La Metodología de las Raíces Unitarias (página 2)

VII.
Instrumentalizacion de la Metodología de Vectores
Autorregresivos (VAR)

En esta parte del artículo se analizara los
detalles técnicos asociados con estimación y uso de
los Vectores
Autorregresivos (VAR), en particular en el manejo de series de
tiempo no
estacionarias útil para analizar la interrelación
entre las diferentes series de tiempo. El
objetivo
fundamental de la propuesta es proporcionar una estrategia de
modelización que al evitar la generosa imposición
de restricciones en que se apoya la identificación de los
modelos
econométricos convencionales, permita reflejar lo
más fielmente posible las regularidades empíricas e
interacciones entre las variables
objeto de análisis.

Cuando se tienen varias series, es necesario tomar en
cuenta la interdependencia entre ellas. Una forma de hacerlo es
estimar un modelo de
ecuaciones
simultáneas, pero con rezagos en todas las variables.
Este modelo se
conoce como modelo dinámico de ecuaciones
simultáneas . Sin embargo, esta formulación supone
dos pasos: primero, es preciso clasificar las variables en dos
categorías: endógenas y exógenas; segundo:
deben imponerse ciertas restricciones en los parámetros
para lograr la identificación. Para superar esto se
propone el uso de los "Vectores Autorregresivos" que no es
más que una generalización del modelo
Autorregresivo AR ( p ) a las series de tiempo
múltiples.

Los Vectores Autorregresivos han proveído una
exitosa técnica para hacer pronósticos en sistemas de
variables de series de tiempo interrelacionadas, donde cada
variable ayuda a pronosticar a las demás variables. VAR es
también frecuentemente utilizado, aunque con considerable
controversia en el análisis del impacto dinámico de
diferentes tipos de perturbaciones y controles fortuitos en
sistemas de
variables. Un VAR es un sistema de
variables que hace de cada variable endógena una función de
su propio pasado y del pasado de otras variables endógenas
del sistemas . El estudio de las interacciones dinámicas
estimadas es una de las motivaciones fundamentales de los
usuarios de los modelos VAR y,
de hecho, los usos típicos de estos modelos reflejan esta
motivación. Tales usos son el computo de
las funciones
impulso-respuesta y de la descomposición de la varianza
del error de predicción. Las implicaciones
dinámicas del modelo estimado dependerán
evidentemente de la estructura de
correlaciones contemporáneas reflejada en la matriz de
perturbaciones. Explicar cómo realizar esta
incorporación, el computo de las estimaciones VAR, de la
función
impulso-respuesta y de la descomposición de la varianza
del error de predicción, serán el objeto de estudio
de las siguientes secciones. La estimación del modelo VAR
es más sencillo, ya que es posible utilizar el método de
los Mínimos Cuadrados Ordinarios (MCO). Toda esta exposición
esta basada en los trabajos de Christopher A. Sims,
"Macroeconomics and Reality" (1980) y "Macroeconometrics VAR: A
Explanations" (1991).

Metodología del Vector
Autorregresivo

La metodología VAR es, en cierta forma ,una
respuesta a la imposición de restricciones a priori que
caracteriza a los modelos econométricos convencionales: en
un sistema de
ecuaciones simultáneas se requiere imponer restricciones
sobre los parámetros de las mismas para garantizar la
identificación y posible estimación de las
ecuaciones que lo conforman. Para ello, además, es
indispensable diferenciar entre las variables endógenas y
las predeterminadas, es decir, aquellas cuyos valores no son
determinados por el modelo en el período actual. Estas
últimas pueden ser exógenas o endógenas
rezagadas.

El VAR presenta alternativamente, un sistema de
ecuaciones simultáneas en el que cada una de las variables
son explicadas por sus propios rezagos y los del resto de
variables del sistema. Es decir no se admite restricciones a
priori y todas las variables son consideradas endógenas.
La única información a priori que se incluye
está referida al número de rezagos de las variables
explicativas que se incorporan en cada
ecuación.

No obstante, en términos operativos, una correcta
especificación del sistema requiere que la
determinación de las variables a ser incluidas en
él, se base en el
conocimiento de un modelo teórico relevante. Un VAR
tiene en general la siguiente especificación:

(1) Yt = P
iYt +i +m t

Donde Yt é Yt-1 son
vectores de orden m1 (m es el número de rezagos
del sistema) y P
i es la matriz
(cuadrada de orden m) de coeficientes del rezago i de las
variables explicativas en las m ecuaciones.

De esta forma, se puede observar que deberán
estimarse tantas matrices P i como rezagos se incluyan en el
sistema. Matricialmente: (2)

Y1t a11(L)
a12(l) … a1m(L)
Y1t m 1t

Y2t a21(L)
a2m(L) Y2t
m
2t

. = . . . . +
.

. . . . . .

Ymt aml(L)
… amm(L)
Ymt m mt

En este sistema:

(3) E[m
tm t-j] = 0 " j ¹ 0

(4) E[m
tm ´ t] =
S

Como se observa, todas las explicativas del sistema son
predeterminadas (endógenas rezagadas); además, los
errores tienen una varianza constante y no presentan
autocorrelación. Por ello, el mejor estimador
asintótico de este modelo es el de mínimos
cuadrados ordinarios (MCO) aplicado ecuación por
ecuación. En términos prácticos se
recomienda:

1-Limpiar cada una de las series de cualquier tipo de
estacionariedad.

2-Estimar por MCO cada ecuación
individualmente.

3-Determinar el número de rezagos de las
variables explicativas que deben permanecer en cada
ecuación.

Para ello se sugieren dos tipos de test:
primero el test F por
bloques, para probar la hipótesis nula de que un número i de
rezagos deben incluirse como explicativas en cada
ecuación, versus la alternativa de que dicho número
es i + r > i.

Este test tiene el problema de que debe ser aplicado
individualmente a cada ecuación, pudiendo llegarse a la
conclusión de que el número de rezagos a incluirse
en ellas es diferente en cada caso. Esto le restaría
eficiencia al
estimador de MCO; segundo, el test de Máxima
Verosimilitud para el conjunto de ecuaciones. La
hipótesis nula de
este test es el que el sistema tiene un número i de
rezagos versus la alternativa de que este número es j + r
. El estadístico seria:

{ T – C } * { log |S i| – log |S i + r |}

donde

log |S
i|=logaritmo del determinante de la matriz de varianzas y
covarianzas para el modelo con i rezagos.

T = Número de observaciones.

C = Parámetros del modelo no restringido en cada
ecuación:

{12 (j + r) +1}

Este test se distribuye c 2 con grados de libertad igual
al número de restricciones en el sistema {4 ( i
+ r ) 2}. Este test tiene poco poder para
rechazar test sucesivos de restricción de rezagos; por
ello el rezago referencial debe ser el de mayor valor en el
sistema, es decir, cualquier hipótesis nula debe ser contrastada contra
el rezago ( i + r ).

No se debe utilizar el test " t" ni dar importancia a
los signos de los coeficientes, ya que existe una gran
multicolinealidad entre las variables de cada
ecuación. La magnitud de los coeficientes es un
indicador relativo de la significancia de la variable (un
coeficiente pequeño generalmente acompaña a una
variable poco significativa).

Nótese que una de las desventajas del uso de este
modelo es que su estimación implica calcular
m2p coeficientes, sin considerar los de la
matriz S
2.

Una forma alternativa de representación VAR
consiste en hacer depender el vector de valores
actuales de las variables del valor actual y
los infinitos rezagos del vector de errores:

(5) Yt=P
i Li Yt +
m
t

(6) [ I – P
i Lj] Yt =
m
t

(7) A(L)Yt = m t

(8) Yt = m t / A(L)

(9) Yt = d + m
t +Y
1m t-1 +Y 2 m t-2 +
.…

donde ( 9 ) es una representación MA
(¥
).

Esta representación puede ser transformada de tal
forma que los valores
actuales sean una función de los valores
presentes y pasados de un vector de innovaciones ortogonales:
como los errores (5) no tienen porque estar correlacionados, se
acostumbra premultiplicar dicha ecuación por la
única matriz triangular (T) , con unos en la
diagonal principal, que diagonaliza la matriz de covarianzas del
error. Así, se obtiene un nuevo modelo con errores
ortogonales:

TYt = TP
i Yt-1 + h t

donde: h
t = Tm t es el vector de las innovaciones
ortogonalizadas, y D = TS T. Es decir, para cada matriz
S real,
simétrica y definida positiva existe una única
matriz triangular P con unos en la diagonal principal y una
única matriz diagonal D con entradas positivas en la
diagonal, tal que : S
= PDP´.

Si se requiere obtener un nuevo modelo con errores
ortogonales, bastará con hacer T = P-1, de
forma tal que:

E(h
th ´t) = [ P-1]
E (m
tm ´t)
[P-1]

= [P-1]S [P-1]´

=
[P-1]PDP´[P´]-1

E(h
th ´t) = D

Donde D, la matriz de varianzas y covarianzas de los
errores transformados, es una matriz diagonal que garantiza su
ortogonalidad. A partir de este modelo transformado se pueden
obtener las interacciones dinámicas estimadas: la
función de impulso-respuesta ortogonalizada, calculando el
efecto sobre Yt+s de un impulso unitario
h t+s ; y de
descomposición de la varianza del error de
predicción, los cuales serán materia de
discusión en las secciones siguientes.

Especificación del Sistema
VAR.

En la práctica es frecuente la existencia de
más de dos variables endógenas y muchas veces
más de un rezago. El modelo de Autorregresión
Vectorial con tres rezagos para cada una de las 2 variables
endógenas e incluyendo la constante
sería:

Y = a
0 + b
1Yt- 1 + b 2Yt-2 +
b
3Yt-3 + b 4 Xt-1 +
b 5
Xt-2 +b
6 Xt-3 + x 1.

X = a
1 + b
13Yt- 1 + b 14Yt-2 +
b
15Yt-3 + b 16 Xt-1 +
b 17
Xt-2 +b
18 Xt-3 + x 2.

Hemos considerado el sistema en términos lineales
(el sistema también puede escribirse en términos
del operador de retardos L), a fin de tener una expresión
convergente para las variables endógenas en
términos de las innovaciones ( x 1, x 2,):

Yt = A1Yt-1 +
………+ApYt-p +
x
t

Y1t = D -1[(1-a nnL)x 1t + a 1nLx
2t+…..a nnLx nt]

Para el caso de un modelo, con 2 variables
endógenas: Yt, Xt, y 3 rezagos para
cada una de ellas, la primera ecuación
sería:

Yt = a 1 +b
j Yt-j +d j Xt-j +
x
1

Xt = a 2 +f
jYt- j+l jXt-j+
x
2t

Estimación y Calibrado Econométrico
VAR.

Desde una perspectiva Bayesiana, el problema de
estimación consiste en obtener una estimación de
los coeficientes partiendo de la distribución de los mismos y la nueva
información incorporada en el vector de
observaciones de las variables endógenas. La
estimación se completa cuando se han procesado todas las
observaciones muéstrales de acuerdo con las ecuaciones de
actualización, obviamente, llevar a término el
proceso
requiere especificar el sistema VAR , así como la distribución que debe ser interpretada como
condicional en la historia premuestral. Un
principio básico de esta metodología es evitar a
priori exclusiones injustificadas de variables; de otro lado, la
introducción de coeficientes que dependen
del tiempo tiene como objetivo
capturar posibles no linearidades en el vector estocástico
modelado.

Los coeficientes estimados de un VAR son
difíciles de interpretar. Por causa de esto es muy
probable observar en la función de impulso-respuesta y de
descomposición de la varianza del sistema, ciertas
implicaciones acerca del VAR .

Teóricamente, en cada ecuación el
coeficiente de la propia variable rezagada tendrá una
media inicial de 1, y todos los demás tendrán una
media inicial de 0, con la varianza de la variable a priori
disminuyendo a medida que aumenta la longitud del rezago. Al
aumentar la longitud del rezago, disminuye la varianza; es decir,
cada vez es mayor la certeza de que el coeficiente es cero. Para
todos los demás coeficientes, dicho valor inicial
será de 0 y los valores iniciales de los coeficientes
rezagados se concentrarás más en torno a
cero.

Como el objetivo de la modelación VAR es el
estudio de las interacciones dinámicas de diferentes tipos
de perturbaciones y controles fortuitos, y de hecho, los usos
típicos de esta modelación reflejan esta motivación, se pasará al
análisis de las funciones
impulso-respuesta y de la descomposición de la varianza ,a
fin de realizar evaluación
de políticas
y el análisis del poder
predictivo del sistema, tópicos que se describen en las
siguientes secciones del artículo.

Función Impulso-Respuesta.

Esta función es simplemente la
representación de medias móviles asociada con el
modelo estimado y explica la respuesta del sistema a shocks en
los componentes del vector de perturbaciones . La función
impulso-respuesta traza la respuesta de las variables
endógenas en el sistema ante un shock en los errores. Un
cambio
en x
1 cambiaría inmediatamente el valor de Y
. Ello además cambiaría todos los valores futuros
de las demás variables endógenas del sistema,
debido a la estructura
dinámica del sistema.

En una función mpulso-respuesta , separa los
determinantes de las variables endógenas dentro de los
shocks o identifica innovaciones con variables
específicas. Entonces, traza el efecto corriente y valores
futuros de las variables endógenas ante un "shock" de una
desviación estándar a las innovaciones (variables
estocásticas).

Si todos los componentes estocásticos de nuestro
sistema VAR son incorrelativos, la interpretación es
directa, x
1 es la innovación Y , x 2 es la innovación X, y así sucesivamente.
Una función impulso-respuesta para x 2 mide el efecto de
una desviación estándar ante un shock en X actual y
futuro para las variables endógenas.

Por desgracia, este no es casi nunca el caso pues los
errores son totalmente incorrelativos. Cuando los errores se
correlacionan, ellos tienen un componente común el cual no
puede ser identificado con cualquier variable específica.
Un método
algo arbitrario de negociación con este problema es atribuir
todo el efecto a cualquier componente común a la variable,
aquel que venga primero en el sistema VAR. En nuestro sistema, el
componente común de x 1 y x 2 es totalmente atribuido
a x
1, porque x 1 precede a x 2; x 1 es la
innovación Y y x 2 es la innovación X
transformado o removido el componente común.

Más técnicamente los errores son
ortogonalizados por una descomposición Choleski,
así la matriz de covarianza resultante es triangular
inferior (los elementos por encima de la diagonal principal son
cero). La descomposición Choleski es extensamente usada,
es un método un poco arbitrario de atribución de
efectos comunes. Cambiando el orden de las ecuaciones, se puede
cambiar dramáticamente las funciones impulso-respuesta,
hay que tener cuidado con las interpretaciones de estas
funciones.

Descomposición de la Varianza del error de
predicción.

La descomposición de la varianza de un VAR brinda
información acerca de la potencia relativa
de innovaciones aleatorias para cada variable endógena.
Este ejercicio consiste en descomponer la varianza de las
variables endógenas en componentes que permitan aislar el
porcentaje de variabilidad de una endógena explicado por
una de las innovaciones para distintos horizontes predictivos.
Tal descomposición se obtiene luego de "ortogonalizar" el
vector de perturbaciones ,que consiste en distribuir la responsabilidad de las correlaciones reflejadas en
la matriz de covarianza entre los distintos componentes del
vector de perturbaciones. La intensión al hacer
explícita esta conexión entre el modelo
originalmente estimado y el obtenido, es clarificar que el modelo
obtenido una vez realizada la ortogonalización, no es una
forma reducida, sino una forma estructural; y que por tanto, el
proceso de
ortogonalización es de hecho una forma de
identificación. De esta manera se pueden calcular las
contribuciones de las innovaciones sobre el error de
predicción del período siguiente. Es de esperar que
en el corto plazo la propia innovación explique la mayor
proporción de este error.

Evaluación de política y
análisis del poder predictivo de un sistema
VAR.

Uno de los objetivos
finales de la Econometría y tal vez el que le dé
mayor uso potencial, es la evaluación
de políticas
. Este objetivo se refiere a una situación en la cual los
que realizan la toma de
decisiones deben elegir una política, denominada
"plan", a
partir de un conjunto de políticas alternativas dado. La
evaluación de políticas esta íntimamente
relacionada con la predicción y, al igual que la
predicción, se asumirá que la elección de
políticas es cuantitativa, explícita e
inequívoca. De hecho, la predicción y la
evaluación de políticas están
interrelacionadas dentro de un sistema de retroalimentación: un pronóstico
debe estar basado, en parte, en supuestos concernientes a la
elección de quienes toman decisiones relevantes. A la
inversa, la evaluación de políticas debe estar
fundamentada, también en parte, sobre predicciones de los
efectos de las distintas políticas
alternativas.

De esta manera el cálculo de
las funciones impulso-respuesta y de descomposición de la
varianza, sugieren las mismas interacciones dinámicas.
Estas desviaciones fueron calculadas mediante un ejercicio de
Montecarlo (bajo el supuesto que los errores tienen una
distribución normal) utilizando la distribución a
posteriori del operador autorregresivo. El método de
Montecarlo es la única vía practicable para este
cálculo
dada la relación no lineal que existe entre las
representaciones autorregresiva y de medias
móviles.

Vectores Autorregresivos y
Cointegración.

Existe una relación simple entre la
técnica de Vectores Autorregresivos y la
Cointegración . Si las raíces características (eingenvalor) de la matriz
de coeficientes del VAR son iguales a la unidad, las series de
ambas son integrales de
primer orden, pero no cointegrales ; si precisamente el
número de raíces es uno, las series son
cointegrales. Si ninguna de las raíces es unitaria, las
raíces son estacionarias, de tal forma que no son integrales ni
cointegrales.

¿Cómo se encuentra la relación
cointegrable a partir del modelo VAR? El procedimiento es
el siguiente: encontrar las raíces características (eigenvalores) ;
después, correspondiendo a cada raíz, encontrar el
vector característico; luego construimos una matriz con
los vectores característicos obtenidos e invertimos dicha
matriz, entonces, las columnas de esta matriz dan las
combinaciones lineales requeridas .En la práctica es
necesario probar las raíces unitarias. Esto se lleva a
cabo por medio de la metodología de Johansen desarrollada
en su obra: "Statistical Analysis of Cointegration
Vectors"(1991).

Test de Cointegración en un Sistema
VAR.

Un grupo de
series de tiempo esta cointegrado si es que existe una
combinación lineal estacionaria y dicha combinación
no tiene una tendencia estocástica. La combinación
lineal es llamada "ecuación de Cointegración". Su
interpretación normal es a largo plazo, estudiando las
relaciones de equilibrio a
largo plazo. Si tenemos "n" variables endógenas, cada una
integral de primer orden (esto es, cada una con raíz
unitaria o tendencia estocástica o con elementos de camino
aleatorio), los cuales pueden ir desde cero a n-1 con vectores
cointegrados linealmente independientes, si esto no se cumple, se
tendrían que aplicar primeras diferencias a la muestra hasta
lograr su estacionariedad.

El test de Johansen determina el número de
ecuaciones de Cointegración. Este número es llamado
"rango de Cointegración". Si hay n ecuaciones de
Cointegración , las medias de las series están
integradas actualmente y el VAR puede reformularse en
términos de niveles de todas las series. El test aumentado
de Dickey-Fuller (ADF) muestra que
algunas de las series son integradas, pero el test de Johansen
muestra que el rango de Cointegración es "n". Esto una
secuencia de modelos anidados , los modelos más
restringidos, con el menor número de parámetros, no
poseen ecuación de Cointegración, este es un VAR
irrestricto en primeras diferencias. Cada ecuación de
Cointegración añade parámetros asociados con
el término de envolvencia de niveles para las series que
se añade a cada ecuación. El test de Johansen
procura computar el ratio estadístico de verosimilitud
(likelihood ratio) para cada ecuación de
Cointegración añadida . Este test no tiene una
distribución chi-cuadrado usual; la contrastación
de estos estadísticos se debe realizar apatir de las
tablas de Johansen y Juselius (1990) :

Metodología de Johansen (1991).

La especificación de esta metodología se
basa en una generalización multivariada del procedimiento de
Dickey y Fuller. Si Xt es un vector de n variables que
siguen un proceso AR(1):

Xt = AtXt-1 +
z
t

Entonces, restando Xt-1 en ambos lados de la
ecuación se obtiene:

D Xt =
AtXt-1 – Xt-1 +
z t =
(At- 1 ) Xt-1 + z t = Õ Xt-1 +
z
t

Si P es
una matriz de ceros de tal forma que r (p )=0, entonces todas las variables son proceso
con raíz unitaria (D Xt = z t ) y no hay combinaciones
lineales estacionarias de Xt, entonces las variables
no cointegran. Si r
(p )
= j , entonces
todas las variables son estacionarias.

Como el Dickey-Fuller aumentado (ADF) se puede
generalizar, el modelo para un proceso de mayor orden se
obtendría reparametrizando de la siguiente
manera:

Xt = A1Xt-1 +
A2Xt-2 + … + z t

restando Xt-1 de ambos lados:
D Xt = (
A1 – I ) Xt-1 +
A2Xt-2 + … +
ApXt-p + z t

sumando y restando ( A1 – I )Xt-2
a la derecha:

D Xt =
(A1 – I )Xt-1 + (A2 +
A1 -I)Xt-2 + A3Xt-3 +
…+ApXt-p + z t

sumando y restando (A2 + A1 –
I)Xt-3 a la derecha:

D Xt
=(A1- I )D
Xt-1+(A2 + A1 -I
)D
Xt-2+(A3+ A2+
A1 -I )Xt-3
+…+ApXt-p + z t

Sumando y restando sucesivamente se obtiene el algoritmo: D Xt = D Xt-1 + P Xt-p + z t ,

donde P
= -[ I – Aj ] ;P

Esta es la fórmula general, que no es otra cosa
que el llamado Modelo de Corrección de Errores (MCE), en
el que el ajuste se produce con "p" rezagos. Así note que
el término de corrección hacia la relación
de largo plazo es P
Xt-p, es decir un ajuste de dicha
relación en el período t-p tiene efectos "p"
períodos después. Esto lleva a que en general la
especificación de este modelo tenga más bien un "p"
bajo, ya que de otra forma la corrección del error
tendría poco significado económico.

Dado que la determinación del número de
vectores de Cointegración depende del rango de
P y, por ende, del
número de raíces características distintas
de cero de dicha matriz, se requiere utilizar un test para
verificar dicho número. Si se tienen las "n" raíces
de la matriz P
(l
i ) donde l 1 >l
2>…>l n, se puede plantear dos
test:

( 1 ) Ho : el número de vectores de
Cointegración es £ r

l TRACE (
R ) = – T Ln (
1- l
i ) , cuanto mayor número de
l s sean
iguales a cero, menor será el l TRACE..

(2) Ho : número de vectores de
Cointegración = r.

(3) H1 : número de vectores de
Cointegración = r + 1.

Test de Cointegración de
Johansen

Tal como de menciono, este es un test de
Cointegración muy usado con variables no estacionarias
(series que presentan una clara inclinación a permanecer
por encima o por debajo de su valor central en la muestra). El
número de los vectores cointegrantes distintos entre
sí pueden obtenerse chequeando la significancia de las
raíces características (eigenvalue), sabiendo que
el rango de la matriz es igual al número de sus
raíces características diferentes de cero. El test
de Johansen nos permite determinar la existencia de
parámetros cointegrantes (ajuste a largo plazo) con sus
respectivas "velocidades de ajuste" indicadas por los
coeficientes de las variables cointegrantes. A
continuación, se utiliza la metodología del Modelo
de Corrección del Vector de Error (VEC) para tener
garantía de que el VAR contiene variables
cointegradas.

La hipótesis que se
plantea en este test es la siguiente:

H0 = No existe
Cointegracion.

H1 = Existe Cointegracion.

La idea es que al efectuar la prueba de Cointegracion,
se rechaze estadísticamente la hipótesis nula de No
Cointegracion lo cual asegura que tanto los signos y los valores
de los parámetros esten acorde con la teoria economica y
que la ecuación testeada se aproxime a su correcta
especificación dinamica de largo plazo, lo cual asegura
tambien que los estimadores de MCO de los parámetros de
Cointegracion convergan asus valores de largo plazo mas
rapidamente que con variables estacionarias.

Metodología del Modelo de Corrección
del Vector de Error (VEC) en un VAR.

Como discreción próxima, el modelo VEC es
un VAR restringido diseñado para series no estacionarias
que sabemos se pueden cointegrar. La especificación VEC
restringe la conducta a largo
plazo para las variables endógenas para que converjan a
sus relaciones de Cointegración, mientras que permitimos
un extenso rango dinámico de corto plazo.

Como la especificación VEC sólo se aplican
a series cointegradas, este se debe llevar a cabo una vez que ha
pasado por el test de Cointegración de Johansen como una
especificación VEC. Esto nos permite confirmar que las
variables son cointegradas y así determinar el
número de ecuaciones de Cointegración usando el
procedimiento de Johansen. La primera diferencia para cada
variable endógena es regresionada con un período de
rezago en la ecuación de Cointegración y los
primeros rezagos diferenciados en todas las variables
endógenas es guiado por desequilibrios percibidos y
asegura una eventual convergencia a la posición de
equilibrio de
largo plazo. Se pone de manifiesto otra de las
características de las ecuaciones dinámicas:
diferentes clases de ajustes realizados , por lo que un Vector de
Corrección de Error (VEC) es un tipo de estructura VAR
cointegrada. Para examinar mejor la estructura, consideremos un
esquema que tenga media y que la ecuación de
Cointegración tenga intercepto, especificando el
VEC:

D Y1,t
= a 1
+ d 0
(Y2,t-1 – m
– b
Y1,t-1) + e 1,t

D
Y2,t= a 2 + d 1 ( Y2,t-1 –
m -b Y1,t-1) +
e
2,t

Aquí los interceptos de las ecuaciones
están fuera del paréntesis, correspondiendo a una
tendencia lineal.

VI.
Conclusiones

La metodología de Cointegración ofrece un
procedimiento que cumple con varias características
importantes: a) permite distinguir entre regresiones espurias y
regresiones válidas, en el sentido que representan una
relación estable de largo plazo entre las variables, con
mecanismos de ajuste que tienden a disminuir las discrepancias
que se presenten; b) permite combinar la metodología de
series de tiempo con información de teorías
económicas de equilibrio de largo plazo, con lo cual se
eliminan muchas de las objeciones que se hacen a cada una de
estas metodologías tomadas por separado; c) permite la
mezcla de información de distinta periodicidad, por
ejemplo, la ecuación de Cointegración podría
hacerse con datos anuales y
la de corrección de errores con información mensual
; d) es relativamente fácil de aplicar, su uso consiste en
la estimación de varias ecuaciones por mínimos
cuadrados ordinarios, la dificultad principal estriba en la
teoría
estadística que esta por detrás de
las pruebas,
teoría
que es mucho más difícil que la teoría
usual.

Uno de los problemas
básicos al que uno se enfrenta al instrumentalizar la
metodología VAR, es el de la rápida
desaparición de los grados de libertad del
modelo a medida que se incrementa la longitud de rezago. Para
superar este inconveniente, se sugiere la estimación
Bayesiana (BVAR). En este método se asignan distribuciones
a priori a los coeficientes de las autorregresiones vectoriales
para permitir que el análisis transcurra en un marco
gaussiano.

La introducción de coeficientes que dependan
del tiempo tiene como objetivo capturar posibles no linearidades
en el vector estocástico modelado. Tal asignación
puede realizarse mediante un proceso más o menos elaborado
de búsqueda guiada por algún criterio de bondad de
ajuste. Con respecto a la ley de movimiento de
los coeficientes, se especifica algo cercano al "paseo aleatorio"
(Random Walk) con un término de error cuya variabilidad es
sensiblemente inferior a la introducida para los propios
coeficientes. (esta ley de movimiento
intenta reflejar la opinión de que demasiada variabilidad
en los coeficientes tiende a empeorar los resultados obtenidos
con el modelo. La experiencia respalda esta
opinión).

El esquema de ortogonalización utilizado en esta
metodología VAR es el denominado esquema de Choleski .
Este esquema especifica una matriz A0 triangular
inferior con unos en la diagonal principal. En este caso, la
solución al problema de maximización es inmediata,
puesto que con S
diagonal existe una única manera de expresar una
matriz positiva definida en la forma
A0S
A´0, por lo que la solución
es única. En general, sin embargo, en aras de un mayor
realismo, el
analista encuentra conveniente apartarse de la cadena de Wald que
implica el esquema Choleski especificando estructuras
para A0 distintas de la triangular. Sin embargo, el
modelo obtenido una vez realizada la ortogonalización no
es una forma reducida sino una forma estructural; y que, por
tanto, el proceso de ortogonalización es de hecho una
forma de identificación.

Los modelos tipo VAR han alcanzado una considerable
aceptación como herramientas
de predicción, cuyo objetivo es a partir de series
temporales interpretar o diseñar conclusiones de política
económica, incluso aplicables a modelos no lineales de
equilibrio general. De hecho en la práctica usual de los
predictores que usan VAR no es un enfoque completamente
bayesiano, pero puede interpretarse como aproximación al
tratamiento ideal. A pesar de que este entorno general no es en
esencia bayesiano, se pretende implementar a futuras extensiones
el pleno tratamiento subjetivista bayesiano. El modelo planteado
aquí, pretende facilitar la
comunicación científica e indirectamente la
toma de
decisiones.

Vale la pena observar que "añadir variabilidad
temporal" al sistema VAR no mejora automáticamente su
comportamiento
predictivo. Bajo algunas consideraciones del resto del modelo, el
ajuste se maximiza a tasas muy bajas de variabilidad temporal , y
forzar variabilidad temporal en el modelo sin comprobar si mejora
el ajuste puede generar importantes deterioros en el comportamiento
predictivo, ya que se supone una mayor varianza de las
perturbaciones siguiendo a períodos con mayores errores de
predicción . Esto es similar a la especificación
GARCH pero difiere en que, lo que se supone que afecta a las
varianzas de las perturbaciones son los errores de
predicción reales generados por el filtro de
Kalman, más que los errores de predicción
ideales que se obtendrían si los parámetros fueran
conocidos exactamente (como en modelos GARCH).

Incorporar covarianzas cruzadas de shocks en el
análisis de las funciones impulso-respuesta, de una forma
conceptual y computacionalmente factible es un importante tema
abierto de investigación. Este aspecto se conecta con
la crítica de "econometría no
teórica" a los modelos VAR , ya que no emplean ninguna
teoría económica, y con el exceso de
parámetros a estimarse. Sims (1991) critico los modelos
tradicionales de ecuaciones simultáneas sobre la base de
que descansan sobre restricciones específicas en los
parámetros, para lograr la
identificación.

Según la metodología de
Cointegración en sistemas VAR de Johansen, se rechaza
la hipótesis nula de no Cointegración
según los valores críticos de la tabla de Johansen
& Juselius (1991). Los valores y signos de los
parámetros estimados están acorde con la
teoría económica, las ecuaciones se acercan a la
correcta especificación de largo plazo, y los estimadores
MCO de los parámetros de Cointegración convergen a
sus valores de largo plazo más rápidamente que con
variables estacionarias.

La metodología esta todavía en desarrollo,
hace falta bastante trabajo, por ejemplo, en la estimación
de modelos de ecuaciones simultáneas, donde falta la
teoría de distribución, la cual parece ser
sumamente complicada; lo mismo sucede con el análisis de
Cointegración no lineal.

En resumen se trata de una teoría que parece muy
adecuada para una buena cantidad de problemas que
se presentan en economía.

BIBLIOGRAFÍA

ANDERSON,T.W. y C.SHIAO (1981): " Estimation of dynamic
models with error components". Journal of American Statistical
Association. # 76, págs 598-606.

BOX,G.E.P y G.M.JENKINS (1970): "Time series
analysis,forecasting and control". San
Francisco, Holden day. Págs. 87.

DICKEY,D.A y W. FULLER (1984): "Testing for unit roots
in seasonal time series". Journal of the American Statistical
Associations, # 79, págs. 355-367.

ENGLE,R. y W.GRANJER (1987): "Cointegration and error
correction representation, estimation and testing". Econometrica
# 55. Págs 251-276.

GRANJER,C. y P.NEWBOLD (1974): "Spurious regressions in
econometrics". Journal of econometrics # 2. Págs
111-120.

HENDRY, DAVID and RICHARD , JEAN FRANCOIS . (1983): "The
econometric analysis of economic time series", International
Statistical Review, N° 51 , 1983.

ROTHENBERG,T.J. y C.T.LEENDERS (1964): "Efficient
estimation of simultaneous equations systems". Econometrica # 32,
págs 57-59.

SARGAN,J. y A.BHARGAVA. (1983):"Testing residuals from
least squares regression for being generated by the Gaussian
random walk" . Econometrica # 51, págs 153-174.

SALKEVER, F, KENNETH. (1972): "The use Dummy variables
to compute predictions error, and confidence intervals.". Journal
of econometrics # 4, ,págs 393-397.

SIMS, CHRISTOPHER:

(1980): "Macroeconomics and reality", Econometrica # 48,
January. Págs 165-192.

(1986): "Are forecasting models usable for policy
analysis?. Federal Reserve Bank of Minneapolis, Quarterly Review
Winter. Págs 154.

(1987): "Identifying policy effects". Federal Reserve
Bank of Minneapolis Research Department. Working paper 351. May.
Págs 145.

(1991): "Macroeconometrics: A explanation". Federal
Reserve of Minneapolis. Págs 142.

TRUJILLO CALAGUA, GUSTAVO H :

(1998) "Un modelo econométrico para el
Perú sobre la dinámica del desequilibrio fiscal y el
proceso inflacionario en el período 1985-1995:
Aplicación de la técnica de Vectores
Autorregresivos", Tesis de Licenciatura .

(1999) "Demand money in Peru: a
Methodology Cointegration Test", Tesina VPISU – USA.

(2003) "Econometría Aplicada con Eviews 4.1",
1era Edición

Autor:

Gustavo Herminio Trujillo Calagua

Economista de la Universidad
Nacional Federico Villareal Lima-Perú. Maestría en
Economía
Matemática
y Doctor en Economía por Virginia State University,
Blacksburg – USA.

Consultor de Negocios.

Profesor Asociado de la Escuela de
Ingeniería Económica de la Universidad
Científica del Sur, Lima-Perú.

Profesor Auxiliar de la Escuela de
Administración de la Universidad Privada
San Pedro, Cajamarca-Perú.

Profesor Auxiliar de la Escuela de Economía de la
Universidad Nacional de Cajamarca,
Cajamarca-Perú.