas pueden o no ser correctas, i.e., transmitir además
de la teorematicidad la verdad semántica. Si las reglas
son correctas, todos los teoremas son también
tautologías. Por ej., modus ponens.
Axiomas. Finitos en la teoría
clásica, hoy infinitos (cfr. teorema de Craig, no todos
los axiomas son factibles de sistematizarse en axiomas esquema).
Axiomas esquema; evitan la cuantificación de segundo grado
(cfr. principio de inducción matemática en la
axiomatización peaniana de la
aritmética).
Teoremas Infinitos.
- Sistemas equivalentes. La indefinibilidad y la
indemostrabilidad no son propiedades absolutas. Dos sistemas
son equivalentes cuando cualquier proposición del uno
pueden ser demostrada con ayuda de las del otro, y viceversa, e
igual para indefinibles. - Sistemas debilitados. Incluyen más, demuestran
menos. - Sistemas saturados. No admiten más postulados
independientes.
Semántica
- Interpretación. (Función
interpretación: I: L —> D; a cada cte de L se le
asigna una entidad de D -real o imaginaria). Versión
más amplia: asigna no entidades, sino meramente
significado. Puede no hacer verdaderos a todos los
axiomas. - Modelo. Realización concreta de la
axiomática. Hace verdaderos a todos los
axiomas.
Modelos isomorfos. Igual estructura
lógica. Ejemplo Nagel: figuras, nombres y
números.
Propiedades de un sistema axiomático.
- Consistencia. Los sistemas inconsistentes no revisten
interés. Toda fórmula tiene
prueba: EFSQ.
–Pruebas de
consistencia
- Relativa. Oración condicional:
interpretación del sistema cuya consistencia se quiere
probar en uno cuya consistencia se supone. - Absoluta.
- Semántica. Encontrar un modelo. Si
tiene modelo, es
consistente. ¡Ojo! Sólo en un sistema completo es
cierto que "si es consistente, tiene modelo"
(formulación del teorema de completitud). - Sintáctica. Existe una fórmula que no
es teorema. - Completitud. Dadas dos proposiciones contradictorias,
al menos una es teorema. Versión semántica: en un
sistema completo, todas las tautologías son
teoremas. - Decidibilidad. Existe un procedimiento
algorítmico para probar si una fbf es o no teorema del
sistema. - Categoricidad. En presencia de una fbf cualquiera, es
posible demostrarla o refutarla. - Satisfacibilidad. Es posible encontrar una
interpretación que haga verdaderos a los axiomas.
(Modelo).
Independencia de los axiomas y de los términos
primitivos. No es posible definirlos en función de los
otros.
- Pruebas de independencia.
- Sintáctica. El postulado no es teorema del
sistema. - Semántica. Existe un modelo que hace
verdaderos a los otros axiomas y falso a ése. 2.8.
Ejemplos de SAF’s
La aritmética de Peano (1889). Consta de
sólo 5 axiomas y tres términos primitivos
(número, cero y sucesor de). El axioma de inducción matemática requiere una
cuantificación de segundo grado.
La geometría
euclidiana de Hilbert (1899). Consta de 21 axiomas organizados en
5 grupos de acuerdo
a los teoremas que delimitan: de la geometría proyectiva
(8), topológicos (4), de congruencia (6), de las paralelas
(1), de continuidad (2).
Propiedades
- Consistencia relativa a la
aritmética. - Independencia de los axiomas de continuidad. Hilbert
creó una geometría no arquimediana. - La teoría de conjuntos de
Zermelo (1908). Consta de 7 axiomas.
Surgimiento de la metateoría, sus principales
alcances y descubrimientos.
Distintas corrientes
En el siglo XIX están presentes dos corrientes: por un
lado, Boole y su escuela intentan
crear sobre el modelo algebraico un cálculo
lógico. Por el otro, la escuela italiana
(Peano…) persigue la idea de crear un cálculo
lógico para la matemática. Esto desemboca en la
idea de una axiomática presentada únicamente bajo
la forma simbólica. En este sentido, cobra vigor la idea
de reemplazar el razonamiento por el cálculo; ahora los
símbolos no hacen referencia a nada: son los objetos
últimos.
El encuentro de la escuela de Boole con la corriente de
axiomatización de la geometría es significativo. La
lógica se axiomatiza y la axiomática deviene un
cálculo.
La axiomatización de la lógica
El proyecto
logicista de Frege, Russell y Whitehead pretendía reducir
la matemática a la lógica, estando ésta
última axiomatizada. Éste es justamente el objetivo de
los Principio Matemático de los dos últimos. Pero
el ideal de Russell era el de una lógica absoluta, cuyos
principios
fueran intelectualmente evidentes, un fundamento último.
Con esto, la matemática dejaba de ser hipotético
deductiva: volvía a hacer afirmaciones
categóricas.
Pero esta perspectiva no fue la que predominó. Hacia 1920,
pasó con la lógica lo mismo que había pasado
con la geometría: como consecuencia de su
axiomatización, se pluralizó. Se transforma en este
sentido en un SAF y como tal la lógica clásica no
tiene por qué predominar sobre las nuevas lógicas.
Ahora bien, ¿a qué sistema anterior recurre para
basar su funcionamiento? ¿No es ella misma el sistema
último? Surge entonces la necesidad de una
metateoría que dé cuenta de las relaciones
lógicas mismas con las que la lógica es construida.
Pero esta disciplina no
puede siempre expresarse en el seno de la misma lógica,
por ejemplo, la licencia de reemplazar variables en
una fórmula no puede ser expresada en un lenguaje
simbólico que no la presuponga. No puede evitarse el
recurrir a un nivel superior del lenguaje, el cual se
conformará en el seno de la denominada metalógica,
la cual no será sino un discurso sobre
el cálculo lógico, sobre su sintaxis y las reglas
para su interpretación. Estas nociones se tomarán
siempre en su sentido intuitivo. De desear la
axiomatización de este metalenguaje, nos toparíamos
con la necesidad de articular un nuevo metalenguaje del
metalenguaje. Nunca podremos eliminar definitivamente la
intuición.
Propiedades de los sistemas lógicos
La lógica proposicional es completa y decidible. Es decir,
la noción de esquema de argumento de la lógica
proposicional válido es decidible y la tautologicidad
está toda reflejada en la teorematicidad.
La lógica de predicados es completa, pero indecidible en
su conjunto (Teorema de Church). Sólo es decidible el
subconjunto que corresponde a las operaciones con
predicados de una sola posición, es decir, de propiedad. Al
ser completa, queda claro que existen verdades semánticas,
que a la vez son teoremas, pero no existe un procedimiento
algorítmico que nos permita decidir sobre su
teorematicidad. Lindström probó también que
cualquier ampliación de la lógica de predicados
indefectiblemente perderá alguna entre dos de sus
metapropiedades: la completitud o la expresada en el teorema de
Löwenheim, que se refiere a la indiferencia de este lenguaje
a los distintos tipos de infinitos (enumerables y no
enumerables).
La lógica de orden superior es incompleta. En ella es
posible formalizar un sistema como la aritmética (cf. los
axiomas de Peano), cuya esencial incompletitud fue testimoniada
por los descubrimientos de Gödel de 1931.
El sistema axiomático MIU
El sistema axiomatico MIU esta tomado del libro:
"Godel, Escher y Bach: un Eterno y Gracil Bucle", Douglas R.
Hofstadter. Tusquets editores.
El sistema es utilizado por el autor para explicar los sistemas
formales planteando al lector
Varios juegos y
acertijos sobre él. El lenguaje
sobre el que del sistema axiomático es el lenguaje
universal sobre el alfabero <>{M,
I,U<>}.
Axioma: MI
Reglas de inferencia: Son cuatro (esquemas de) reglas de
inferencia:
R1 De αI se deriva
αIU
R2 De Mα se deriva Mαα
R3 De αIIIβ se deriva αUβ
R4 De αUUβ se deriva αβ
Las variables α y β representan cadenas de
símbolos
Proposición 1 Si A es un teorema de MIU, entonces
A = Mα siendo α una cadena que no
incluye el sνmbolo M.
Teorema 2 Décimos que la aplicación I : MIU . N
como sigue: .(M) = 0, .(I) = 1, .(U) = 3,
.(s1 .
. . sn) = .(s1) +…+ .(sn). Sea A = Mα en donde
α es una cadena que no incluye el
símbolo M; entonces A es teorema si y solo si .(A) no es
múltiplo de 3.
Condición necesaria en el teorema 2
Demostramos la condición necesaria por inducción
estructural:
(i) .(MI) = 1 no es múltiplo de 3
(ii) Supongamos que A es un teorema; distinguimos las siguientes
casos:
1. Si A = αI y .(αI) no es
mϊltiplo de 3, entonces
.(αIU) = .(αI) + 3 tampoco es
mϊltiplo de 3.
2. Si A =
Mα y .(Mα) no es mϊltiplo de 3,
entonces .(Mαα) = 2.(Mα) tampoco
es
múltiplo de 3.
3. Si A
= αIIIβ y .(αIIIβ) no es
mϊltiplo de 3, entonces
.(αUβ) = .(αIIIβ)
tampoco
es múltiplo de 3.
4. Si A =
αUUβ y .(αUUβ) no es mϊltiplo de 3,
entonces I(αβ) = I(αUUβ)
– 6
Tampoco es múltiplo de 3.
Por lo tanto, todo teorema A veri.ca que .(A) no es
múltiplo de 3.
Condición necesaria en el teorema 2
Como es habitual, la demostración de la completitud,
enunciada por la condición suficiente,
es mas complicada, ya que supone la construcción de una demostración
espec´ý.ca en el sistema
axiomático para cada formula A verificando que .(A) no es
múltiplo de 3. Vamos a utilizar el
siguiente lema:
Lema 3 Para cada n . N* se veri.ca las siguientes
congruencias:
22n = 4(mod6) 22n-1 = 2(mod6)
1N es el conjunto de valores
semánticos, el conjunto de los naturales no
múltiplos de 3 son los valores
destacados y <>{.<>} es el
conjunto de interpretaciones
La demostración de este lema es trivial. 2 = 2(mod6) y 22
= 4(mod6). Por otra parte, si
2n = 2+6k, entonces 2n+1 = 2*2+2*6k = 4+6m; si 2n = 4+6k,
entonces 2n+1 = 2*4+2*6k =
8 + 6m = 2+6(m + 1).
Ya podemos abordar la demostración de la condición
suficiente. Sea A una formula tal que
.(A) no es múltiplo de 3; entonces se veri.ca una de las
siguientes cuatro congruencias:
.(A) = 1(mod6) .(A) = 2(mod6) .(A) = 4(mod6) .(A) = 5(mod6)
Para cada caso, construimos la correspondiente
demostración. Concretamente, vamos a construir
una demostración para MI . . . . . . I ya que a partir de
ella, y con la
_ __ _
.(A)
regla R3, podemos sustituir los grupos de les
necesarios hasta obtener obtener A.
ya que a partir de ella, y con la regla R3, podemos sustituir los
grupos de Ies necesarios hasta obtener obtener A.
1. Si .(A) = 1+6m tomamos el primer natural n tal que 2n >
.(A) y 2n = 4+6k. Entonces
2n – .(A) = 3+6(k – m). La demostraci´on de A es la
siguiente:
(1) MI Axioma
…
(n) MI . . . . . . I
_ __ _
2n
(n – 1) veces R2 sobre (1)
(n + 1) MI . . . . . . I
_ __ _
.(A)
I . . . . . . I
_ __ _
(3+6(k-m))
U R1 sobre (n)
…
_ __ _
.(A)
U . . . . . . U
_ __ _
2(k-m+1)
(2(k – m) + 1) veces R3 sobre (n + 1)
…
(_ + k – m + 1) MI . . . . . . I
_ __ _
.(A)
(k – m + 1) veces R4 sobre (_)
2. Si .(A) = 2+6m tomamos el primer natural n tal que 2n >
.(A) y 2n = 2+6k. Entonces
2n – .(A) = 6(k – m). La demostración de A es la
siguiente:
3
(1) MI Axioma
…
(n) MI . . . . . . I
_ __ _
.(A)
I . . . . . . I
_ __ _
(6(k-m))
(n – 1) veces R2 sobre (1)
…
(_) = (n + 2(k – m)) MI . . . . . . I
_ __ _
.(A)
U . . . . . . U
_ __ _
2(k-m)
2(k – m) veces R3 sobre (n + 2)
…
(_ + k – m) MI . . . . . . I
_ __ _
.(A)
(k – m) veces R4 sobre (_)
3. Si .(A) = 4+6m tomamos el primer natural n tal que 2n >
.(A) y 2n = 4+6k. Entonces
2n – .(A) = 6(k – m). La demostración de A es la misma que
para el caso anterior.
4. Si .(A) = 5+6m tomamos el primer natural n tal que 2n >
.(A) y 2n = 8+6k. Entonces
2n – .(A) = 3+6(k – m). La demostración de A es la misma
que para el primer caso.
Ejemplos:
— MU no es un teorema ya que .(MU) = 3
— MUII es un teorema ya que .(MUII) = 5; la
demostración es
1. MI Ax.
2. MII R2 sobre 1
3. MIIII R2 sobre 2
4. MIIIIIIII R2 sobre 3
5. MIIIIIIIIU R1 sobre 4
6. MIIIIIUU R3 sobre 5
7. MIIIII R4 sobre 6
8. MUII R4 sobre 7
— MUIUI es un teorema ya que .(MIUIU) = 8; la
demostración definida por el resultado
de completitud es
1. MI Ax.
2. MII R2 sobre 1
3. MIIII R2 sobre 2
4. MIIIIIIII R2 sobre 3
5. MIUIIII R3 sobre 4
6. MIUIU R3 sobre 5
4
La demostración dada en la prueba de completitud
no tiene por que ser la única ni la más sencilla;
por ejemplo, en este caso podemos dar una demostración
más simple:
1. MI Ax.
2. MIU R1 sobre 1
3. MIUIU R2 sobre 2
3. El teorema de
indecidibilidad de Gödel
Los teoremas de indecidibilidad y de incompletud de
Gödel imponen a los matemáticos la conclusión
de que los métodos
axiomáticos tienen algunas limitaciones intrínsecas
que declaran, por ejemplo, que incluso la aritmética
ordinaria no puede ser totalmente axiomatizada, o que la
mayoría de los campos más significativos de las
matemáticas no pueden estar libres de
contradicciones internas. Si pudiésemos refutar los
teoremas limitativos, podríamos restaurar las brillantes
alternativas propuestas por Leibniz y Hilbert.
El primero de los teoremas limitativos de Gödel, o
teorema de indecidibilidad, tiene el número VI en el
artículo original del autor en la referencia [1], puesto
que, para llegar a ese teorema, él muestra un largo
desarrollo
dentro de la teoría de "funciones
recursivas primitivas".
Este teorema exige que, en el sistema P (de Principia
Matemática aumentado con los axiomas de Peano), hay
siempre alguna sentencia tal que ni ella ni su negación
son deducibles en el sistema.
Las "funciones recursivas primitivas" juegan un papel
fundamental en la matemática, debido a que se acepta en
forma general que su uso constituye el equivalente formal de un
"método
eficaz finito" para calcular o probar algo; en otros
términos, significa lo mismo que lo que acostumbramos
llamar "algoritmo". La
noción de verdad matemática tiene este carácter,
de forma que cualquier ser humano es capaz de reproducir un
resultado (matemático).
Uno de los corolarios del teorema de indecidibilidad, el
teorema de incompletud, establece que la axiomatización,
de cualquier sistema formal que contenga, por lo menos, la
aritmética elemental, no puede completarse, a menos que se
haga inconsistente. La influencia de este teorema en la informática reposa en el hecho de que un
programa de
computación es directamente expresable en,
o traducible a, lógica (por ejemplo en lenguaje PROLOG)
que es un sistema formal. La respuesta, a la pregunta de
¿qué pasaría si, por accidente, nosotros
completásemos la axiomatización de la
aritmética dentro de un programa?, es que
nosotros podríamos obtener absolutamente cualquier
respuesta, debido a que eso es lo que pasa cuando está
presente una contradicción lógica dentro de un
sistema formal. Por lo cual nosotros siempre tendríamos
dudas acerca de la confiabilidad de la computación.
Se ha establecido el dilema de dejar de usar la regla de
la inducción matemática o de dejar de aceptar el
teorema de Gödel. Se sugiere que se use esta regla muy
natural dentro de los sistemas formales, que es la regla de
inducción, para evitar el efecto de los teoremas de
Gödel.
Teorema de Incompletud, publicado en 1931 en
Uber formal unentscheidbare Sätze der Principia Mathematica
and verwandter Systeme (Sobre proposiciones formalmente
indecidibles en los Principia Matemática y sistemas
análogos). Este teorema demuestra que en cualquier sistema
matemático, (aunque el título se refiere al sistema
de los Principia Matemática de ), hay proposiciones que no pueden
ser probadas, ni rechazadas, dentro de los axiomas del sistema.
Dicho de otra manera: No se puede probar la consistencia de los
axiomas.
Más claro: Dado un conjunto de axiomas, CUALQUIERA,
existirán proposiciones, que NO se podrán
demostrar.
Este teorema es un hito en las matemáticas. Durante años se
había intentado establecer un conjunto de axiomas en el
que se pudiesen basar todas las matemáticas.
Bertrand Russell lo intentó en
Principia Matemática,
Hilbert también lo intentó y
Gödell demostró que la tarea era
imposible.
Este teorema demuestra que un ordenador nunca
podrá ser programado para responder a cuestiones
matemáticas.
Ciencia formal
y ciencia
fáctica
Teniendo en cuenta de que no toda investigación científica procura
el
conocimiento objetivo, el
objeto de estudio y el método por
el que se ponen a prueba los enunciados verificables, podemos
efectuar esta división entre ciencias formales -o ideales-
y ciencias fácticas -o materiales-.
Las ciencias formales: como la lógica y la
matemática poseen conocimientos racionales,
sistemáticos y verificables pero que no son objetivos ya
que no proveen informaciones acerca de la realidad por no
ocuparse de "hechos". Estas ciencias tratan entes ideales que
solo existen en la mente humana. Estos lógicos y
matemáticos construyen sus propios objetos de estudio como
pueden ser las figuras geométricas, los números,
etc. Es por eso que se dice que la materia prima
que emplean no es fáctica sino ideal. Es por esta
modalidad de inventar entes formales y establecer relaciones
entre ellos que a la lógica y a la matemática se
las llama "ciencias formales". Los enunciados de las ciencias
formales consisten en relaciones entre signos y el método
por el cual se ponen a prueba los enunciados verificables es la
"lógica", con la cual podrán demostrar
rigurosamente sus teoremas. En matemática por ejemplo la
verdad consiste en la racionalidad, es decir, en la coherencia
del enunciado dado con un sistema de ideas admitido previamente.
Se debe tener en cuenta que las ciencias formales: demuestran o
prueban y que sus teorías
pueden ser llevadas a un estado de
perfección o estancamiento y su estudio puede vigorizar el
habito de rigor.
Las ciencias fácticas: son totalmente diferentes.
Sus enunciados refieren en su mayoría a entres
extracientificos: sucesos y procesos y
necesitan de la observación y experimentación para
confirmar sus conjeturas. Las ciencias fácticas deben
mirar las cosas y procurar cuando sea posible, cambiarlas para
intentar descubrir en que medida sus hipótesis se adecuan a los hechos. En las
ciencias fácticas no se emplean símbolos
vacíos (variables lógicas) como en las formales,
sino símbolos interpretados. En las ciencias
fácticas la racionalidad es necesaria pero no suficiente,
ya que se exige que los enunciados sean verificables en la
experiencia para poder ser
considerados verdaderos, porque para afirmar que un enunciado es
verdadero se requieren datos
empíricos. La experiencia solo nos dirá que la
hipótesis en
cuestión es probable ya que un estudio posterior
podría indicar algo diferente. Se debe tener en cuenta que
las ciencias fácticas: verifican, confirman o disconfirman
hipótesis, en su mayoría,
provisorias. La demostración es completa y final pero la
verificación es incompleta y por ello temporaria. El mismo
método científico impide la confirmación
final de las hipótesis
fácticas y el estudio de estas ciencias puede hacer que
consideremos al mundo como inagotable.
Los rasgos esenciales del tipo de conocimiento
que alcanzan las ciencias fácticas son la racionalidad y
la objetividad.
Un conocimiento
es racional cuando:
- Esta constituido por conceptos, juicios y raciocinios
y no por sensaciones, imágenes
o pautas de conducta y
tanto el punto de partida como el punto final son
ideas; - Esas ideas pueden combinarse de acuerdo a un conjunto
de reglas lógicas, para producir nuevas ideas, usando la
deducción, y que serán nuevas puesto que
expresaran conocimientos nuevos de los que no se tenia conciencia
antes de efectuar la deducción. - Estas ideas se organizan en sistemas de ideas, en
conjuntos
ordenados (teorías).
Un conocimiento es objetivo cuando:
- Concuerda aproximadamente con su objeto, es decir,
busca alcanzar la verdad fáctica - Verifica la adaptación de las ideas a los
hechos mediante la observación y la
experimentación.
Principales características de las ciencias
fácticas
- El conocimiento
científico es fáctico: parte de los hechos,
los respeta y siempre vuelve a ellos. La ciencia
intenta describir los hechos como son, avalorativamente. Los
enunciados fácticos confirmados se llaman "datos
empíricos", se obtienen con ayuda de teorías y
son a su vez la materia
prima de la elaboración teórica. Nos siempre es
posible respetar los hechos al analizarlo ya que a veces queda
modificado por la perturbación del experimento pero
dichos cambios serán objetivos
debido a que los científicos intentaran estimar la
desviación o el error producidos por su
intervención. - El conocimiento
científico trasciende los hechos: descarta hechos,
produce nuevos hechos y los explica. La investigación científica no se
limita a los hechos observados: se va mas allá de la
realidad, se rechazan el grueso de los hechos percibidos, se
seleccionan los relevantes, se controlan hechos y en lo posible
se reproducen; incluso producen cosas nuevas. Pero los
científicos no aceptan nuevos hechos a menos que puedan
constatar su autenticidad para lo que se fundan en la
experiencia colectiva y en la teoría, no así en
la experiencia individual. La principal fuente de
descubrimiento de nuevos hechos es: su elaboración
teórica y la comparación de las consecuencias de
las teorías con los datos observacionales. - La ciencia es analítica: la investigación científica aborda
los problemas
uno a uno y trata de descomponerlo todo en elementos. Trata de
entender la situación total e intenta descubrir los
elementos que componen cada totalidad y sus interconexiones.
Los resultados de la ciencia
son generales. La ciencia autentica no es atomista ni
totalista. La investigación comienza descomponiendo sus
objetos para descubrir su mecanismo interno, analiza la
naturaleza
de sus partes y trata de reconstruir el todo como partes
interconectadas. - La investigación científica es
especializada: la especialización es una consecuencia
del enfoque analítico y tiende a estrechar la
visión del científico individual. - El conocimiento científico es claro y preciso:
sus problemas
son distintos, sus resultados son claros, sus definiciones
precisas, sus descripciones exactas; a diferencia del
conocimiento ordinario que es vago e inexacto. La ciencia
transforma en preciso lo que el sentido común conoce de
manera nebulosa. Si bien el
conocimiento científico no esta nunca libre de
error, procura la precisión y posee una técnica
única para encontrar errores y sacar provecho de ellos.
La claridad y la precisión en ciencia se
obtienen:
- Los problemas se formulan de manera
clara. - La ciencia parte de nociones que parecen claras, las
complica, purifica y eventualmente las rechaza. - La ciencia define la mayoría de sus conceptos
no definidos o primitivos por la función que
desempeñan en un sistema teórico
(definición contextual) - La ciencia crea lenguajes artificiales inventando
símbolos a los que se le atribuyen significados
determinados por medio de reglas de designación. Los
símbolos serán tan simples como sea posible (Ej.
Au –oro-), pero podrán combinarse para formar
configuraciones tan complejas como sea necesario. - La ciencia procura siempre medir y registrar los
fenómenos, aunque no se vale solo de la
matemática ya que no es ella quien garantiza la
condición de conocimiento científico. Ej.
teoría de los grupos, la topología.
- El conocimiento científico es comunicable: es
expresable y publico; comunica información a quien quiera haya sido
adiestrado para comprenderlo. La comunicabilidad es una
condición necesaria para la verificación de los
datos empíricos y de las hipótesis
científicas. - El conocimiento científico es verificable:
debe aprobar el examen de la experiencia. Las suposiciones del
científico deben ser puestas a prueba. Las ideas
científicas no pueden fracasar en la practica porque de
hacerlo fracasarían por entero. La verificabilidad hace
a la esencia del conocimiento científico, si así
no fuera, no podría decirse que los científicos
procuran alcanzar un conocimiento objetivo. - La investigación científica es
metódica: es planeada. Los científicos saben lo
que buscan y como encontrarlo, aunque no excluye al azar y la
novedad inesperada. Incluso pueden producir el azar
deliberadamente. Toda investigación se funda sobre el
conocimiento anterior y sobre conjeturas mejor confirmadas, es
decir, la investigación procede conforme a reglas y
técnicas que han resultado eficaces en el
pasado pero que son perfeccionadas constantemente. La ciencia
fáctica emplea el método experimental en sentido
amplio: un test
empírico de conclusiones particulares extraídas
de hipótesis generales. - El conocimiento científico es
sistemático: una ciencia es un sistema de ideas
conectadas lógicamente entre sí, todo capitulo de
una ciencia contiene teorías o sistemas de ideas que
están ordenadas mediante la relación "implica".
El fundamento de una teoría es un conjunto de principios o
hipótesis que solo a través de las revoluciones
científicas serán sustituidas y reemplazadas por
otros sistemas teóricos. - El conocimiento científico es general: ubica
los hechos singulares en pautas generales. El científico
se ocupa de aquel hecho singular que es miembro de una clase o
caso de una ley y presupone
que todo hecho es clasificable y legal. La ciencia ignora el
hecho aislado. La generalización es el único
medio que se conoce para adentrarse en lo concreto,
para apresar la esencia de las cosas. - El conocimiento científico es legal busca
leyes y las
aplica. El conocimiento científico inserta los hechos
singulares en pautas generales llamadas "leyes
naturales" o "leyes sociales". En la medida en que la ciencia
es legal, intenta llegar a la raíz de las cosas.
Encuentra la esencia en variables pertinentes y en las
relaciones entre ellas. Hay muchos tipos de leyes. Hay leyes de
hechos y leyes mediante las cuales se pueden explicar otras
leyes. Los enunciados de las leyes son hipótesis
confirmadas. - La ciencia es explicativa: intenta explicar los
hechos en términos de leyes y las leyes en termino de
principios. Los científicos no se conforman con
descripciones detalladas sino que procuran responder a porques
(por que, como). La explicación científica se
efectúa en términos de leyes y al haber diversos
tipos de leyes científicas también hay diversidad
de tipos de explicaciones científicas (Ej.
Morfológicas, cinemáticas, dinámicas,
etc.) Las explicaciones científicas no son finales pero
son perfectibles. - El conocimiento científico es predictivo:
imagina como puede haber sido el pasado y como podrá ser
el futuro. La predicción es una manera eficaz de poner a
prueba las hipótesis y es la clave de control o
modificación del curso de los acontecimientos. La
predicción científica se funda sobre leyes e
informaciones especificas fidedignas, relativas al estado de
cosas actual o pasado y se caracteriza por su perfectibilidad y
si esta fallara nos obligaría a corregir nuestras
suposiciones, alcanzando así una inteligencia
mas profunda, por lo que la predicción fallida puede
contribuir al conocimiento teórico. - La ciencia es abierta: no reconoce barreras a priori
que limiten el conocimiento. La ciencia carece de axiomas
evidentes, sus postulados pueden ser corregidos o reemplazados.
La ciencia no es un sistema dogmático y cerrado sino
controvertido y abierto, porque es falible y por consiguiente
capaz de progresar. Una teoría científica tan
pronto como ha sido establecida, corre el peligro de ser
refutada o al menos de que se circunscriba su dominio. - La ciencia es útil: porque busca la verdad, la
ciencia es eficaz en la provisión de herramientas
y el conocimiento científico puede ser empleado en
beneficio de la humanidad. La ciencia es útil porque
constituye el fundamento de la tecnología, se la emplea en la
edificación de concepciones del mundo que concuerdan con
los hechos y crea el habito de adoptar una actitud de
libre y valiente examen. La ciencia es valiosa como herramienta
para domar la naturaleza y
remodelar la sociedad, como
clave para la inteligencia
del mundo y del yo, y es eficaz en el enriquecimiento, la
disciplina y
la liberación de nuestra mente.
En las Ciencias Formales encontramos a la Lógica
y las Matemáticas; ambas se refieren a objetos de estudio
que no están en la realidad tangible, por lo mismo no se
pueden contactar con la realidad para convalidar sus formulas; la
materia prima
que utilizan es lo ideal.
Ciencias
FACTICAS FORMALES
QUIMICA MATEMATICA
BIOLOGIA LOGICA
PSICOLOGIA
Metodo inductivo
En primer lugar conviene analizar cómo se alcanza la
verdad mediante el método científico.
Sin lugar a dudas la experimentación (reintroducida por
Galileo) es uno de los pilares fundamentales de las
demostraciones científicas. Para que una teoría
científica sea aceptada debe ser capaz de justificar los
resultados experimentales disponibles. Y además debe
hacerlo en forma más sencilla, o completa, que otras
teorías.
Sin embargo, lo que no suele analizarse en detalle, es que los
resultados experimentales exitosos no necesariamente demuestran
la "verdad" o "falsedad" de una teoría científica.
Detrás de cada medición experimental hay una serie de
suposiciones, que hacen que el análisis de los resultados esté
condicionado.
Si se acepta, como se postuló durante
muchísimo tiempo, que el
movimiento de
los planetas (con
una Tierra
estacionaria) era debido al trabajo de los ángeles que le
imprimían sus caprichosos desplazamientos con respecto al
fondo fijo de estrellas, cada dato experimental sólo
demuestra la eficiencia de los
ángeles para realizar su tarea. Pero si se acepta la
ley de la
gravitación de Newton, o la
curvatura del Espacio-Tiempo de
Einstein, los datos experimentales permiten verificar la
capacidad de estas teorías para describir el
funcionamiento del mundo físico. Cómo se observa,
la selección
de un modelo, condiciona el análisis de los datos experimentales. Y
esto ocurre siempre. Y en alguna medida, esta es la razón
por la que siempre han existido líneas de pensamiento
que desarrollan modelos de la
realidad tratando de independizarse de los datos experimentales.
Desde mi punto de vista, la falacia de estas escuelas de pensamiento
deriva de que todos nuestros procesos
mentales se originan a partir de la interacción con el
mundo físico. Y nuestra interacción (mediante
los sentidos)
con la realidad es un experimento continuo.
Un ejemplo muy ilustrativo ( y divertido) es el del
científico que, al no descubrir orejas en las
arañas, decidió estudiar la relación entre
los ochos apéndices de los arácnidos y la
recepción de señales sonoras. Para ello
amaestró una araña para que al oír un
silbato subiera por una rampa y, a continuación, fue
cortando, una a una, las patas del pobre bicho hasta que al
cortar la octava "demostró" que LA ARAÑA SIN PATAS
ES SORDA, puesto que dejó de realizar su ascenso por la
rampa (no cabe entrar en detalles con respecto al esfuerzo que
hizo la pobre araña para trepar con una sola pata). Por
supuesto que este cuento resulta
gracioso (aunque cruel) porque "sabemos" donde está la
falacia del científico. Sin embargo casi todas las
teorías antiguas (flogisto, transmutación con la
Piedra Filosofal, etc, etc) se nos antojan similares a esta
historia, ahora
que "sabemos" las verdades de la teoría
atómica.
La verdad es que el tema me era indiferente ya que nunca
había tenido acceso a esta información, la pude apreciar desde el
punto de vista de alguien que por primera vez esta leyendo e
investigando al respecto, me fue de gran interés esta
investigación ya que aunque no conocía el tema pude
comprender algunas cosas como es el punto sobre los sistemas
axiomáticos formales o mejor conocidos comúnmente
como SAF, también ahonde acerca del teorema de CODEL y las
ciencias fácticas y formales.
Autor:
Erika Montes
C.I: 18.241.432