- Planteamiento del
problema - Distribución
probabilística de R acumulada - Modelo convencional vs. modelo
basado en probabilidades - El modelo convencional de
evaluar un flujo de caja - El modelo convencional
esquemático - El modelo
probabilístico como alternativa - La teoría de la
probabilidad y su uso en la evaluación de
proyectos - Referencias
bibliográficas
El razonamiento lógico se basa en premisas o
postulados principales y menores, para luego llegar a una
conclusión. Por lo general existen varias premisas
interconectadas unas con las otras que nos permiten llegar a una
definitiva conclusión válida; pero existen muchos
asuntos para los cuales no se puede tener una respuesta en blanco
o negro porque lo que se plantea no es suficientemente digno de
confianza y la respuesta puede ser solamente "quizá", o
sea que la lógica
clásica Aristotélica –verdadero o falso- no
se puede aplicar en esos casos.(Weaver, 1963,passim)
Un sistema
lógico comienza con varios postulados o presunciones
coherentes una con la otra y cuando la conclusión es
compleja la llamada lógica
de la probabilidad nos
puede ayudar a buscar la solución, pues podemos establecer
un grado de verdad o de falsedad , o sea : un infinito set
de valores entre
0 y 1, cuando existen evidencias no completas; y obtener, un
grado de confidencia necesario, pesando y evaluando los riesgos
alternativos, porque los importantes problemas
usualmente requieren una comparación de las desigualdades
o de las disputas.(Weaver,ob.cit.)
La evaluación
de inversiones en
un contexto de incertidumbre es un tema que la mayoría de
las veces se soluciona recurriendo al llamado análisis de sensibilidad, que consiste en
preguntarse qué le pasaría al VAN (Valor
actualizado neto) o a la TIR (Tasa interna de
retorno) si se modifican algunos parámetros
importantes. No hay duda que esta manera de proceder es una
solución parcial y que es posible buscar una manera de que
tanto los costos como los
beneficios de un proyecto sean
calculados en términos de una distribución de probabilidad,
para luego ser analizada integralmente y obtener de esa manera
unidades de mérito (VAN y TIR) también en
términos de probabilidad distributiva.
La esencia del asunto de la incertidumbre es que algunas
de las variables que
afectan a un proyecto de
inversión y su resultado final no son
parámetros controlados por el sujeto que formula y
evalúa el proyecto. Por lo
tanto, es necesario conocer las variables que
son difíciles de controlar y entonces proceder a estimar
un set de posibles resultados y llegar a determinar los criterios
de selección.
¿Cuál podría ser la decisión
más o menos correcta al comparar dos o varios proyectos de
inversión? El éxito
de un proyecto y las fallas de los otros no evidencia si la
decisión que se deba tomar deba ser la correcta.
Entendemos la palabra "correcta" en el supuesto de que al
implantarse el proyecto, que se supone exitoso, se confirma que
realmente lo es sin considerar márgenes de error. Pero
toda decisión bajo incertidumbre, no puede esperar que se
logre un resultado correcto en ese sentido, pues los
márgenes entre éxitos y fracasos siempre
estarán presentes. No es posible entonces formular un
resultado único, sino un abanico de posibles resultados
probables, derivados de observaciones del pasado o sea en
circunstancias similares; y señalar, apoyándose en
la experiencia, que la probabilidad de un evento puede arrojar un
valor
pesimista (p), un valor más probable (m) y un valor
optimista (o); y su valor medio: ( p +o + 4m) / 6 y la
desviación estándar igual a (o – p) / 6.
Luego se presenta el asunto de cómo agregar todos los
resultados probables para muchas variables en un solo resultado,
suponiendo que previamente se ha tenido un buen juicio en cuanto
a la selección
de variables y los estimados relativos a su distribución de probabilidades (Reutlinger,
1984, p.13)
Se ha dicho que la diferencia entre riesgo e
incertidumbre, es que el riesgo es
calculable en base a la experiencia anterior, no obstante
también se ha dicho que la evaluación
del riesgo es un hecho también subjetivo por que
básicamente existe en la mente de los analistas. Los
resultados en forma objetivo no se
pueden obtener. Entonces : ¿cómo se pueden prever
los acontecimientos y el posible resultado, durante la
evaluación de un proyecto de
inversión y en base a los efectos de muchas variables
controlables o no (cantidades a producir, precios,
costos, competencia,
comportamiento del
consumidor, etc..) y sus valores que se
estimen en un amplio rango ?
La fórmula básica del análisis beneficio-costo es la
siguiente:
R= 
Bt
Donde t = 0,1,….,n
R= total beneficios netos de caja de una inversión descontada con la tasa de
oportunidad en el momento t (o costo marginal
del capital).
Bt= es el beneficio neto anual en caja ((liquidez:
beneficios netos para el capital propio
más depreciaciones , menos el pago del capital
prestado)
r= es el costo de oportunidad del capital
El estimado de los beneficios y costos se derivan del
conocimiento
de otros parámetros y variables exógenos que puedan
describir las relaciones cuantitativas entre variables del
sistema.
Supongamos que queremos obtener la distribución
de la probabilidad del valor presente neto de un ingreso neto ( R
), basado en el
conocimiento de la probabilidad de una inversión
inicial (Y) y de un ingreso bruto (X), descontados con el factor
0,50 (que proviene de la tabla de descuento al interceptar 10
años y la tasa de descuento del 8%, es decir con todos los
dígitos : 0,463193).
Valor Presente = (0,5 ) ( Ingreso neto o líquido
en caja) – (Costo de Inversión en el año
cero), o en forma simbólica :
R = (0,5) (X) – Y
Supongamos ahora que se asume que la distribución
de la probabilidad de X e Y es como sigue:
Tabla 1 : Distribución
probabilística del ingreso neto ( X ) y del costo de
inversión ( Y ).
X (Ingreso neto en caja) Y (Costo de
Inversión)
Valor probabilidad Valor probabilidad
20 0,10 8 0,20
22 0,20 10 0,60
25 0,40 12 0,20
28 0,20
30 0,10
La "verdadera" distribución del valor presente
neto (R) , se deriva entonces de calcularlo para cada posible
combinación de X (ingreso neto en caja) e Y
(inversión), y la probabilidad de que ocurra cada una de
las combinaciones. En este caso existen 15 posible combinaciones
( 5 probabilidad del ingreso neto en caja por 3 probabilidades
del costo de la inversión ). En la siguiente tabla se han
calculado 13 combinaciones para efectuar este
análisis.
Si se asume que la distribución de probabilidades
de X e Y son independientes (es decir que los valores de
X e Y no se afectan), la probabilidad de cualquier particular
combinaciones de X e Y es el producto de
las probabilidades de los respectivos valores de X e
Y.
Por ejemplo, la probabilidad de X que tiene un es valor
de 20 y la variable Y con un valor de 8 , es : (probabilidad
0,10) x ( probabilidad 0,20) = 0,02. La verdadera
distribución de la probabilidad de R (valor presente)
vendría basada en asumir distribuciones
probabilísticas de X e Y, como aparece en la Tabla 2
siguiente:
Tabla 2: Distribución
probabilística del Valor Presente (R )
Probabilidades
Simulada Simulada
muestra muestra
Valor Presente "Verdadera" (50) (100)
(R) distribución
observaciones observaciones
+2 0,02 0,06 0,03
+1 0,04 0 0,03
0 0,06 0,04 0,05
0,5 0,08 0,06 0,07
1 0,12 0,08 0,06
2 0,06 0,06 0,08
2,5 0,24 0,30 0,21
3 0,06 0,02 0,03
4 0,12 0,14 0,15
4,5 0,08 0,10 0,13
5 0,06 0,04 0,03
6 0,04 0,10 0,10
7 0,02 0 0,03
1 1 1
Media de R 2,50 2,77 2,94
Varianza de R 3,75 3,82 4,24
El primer valor de R = +2 viene dado por X= 20 con
probabilidad de 0,10 e Y= 8 con probabilidad de 0,20; es decir,
R= (0,5) (20) – (8) = + 2; y la llamada "verdadera"
distribución de ese resultado es igual a : 0,10 x 0,20 =
0,02.
Ahora bien las distribuciones de probabilidad
simuladas provienen de un número grande de valores
de X e Y en forma aleatoria y el cálculos de sus
respectivas probabilidades, lo cual serviría para calcular
luego el valor de R de cada set de valores de X y de Y. Si la
muestra es muy
grande el resultado de la distribución de probabilidad
simulada se debería acercar a la distribución de
probabilidad verdadera; y en la medida en que la muestra sea
más pequeña, se aleja más de la verdadera
distribución.
Para estimar el valor medio y la varianza de R, y luego
interpretar los resultados a la luz de la
distribución normal de Gauss, hacemos lo
siguiente:
X promedio = sumatoria (probabilidad del evento i)
(Xi)
X promedio = (0,10) (20) + (0,20) (22) + (0,40) (25) +
(0,20) (28) + (0,10) (30)=25
Y promedio = sumatoria (probabilidad de evento i)
(Yi)
Y promedio = (0,20) (8) + (0,60) (10) + (0,20 (12) =
10
Varianza de X = sumatoria (probabilidad del evento i) (
Xi – X promedio) al cuadrado
Varianza de X = (0,10) (-5) al cuadrado + (0,20) (-3) al
cuadrado + 0,20 (3) al cuadrado + 0,10 (5) al cuadrado =
8,6
Varianza de Y = sumatoria (probabilidad del evento i)
(Yi – Y promedio) al cuadrado
Varianza de Y = 0,20 (-2) al cuadrado + 0,20 (2) al
cuadrado 1,6
Una vez obtenidos esos datos, el
cálculo
de Valor Presente (R ) promedio y su varianza se realiza como
sigue:
R = (0,50) ( valor promedio de X) menos (valor promedio
de Y)
R = (0,50) (25) – 10 = 2,5
Y la varianza de R :
VR= (0,50) al cuadrado por varianza de X + Varianza de
Y
VR = (0,25) (8,6) + (1,6) = 3,75
Los valores anteriores de la media "verdadera" de R y su
varianza, se han estimado bajo el supuesto de que los valores de
X e Y no esta correlacionados.
Distribución probabilística de R
acumulada
En seguida en la tabla 3 podemos ver una tabla que
acumula los cálculos del Valor Presente (R) para evaluar
la probabilidad de estos hallazgos.
Tabla 3 : Probabilidad acumulada de R y
aproximación a la curva normal
Valor Aproximación
Presente "Verdadero" Muestra 50 Muestra 100 a la curva
normal
Ri distribución
2.0 0,02 0,06 0,03 0,01
1.0 0,06 0,06 0,06 0,04
0 0,12 0,10 0,11 0,10
0,5 0,20 0,16 0,18 0,15
1,0 0,32 0,24 0,24 0,22
2,0 0,38 0,30 0,32 0,40
2,5 0,62 0,60 0,53 0,50
3,0 0,68 0,62 0,56 0,60
4,0 0,80 0,76 0,71 0,78
5.0 0,94 0,90 0,87 0.90
6,0 0,98 1,00 0,97 0,96
________________________________________________________________________
Valor medio : 2,5
Varianza : 3,75
Desviación estándar:
1,9365
Modelo
convencional vs. modelo basado
en probabilidades
En seguida ilustraremos las diferencias de dos modelos de
evaluación : a) el modelo
convencional donde todas las variables están predefinidas
según datos
provenientes de los mismos formuladores y evaluadores del
proyecto; y b) el modelo basado en variables sometidas a
probabilidades, con el fin de disminuir los problemas de
la incertidumbre.
El caso que ilustrará las diferencias de los
modelos de
evaluación es un proyecto hotelero de cinco estrellas y
denominado Bahía Blanca, con 330 habitaciones equivalentes
a 660 plazas-camas. El proyecto se supone sería construido
en dos (2) años. Los principales beneficios netos
provienen del flujo de caja
y el valor de los beneficios depende en parte de las estimaciones
del mercado de
visitantes temporales nacionales e internacionales que
demandarían los servicios del
hotel.
El nuevo hotel inducirá el fortalecimiento de
otros negocios que
le proporcionarán insumos y otros servicios y
podría incluso tener efectos en la aparición de
nuevas empresas medianas
y pequeñas, pero la evaluación de estos beneficios
indirectos e inducidos no serán tratados en este
ejemplo, sino solamente los beneficios netos directos
relacionados con la operación de la unidad hotelera
proyectada.
El modelo
convencional de evaluar un flujo de
caja
Una evaluación convencional de este proyecto
hotelero podría presentarse como sigue:
Tabla 4: Proyecto hotel Bahía Blanca.
Actualización de inversiones y
beneficios
Años Flujo de
caja Inversión Actualización al
15% Actualización al 28%
Caja Invers Caja Invers
1 —– 1.2141,20 —– 1.079,30 —– 969,69
2 —– 1.068,14 —– 807,67 —– 651,94
3 694,66 —– 456,75 —– 331,24 —-
4 749,29 —– 428,41 —– 279,13 —-
5 795,18 —– 395,34 —– 231,43 —-
6 830.97 —– 359,25 —– 188,94 —-
7 855,54 —– 321,63 —– 151,97 —-
8 855,54 —– 279,68 —– 118,73 —-
9 855,54 —– 243,20 —– 92,76 —-
10 855,54 —– 211,48 —– 72,47 —-
11 855,54 —– 183,89 —– 56,62 —-
12 855,54 —– 159,91 —– 44,23 —-
13 855,54 —– 139,05 —– 34,56 —-
3178,6 1887,0 1602,1 1621,6
VAN con actualización al 15% = 3.178,6 – 1.887,0
= 1.291,6
VAN con actualización al 28% = 1.602,1 –
1.621,6= (19,5)
TMAR promedio = 15% + 28% / 2 =22%
TIR por interpolación entre un van positivo y uno
negativo
TIR = 15 + (15 – 28) x 1.291,62 / 1.291,62 +
19,56
TIR = 15 + (13 x 1.291,62 / 1.311,17)
TIR = 15 + (13 x 0,9851)
TIR = 15 + 12,81
Tasa Interna de retorno = 27,81% igual a la Tasa
Mínima Atractiva de Rendimiento (TMAR) igual al 28%. Es
decir, el proyecto solamente descontado con una tasa de descuento
del 15% anual es factible, pero existe un TMAR del 28% si se
coloca el dinero en
Bonos o Letras
del Estado de bajo
riesgo. Así pues, el proyecto tiene una rentabilidad
crítica. No obstante, este análisis de riesgo e
incertidumbre se puede manejar mucho mejor con los criterios de
probabilidad para el conjunto de variables a ser
analizadas.
Los costos de inversión y los flujos de caja que
aparecen en la tabla anterior están basados en el mejor
estimado de acuerdo a la experiencia de hoteles de 5 estrellas similares y con
el
conocimiento del contexto geográfico y social donde se
ubicaría el proyecto.
El
modelo convencional esquemático
En la tabla que sigue resumimos los pasos más
importantes para realizar una formulación y
evaluación de un proyecto de inversión
hotelero:
Tabla 5 : Proyecto hotelero. Modelo convencional
de evaluación
1. (Costo de inversión del proyecto) =valor del
suelo +
construcción +maquinaria
y equipos + muebles + activos diferidos
+
activos
corrientes y otras inversiones
2 ( Cronograma de inversión) =dos
años
3. (Financiamiento
de la Inversión) = capital propio + capital
crédito
4. (Tabla de depreciación lineal) = para todos los
rubros de inversión
5. (Estudio de la demanda) =
Demanda
inicial año uno operativo
6. (Proyección de la demanda) = 1 + tasa de
crecimiento) x demanda inicial
7. Tarifas o precios de
habitaciones: =tarifas promedio de hoteles similares
8.( Costos operativos) = Imputs intermedios + costo
de mano de
obra + gastos generales
y administrativos
9.(Evolución de los costos y gastos) =Costos
fijos + costos variables
10.(Estimación del punto de
equilibrio) =Costos fijos entre el margen de
contribución
11.(Estimación del Estado de
Resultado) =Estado de resultado año 1 operativo
12.(Proyección del Estado de Resultado) =(1+ tasa
de crecimiento) x Estado de resultado operativo primer
año
13.(Estimación del Flujo de Caja) =Salidas y
entradas de efectivo proyectados
14.(Cálculo
del flujo de caja) =beneficio neto + depreciaciones –
cancelar
el capital prestado
15.(Actualización de beneficios e inver
) =Actualización proyectada en el horizonte
de vida del proyecto
16, (Cálculo del VAN ) =Inversión
actualizada menos caja
actualizada con la tasa de descuento
relacionada con el costo de oportunidad
del dinero
(TMAR).
Sumatoria (1 + i) elevado a la n (Inversión
proyectada)= Sumatoria (1+i) elevado a la n (Caja
proyectada)
16. (Cálculo de la TIR) =Interpolación
entre un VAN positivo y
un VAN negativo.
17. (Análisis de sensibilidad) =Cambio de
variables importantes para conocer el impacto en el VAN y la
TIR.
El
modelo probabilístico como alternativa
Este modelo trata de cuestionar la información sobre las variables del
proyecto para determinar la probabilidad de que esos valores
puedan ser cierto con varias probabilidades subjetivas.
Supongamos que en relación al estudio del mercado o de la
demanda de visitantes totales para el hotel en proyecto para el
primer año operativo, podría aparecer como
sigue:
Tabla 6 : Distribución de la probabilidad
de la demanda inicial
Probabilidad Demanda doméstica Demanda
internacional
0,05 13.579 9.052
0,05 14.579 10.000
0,10 15.450 11.000
0,20 16.400 11.500
0,20 17.300 12.000
0,20 18.000 12.500
0,10 18.500 13.000
0,05 19.000 13.500
0,05 22.000 14.000
Las probabilidades subjetivas para las variables del
proyecto ,que provienen de la consulta con expertos, pueden ser
una probabilidad discreta, un rango uniforme, sub-rangos
rectangular, rango triangular o referida a la curva normal
según la media, la desviación estándar y la
varianza.
Supongamos que un analista del mercado hotelero predice
que existe un chance de un 60% que la tarifa por cuarto para
vender el hotel sea de $ 200 y un 40% de chance que esa tarifa
sea de $ 100. En cuanto a los cuartos vendidos el analista estima
que existe un 60% de chance para vender 16.400 al año y un
chance del 40% para vender 13.579 habitaciones al año.
Así pues, el ingreso total probable que se desea
sería igual a : $200 x 16.400 = 3,28 millones de
dólares al año, suponiendo una pernoctación
de una noche. No obstante, la probabilidad podría
indicarnos que ese estimado es optimista y que es posible obtener
una venta
menor.
Asumiendo que los precios o tarifas y las ventas de
habitaciones son variables independientes, la verdadera
distribución de probabilidad para estimar los ingresos totales
es como sigue:
Tabla 7 : Evaluación del probable ingreso
por venta de
habitaciones
________________________________________________________________________
Tarifa Venta
Habitaciones Probabilidad Ingreso
200 16.400 0,60 x 0,60=0,36 3,28
200 13.579 0,60 x 0,40=0,24 2,72
100 16.400 0,40 x 0,60=0,24 1,64
100 13,579 0,40 x 0,40=0,16 1,36
Claramente se observa que existe una probabilidad de
0,48 (0,24 + 0,24) para obtener un ingreso que se ubica entre
2,72 y 1,64 millones de dólares (un valor medio igual a
2,18 millones de dólares).
El modelo probabilístico
esquemático
Veamos una tabla sobre la data o variables del proyecto
suponiendo probabilidades :
Tabla 8 : Imputs del proyecto: valores originales
estimados y distribución de su probabilidad.
Data Item Valor original Distribución de
probabilidad
________________________________________________________________________
1. Suelo 270,00 Probabilidad discreta:
40% 335,42
60% 270.00
2. Construcción 2.266,90 Probabilidad
triangular :
la probabilidad es ;
30% 1.093 – 1.749
50% 1.749 – 2.186
20% 2.186 – 2.914
- si el costo del suelo es 335,4
entonces: - si el costo del suelo es 270,0 entonces
:
la probabilidad es:
30% 1.457 – 2.186
50% 2.186 – 2.186
20% 2.186- 2.477
20% 2.477 – 3.206
3. Equipamiento 990,0 Uniforme con rango: 769,0 y
990,0
4. Activos diferidos 100,0 Triangular con rango: 67,0
a 200,0
5. Otros activos 222,0 Triangular con rango: 204,0 a
252,0
6. Tiempo de
construcción 2 años
7. Demanda inicial (N) 13.579 Normal: media 13.579,
Desviación E 1.100
8. Demanda inicial (E) 9.052 Triangular con rango:
5.903 a 13.775
9. Estancia media 6,92 noches Uniforme rango 7 a
14
10.Tarifas para habitaciones US$ 116 Uniforme rango :
116 a 200
11. Crecimiento demanda (N) 4% Uniforme rango 4% a
6%
12.Crecimiento demanda (E) 3% Uniforme rango 3% a
4%
13.Ocupación media de habit 68% Uniforme rango :
68% a 75%
14.Ratio personas por habit 1,91 Uniforme rango : 1,50
a 1,91
15.Costo Inputs intermedios 0,36 Uniforme rango: -12%
+ 15%
16.Costo de personal 0,25 Uniforme rango -15% +
10%
17. Costos fijos operativos 0,39 Uniforme rango : -5%
+ 10%
18. Costos fijos 50% Uniforme rango : 48% a
50%
19. costos variables 50% Uniforme rango: 47% a
51%
20. Crecimiento del Flujo de Caja 3% Uniforme rango :
3% a 4%
21. Tasa de descuento 20% Uniforme rango : 15% al
28%
La teoría
de la probabilidad y su uso en la evaluación de
proyectos
La evaluación de proyectos de
inversión dependen ahora más que nunca de las
leyes de la
probabilidad en un mundo globalizado y con una intensidad
competitiva. Estamos de acuerdo con las reflexiones del
matemático norteamericano Warren Weaver cuando
señaló:
"Muchos de las decisión que tomamos diariamente
son intuitivas – e indudablemente tenemos que buscar otra
manera de actuar –tenemos que estar listos para pesar las
probabilidades de nuestros juicios " (1963, p. 377).
Claro que la anterior recomendación se supone que
se debe considerar al menos en aquellas decisiones que son
trascendentes y que pueden mejor o arruinar nuestra calidad de
vida o nuestro deseo de progreso como sociedad.
Figuerola Palomo, Manuel
1990. Elementos para el estudio de la economía de la empresa
turística. Madrid, Editorial Síntesis.
Reutlinger, Shlomo
1970. Techniques for project appraisal under
uncertainty. Baltimore, The Johns Hopkins University Press. World
Bank Staff Ocasional Papers (No. 10).
Weaver, Warren
1963. Lady Luck : the theory of probability, New York,
Anchor Books.
Alfredo Ascanio, PhD
Universidad Simón Bolívar
Caracas-Venezuela