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Las ecuaciones de Maxwell




Enviado por jijimeneza




    <>

    Indice
    1.
    Introducción.

    2. Ecuaciones De
    Maxwell

    3. Los potenciales
    retardados

    1. Introducción.

    Las ecuaciones de
    Maxwell permitieron ver en forma clara que la electricidad y el
    magnetismo son
    dos manifestaciones de un mismo fenómeno físico, el
    electromagnetismo. El fenómeno era similar
    a la gravitación, cuyas leyes fueron
    descubiertas por Newton;
    así como un cuerpo masivo produce una fuerza
    gravitacional sobre otro, un cuerpo eléctricamente cargado
    y en movimiento
    produce una fuerza
    electromagnética sobre otro cuerpo cargado. La diferencia
    más importante es que la magnitud y la dirección de la fuerza
    electromagnética dependen de la carga del cuerpo que lo
    produce y también de su velocidad; por
    esta razón, la teoría
    del electromagnetismo es más complicada que la
    teoría
    newtoniana de la gravitación, y las ecuaciones de Maxwell
    son más complejas que la fórmula de Newton para la
    fuerza gravitacional. Un aspecto común entre la
    gravitación y el electromagnetismo es la existencia de una
    aparente acción a distancia entre los cuerpos,
    acción que tanto disgustaba a Newton. Maxwell no
    resolvió ese problema, pero inventó un concepto que
    desde entonces se ha utilizado constantemente en la física: el campo
    electromagnético. Según esta interpretación,
    en todo punto del espacio alrededor de una carga existe una
    fuerza electromagnética, cuya intensidad y dirección están definidas por medio
    de unas fórmulas matemáticas. En realidad, más que un
    concepto, el
    campo es una definición que da cierta consistencia a la
    idea de que una carga eléctrica actúa sobre otra
    lejana, sin tener que recurrir a una acción a distancia.
    Sólo en el siglo XX se pudo encontrar cierta base física a este
    concepto, pero en tiempos de Maxwell el campo
    electromagnético era una noción matemática
    sumamente útil, descrita por ecuaciones, pero cuya
    realidad física trascendía toda
    interpretación teórica. El primer éxito,
    y el más notable, de la teoría de Maxwell fue la
    elucidación de la naturaleza de la
    luz. Maxwell
    demostró, a partir de sus ecuaciones matemáticas, que la luz es una onda
    electromagnética que consiste en oscilaciones del campo
    electromagnético. Así quedaba establecida,
    más allá de cualquier duda, la naturaleza
    ondulatoria de la luz, tal como lo pensaba Huygens y en contra de
    la opinión de Newton.

    2. Ecuaciones De
    Maxwell

    Introducción al curso.
    Este curso inicia con el estudio de las ecuaciones de Maxwell,
    tiene un requisito: FM-320 (Electromagnetismo), en el cual se
    estudiaron las relaciones electrostáticas, con la ley experimental
    de Coulomb y se introdujo el estudio de los campos
    magnéticos estáticos producidos por el movimiento de
    cargas. Se estudió la distribución de cargas estacionarias y el
    movimiento uniforme de cargas (velocidad
    constante) . También se estudió la
    relación entre campos eléctricos y
    magnéticos provocada por el movimiento relativo de cargas.
    Y que un campo
    eléctrico estable que actúa sobre un conductor,
    forza en éste una corriente estable, la cual provoca a su
    vez un campo
    magnético estático.

    En este curso vamos a considerar un caso más
    general para los campos, es decir , consideraremos los campos que
    resultan del movimiento de cargas, el cual puede variar con el
    tiempo
    .

    Esto conduce a la propagación de la
    energía en la forma de ondas
    electromagnéticas.

    Las ecuaciones de Maxwell en su forma general
    son:

    Forma Integral

    Forma de Producto
    Punto

    Ley de Faraday

    Ley de Ampere

    1er Ley de
    Gauss

    2a Ley de Gauss

    <>

    Donde:
    E = Intensidad de campo
    eléctrico V/m
     E = Flujo Eléctrico Coulombs
    D = Densidad de flujo
    eléctrico C/
    H = Intensidad de campo
    magnético A/m
    B = Densidad de flujo
    magnético Wb/ o T
     m = Flujo Magnético Wb
    J = Densidad de corriente A/

    = Densidad del volumen de carga
    C/

    Todas las variables son
    vectores
    dependientes de x,y,z,t, es decir V(x,y,z,t).
    La compilación de las ecuaciones y su consolidación
    como conjunto, más el desarrollo del
    concepto de densidad de desplazamiento de corriente, se debe a
    James Clerk Maxwell, un físico y matemático
    escocés del siglo XIX.
    A pesar de que él no descubrió estas ecuaciones, el
    conjunto de ellas lleva su nombre porque fué él
    quien compiló los resultados obtenidos por Ampere,
    Faraday, Gauss, Coulomb y otros, e hizo importantes adiciones a
    la ley de Ampere (el concepto de desplazamiento de
    corriente).
    En este capítulo vamos a estudiar cada una de estas
    ecuaciones por separado.

    Ley de Faraday
    Sabemos que una corriente estable produce un campo
    magnético,en 1831 Michael Faraday demostró que un
    campo magnético variante en el tiempo puede
    producir una corriente
    eléctrica. Quizás es más exacto decir
    que lo que Faraday descubrió fue que cuando se altera el
    flujo magnético que pasa por un circuito cerrado,entonces
    se induce un voltaje o fuerza electromotriz (fem), la cual
    podría producir una corriente en este circuito.

    Figura. 2.1aFigura. 2.1b

    Figura 2.1.
    La ley de Faraday se puede escribir de la siguiente
    manera:

    <> V ó (2.1)

    Donde es el flujo magnético que pasa a
    través de cualquier superficie S limitada por el circuito
    (ruta cerrada c). El flujo que produce la corriente resultante (o
    inducida) se opone a los cambios en el flujo original. La
    última oración es un enunciado de la Ley de Lenz y
    es la que da el signo menos a la ecuación de la
    fem.

    La fuerza electromotriz es un voltaje debido a alguna
    forma de energía distinta a la energía
    eléctrica y se define como:

    (2.2)

    Si el flujo se puede encontrar integrando la componente
    normal de la densidad de flujo, sobre la superficie que nos
    interesa, entonces:

    (2.3)

    Combinando estas tres ecuaciones (2.1, 2.2 y 2.3)
    obtenemos:

    (2.4)

    El teorema de Stokes nos dice que :

    <> Donde S es una
    superficie abierta limitada por el contorno c.

    Aplicando el teorema de Stokes al lado izquierdo de la
    ecuación (2.4) obtenemos

    (2.5)

    Donde s1 y s2 son cualquier superficie abierta limitada
    por la ruta cerrada de la ecuación 2.2 Nótese que
    s1 y s2 no son necesariamente la misma superficie, pero sus
    límites
    sí.

    Si la ruta cerrada es fija o estacionaria, entonces s1 y
    s2 no son dependientes del tiempo. Si así ocurre, entonces
    podemos derivar a B dentro de la integral, parcialmente en el
    tiempo ().Entonces:

    (2.6)

    La ecuación anterior es válida sin
    importar S1, ni S2, ni sus respectivos límites;por lo tanto, si S1 y S2 son
    idénticos, entonces la igualdad de la
    ecuación (2.6) se cumple sólo si los integrandos
    son iguales. Por lo tanto:

    (2.7)

    Y se deduce que E es no conservativo (). Esta es la forma diferencial de una de
    las ecuaciones de Maxwell, la forma integral se obtiene de la
    ecuación 2.4. con la S fija (). Entonces:

    (2.8)

    Las ecuaciones de Maxwell (ley de Faraday) para el caso
    electrostático ( / t=0). Se obtienen
    inmediatamente:

    (2.9)

    (2.10)

    Ejemplo 2-1 Un lazo circular de 10 cm de radio se localiza
    en el espacio libre junto a un conductor que lleva una corriente
    senoidal de 0. 5 A a 1 Khz . Calcule el voltaje inducido en un
    pequeño espacio del lazo si el conductor está a una
    distancia de 15 cm del centro del lazo.

    Solución:

    Para efectos de simplificación colocamos el
    círculo (lazo) junto con los ejes coordenados y el
    conductor exactamente sobre el eje Y.

    El voltaje es igual a la fem y la fem se calcula a
    través de fem = –, y para calcular  m
    requerimos B, ya que  m se calcula por
    :

     m =  s 
    B. ds ,

    si B =  oI.,

    donde r es la distancia que hay de la fuente de B ( el
    2r conductor ) hasta su área de influencia
    (círculo ), r coincide con el eje X, no tiene que ver con
    el radio del
    círculo.

    La ecuación del círculo es ( x – 0.15 )
    2 + ( y – 0.1) 2 = r 2 luego
    ( y – 0.1) 2 = r 2 – ( x – 0.15 )
    2
    y – 0.1 = [ r 2 – ( x – 0.15 )
    2 ] 1 / 2
    y = 0.1 + [ r 2 – (
    x – 0.15 ) 2 ] 1 / 2 , donde r = 0.1 m
    así
    0. 25 0.1 + [ r 2 – ( x – 0.15 )
    2 ] 1 / 2

    m =    oI dydx
    0.05 0 2 r
    0.25 0.1 + [ r2 – ( x – 0.15 )
    2 ] 1 / 2

    m =   oI y dx
    0.05 2 r 0
    0.
    25
     m =  oI {  [ 0.1
    + [ 0.1 2 – ( x – 0.15 ) 2 ] 1 /
    2 ] dx }
    2 0.05 x x

    0.25 0.25 1 / 2
    =  oI { 
    0.1 dx +  [ ( 0.1 )2 – ( x – 0.15
    )2 ] dx }
    2 0.05 x 0. 5 x2
    x2
    0. 25 0. 25 1/2
    =  oI {
    0.1 ( ln x )  +  [ ( 0.01 ) – ( x – 0.15
    )2 ] dx }
    2 0.05 0.05 x2
    x2
     m =  o I
    ( 0.1609 + 0.1199 ) =  oI ( 0.2806 ) = (
    4 10- 7 ) ( 0.5 sen  t ) ( 0.2806)
    2 2 2
     m = 0.2808 x 10- 7 sen  t
    después
    fem = – d m = – ( 2 ) ( 5 x
    103 ) ( 0.2808 x 10- 7 ) cos  t =
    9. 048 x 10- 4 cos  t
    dt
    donde el valor
    máximo es : fem max = 9. 048 x 10- 4
    = 0. 9048 mV.

    Leyes de Gauss
    La ley de Gauss establece que "el flujo eléctrico que pasa
    a través de cualquier superficie cerrada es igual a la
    carga toral que está dentro de la superficie".
    La importancia de la contribución de Gauss no radica en
    establecer la ley, sino en darle una expresión matemática.
    Si imaginamos una distribución de carga, mostrada como una
    nube de cargas puntuales, en la fig. 2.3, rodeada por una
    superficie cerrada de cualquier forma. La superficie cerrada
    podría ser la superficie de algún material real,
    pero más generalmente podría ser cualquier
    superficie cerrada que deseemos visualizar. Si la carga total es
    Q, entonces pasarán Q Coulombs de flujo eléctrico
    por el interior de la superficie. En cada punto de la superficie
    el vector de densidad de flujo eléctrico D tendrá
    un valor Ds,
    donde el subíndice s nos recuerda que D debe evaluarse en
    la superficie, y Ds en general va a variar en magnitud y
    dirección de un punto a otro de la superficie.
    Ahora vamos a considerar un elemento incremental s de la
    superficie, el cual es tan pequeño que puede considerarse
    una porción plana de la superficie, la completa descripción de s requiere no
    sólo su magnitud, sino también su dirección,
    es decir, su orientación en el espacio .
    En otras palabras s es una cantidad vectorial. La
    única dirección que se le puede asociar a s
    es la dirección de la normal al plano que es tangente a la
    superficie en el punto en cuestión. Existen dos normales
    que podrían asociarse a s, se selecciona la que
    "salga" de la superficie cerrada.

    Fig.2.3

    Consideremos un elemento  s en cualquier punto P
    y sea  el ángulo que forman Ds con s ,
    como se muestra en la
    figura 2.3. Entonces, el flujo que pasa a través de
    s es el producto de la
    componente normal de Ds y de s,
     = flujo a través de  s = (Ds,
    normal)( s) = DsCos s
    Si aplicamos la definición de producto punto:
    A.B|A||B|Cos AB. Entonces  =
    Ds.s.
    El flujo total que pasa a través de la superficie cerrada
    se obtiene sumando todas las contribuciones diferenciales de
    flujo que pasan a través de s

    La integral resultante es una integral de superficie
    cerrada y puesto que ds siempre involucra las diferenciales de
    dos coordenadas (dxdy ó  d d
    ó ), entonces la integral es una doble
    integral, se utiliza una S abajo del signo de la integral para
    indicar que es una integral de superficie. Una última
    convención es poner un pequeño círculo en el
    signo de la integral para indicar que la integral se va a hacer
    sobre una superficie cerrada. Entonces la formulación
    matemática de la ley de Gauss es:

    <> (la carga contenida)
    (2.11)

    Ahora, la carga contenida podrían ser varias
    cargas puntuales:

    O una carga lineal (que tiende de n a
    infinito).

    O una carga de superficie

    O una carga de volumen

    La última forma es la más usada y debemos
    estar de acuerdo en que es una generalización de las tres
    anteriores. La ley de Gauss se puede escribir como:

    (2.12)

    Una expresión matemática que simplemente
    quiere decir que el flujo eléctrico total que puede pasar
    a través de cualquier superficie cerrada es igual a la
    carga contenida por esa superficie. Esta es la primer ley de
    Gauss y la tercer ecuación de Maxwell.

    Hemos obtenido la tercera ecuación de Maxwell en
    su forma integral, para su forma en producto punto aplicamos el
    teorema de la Divergencia a la parte izquierda de
    2.12:

    El teorema de la divergencia nos dice que , donde V es el volumen contenido
    o limitado por la superficie S.

    Substituyendo en 2.12 (2.13).

    Como los volúmenes en 2.13 son los mismos,
    entonces la igualdad se
    cumple sólo si los integrandos son iguales, así
    tenemos la forma puntual de la tercer ecuación de
    Maxwell:

    (2.14)

    Para demostrar la segunda ecuación de Gauss
    definimos el vector de densidad de flujo magnético B como
    .

    Donde B se mide en Weber/ o en el SIU en Teslas (T), también
    se puede utilizar el Gauss (G) donde 1 Wb/= 10E3 G. Y , la permeabilidad en el espacio libre,
    es: =4 xH/m y H es equivalente a A/m y 
    Weber =
    H.A.

    es la inductancia por unidad de
    longitud de una línea de transmisión inmersa en el
    medio al cual representa .

    Haciendo una analogía entre B y D podemos definir
    a  como el flujo magnético que pasa por una
    superficie S y de (1.11) tenemos:

    <> (Wb)(2.15)

    En (2.11) el flujo eléctrico  es igual a
    Q la carga encerrada por S

    La carga Q es la fuente de las líneas de flujo
    eléctrico y estas líneas empiezan en cargas
    positivas y terminan en cargas negativas.

    Para las líneas de flujo magnético no se
    ha descubierto una fuente análoga a Q. Puesto que
    . , el campo B es de la misma forma. Las
    lineas de flujo magnético son cerradas y no terminan en
    una "carga magnética ". Por esta razon la ley de Gauss
    para el campo magnético es:

    (2.16)

    Como en (2.12), aplicamos a 2.16 el teorema de la
    divergencia y obtenemos la forma puntual de la segunda ley de
    Gauss.

     .B = 0(2.17)

    No hemos probado (2.16) ni (2.17), pero hemos sugerido
    su validez. Y hay que hacer notar que la densidad de flujo
    magnético B es solenoidal ya que no tiene
    fuente.

    Las siguientes relaciones son importantes:
    D =  E (2.18)
    B =  H (2.19)
    J =  E (2.20) de conducción.
    J = (2.21) de convección.

    Ejemplo 2.2. Sea D = ( 8x + 4x 3
    )ax – 2y ay + 2z az C/m2 .
    Utilize la ley de Gauss para calcular la carga encerrada en la
    región cúbica: – a  xyz 
    a.

    Solución:
    Para x = a
    a a
    Q1=  (8a + 4a3
    )ax. axdydz
    – a – a
    a a a a
    Q1= (8a +
    4a3) y dz =  (8a + 4a3 )2a
    dz = (8a + 4a3 )2a z = 4a2 (8a +
    4a3 ) = 32a3 + 16a5

    – a – a – a – a
    Para x = -a
    – a a
    Q2=  – (( – 8a – 4a3
    )ax.axdzdy
    a – a
    a a -a -a
    Q2= (8a +
    4a3)z dy =  -(8a+4a3)2a dy
    = -(8a+4a3)2a y = – (8a + 4a3) (2a) (- 2a) =
    32a3 + 16a5
    a – a a a

    Para y = a
    – a a – a a – a
    Q3=   ( -2a ay . aydzdx =
     -2a z dx = -2a (2a) dx = -4a(2) x =
    8a3
    a -a a – a a
    Para y = – a
    a a a a
    Q4=  – (
    +2a)ay.-ay dxdz = -2a x dz = –
    4a2 z = – 8a3
    – a -a -a -a
    Para z = a
    -a a -a a a
    Q5=  2a az
    .az dxdy =  2a x dy = – 4a2
    y = 8a3
    a -a a a -a
    Para z = -a
    – a a -a a – a
    Q6=  -2a
    az . -az dydx =  2a y dx =
    4a2 x = – 8a3
    a -a a -a a

    La carga total encerrada va a ser la suma de la carga de
    cada cara, CT=Q1+Q2+Q3+Q4+Q5+Q6.
    Por lo tanto la carga total encerrada en la región pedida
    es CT = 2 ( 32a3 + 16a5 ) =
    64a3 + 32a5 C.

    Ley de Ampere y Corriente de Dezplazamiento.
    La ley de Ampere (o quizás sea más correcto decir
    la ley circuital de Ampere) simplemente establece que la integral
    de línea de H alrededor de cualquier ruta cerrada (o la
    circulación de H) es igual a la corriente encerrada por
    esa ruta. La ruta es completamente arbitraria. La
    dirección de la corriente se encuentra aplicando la regla
    de la mano derecha, la ley en su expresión
    matemática es:

    <> (2.21)

    Esta expresión se puede derivar directamente de
    la ley de Biot-Savart, es una demostración larga y
    tediosa, vamos a aceptar (2.21) como definición para
    obtener la segunda ecuación de Maxwell en su forma
    puntual.

    Si aplicamos el teorema de Stokes a (2.21) [ superficie abierta S, rodeada por el
    contorno C.]

    <> (2.22)

    Donde S1 es cualquiera de las posibles superficies
    abiertas definidas por la ruta de integración C, usada para la integral de
    línea. Si substituimos el lado derecho de (2.21) en el
    lado izquierdo de (2.22) obtenemos :

    <> (2.23)

    Puesto que la ley de Ampere establece que S1 y S2 son
    arbitrarias, podemos entonces hacerlas idénticas, pero
    aún arbitrarias.

    En este caso tenemos:

    (2.24)

    Si S es arbitraria, los límites de integración pueden ser idénticos y
    en este caso la igualdad se cumple sólo si los integrandos
    son iguales.

    <> (2.25)

    La cual es un caso particular de la segunda
    ecuación de Maxwell. Si aplicamos el divergente a
    (2.25):

    <> (2.26)

    es cero ya que el divergente del rotacional de cualquier
    vector es cero.La ecuación (2.25) no es correcta para el
    caso general, pero de la conservación de la carga para el
    caso variante en el tiempo tenemos que:

    <> (2.27)

    Por lo tanto para que (2.26) cumpla con el caso general
    hay que agregarle:

    <> (2.28)

    De la tercera ecuación de Maxwell tenemos que :
    , entonces.

    <> (2.29)

    Si D y sus derivadas
    espaciales y la del tiempo son continuas entonces:

    <> (2.30)

    Substituyendo (2.30) en (2.29) y reordenando
    tenemos:

    <> (2.31)

    la cual es la segunda ecuación de Maxwell en su
    forma puntual.

    El término agregado,, fué la principal
    contribución de Maxwell y debido a esta
    contribución se asocia su nombre con el conjunto de
    ecuaciones. Este término es obviamente una densidad de
    corriente () , y así lo nombró Maxwell
    Densidad de Corriente de Desplazamiento (derivada en el tiempo de
    la densidad de flujo eléctrico).

    En la mayoría de las aplicaciones de baja
    frecuencia, la corriente de desplazamiento es despreciada. Esta
    es una razón porque su presencia no fue fácil de
    verificar o detectar, hata que hubieron fuentes de
    alta frecuencia.

    Para obtener la forma integral de la 2a ecuación
    de Maxwell, hay que integrar ambos lados de (2.30) sobre una
    superfiicie abierta fija, haciendo esto tenemos:

    <> (2.32 a)

    Si aplicamos el teorema de Stokes al lado izquierdo de
    (2.32) y (2.20) a su lado derecho tenemos.

    <> (2.32 b)

    La cual es la forma integral de (2.31), la segunda
    ecuación de Maxwell

    Ejemplo 2.3 Un dieléctrico con pérdidas
    tiene  = 4 10- 7 H/m ,  = (
    10- 8 / 36 ) F/m y  = 2 x 10-
    8 S/m . Si se tiene un campo eléctrico E = 200 sen
     t az V/m en el dieléctrico.
    a) ¿ A qué frecuencia tendrán iguales
    magnitudes la corriente de conducción y la corriente de
    desplazamiento ?.
    b) A esta frecuencia calcule la corriente de desplazamiento
    instantánea.

    Solución:
    Ejemplo 1.4. Encuentre la amplitud de la densidad de corriente de
    desplazamiento en :
    a) El aire cercano a
    una antena de automovil , donde la intensidad de una señal
    de FM es E = 80 cos ( 6. 277 x 108 t – 2.
    092y ) az V/m;
    b) Dentro de un conductor metálico donde f = 1Khz,
     = 5 x 107 S / m ,  r = 1 y
    la corriente de conducción es J = 107 sen (
    6283t – 444z ) ax A / m2
    c) Un capacitor de placas paralelas tiene como dieléctrico
    el aire, sus
    placas miden 10 cm2 las cuales están separadas
    por una distancia de 2 mm. Si el capacitor se conecta a una
    fuente senoidal de voltaje de 50 V ( 1 Mhz ), calculae la
    magnitud de la corriente de desplazamiento.

    Campos de tipo Senoidal y fasores.
    El mayor énfasis en nuestro estudio de las ecuaciones de
    Maxwell para campos variantes en el tiempo se hará con el
    comportamiento
    senoidal de la campos vectoriales. Para este caso, los campos se
    van a escribir en la forma de fasores, lo cual va a
    simplificarnos considerablemente los detalles
    matemáticos.
    Para ilustrar este importante concepto, vamos a escribir el
    vector intensidad de campo eléctrico de la siguiente
    manera:

    <> (2.33)

    Supongamos que cada uno de estos componentes tiene una
    variación senoidal en el tiempo (la cual vamos a suponer
    arbitrariamente que es cosenoidal) de la forma :

    <> (2.34a)

    <> (2.34b)

    <> (2.34c)

    Donde las magnitudes y los ángulos de fase de los componentes son independientes del
    tiempo t, pero podrían depender de las coordenadas
    espaciales, por ejemplo,Cada una de estas formas enel tiempo las
    vamos a escribir en forma fasorial, pro ejemplo, la forma
    fasorial de es:

    <> (2.35)

    Y de manera similar se hace para los fasores: Las ecuaciones en el dominio del
    tiempo se pueden obtener a partir de los fasores al multiplicar
    por y tomando la parte real del
    resultado:

    <> (2.36)

    En donde se aplicó la identidad de
    Euler

    <> y

    Y Re(.) es la parte real de la cantidad compleja. El
    campo vectorial completo se puede escribir de igual manera
    como:

    <> (2.37)

    Con este resultado podemos definir la forma fasorial del
    campo vectorial como:

    <> (2.38)

    Y (2.37) se puede escribir como:

    <> (2.39)

    Para resolver los problemas
    involucrados con la variación senoidal de los campos
    vectoriales, reemplazamos los campos vectoriales por sus formas
    fasoriales multiplicadas por .

    <> (2.40a)

    <> (2.40b)

    <> (2.40c)

    <> 2.40d)

    Nótese que la derivada con respecto al tiempo, de
    las formas (2.40) es equivalente a multiplicarlas por j ;
    es decir:

    <> (2.41)

    Esta importante propiedad
    permite una gran simplificación en la solución de
    estos problemas. Si
    sustituimos (2.40) y (2.41) en las ecuaciones de Maxwell y
    cancelando , término común a ambos
    lados de las ecuaciones, obtenemos:

    Forma Integral

    Forma de Producto Punto

    (2.42a)

    (2.42b)

    (2.42c)

    (2.42d)

    <>

    El producto de cada fasor de campo vectorial y se puede ver como compuesto de dos partes.
    Por ejemplo, la componente x de se puede escribir como:

    <> (2.43)

    Donde Im(.) denota la parte imaginaria de la cantidad
    compleja. De esta manera, es la suma de dos
    términos:

    <> (2.44)

    Puesto que cada una de las ecuaciones de Maxwell es
    lineal, cada ecuación en (2.42), al multiplicarse por
    , se puede factorizar como la suma de dos
    ecuaciones:

    una para las partes Re(.) y otra para las partes jIm(.).
    Así, resolvemos para (2.42) y utilizamos la porción
    deseada de la solución. Por lo tanto, resolviendo (2.42)
    para las cantidades fasoriales complejas obtenemos las formas en el dominio del
    tiempo de las soluciones,
    simplemente multiplicando cada fasor por y tomando la parte real del
    resultado.

    Si el medio es lineal, homogéneo e
    isotrópico (lo cual supondremos de aquí en
    adelante), (2.42) se vuelve:

    Forma Integral

    Forma de Producto Punto

    (2.45a)

    (2.45b)

    (1.45c)

    (2.45d)

    <>

    Aquí la permitividad, permeabilidad y
    conductividad pueden ser funciones de la
    frecuencia [(f), (f), (f)], como ocurre
    para los medios
    materiales.
    Se va a utilizar ( ) para designar no sólo las
    cantidades fasoriales complejas, sino también otras
    cantidades que sean complejas.

    Ecuaciones de Maxwell en Forma Integral
    La forma integral de las ecuaciones de Maxwell permiten reconocer
    generalmente, las leyes
    experimentales de las cuales fueron obtenidas mediante un
    proceso de
    generalización. Los experimentos
    deben tratar con cantidades físicas macroscópicas y
    sus resultados tienen que ser expresados en términos de
    relaciones integrales.
    Una ecuación diferencial siempre representa una
    teoría. Se recopilarán ahora las formas integrales de
    las ecuaciones de Maxwell obtenidas en la sección
    anterior. Integrando una formula sobre una superficie y aplicando
    el teorema de Stokes, se obtiene la ley de Faraday,

    E . dL = -[(s)(B/t).(dS)]

    y si se aplica el mismo proceso a la
    otra formula se produce la ley circuital de
    Ampére,

    H . dL = 1 +[(s)(B/t).(dS)]

    Las leyes de Gauss para los campos magnéticos y
    eléctricos se obtienen integrando las formulas sobre un
    volumen y utilizando del teorema de la divergencia:

    D . dS = vol Pvdv

    sB . dS = 0

    Estas cuatro ecuaciones integrales permiten encontrar
    las condiciones en la frontera de B, D, H y E las cuales son
    necesarias para evaluar las constantes obtenidas al resolver las
    ecuaciones de Maxwell en forma de ecuaciones
    diferenciales parciales. Estas condiciones de frontera no
    cambian en general la forma que tienen para campos
    estáticos o estables y se pueden utilizar los mismos
    métodos
    para obtenerlas. Entre cualquier par de medios
    físicos (donde K debe ser cero sobre la sobre la
    superficie), la formula permite relacionar las componentes
    tangenciales del campo E,
    Et1 = Et2
    y
    Ht1 = Ht2
    Las integrales de superficie producen las condiciones de frontera
    sobre las componentes normales,
    DN1 – DN2 = PS
    y
    BN1 – BN2

    3. Los potenciales
    retardados

    Los potenciales variantes con el tiempo, llamados
    generalmente potenciales retardados por razones que se
    explicarán en breve, tienen su mayor aplicación en
    problemas de radiación
    en los que la distribución de la fuente se conoce
    aproximadamente. Debe recordarse que el potencial
    eléctrico escalar y puede expresarse en términos de
    una distribución de carga estática,
    V = (vol)(Pvdv) /(4¶R) (estático)
    y el potencial magnético vectorial pude encontrarse de una
    distribución de corriente que sea constante en el
    tiempo,
    A = (vol) (µJdv)/(4¶R) (cd)
    Las ecuaciones
    diferenciales satisfechas por V,
    V² V = – pv/£ (estático)
    y A,
    V²A = – µJ (cd)
    Ecuaciones de Maxwell en Forma Punto
    Se han obtenido dos de las ecuaciones de Maxwell para campos
    variantes con el tiempo,

    y

    Las dos ecuaciones restantes permanecen sin cambio con
    respecto a la forma que tienen cuando no existe dependencia
    temporal:
    La ecuación anterior
    esencialmente establece que la densidad de carga es una fuente (o
    sumidero) de las lineas de flujo eléctrico. Observe que no
    se puede seguir diciendo que todo flujo eléctrico comienza
    y termina en una carga porque la parte importante de la ley de
    Faraday muestra que E, y
    también D, pueden tener circulación si está
    presente un campo magnético variable. Por ello las lineas
    de flujo eléctrico pueden formar trayectorias cerradas.
    Sin embargo, sigue siendo cierto que cada coulomb de carga debe
    tener un coulomb de flujo eléctrico saliendo de él.
    Con la última ecuación se reconoce el hecho de que
    se desconoce la existencia de "cargas magnéticas" o polos.
    El flujo magnético siempre se encuentra en circuitos
    cerrados y nunca diverge de una fuente puntual. Estas cuatro
    ecuaciones son la base de toda la teoría
    electromagnética. Son ecuaciones diferenciales parciales
    que relacionan el campo eléctrico y el magnético, y
    con sus fuentes,
    cargas y densidades de corriente. Las ecuaciones auxiliares que
    relacionan D y E

    B con H

    que define la densidad de corriente de
    conducción,

    y que define la densidad de corriente de
    convección en términos de la densidad de carga
    volumétrica pv,

     

     

    Autor:

    José Juan Jiménez Alejandro

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