La Metodología de las Raíces Unitarias,
Cointegración , Vectores
Autorregresivos y Estabilidad de
Parámetros
Presentación y Algunas
Aplicaciones
- Abstract
- Raíces
Unitarias - Pruebas de raíces
unitarias para series de tiempo - Ecuación de
Cointegración y Mecanismos de Corrección de
Errores - Análisis de estabilidad
de parámetros - Ejemplos
- Instrumentalización
de la Metodología de Vectores Autorregresivos
(VAR) - Conclusiones
- Bibliografía
Este trabajo tiene por objeto introducir un desarrollo
importante en el análisis econométrico de series de
tiempo en una
forma relativamente elemental. Con este fin se enfatiza la
utilización práctica de la metodología y su aplicación al
análisis de algunos problemas
relevantes para la discusión sobre política
económica en Perú. La presentación se
hará en seis secciones. En la introducción se hace una
justificación de la metodología de
Cointegración en términos de los así
llamados problemas de
"regresión espuria" y de "especificación dinámica", así como una respuesta de
la Econometría como corroboración de relaciones
teóricas al enfoque de series de tiempo. La
segunda se concentra en el concepto de nivel
de integración de una serie y en la prueba
estadística de su representación
como un proceso
estacionario o no. En la tercera sección se presenta la
metodología de la Cointegración propiamente dicha y
su representación como un mecanismo de corrección
de error. En la cuarta sección se ilustra esta
técnica mediante la presentación de una
aplicación estimada para el caso peruano. Cabe la pena
mencionar que los resultados aquí expuestos no contienen
resultados definitivos sobre los problemas tratados,
más bien constituye una exploración preliminar del
tema que debe considerarse como ilustraciones de la
metodología presentada. En la quinta sección se
presenta la metodología de los Vectores
Autorregresivos y su instrumentalización, analizando las
funciones de
impulso-respuesta y de descomposición de la varianza;
igualmente se analiza los Test de
Cointegración para sistemas VAR y su
uso como evaluador de la política
económica. Finalmente, se exponen las conclusiones
derivadas del
estudio, las mismas que constituyen solo una aproximación
exploratoria al tratamiento de las series de tiempo.
Es muy conocido que una gran parte de los procedimientos
normalmente utilizados en Econometría están basados
en regresiones lineales con muy diversas modificaciones; estos
procedimientos
tienen propiedades adecuadas si se cumplen ciertas suposiciones;
la suposición que será modificada en este
artículo es la de la estacionariedad de las series que
entran en la relación que se desea estimar.
Una serie de tiempo es estacionaria si su distribución es constante a lo largo del
tiempo; para muchas aplicaciones prácticas es suficiente
considerar la llamada estacionariedad débil, esto es,
cuando la media y la varianza de la serie son constantes a lo
largo del tiempo. Muchas de las series de tiempo que se analizan
en Econometría no cumplen con esta condición,
cuando tienen una tendencia.
Desde hace mucho tiempo se conoce que cuando no se
cumple esta suposición se pueden presentar problemas
serios, consistentes en que dos variables
completamente independientes pueden aparecer como
significativamente asociadas entre sí en una
regresión, únicamente por tener ambas una tendencia
y crecer a lo largo del tiempo; estos casos han sido
popularizados por Granger Y Newbold (1974) con el nombre de
"regresiones espurias".
Para ilustrar este problema se pueden considerar dos
variables
X y Y, construidas construidas en cada
período sumando el valor de la
variable en el período anterior una variable aleatoria con
distribución normal, con media cero y una
cierta varianza:
Xt = Xt-1 + e t e t ~ N ( 0 , s e
2 ).
Yt = Yt-1 + h t h t ~ N ( 0 , s h
2 ).
y generando en forma independiente los términos
aleatorios de las dos variables. Variables construidas de este
modo reciben en la literatura
econométrica de series de tiempo el nombre "paseo
aleatorio" y son variables no estacionarias, cuya media y cuya
varianza son proporcionales al período de observación.
Generando las variables de acuerdo con este modelo para
240 observaciones con varianza 2 y 3 para e t y
h t y con
valores
iniciales de 1000 para X y de 12500 para Y se obtienen dos series
independientes por construcción pero con una tendencia
creciente en el tiempo; haciendo una regresión lineal
entre las dos se encuentra:
Xt = -20560 + 1.7270
Yt R2 = 0.4903 D-W = 0.07695
(-14.28) (15.01)
Una interpretación muy común de este
resultado sería que las variables están
significativamente asociadas pero que el bajo valor del
R2 sugiere que a la ecuación le faltan
variables adicionales, la ausencia de las cuales a su vez explica
el bajo valor del coeficiente de Durbin – Watson; otra
explicación podría ser la de que la estructura
dinámica de la ecuación no es la
correcta y podría tratar de corregirse utilizando rezagos
de las variables, introduciendo otras variables con rezagos o
utilizando técnicas
de estimación de mínimos cuadrados generalizados
para tener en cuenta la autocorrelación de los residuos de
la ecuación. Se recuerda que las variables son
independientes pero crecientes en el tiempo.
Este es un resultado muy frecuente, el ejemplo anterior
es una ilustración de la técnica del
análisis de simulación
llamada de "Montecarlo". Esta técnica fue utilizada por
Granger y Newbold para estudiar las propiedades de regresiones
entre variables no estacionarias. Recientemente se ha realizado
un análisis teórico del problema, en el cual se
muestra que,
bajo ciertas condiciones muy generales, las principales
propiedades de las regresiones
Xt = a + b
Yt
entre variables no estacionarias son las
siguientes:
- Las distribuciones de los estadísticos "t" de
los coeficientes divergen, de modo que no existen valores
críticos asintóticamente correctos para las
pruebas de
significancia. Los valores
mencionados crecen con el tamaño de la muestra. Para
recordar, en el caso de regresiones entre variables
estacionarias, las distribuciones de los estadísticos
"t" convergen a una distribución normal y, por lo tanto,
no hay una tendencia a que crezcan con el tamaño de la
muestra. - Los coeficientes no son consistentes;
a *, el estimador MCO
de a diverge
y b *, el
de b ,
converge a una distribución no concentrada en un punto.
Para comparar, en el caso de regresiones entre variables
estacionarias, las distribuciones de los coeficientes
a * y
b * convergen a una
distribución que concentra toda la probabilidad en
el verdadero valor de los parámetros. - El estadístico de Durbin-Watson tiende a cero,
aún cuando el término aleatorio de la
regresión no presente autocorrelación y la
distribución de R2 converge a una
distribución no concentrada. Todo esto en contraste con
los resultados usuales para variables estacionarias
.
Resultados similares se obtienen en el caso de
regresiones múltiples.
Estos resultados hacen que sean sospechosas las
estimaciones de ecuaciones de
regresión entre series no estacionarias. Las primeras
recomendaciones de Granger y Newbold, seguidas posteriormente por
muchos analistas, fueron las de usar valores de significancia
más restrictivos para los estadísticos "t", lo cual
como se vio no tiene justificación teórica ya que
los "t" crecen con el tamaño de la muestra; o la de
convertir las series en estacionarias, ya sea por medio de
diferenciaciones, por extracción de una tendencia lineal,
exponencial o polinómica o usando como variables en las
regresiones los residuos de una estimación de un modelo ARIMA
para las series originales, esto hace que se pierda información sobre las relaciones de largo
plazo de las variables, relaciones que son, en muchos casos, el
objeto primordial del análisis. Por lo tanto las primeras
recomendaciones de Granger y Newbold no son adecuadas para tratar
el problema; `mucho mejor es el programa de
encontrar procedimientos que muestran cuándo la
relación encontrada entre las variables es "espuria" o no,
y en el caso de que no lo sea, cuáles son las propiedades
estadísticas de los parámetros
estimados.
Recientemente se ha dedicado mucho esfuerzo al
análisis de las propiedades de ecuaciones de
regresión con variables más generales que las
estacionarias, pero con algún tipo de restricción a
su distribución. Un caso particular de las variables no
estacionarias es el de las llamadas variables
integradas.
Se dice que una serie de tiempo Xt es
integrada de orden d ( Xt ~ I(d) ) si puede expresarse
como:
( 1 – L )d A( L )Xt = B ( L
) e
t
donde L es el operador de rezago: LXt =
Xt-1 , A(L) es un polinomio de orden p en L que
expresa el grado de autorregresión de la serie:
A(L)Xt = Xt – a 1Xt-1
– a
2Xt-2 – … – a
pXt-p
B(L) es un polinomio de orden q en L que expresa la
dependencia de las series en un promedio móvil de una
serie de términos aleatorios independientes:
B(L)e
t = e
t – b
1e t-1 – b
2e t-2 – … –
b
qe t-q
y tanto A(L) como B(L) tienen todas sus raíces
fuera del círculo unitario (son en valor absoluto mayores
que la unidad). Otro modo de decir esto es decir que
Xt es ARIMA(p,d,q) con un proceso
estacionario e invertible. En estas condiciones la menor
raíz en valor absoluto de la parte autorregresiva es la
unidad y se dice que la serie tiene d raíces unitarias o
que es I(d); una serie estacionaria es I(0) y el "paseo
aleatorio" utilizado anteriormente es I(1).
Combinaciones lineales de series I(0) son I(0),
combinaciones lineales de series I(1) son en general I(1), con
una excepción muy importante, la de las series
cointegradas que son I(0) y que veremos en detalle más
adelante. Esto también muestra que una serie integrada no
puede ser representada adecuadamente por series estacionarias,
por ejemplo una serie de niveles de empleo no
puede representarse adecuadamente como una combinación de
precios
relativos solamente; del mismo modo una serie estacionaria no
puede, en general, representarse como función de
series integradas.
Estudios hechos recientemente muestran que una gran
proporción de las series económicas no
estacionarias son I(d), y muchas de ellas I(1). esto ha inducido
una gran cantidad de investigaciones
sobre las propiedades estadísticas de regresiones con series I(d)
y sobre pruebas de que
una serie de tiempo tiene raíces unitarias, usando como
hipótesis nula la de que la serie es
estacionaria o la de que la serie tiene raíces menores que
la unidad, y por lo tanto diverge aún más que las
series con raíces unitarias. De particular importancia es
la búsqueda de combinaciones lineales estacionarias de
series integradas, lo que se llama el caso de la
Cointegración en series.
La conexión de la metodología de la
Cointegración con los mecanismos de corrección de
errores reconcilia dos puntos de vista divergentes en investigación económica: por una
parte, el de los teóricos de la economía, quienes
concentrándose en las relaciones de largo plazo enfatizan
la pérdida de la información sobre estas relaciones
implicado en el análisis en diferencias; del otro lado,
los practicantes de las series de tiempo quienes despreciando
aquellas relaciones teóricas debido a su falta de
información acerca de la dinámica de corto plazo de
los procesos, se
limitan a la representación de esta dinámica. En
este sentido, en lo que se conoce como el procedimiento en
dos etapas, la metodología de Cointegración
preserva tanto la posibilidad de retener la información en
niveles como la de permitir a los datos
parametrizar su representación, podemos superar los
problemas de especificación dinámica y de
regresión espuria. En esta forma, la posibilidad de
complementar las relaciones de equilibrio de
largo plazo de la ecuación de Cointegración con la
dinámica que incorpora el mecanismo de corrección
de errores enfatiza la significancia de la metodología de
Cointegración como una respuesta de la Econometría,
como corroboración de relaciones teóricas al
enfoque de las representaciones de series de tiempo.
Como se comento en la sección anterior, las
series de tiempo no estacionarias que presentan raíces
unitarias son un caso muy especial muy importantes de las series
no estacionarias, tanto por su frecuencia en economía como por lo
que se conoce de sus propiedades estadísticas; en los
;últimos años se ha realizado una gran cantidad en
trabajo para el diseño
de pruebas de hipótesis de que
una serie tiene raíces unitarias. En esta sección
se hará una presentación de algunas de estas
pruebas. Es necesario anotar que no se trata de realizar una
presentación exhaustiva de las pruebas ideadas hasta ahora
sino solamente mostrar cuáles son las utilizadas
más frecuentemente. Asimismo, como ene l resto de este
artículo, al tratarse de un artículo de
divulgación, se omiten completamente las pruebas,
remitiendo al lector interesado a la literatura
pertinente.
El problema estadístico teórico que se
presenta es el de la existencia de una discontinuidad en las
distribuciones, como funciones
de a cuando esta
toma el valor de 1, para otros valores puede utilizarse en
muestras grandes las distribuciones "t" y "F" usuales, pero para
este valor especial es necesario encontrar nuevas
distribuciones.
Las pruebas de raíz unitaria que se han
desarrollado dependen del modelo básico que genera la
serie. El más sencillo de la forma:
xt = a xt-1 + e t
donde la hipótesis nula es de la forma Ho:
a = 1.
Esta hipótesis ha sido
analizada en varias ocasiones con enfoques ligeramente diferentes
y da origen a pruebas distintas, muchas veces según que la
prueba obtenida sea del tipo de relación de verosimilitud
(estimación del modelo bajo la hipótesis nula y
bajo la hipótesis alternativa y prueba basada en la
diferencia de los valores de
los logaritmos de la función de
verosimilitud en las dos situaciones), de multiplicadores de
Lagrange (estimación bajo la hipótesis nula y
prueba basada en cambios a partir de esta hipótesis) o de
Wald (estimación bajo la hipótesis alternativa y
prueba basada en movimientos hacia la hipótesis
nula).
Evans y Savin (1981,1984) desarrollan una prueba de
multiplicadores de Lagrange consistente en encontrar la
distribución de a *, el estimador de máxima verosimilitud
de a , bajo la
hipótesis de que a =1. Ellos calculan los valores de la
distribución normalizada ((T/Ö 2)( a * -1)) por métodos
numéricos y presentan gráficos y tablas de dicha
distribución. El método de
ellos es entonces estimar xt = a xt-1 +
e t por
máxima verosimilitud (mínimos cuadrados ordinarios
si se puede mantener que e t es normal), calcular
((T/Ö
2)( a *
-1)) y consultar las tablas que ellos presentan.
Phillips (1987) muestra que este procedimiento,
con una pequeña modificación consistente en
corregir la expresión de Evans y Savin por un factor que
tiene en cuenta la posible autocorrelación de
e t, se
aplica a los modelos
más generales, de la forma ARIMA(p,1,q), y, aún, a
modelos en los
cuales aparecen variables exógenas, siempre y cuando que
estas variables puedan expresarse de forma similar y no tengan a
su vez raíces unitarias. Las pruebas pueden aplicarse sin
necesidad de estimar el modelo ARIMA o su análogo con
variables exógenas, y sin siquiera conocer las
órdenes de los polinomios autorregresivo y de promedio
móvil.
Dickey y Fuller (1979,1981) presentan pruebas de
relación de verosimilitud para un modelo un poco
más general que el de Evans y Savin:
xt = m + b
t + a
xt-1 + e t
donde m
es el llamado coeficiente de deriva (drift) y
b es la tendencia de la
serie. En este caso e
es ruido blanco
(un proceso independiente a lo largo del tiempo, con medio cero y
varianza constante). Ellos presentan varias pruebas de
hipótesis:
m =
b = 0, es el mismo caso
tratado por Evans y Savin. Ellos lo tratan de dos modos
diferentes: en primer lugar transforman la ecuación
restando xt-1 de los dos lados de la ecuación
con lo cual obtienen:
D xt =
-(1- a
)xt-1 + e t
bajo la hipótesis nula de existencia de
raíz unitaria, el coeficiente de xt-1 debe ser
cero. Fuller (1976) trae una tabla con la distribución de
ese coeficiente bajo la hipótesis nula. por otro lado
Dickey y Fuller presentan pruebas de hipótesis de las
hipótesis nulas m = 0 y b = 0 por separado y conjuntamente con la
a =1 para ellos estiman
el modelo bajo la hipótesis alternativa:
xt = m + b
t + a
xt-1 + e t
y obtienen la distribución de los coeficientes
"t" de m y
de b y de la
relación de verosimilitud de la hipótesis
completa.
m ¹ b
= 0 le dan los mismos tratamientos del caso anterior, por
medio de una transformación se obtiene que el hecho de
cumplirse la hipótesis nula equivale a que el coeficiente
de xt-1 en D xt = -(1- a )xt-1 +
e t es igual
a cero , pruebas de esta hipótesis pueden realizarse
usando las tablas de Fuller (1976). Por otro lado pruebas de toda
la hipótesis y de los coeficientes particulares de las
variables pueden hacerse estimando la regresión bajo la
hipótesis alternativa y usando las tablas de Dickey y
Fuller (1981).
Lo mismo sucede con el tercer caso: m ¹ 0, b ¹ 0
ahora la ecuación auxiliar es:
D xt
= a m + b (1- a ) + b a t –
(1- a
)xt-1 + e t
Dickey y Fuller hacen una ampliación de sus
pruebas al caso en el cual e sigue un proceso autorregresivo de orden p, la
prueba llamada de Dickey y Fuller Aumentada que consiste en
estimar las ecuaciones auxiliares mencionadas,
añadiéndose rezagos de los valores de
D x. Phillips (1987)
también amplía al caso de modelos estacionarios
más generales los resultados de Dickey y
Fuller.
Es necesario anotar, sin embargo, que procesos con
coeficientes muy altos en los procesos de promedio móvil
presentan problemas especiales en lo que respecta al poder de estas
pruebas.
La otra prueba comúnmente usada es la de Sargan y
Bhargava, esta prueba se basa en los valores de la prueba de
Durbin-Watson de las regresiones de la variable sobre su valor
rezagado, la distribución no es la encontrada por Durbin y
Watson sino la que encuentran y calculan Sargan y
Bhargava.
Pruebas de
Raíces Unitarias para Series de Tiempo.
A) Prueba de Dickey – Fuller (DF).- Dickey y
Fuller encontraron que el problema podría ser simplificado
sacando a m
t de ambos lados de , m t =r m
t-1 + n t para obtener:
D m t = (r -1)m t-1 + n t
D m t = l m
t-1 +n t
cuando la hipótesis nula es ahora
H0: l
=0 y la hipótesis alternativa es
H1: l
<0. Mientras esta transformación ayudo con los
problemas de la distribución, la prueba estadística no sigue con la
distribución tradicional y los valores críticos
para la evaluación
de la prueba estadística han tenido que ser determinados a
través de los extensos experimentos de
Monte Carlo.
B) Prueba ampliada de Dickey-Fuller (ADF).- El
proceso autorregresivo de D m
t = l
m t-1
+n t
es muy simple y para tener en cuenta dinámicas más
complejas, Dickey y Fuller propusieron pruebas para la
estacionariedad basadas en la ecuación
ampliada:
D m t = a 0 + a 1t + l m
t-1 + S b
jD m
t-j + n t
donde j=1,…m, a 0 toma en cuenta la dirección y t es la tendencia lineal en el
tiempo.
La mayoría de la literatura teórica y
estudios empíricos han estado
interesados en el caso en el cual las variables a investigarse
son I(1) y sólo dos variables son consideradas en un
período, pero han habido algunos interesantes desarrollos
recientes en la Cointegración Multivariable y en las
pruebas desarrolladas para las Raíces Unitarias y para la
Cointegración (ver Engle y Granger 1991).
C) Prueba de Raíz Unitaria de Phillips-Perron
(PP).- Una prueba alternativa de raíz unitaria fue
desarrollada por Phillips y Perron . Al igual que la prueba ADF,
la prueba PP es una prueba de hipótesis sobre p=1 en la
ecuación: ∆Yt = ∆b + pYt-1 + ∆
t ; pero a diferencia de la prueba ADF, no existen
términos de diferencias retardados. Más bien, la
ecuación es estimada por MCO y luego el estadístico
"t" del coeficiente p es corregido. La hipótesis nula
H0 del test de
Phillips-Perron es la trayectoria de raíz unitaria con
tendencia y la alternativa la estacionariedad con tendencia, si
el valor t-Student asociado al coeficiente de Yt-1 es
mayor en valor absoluto al valor crítico de MacKinnon, se
rechaza la hipótesis de existencia de raíz
unitaria.
D) Test de Zivot y Andrews.- Zivot y Andrews
(1992) .- Zivot & Andrews elaboraron un test en el que se
diferencia una trayectoria de raíz unitaria de una
estacionaria cuando había cambio
estructural, debido a que los tradicionales test ADF y PP estaban
sesgados hacia el no rechazo de la hipótesis nula de
raíz unitaria, puesto que a menudo se rechazaba
incorrectamente la hipótesis alternativa de
estacionariedad. La hipótesis nula es la presencia de
raíz unitaria con tendencia y la alternativa, la de
estacionariedad con tendencia y cambio
estructural (en el nivel y/o pendiente). Zivot y Andrews
presentan unos gráficos en la que se plotean por un lado,
la trayecoria de la distribución t o t’s de Zivot, y
por el otro los valores de la distribución t
crítico. Si el valor t-Zivot es menor que los valores
críticos (VCRIT), existe suficiente evidencia
estadística para rechazar la hipótesis nula de
raíz unitaria, por lo que la(s) serie(s) evaluadas muestra
una trayectoria de raíz unitaria. Contrariamente, si la
distribución de valores t Zivot son mayores que el t
crítico, no existe evidencia para rechazar la
hipótesis nula de raíz unitaria (no
estacionariedad).
Perron (1989) sostuvo que los tradicionales test de
raíz unitaria (Dickey-Fuller, Dickey-Fuller Aumentado y
Phillips-Perron) tenían poco poder para
diferenciar una trayectoria de raíz unitaria de una
estacionaria cuando había cambio estructural. En
consecuencia, como estos test estaban sesgados hacia el no
rechazo de la hipótesis nula de raíz unitaria, a
menudo se rechazaba incorrectamente la hipótesis
alternativa de estacionariedad. Perron encontró, por
ejemplo, que las series de agregados macroeconómicos y
financieros utilizados por Nelson y Plosser (1982) eran en su
mayoría estacionarias con cambio estructural, en
oposición a lo que los citados autores señalaban.
Siguiendo esta línea, Zivot y Andrews (1992)
elaborarón un test en la que la fecha del punto de quiebre
era determinada endógenamente.
E) Metodologia del Filtro de Hodrick –
Prescott .- De acuerdo con este metodo es preciso encontrar
la serie Y*t (tendencia) que minimice : 
( Yt –
Yt* )2 + l 
( D
Yt – D Yt* )2 la serie
Yt* equivale a la variable potencial y
l es el
parámetro de suavización, en una serie
estacionaria, la tendencia es casi paralela al eje X. El filtro
de Hodrick – Prescott es quizá el método mas
frecuentemente utilizado para determinar la tendencia de una
serie estacionaria, sin embargo ha sido sujeto a criticas
diversas. Entre ellas destaca el hecho de que la
determinación ex ante del parámetro de
suavización esta sujeta a la discrecionalidad del
investigador, que los extremos de la serie de tendencias
están deficientemente definidos y que induce un comportamiento
cíclico espurio en los datos. Sin
embargo el método representa un patrón contra el
cual pueden compararse otros métodos de
estimación para series estacionarias.
Aquí la serie de dinero real,
registra un comportamiento
errático debido a la presencia de un posible quiebre
estructural.
En la sección V de este artículo
aparecerán ejemplos del uso de estas pruebas.
IV.
Ecuación de Cointegración y Mecanismos de
Corrección de Errores.
Se dice que un vector de series de tiempo xt
es cointegrado de orden d,b ( xt ~ CI(d,b)) si siendo todas las
series del vector ~
I(d), existe un vector de coeficientes a tal que z = a ‘x ~ I(d -b), b >0. En particular,
si N=2 y d=b=1 se tiene para las series xt y
yt, las cuales son I(1), que si bien en general
cualquier combinación lineal de ellas es I(1), si existe
un a tal que
zt= xt – a yt es I(0), ellas son cointegrados
de orden 1 y el parámetro de Cointegración
a es
único.
Ahora bien, el hecho de que esta combinación
lineal es I(0) a pesar de que las series individualmente sean
I(1), en otras palabras, de que zt, por
oposición a xt y a yt
individualmente no tienen componentes dominantes de onda larga
significa que a
es tal que el grueso de los componentes de largo plazo de
yt y a
xt se cancelan mutuamente. Por otra parte,
cuando se deriva de la teoría
económica la operación de fuerzas que tienden a
mantener xt y yt juntas y se postula la
existencia de una relación de equilibrio de
largo plazo entre ellas, se esta implicando que xt y
yt no pueden alejarse mucho lo cual expresado en
términos las características del error de equilibrio
zt, significa que e debe ser estacionario. Por consiguiente, esta
reducción del orden de integración de manera que zt es
I(0) aparece como la condición de posibilidad
estadística de la postulación de una
relación de equilibrio entre xt y
yt. O para ponerlo en términos de las pruebas
de hipótesis de la representación de paseo
aleatorio para zt, el equilibrio estimado sería
desalentador e irrelevante.
Resulta entonces, claro , que hacer pruebas de
Cointegración entre xt y yt no es
diferente de hacer pruebas de estacionariedad de zt;
más precisamente, con el fin de comprobar la
hipótesis nula de no Cointegración para esas series
lo único que se necesita hacer es comprobar la
hipótesis nula de una representación de paseo
aleatorio para zt. Y por consiguiente, el
procedimiento metodológico obvio con el fin de hacerlo es
correr la regresión de Cointegración xt=
C + a
yt + e t, por mínimos cuadrados
ordinarios y aplicar alguna de las pruebas de raíz
unitaria. Es de anotarse que un síntoma de
Cointegración entre variables es un valor alto del
R2 acompañado de valores no muy bajos (de
acuerdo con la prueba de Sargan y Bhargava) de estadístico
de Durbin y Watson.
Granjer y Engle (1987) muestran que, en el caso de
Cointegración, el procedimiento de mínimos
cuadrados ordinarios produce resultados consistentes para los
parámetros de la ecuación (mejor aún,
superconsistentes, en el sentido de que los parámetros
tienden a su verdadero valor en forma inversamente proporcional
al número de observaciones y no a la raíz cuadrada
de ese número como es el caso usual con series
estacionarias), muestran también que las pruebas de
hipótesis usuales no son válidas. Ellos muestran
también que, en el caso de dos variables, la
ecuación de Cointegración esta identificada (en el
sentido econométrico no en el sentido de series de tiempo)
por la condición de que es la única
combinación lineal de las variables con varianza finita;
en el caso de varias variables puede haber diversas relaciones de
Cointegración y es necesario introducir criterios
adicionales de identificación, normalmente por
exclusión de variables como en la situación
clásica.
En cuanta a las pruebas de Dickey y Fuller y de Dickey y
Fuller Ampliada, de nuevo se utilizan las tablas no
estándar del "t" con el objeto de rechazar una
hipótesis de raíces unitarias en favor de la
estacionariedad; sin embargo, debe enfatizarse que en el caso de
haber más de dos variables en el vector de
Cointegración, caso en el cual a no es necesariamente único de
manera que pueden existir varias relaciones de equilibrio, los
valores críticos del estadístico "t" son ahora
correspondientemente altos. Por otra parte, en cuanto a la prueba
de Sargan y Bhargava, en la misma forma que cuando se comprobaba
la presencia de raíces unitarias, un DW de la
regresión xt = c + ut
significativamente mayor que cero permitía rechazar la
hipótesis de que xt era paseo aleatorio, cuando
se comprueba Cointegración un DW de la regresión de
Cointegración (notado como CRDW) significativamente mayor
que cero permite rechazar la hipótesis de no
Cointegración.
Finalmente, se va a considerar el vínculo entre
Cointegración y mecanismo de corrección de errores
tanto desde un punto de vista estadístico como desde un
punto de vista metodológico, el primero con respecto a lo
que es conocido como Teorema de Representación de Granger,
y el segundo al así llamado Procedimiento en Dos Etapas de
Engle y Granger (2EEG). Ahora bien, antes de introducir esto se
debe recordar que un mecanismo de corrección de errores
postula que una proporción del desequilibrio de un
período es corregido es corregido en el siguiente
período, y que un modelo de este tipo relacionaría
el cambio de una variable con los errores de equilibrios pasados
y los cambios pasados en ambas variables. Entonces, la
implicación de este teorema es que series cointegradas
tienen una representación de mecanismo de
corrección de errores e, inversamente, un mecanismo de
corrección de errores genera series cointegradas; en otras
palabras: si xt , yt son I(1), sin
tendencias en medias, y son cointegradas, siempre existe un
mecanismo de corrección de errores de la forma:
xt = -g 1 zt-1 + A1
(L) xt + B1 (L) yt +
D1 (L)h
1t
yt = -g 2 zt-1 + A2
(L) xt + B2 (L) yt +
D2 (L)h
2t
donde zt-1 es el residuo de la
ecuación de Cointegración rezagado un
período y todos los polinomios en términos
rezagados tienen sus raíces fuera del círculo
unitario. Además datos generados por un mecanismo de
corrección de error debe ser cointegrado (Granger,
1986).
Ahora bien, la existencia, dada la Cointegración,
de una representación MCE que no esta sujeta a los
problemas de regresión espuria, ya que todas las variables
que entran en la ecuación son estacionarias, da lugar al
método de dos etapas de Engle y Granger. Este
procedimiento es muy sencillo, simplemente consiste en la
ejecución de la regresión en niveles por
mínimos cuadrados ordinarios, la realización de la
prueba de Cointegración, seguida de la estimación
de un mecanismo de corrección de error, estimado otra vez
por MCO, este mecanismo incluye los residuos de la
ecuación de Cointegración en lugar de
términos en niveles de las variables que entran en ella,
tal como se muestra. En esta forma, la imposición de
restricción dada por la ecuación de
Cointegración sobre el MCE expresa la introducción del impacto de la
relación teórica de equilibrio de largo plazo sobre
el modelo dinámico de corto plazo. En términos
prácticos, entonces, se puede (y se debe) usar
Cointegración en primer lugar como una pre – prueba a fin
de evitar situaciones de regresión espuria, y
únicamente después de rechazar no
Cointegración pasar a la especificación en cambios
rezagados, con el fin de modelar z mediante el mecanismo de
corrección de errores. De manera que, el procedimiento de
Engle y Granger permite producir proyecciones de corto plazo que,
al ser consistentes con las de largo plazo derivadas de la
teoría
económica, proveen una alternativa poderosa a aquellas
derivadas del análisis simple de series de tiempo y,
además permite la incorporación clara de la
estructura
dinámica en las ecuaciones derivadas de la teoría
económica, al permitir estimar conjuntamente tanto la
relación de equilibrio como el comportamiento del sistema fuera del
equilibrio.
V. ANALISIS DE
ESTABILIDAD DE PARÁMETROS
la utilidad de los
estimadores MCO en la explicación y en la
proyección de variables economicas depende
fundamentalmente del cumplimiento de los supuestos del MLG. Por
ello, un análisis econometrico completo debe verificar que
no existan indicadores
que hagan dudar el cumplimiento de alguno de los supuestos.
Existen dos formulaciones para indagar sobre la presencia de
inestabilidad, la técnica tradicional y la
estimación recursiva.
La técnica tradicional se basa en el
supuesto de que se conoce la fecha del punto de quiebre y en
virtud de tal supuesto se realiza la conocida prueba del cambio
estructural propuesta por Gregory Chow. Esta prueba esta basada
en el contraste F de Fisher que se distribuye con k y (n-2k)
grados de libertad, si
el valor F-Chow es menor que el valor tabular F con los grados de
libertad
apropiados y al nivel de confianza escogido, se podria aceptar la
hipótesis de estabilidad de parámetros, pero si el
valor calculado F-Chow resultara mayor que el valor tabular F
– Fisher, no podria aceptarse la hipótesis que los
parámetros poblacionales son significativamente iguales,
por lo tanto se puede asumir parámetros
inestables.
Des esta manera con el test de Chow es posible evaluar
según la fecha determinada, hubo o no un cambio de
estructura que se manifestó en la función
analizada.
La estimación recursiva, que consiste en
aplicar sucesivamente la técnica de MCO alterando en uno
el numero de observaciones proporciona estimadores que poseen
ciertas características que son verificables si los
supuestos del MLG se cumplen. Esto a de permitir relacionar sus
características con el cumplimiento de los
supuestos.
A través de los estimadores recursivos es posible
detectar la presencia del problema econometrcio mencionado
mediante la utilización de pruebas estadísticas,
tales como el Test de Residuos Recursivos y el Test
CUSUMSQ. El residuo recursivo correspondiente a la observación t, se define como la
diferencia entre el valor observado de la variable
endógena y el valor predicho de la misma, observando que
bajo la hipótesis nula de estabilidad y el supuesto de
normalidad, los residuos recursivos Wn posee
las mismas características que los residuos poblacionales
Un y por ello se concluye que es un buen
estimador de este. Si los valores de Wn no
cambia de manera sistemática en el horizonte temporal de
su trayectoria, por lo cual se concluye que no hay evidencia de
inestabilidad en el modelo estimado.
En la misma línea, el Test CUSUMSQ (suma
acumulada de residuos al cuadrado), en un intento de evitar la
limitación de aceptar la hipótesis de estabilidad
por razones causales, situación que se puede presentar en
el test anterior, los autores (Brown, Durbin y Evans) proponen un
contraste que consiste en dibujar la serie temporal de
Wn así como las líneas que
limitan la banda de confianza : E (Wn) ±
Co donde el valor crítico de
Co se obtiene de la tabla estadística
CUSUM. Nuevamente, si Wn se sale de la
banda, se rechaza la hipótesis de homogeneidad del modelo.
Se observara, que el algoritmo
Wn es una función monótona
creciente con límite en la unidad, el cual sigue una
distribución beta con parámetros (s – k) / 2, y (n
– s) / 2; con esperanza E (Wn) = (s – k) /
(n-k).
En esta sección se presenta una aplicación
de la metodología anterior. Cabe la pena mencionar que
esta ilustración es solamente ilustrativa, y que
forman parte de trabajos más completos que esta siendo
desarrollado por el autor.
A. Tipos de cambio
Es de esperarse que existan una relación de largo
plazo entre el tipo de cambio
oficial y el tipo de cambio
paralelo, si esta no existiese se presentarían
oportunidades ilimitadas de ganancia a personas que comprasen y
vendiesen en los mercados.
Se trabajara en este ejercicio con datos mensuales de
los dos tipos de cambio desde enero de 1980 hasta diciembre de
1999.
El primer paso consiste en estudiar la presencia de
raíces unitarias en las dos series. Para disminuir
problemas adicionales de heterocedasticidad se trabajo con
logaritmos de las variables.
El procedimiento general, consiste en cinco
pasos:
– Prueba de raíz unitaria de las
series.
– Estimación de la relación de
Cointegración.
– Prueba de Cointegración.
– Estimación del mecanismo de corrección
de errores. Y,
– Pruebas estadísticas de esta
ecuación.
Aplicando la prueba de Evans y Savin se raíces
unitarias se tiene:
Variable Coeficiente Prueba Significancia
Paralelo 1.003294 0.5590 0.85
Oficial 1.003388 0.5749 0.87
Como puede verse no se puede, con base en esta prueba
rechazar la hipótesis de existencia de una raíz
unitaria en las dos series.
Aplicando la prueba de Sargan y Bhargava se obtienen
resultados similares:
Variable Durbin-Watson Significancia
Paralelo 0.00177 > 0.10
Oficial 0.00029 > 0.10
Aplicando la prueba de Dickey y Fuller se
tiene:
Variable Coeficiente t Significancia
Paralelo 0.00329 5.9842 > 0.10
Oficial 0.00339 33.160 > 0.10
En esta prueba los coeficientes resultaron positivos, lo
cual es indicio de que no se puede rechazar la hipótesis
de raíz unitaria y de que es posible que existan varias.
Se aplicaron las otras pruebas de Dickey y Fuller, con el
resultado, en todos los casos de que no se puede rechazar la
hipótesis de una raíz unitaria. En los dos casos se
rechazaron las hipótesis de una tendencia no aleatoria y
de una deriva (drift). La hipótesis que permaneció
fue la de unos procesos con raíz unitaria.
Las mismas pruebas se aplicaron a las diferencias de las
series para examinar la hipótesis de dos raíces
unitarias. Para el tipo de cambio paralelo se rechaza muy
claramente la hipótesis utilizando cualquier prueba. Para
el tipo de cambio oficial la situación no es tan clara, se
rechaza la hipótesis pero marginalmente.
En resumen las dos series son I(1) y se les puede
aplicar los métodos de
la sección III para ver si son variables
cointegradas.
La ecuación de Cointegración
es:
Paralelo = 0.056611 + 0.990999*Oficial +
e R2 = 0.99284 D-W = 0.20476
O, alternativamente:
Oficial = -0.027624 + 1.001856*Paralelo +
e R2 = 0.99284 D-W = 0.20328
Las dos ecuaciones están muy cerca de ser la una
la inversa de la otra, lo cual según Engle y Granger es un
síntoma de Cointegración, esto se muestra en el
hecho de que el producto de
los coeficientes de las variables explicatorias, en este caso
0.9928, sea muy cercano a la unidad.
Aplicando la prueba de Sargan y Bhargava se tiene de
acuerdo a la tabla publicada por Engle y Yoo (1988) que los
valores críticos de la prueba son 0.29 para 1%, 0.2 para
5% y 0.16 para 10% de modo que se puede rechazar la
hipótesis nula, no Cointegración o lo que es lo
mismo presencia de una raíz unitaria en los residuos de la
ecuación de Cointegración, a un nivel por lo menos
5%, el mismo resultado es válido usando cualquiera de las
dos ecuaciones.
Otras de las pruebas es la de aplicar Dickey y Fuller a
los residuos de la regresión, para el tipo de cambio
paralelo, se obtiene:
Cambio Residuos = -0.103217*Residuos (-1 ) +
j
(-3.50105 )
Las tablas muestran como valores críticos del
coeficiente "t":-4(1%), -3.37(5%) y -3.02(10%), como en el caso
de la prueba anterior, se puede rechazar la hipótesis de
no Cointegración a un nivel de por lo menos 5%. Algo
similar ocurre si se toma como ecuación de
Cointegración aquella en la cual aparece como variable
dependiente el tipo de cambio oficial. Y lo mismo sucede con las
demás pruebas de Cointegración.
Como se vio en la sección III, asociado a la
ecuación de Cointegración existe un mecanismo de
corrección de errores, en el cual el cambio en las
variables cointegradas esta asociado a los residuos de la
ecuación de Cointegración y, probablemente, a
valores rezagados de los cambios de las variables y a otras
variables que no entraron en la ecuación de
Cointegración. Usando hasta doce rezagos de cada uno de
los cambios de las variables, por tratarse de series mensuales,
se estimo la ecuación de corrección de errores que
aparece en el cuadro 1.
Cuadro 1
Ecuación de corrección de
errores D en el
tipo de cambio paralelo ( CTPAR)
Variable Rezago Coeficiente t-Statistic Significancia
Constante 0 -0.004531 -0.935198 0.3496860
Residuo 1 -0.080057 -2.280963 0.0225506
Ctpar 1 -0.135146 -1.823069 0.0682929
Ctpar 2 -0.143257 -1.916368 0.0553183
Ctpar 3 -0.128595 -1.719982 0.0854357
Ctpar 4 -0.282954 -3.788447 0.0001516
Ctpar 5 -0.044578 -0.578704 0.5627889
Ctpar 6 0.000977 0.012698 0.9898690
Ctpar 7 0.047242 0.616075 0.5378450
Ctpar 8 -0.017708 -0.229811 0.8182390
Ctpar 9 -0.102966 -1.399052 0.1617970
Ctpar 10 -0.767432 -1.049615 0.2938950
Ctpar 11 0.542212 0.758402 0.4482100
Ctpar 12 0.145937 2.069835 0.0384670
Ctof 1 1.785215 2.271580 0.0231120
Ctof 2 -0.232684 -0.202017 0.8399030
Ctof 3 -1.272581 -1.088481 0.2763830
Ctof 4 2.186517 1.852417 0.0639660
Ctof 5 -0.895971 -0.750444 0.4529870
Ctof 6 1.172320 0.983896 0.3251660
Ctof 7 -1.866239 -1.573436 0.1156180
Ctof 8 0.880443 0.740438 0.4590340
Ctof 9 0.034644 0.029335 0.9765980
Ctof 10 1.096212 0.936424 0.3490540
Ctof 11 -0.886466 -0.769352 0.4416480
Ctof 12 -0.094025 -0.119790 0.9046500
R2 0.3029 Q = 44.82
Como puede verse, el coeficiente de los residuos de la
ecuación de Cointegración es negativo y es
significativo, lo cual constituye otra prueba de la existencia de
Cointegración entre las dos variables, el signo negativo
quiere decir que cuando el tipo de cambio paralelo se aleja mucho
de la ecuación de equilibrio en un período, existen
fuerzas que la hacen acercarse a dicha ecuación en el
período siguiente. El valor del R2 es bajo, lo
cual indica la necesidad, si se quiere una ecuación que
explique mejor el comportamiento de la variable, de introducir en
el modelo variables diferentes de las se han incorporado; el
valor del estadístico Q (Box-Ljung) muestra que no se
puede rechazar la hipótesis de que los residuos son
ruido blanco.
Como resulta siempre en una primera etapa de estos ejercicios,
hay muchas variables que son significativas, reestimando la
ecuación, eliminando esas variables se obtienen los
resultados del cuadro 2.
Cuadro 2
Ecuación de corrección de
errores D
en el tipo de cambio paralelo ( CTPAR)
Variable Rezago Coeficiente t-Statistic Significancia
Constante 0 -0.004482 -1.021553 0.306993
Residuos 1 -0.086511 -2.640473 0.008279
Ctpar 1 -0.126847 -1.929663 0.053653
Ctpar 2 -0.160104 -2.510814 0.012045
Ctpar 3 -0.156908 -2.479135 0.013170
Ctpar 4 -0.263093 -4.244920 0.000022
Ctpar 12 0.170443 2.784201 0.005366
Ctof 1 1.757943 5.854069 0.000000
R2 0.2594 Q = 43.8533
Este cuadro muestra resultados bastante satisfactorios,
todas las variables son muy significativas, el tipo de cambio
paralelo entra con cuatro rezagos seguidos y con un rezago de
orden 12 el cual refleja la estacionalidad del proceso, el tipo
de cambio oficial entra con un rezago y, por su puesto, a
través del mecanismo de corrección de
errores.
Cuadro 3
Ecuación de corrección de
errores D
en el tipo de cambio oficial ( CTOF)
Variable Rezago
Coeficiente t-Statistic Significancia
Constante 0 0.000808 1.950051 0.051170
Residuo 1 0.002358 0.867466 0.385687
Ctpar 11 0.016669 3.069838 0.002142
Ctpar 12 0.009784 1.755329 0.079203
Ctof 1 1.010398 5.278560 0.000000
Ctof 2 -0.148142 -2.218871 0.026495
Ctof 12 0.061952 1.965018 0.049412
R2 0.8816 Q = 52.9424
El cuadro 3 muestra el resultado del mismo ejercicio
para la serie del tipo de cambio oficial, como se vio
anteriormente, esta serie tiene mucha más inercia que la
anterior, tanto que puede dudarse de si se trata de una serie
I(1) o de una I(2), esto explica también el alto valor del
R2 en esta ecuación. Como es de esperarse, el
coeficiente del residuo es de signo positivo, pero no es
significativo, esto indica que el tipo de cambio oficial afecta a
la paralela a través del mecanismo de corrección de
errores pero no sucede lo contrario. Sin embargo, la paralela si
afecta a la oficial en forma más directa, sobre todo en la
parte estacional de la serie.
Granger muestra que si existe Cointegración, y
por consiguiente mecanismo de corrección de errores,
existe también causalidad en el sentido de Granger, por lo
menos una de las variables causa a la otra, en el sentido de que
tenerla en cuenta aporta a la calidad de la
explicación de la otra variable. En esta caso el tipo de
cambio oficial causa a la paralela en el sentido Granger pero no
al revés.
Los resultados sugieren que el mercado paralelo
de dólares no es un mercado
eficiente, en el sentido que utiliza toda la información
disponible, si así fuese, el tipo de cambio paralelo
sería un paseo aleatorio, el pasado de la serie no
contendría ninguna información sobre los cambios en
la serie cosa que los resultados anteriores muestran que se puede
rechazar.
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