Cálculo Proposicional

1. Prefacio
3. Inicios del cálculo
   proposicional
4. Cálculo
   proposicional
5. Cálculo de
   predicados
6. Conclusiones
7. Bibliografía
8. Glosario de
   términos

PREFACIO

A mediados del siglo XIX, los matemáticos
británicos George Boole y Augustus De Morgan abrieron un
nuevo campo a la lógica,
hoy conocido como lógica simbólica o moderna, que
más tarde fue desarrollada por el matemático
Alemán Gottlob Frege y de un modo especial por los
matemáticos Británicos Bertrand Russell y Alfred
North Whitehead en Principia Matemática. El sistema
lógico de Russell y Whitehead cubre un espectro mayor para
frases enteras y para las conjunciones que las unen, como "o",
"y", "sí…entonces". Cuenta con símbolos diferentes para el sujeto
lógico y el predicado lógico de una frase; y
adjudica símbolos para distinguir las clases, para los
miembros de las clases y para las relaciones de la pertenencia a
una clase y la
inclusión en una clase. También se aleja de la
lógica clásica en sus suposiciones de la existencia
respecto a las cosas aludidas en sus afirmaciones universales. La
afirmación "Todo A es B" significa en lógica
moderna que "Si algo es A, entonces es B"; lo que, a diferencia
de la lógica tradicional, no significa que todo A
existe.

Tanto la rama clásica como la moderna
implican métodos de
lógica deductiva. En cierto sentido, las premisas de una
proposición válida contienen la conclusión,
y la verdad de la conclusión se deriva la verdad de las
premisas. También se han hecho esfuerzos para desarrollar
métodos de lógica inductiva como las que sostienen
que las premisas conllevan una evidencia para la
conclusión, pero la verdad de la conclusión se
deduce, sólo con un margen relativo de probabilidad, de
la verdad de la evidencia.

De Margan y Lukasiewicz también hacen
importantes aportaciones a la lógica, De Morgan aporta la
denominada inducción matemática y las leyes que llevan
su nombre, y Lukasiewicz aporta un árbol de valores y el
significado del calculo de predicados; en seguida se describen
cada unos de los capítulos que componen este
escrito.

El capítulo 1 nos habla acerca de los
antecedentes históricos del razonamiento, retomando
algunos textos de los principales matemáticos y
pensadores, mismos que hicieron aportaciones importantes en el
campo de la lógica, tales como Aristóteles, Boole, De Morgan y
Lukasiewicz. Definiendo de esta manera a la lógica
matemática y sus dos principales campos de
aplicación (Lógica proposicional y Cálculo de
predicados) y desde luego el término de lógica
formal dentro de las ciencias de la
computación.

Capitulo 2 aquí se define el término
de lógica proposicional, descripción y explicación de lo que
son las proposiciones (simples o compuestas) dando ejemplos de
ellas. Principales conectores utilizados en la lógica
proposicional para hacer operaciones con
proposiciones, según el resultado de las tablas de verdad
se definen tres conceptos importantísimos;
Tautología, contradicción y contingencia. Breve
comentario y enlistado de las principales leyes de la
lógica, ejemplificando la simplificación utilizando
estas. Las reglas de inferencias con proposiciones, explicando
tres principales a grandes rasgos, entre estas tenemos las
más comunes que son: Modus Ponens que puede
denominársele como encadenamiento hacia adelante, Modus
Tollens como el encadenamiento hacia atrás y por
último el Mecanismo de resolución que se
utiliza para obtener conclusiones compuestas basadas en dos o
más reglas. No obstante se dice que el Modus Ponens
y el Modus Tollens solo son utilizadas para obtener
conclusiones simples. Como última parte de este
capítulo se explica con ejemplos la validación de
proposiciones usando tablas de verdad así como la
demostración automática de teoremas.

En el capítulo 3, se refiere al calculo de
predicados, dando breve explicación de la insuficiencia de
la lógica proposicional al tratamiento de proposiciones
que es donde entra el cálculo de predicados,
definición y ejemplo de lo que puede ser un calculo de
predicados. Referencia a los principales símbolos
utilizados y finalmente la aplicación del calculo de
predicados a tres principales campos como son: a la teoría
de los sistemas
expertos en la representación de conocimientos, en la
teoría de la bases de datos y
a la tecnología orientada a
objetos.

En seguida de este capítulo encontramos las
conclusiones hechas referente a los temas mencionados
anteriormente, cabe mencionar la importancia del calculo
proposicional en variedad de áreas de aplicación.
Se encuentra así la bibliografía en la que se
basa esta investigación, para cualquier
aclaración pueden verificarse las referencias
bibliográficas encontradas en ese apartado.

A lo largo de este documento se presentan figuras
para mejor ilustración de dicho documento, mismas que
se encuentran concentradas en el índice de figuras que se
localiza en la página No. 40. Como se dará cuenta
existen implícitos en el contenido de este escrito algunas
siglas, refiriéndose a terminología de suma
importancia y que pueden referirse en el glosario de
términos que se localiza al final de este
documento.

INTRODUCCIÓN

En forma natural, el ser humano representa el
conocimiento simbólicamente: imágenes,
lenguaje
hablado y lenguaje escrito. Adicionalmente, ha desarrollado otros
sistemas de
representación del conocimiento:
literal, numérico, estadístico, estocástico
y lógico.

En los organismos biológicos se estima que el
conocimiento es almacenado como estructuras
complejas de neuronas interconectadas.

En las computadoras,
el conocimiento se almacena como estructuras simbólicas,
pero en forma de estados eléctricos y
magnéticos.

La lógica proposicional es la más
antigua y simple de las formas de lógica. Utilizando una
representación primitiva del lenguaje, permite representar
y manipular aseveraciones sobre el mundo que nos rodea. La
lógica proposicional permite el razonamiento, a
través de un mecanismo que primero evalúa
sentencias simples y luego sentencias complejas, formadas
mediante el uso de conectivos proposicionales, por ejemplo Y
(AND), O (OR). Este mecanismo determina la veracidad de una
sentencia compleja, analizando los valores de
verdad asignados a las sentencias simples que la
conforman.

La historia de la lógica
empieza a marcarse a través de los años, haciendo
aportaciones a ella, pensadores muy renombrados por sus hechos.
Cabe señalar que en este documento solo se hará
referencia a algunos de ellos.

Principalmente uno de los más conocidos es
Aristóteles, siendo la lógica Aristotélica
la base para guiarse y de esta manera continuar haciendo
diferentes estudios y pruebas con el
fin de confirmar lo estipulado, siendo así como
empezarían a descubrir algunas fallas en esta disciplina.
Aristóteles se basa básicamente en el
Silogismo.

Otro pensador y filosofo y que una de las
áreas de la lógica lleva su nombre es George Boole
con la denomina álgebra de
Booleana. Hizo importantes aportaciones a la lógica
matemáticas como al álgebra. Por
ende el álgebra Booleana es considerada como la base para
la construcción del switch
telefónico y en lo que es la fabricación de
computadoras.

Se le atribuye el término de
"Inducción matemática" a De Morgan, a él
también se le deben las leyes De Morgan, con su estudio
descubrió que el álgebra de la lógica
natural tiene rutas hacia otros tipos de
álgebras.

Existieron muchos pensadores y muchas otras
aportaciones no sin pensar que no tienen mucha importancia, solo
que el fin no es remontarse desde el nacimiento de la
lógica hasta la denominada lógica moderna. Por
último y no menos importante Lukasiewicz, mismo que
escribió fragmentos de los principios de la
no contradicción, desarrollando un árbol de valores
para el calculo proposicional.

"La lógica es una ciencia
racional no sólo según la forma, sino
también según la materia; una
ciencia a priori de las leyes necesarias del pensamiento,
no con relación a objetos determinados, sino con
relación a objetos en general; es, pues una ciencia del
recto uso del entendimiento y de la razón en general; no
de manera subjetiva, es decir, no según principios
empíricos, psicológicos (como piensa el
entendimiento), sino de manera objetiva, es decir, según
principios a priori (cómo el entendimiento debe
pensar)"

En Lógica de
Emmanuel Kant.

1.-
INICIOS DEL CALCULO PROPOSICIONAL

1.1.
Revisión histórica de los métodos del
pensamiento. (Aristóteles, George Boole, Augustus De
Morgan y Jan Lukasiewicz.)

 Aristóteles

El corazón de
la lógica de Aristóteles es el silogismo. La
silogística de la argumentación denominada
lógica por 2,000 años.

En lógica, Aristóteles desarrolló
reglas para establecer un razonamiento encadenado que, si se
respetaban, no producirían nunca falsas conclusiones si la
reflexión partía de premisas verdaderas (reglas
validas.) En el razonamiento los nexos básicos eran los
silogismos: proposiciones emparejadas que, en su conjunto,
proporcionaban una nueva conclusión. El ejemplo más
famoso, "Todos los humanos son mortales" y "Todos los
griegos son humanos", se llega a la conclusión
válida de que "Todos los griegos son mortales".
La ciencia es
el resultado de construir sistemas de razonamiento más
complejos. Aristóteles en su lógica,
distinguía entre la dialéctica y la
analítica; para él, la dialéctica
sólo comprueba las opiniones por su consistencia
lógica. La analítica, por su parte, trabaja de
forma deductiva a partir de principios que descansan sobre la
experiencia y una observación precisa. Esto supone una
ruptura deliberada con la Academia de Platón,
escuela donde la
dialéctica era el único método
lógico válido, y tan eficaz para aplicarse en la
ciencia como en la filosofía.

 George Boole

En el año 1854 publicó una investigación
de las leyes del pensamiento sobre las cuales son basadas las
teorías
matemáticas de Lógica y Probabilidad. Boole
aproximó la lógica en una nueva dirección reduciéndola a una
álgebra simple, incorporando lógica en las
matemáticas. Agudizó la analogía entre los
símbolos algebraicos y aquellos que representan formas
lógicas. Comenzaba el álgebra de la lógica
llamada Álgebra Booleana la cual ahora encuentra
aplicación en la construcción de computadoras,
circuitos
eléctricos, etc.

El sistema de lógica de Boole es una de las muchas
pruebas y paciencia combinada. Esta el proceso
simbólico del álgebra, inventado como herramienta
de cálculos numéricos, sería competente para
expresar cada acto del pensamiento, y proveer la gramática y el diccionario de
todo el contenido de los sistemas de lógica, no
habría sido creíble hasta probarlo. Cuando Hobbes
publicó su "Computación o Lógica" él
tenía un remoto reflejo de algunos de los puntos que han
sido ubicados en la luz del
día por el Sr. Boole.

El álgebra Booleana tiene una amplia aplicación
en el switch telefónico y en el diseño
de computadores modernos. El trabajo de
Boole ha llegado a ser como un paso fundamental en la revolución
de los computadores hoy en día.

Considérense los símbolos de la figura No. 1,
utilizándolos podemos decir que Boole pensaba que a una
proposición se le podía asignar valores de verdad o
falsedad, por ejemplo:

Si llueve me mojo

P = Sí llueve

Q = Me mojo

 Augustus De Morgan

En 1838 él definió él termino
"inducción matemática" colocando un proceso
que ha sido usado sin claridad en una rigurosa base. El termino
aparece primero en el artículo de De Morgan (Induction
Mathematics) en el Penny Cyclopedia. Que la Penny Cyclopedia
publicó a través de la Sociedad de la
Difusión Útil del Conocimiento, establecido por el
mismo reformador quien fundo London University, y que la Sociedad
también publico como un famoso trabajo por De
Morgan El calculo integral y diferencial.

Reconsidero la pureza simbólica del álgebra
natural y fue consciente de la existencia de otras
álgebras como álgebras ordinarias. Presenta las
leyes De Morgan y su grandiosa contribución es como un
reformador de la lógica matemática.

De Morgan creo y definió las leyes que llevan su
nombre, las cuales son reglas de equivalencia en las que se
muestran que dos proposiciones pueden ser lógicamente
equivalente, como se muestra a
continuación.

Leyes de Morgan Ø
(PÚ
Q) Û
Ø
PÙ
Ø
Q Ø
(PÙ
Q) Û
Ø
PÚ
Ø Q

 Jan Lukasiewicz

Trabajo en lógica matemática,
escribió ensayos de los
principios de la no contradicción y la excluyo alrededor
de 1910, desarrollando un árbol de valores para el calculo
proposicional (1917) y trabajo en muchos valores
lógicos.

Lukasiewicz presento la "notation Polish" la cual
permitía escribir expresiones sin ambigüedad en el
uso de soportes y su estudio fue de base para el trabajo de
Tarski’s.

1.2. Concepto de la
matemática lógica y sus dos principales campos.
Cálculo proposicional y cálculo de
predicados.

La lógica matemática estudia la forma del
razonamiento, se considera como una disciplina que por medio de
reglas y técnicas
determina si un argumento es válido o no.

El cálculo proposicional o lógica
proposicional, es la ciencia que trata de los principios
válidos del razonamiento y la argumentación. El
estudio de lógica es el esfuerzo por determinar las
condiciones que justifican a una persona para
pasar de una proposición dada, llamadas premisas, a una
conclusión que se deriva de aquéllas.

El calculo de predicados está basado en la idea
de que las sentencias realmente expresan relaciones entre
objetos, así como también cualidades y atributos de
tales objetos. Los objetos pueden ser personas, objetos
físicos, o conceptos.

1.3. Significado de la lógica formal en las
ciencias de la computación.

La lógica matemática es la disciplina que
trata los métodos de razonamiento. En un nivel elemental,
la lógica proporciona reglas y técnicas para
determinar si es o no valido un argumento dado. El razonamiento
lógico se emplea en matemáticas para demostrar
teoremas; en ciencias de la computación para verificar si
son o no correctos los programas.

También la lógica tiene
participación en la construcción de programas como
son los Sistemas Expertos y programas de Inteligencia
Artificial en sus diferentes modalidades, que
comúnmente se les denominan sistemas basados en
reglas.

2.-
CALCULO PROPOSICIONAL

2.1.- Principales
conceptos

El cálculo proposicional es también
llamado, lógica proposicional, calculo sentencial,
álgebra Booleana. El cálculo proposicional, junta
dos cálculos de predicados con la constitución de símbolos
lógicos.

La Lógica Matemática surge como una
disciplina matemática cuyo objeto de estudio es la
lógica del razonamiento matemático humano (y
actualmente también de otras formas de razonamiento.)
Requiere de expresar la lógica en términos
susceptibles de ser representados y manejados por un computador.

La lógica proposicional es la parte de la
lógica que estudia las formas en que se relacionan unas
proposiciones con otras y, sobre todo, la relación que se
da entre las proposiciones que componen un
razonamiento.

Proposiciones

Las proposiciones son definidas, apenas "como un
pensamiento completo". Para nuestro propósito las
proposiciones pueden ser tentativamente igual a una
sentencia.

Las proposiciones son una sentencia declarativa, o
reglas las cuales tienen valores de verdad, una
proposición puede tener dos valores, verdadero o falso.
Pero no ambos (verdadero y falso) y tampoco pueden no tomar
ningún valor. Una
proposición es un hecho. Los argumentos de las
proposiciones son: premisas y conclusiones de una
proposición. Las proposiciones son portadoras de veracidad
y falsedad.

Mientras las proposiciones son expresadas en sentencias,
la rama de la lógica se conoce como símbolos
lógicos empleando letras de variables
minúsculas, o variables de sentencias o variables
proposicionales, p, q, r, s,…, para expresar
proposiciones.

Proposiciones simples o hechos

Las siguientes son proposiciones simples las cuales son
verdaderas:

1. El cielo es azul
2. La nieve es fría
3. 12*12=144
4. Vicente Fox es el presidente de la Republica
   Mexicana
5. La Segunda Guerra
   Mundial duro desde 1939 hasta 1945

Las siguientes proposiciones simples son
falsas:

1. Honda hace televisiones
2. El General Fidel Castro
   es un Demócrata
3. 8+99=231
4. Los Insectos crean su comida a través de
   fotosíntesis
5. Atenas es la capital de
   Italia

Las siguientes son proposiciones no validas:

1. Él es un vendedor-> Esta no es una
   proposición porque "Él" no esta definido. Como un
   resultado no hay manera de verificar la sentencia y asignarle
   un valor de verdad.
2. Esta declaración es una mentira-> No es una
   proposición porque "Esta" no esta definida como una
   declaración. No hay referencia y como en otros ejemplos
   no podemos asignar un valor de verdadero o falso a la
   declaración.
3. Las cosas buenas vienen en pequeños paquetes –
   > Este tipo de declaración expresa una idea subjetiva
   o concepto el cual no puede ser verificado en términos
   de verdadero o falso.
4. La verdad es que no hay verdad-> Esta es
   también un valor de hecho y expresa un concepto
   filosófico el cual no es verificable.
5. Dios es bueno-> Este es un valor de hecho y
   expresa una ética,
   idea religiosa o dogma. No es una
   proposición.
6. ¿Por que el Soccer no es más popular
   que el Básquetbol en Estados
   Unidos?-> Esta no es una declaración. Simplemente
   hace una pregunta.
7. 12 + x = 16-> No es una proposición porque
   "x" es una variable indefinida, al menos que a x se le asignen
   valores, hasta entonces se puede verificar el valor de verdad o
   falsedad de la proposición.
8. Al Pacino era un buen actor-> No es una
   proposición. Esta sentencia expresa una opinión;
   es subjetivo.

Proposiciones compuestas

Las proposiciones son expresadas a través de
variables (p, q, r, s). Conectivos lógicos y operadores
establecen relaciones entre dos o más proposiciones. La
función
principal de los operadores es la de formar una nueva
proposición de una o más proposiciones. Así
las declaraciones compuestas o proposiciones son
formadas.

2.2. Operaciones sobre las
proposiciones

Algunos autores por ejemplo agrupan los conectores que
se utilizan sobre las proposiciones, en el calculo proposicional
en dos agrupaciones (como la que se muestra en seguida), aunque
normalmente otros los clasifican según su
importancia:

Conectivos agrupados según Balancing Bird ©
199 G. Benton

Monódico: envuelve solamente una
expresión de la declaración

La negación, simbolizada por "¬" y significa
no es verdad.

Diádico: envuelve dos
proposiciones.

El conector AND es simbolizado por "^" y significa
"y"

El conector OR es simbolizado por "v" y significa
"o"

La condición es simbolizado por
"® " y se
lee "Sí… entonces"

Bicondicional es simbolizado por "« " y se lee "Sí y
solo sí"

Reuniendo todos los conectivos en una tabla según
su importancia, quedaría como se muestra en la figura No.
1:

Figura No. 1 Conectores
lógicos

La proposición lógica hace más
fácil y efectiva la manipulación de valores de
verdad entre proposiciones. Las tablas de verdad muestran los
principales valores de verdad de diferentes grupos de
proposiciones conectados por operadores. Los valores de verdad de
una proposición compuesta dependen en los valores de
verdad de estos componentes (p, q, r, s…) y de la
función del conector. Asignando símbolos a
proposiciones y conectores, expresando relaciones entre
declaraciones dentro de una tabla de verdad donde los valores de
verdad son mas fácilmente reconocidos, tan bien como
formalizados.

Breve explicación de los conectores

Negación

La negación es la inversa de los valores de
verdad de una declaración como se muestra en la figura
2:

Figura No. 2 Negación

Ejemplos

1. Algunas personas tienen miedo a
   morir (p)
2. Algunas personas no tienen miedo a
   morir (Ø
   p)

Lo que se considera en este caso es solo negar la
proposición original, utilizando la negación de la
proposición.

Conjunción

Cuando conjugamos dos declaraciones, tiene el sentido de
afirmar que son simultáneamente verdaderas. Por ejemplo,
al decir que "Londres es la capital de Inglaterra y
Cuba es una
isla,". El conector funciona indicando que las dos proposiciones
conjuntadas son verdaderas, de modo que si p es la
proposición "Londres es capital de Inglaterra" y q es la
proposición "Cuba es una isla", la conjunción de
ambas proposiciones se representará de la siguiente
manera:

Considerando que la conjunción de dos
proposiciones cualquiera indica la verdad simultanea de ambas, la
proposición compuesta resultante es verdadera si
efectivamente ambas son verdaderas. En otro caso la
proposición resultante es falsa. Resumiendo todo esto en
una tabla de verdad como se muestra en la Figura 3.

Figura No. 3 Conjunción

Disyunción

La disyunción tiene la función de enlazar
dos proposiciones, indicando que al menos una de ellas es
verdadera (aunque pueden serlo ambas también); supongamos
el siguiente ejemplo, si p es la proposición "3 es un
número primo" y q es la proposición "3 es un
número natural". La proposición compuesta indica
que cuando menos una de las proposiciones simples es
verdadera.

En general, dada una proposición compuesta cuya
conectiva es una disyunción, será verdadera si al
menos una de las alternativas es verdadera (y por supuesto cuando
las dos lo sean). Será falsa sólo cuando las dos
alternativas sean falsas. En la figura No. 4 veremos como
quedaría el ejemplo asignándole variables a las
proposiciones simples, así como, Checaremos y revisemos la
explicación anterior.

Figura No. 4 Disyunción

Condicional

Al relacionarse dos proposiciones con este conector es
muy importante distinguir la que queda a la izquierda (a la que
se le llama antecedente), de la que queda a la derecha (que se
llama consecuente).

El sentido de este conector es señalar, que si la
proposición antecedente es verdadera, también lo es
la proposición consecuente; es decir, basta o es
suficiente que el antecedente sea verdadera, para que el
consecuente también sea verdadero. De aquí que una
proposición compuesta en la que el conector es
condicional, será falsa si siendo verdadero el
antecedente, es falso el consecuente. La proposición
será verdadera en los demás casos, en los que no
ocurre que el antecedente es verdadero y el consecuente
falso.

Ejemplo. Sí p es la proposición "Marte es
un planeta", en tanto que q es la proposición "Marte
brilla con luz propia".

Considérese la tabla de verdad de la figura No.
5

Figura No. 5 Condicional

Bicondicional

Esta expresión es un conector lógico que
al relacionar dos proposiciones indica que el valor de verdad de
ambas es el mismo, ya sea verdadero o falso. Así,
p« q es
una proposición que significa que si p es verdadera,
entonces q también es verdadera y si q es verdadera,
entonces p también es verdadera. En realidad la conectiva
Bicondicional es la conjunción (Ù ) de dos proposiciones condiciones
(si…entonces). es decir, la proposición
p« q tiene
el mismo sentido que la proposición (p® q)Ù (p® q)

Consideremos el siguiente ejemplo: asignémosle
valores a las variables que estamos utilizando. De esta manera si
p toma la proposición de "Febrero tiene 29 días" y
q es "El año es bisiesto".

Ahora cheque su
tabla de verdad, como se muestra en la figura No. 6.

Figura No. 6 Bicondicional

En este conector la regla a utilizar es la siguiente, la
proposición es verdadera siempre y cuando las dos
proposiciones sean verdaderas o falsas.

Tablas de verdad

En este caso explicaremos con mas detalles como se
construye una tabla de verdad, en este caso con 3
variables.

1. Primero se construye la fórmula y a su
   izquierda las variables (letras) que en ella entran. De esta
   manera ya se tiene el encabezado.
2. Para conocer el número de renglones se aplica
   la fórmula , siendo "n" el número de variables. En este caso
   = , o sea. 2 x 2 x 2 = 8.
   Trazando pues ocho renglones.
3. Debajo de cada una de las variables de la izquierda
   (p, q, r) se escribe una columna de valores. Empezando por la
   derecha anotando una V y una F, una V y una F, etc., hasta
   completar el número de renglones (en este caso ocho). La
   siguiente columna a la izquierda se forma escribiendo dos veces
   V y dos veces F, etc., hasta llenar los renglones. La siguiente
   columna se forma escribiendo cuatro veces V y cuatro veces
   F.
4. Para calcular los valores de los conectivos se aplica
   la regla respectiva y se empieza por los más interiores.
   El último conectivo en ser calculado es el que
   esté fuera de todo paréntesis.
5. Ejemplo: (pÙ q)Ú (r® q)

Figura No. 7 Ejemplo de
construcción de tablas de verdad.

2.3. Tautología, contradicción e
incongruencia

Tautología

Es una proposición compuesta que es verdadera en
todos los casos, cualquiera que sea el valor de verdad de sus
proposiciones simples. La proposición tautológica o
tautología es siempre verdadera por su forma
lógica, es decir, por la forma en que se relacionan sus
proposiciones simples. Véase la figura No. 8

Figura No. 8 Tautología

Contradicción

Es una proposición compuesta que es falsa en
todos los casos, cualquiera que sea el valor de verdad de las
proposiciones simples.

Puesto que la negación invierte los valores de
verdad de una proposición, al negar una tautología
obtenemos una contradicción, y viceversa; al negar una
contradicción obtenemos una tautología.
Véase el ejemplo de la figura No. 9.

Figura No. 9
Contradicción

Incongruencia

Una proposición incongruente (llamada
también contingente) es una proposición compuesta
que es verdadera en algunos casos y falso en otros. Son
proposiciones de las que tenemos que determinar las combinaciones
de los valores de verdad que las hacen verdadera o falsa y, por
ello, su valor de verdad depende no de la forma lógica
sino del valor de verdad de sus proposiciones simples.
Considérese el ejemplo de la figura No. 10.

Figura No. 10 Incongruencia

2.4. Leyes principales de la lógica de
proposiciones

Existen varias equivalencias lógicas
proposicionales parecidas a las del Álgebra Booleana, las
cuales se muestran en la figura No. 11.

Figura No. 11 Equivalencias
lógicas proposicionales

Ejemplo

1. (p®
   (Ø
   qÚ
   p))
2. (Ø
   pÚ
   (Ø
   qÚ
   p)) Ley condicional
   i
3. ((Ø
   qÚ
   p)Ú
   Ø p) Ley
   conmutativa i
4. (Ø
   qÚ
   (pÚ
   Ø p)) Ley
   asociativa i
5. (Ø
   qÚ
   T) Ley complementaria i
6. T Ley de identidad

2.5. Implicaciones lógicas

PÙ QÞ P (01)

PÙ QÞ Q (02)

PÞ PÚ Q (03)

Ø
PÞ
P®
Q (04)

QÞ P® Q (05)

Ø
(P®
Q)Þ
P (06)

Ø
(P®
Q)Þ
Ø
Q (07)

PÙ (P® Q)Þ Q (08)

Ø
QÙ
(P®
Q)Þ
Ø
P (09)

Ø
PÙ
(PÚ
Q)Þ
Q (10)

(P® Q)Ù (Q® R)Þ P® R (11)

(PÚ Q)Ù (P® R)Ù (Q® R)Þ R (12)

2.6. Reglas de inferencia

Las reglas de inferencia usa dos tipos de elementos: los
datos (hechos
o evidencia) y el conocimiento (el conjunto de reglas almacenadas
en la base de conocimiento), para obtener nuevas conclusiones o
hechos. Por ejemplo, si la premisa de una regla es cierta. Los
datos iniciales se incrementan incorporando las nuevas
conclusiones. Por ello, tanto los hechos iniciales o datos de
partida como las conclusiones derivadas de
ellos forman parte de los hechos o datos de que se dispone en un
instante dado.

Las conclusiones pueden clasificarse en dos tipos:
simples o compuestas. Las conclusiones simples son las que
resultan de una regla. Las conclusiones compuestas son las que
resultan de más de una regla. Para obtener conclusiones,
los expertos utilizan diferentes tipos de reglas y estrategias de
inferencia y control.

Tipos de reglas de inferencia

• Modus Ponens
• Modus Tollens
• Mecanismo de Resolución

Modus Ponens

Es quizás la regla de inferencia más
comúnmente utilizada. Se utiliza para obtener conclusiones
simples. En ella, se examina la premisa de la regla, y si es
cierta, la conclusión pasa a formar parte del
conocimiento. Considere el siguiente ejemplo, supóngase
que se tiene la regla, "Si A es cierto, entonces B es cierto" y
que se sabe además que "A es cierto". Entonces la regla
Modus Ponens concluye que "B es cierto". Esta regla de
inferencia, que parece trivial, debido a su familiaridad, es la
base de un número de sistemas expertos.

Ejemplo:

1. p®
   q

   ½ ¾

2. p
3. q

Modus Tollens

Se utiliza también para obtener conclusiones
simples. En este caso se examina la conclusión y si es
falsa se concluye que la premisa también es falsa. Por
ejemplo, supóngase de nuevo que se tiene la regla "A es
cierto, entonces B es cierto" pero se sabe que "B es falso".
Entonces, utilizando la regla Modus Ponens no se puede obtener
ninguna conclusión, pero, la regla Modus Tollens concluye
que "A es falso". Auque muy simple y con muchas aplicaciones
útiles, la regla Modus Tollens es menos utilizada que la
Modus Ponens.

Por ello, la regla Modus Ponens se mueve hacia delante,
es decir, de la premisa a la conclusión de una regla,
mientras que la regla Modus Tollens se mueve hacia atrás,
es decir, de la conclusión a la premisa. Las dos reglas de
inferencia no deben ser vistas como alternativas sino como
complementarias. La regla Modus Ponens necesita información de los objetos de la premisa
para concluir, mientras que la regla Modus Tollens necesita
información sobre los objetos de la conclusión. De
hecho, para un motor de
inferencia que solamente utiliza Modus Ponens, la
incorporación de la regla de inferencia Modus Tollens
puede ser considerada como una expansión de la base de
conocimiento mediante la adición de reglas.

Ejemplo:

1. p®
   q

   ½ ¾

2. Ø
   q
3. Ø
   p

Mecanismo de resolución

Las reglas de inferencia Modus Ponens y Modus Tollens
pueden ser utilizadas para obtener conclusiones simples. Por otra
parte, las conclusiones compuestas, que se basan en dos o
más reglas, se obtienen usando el llamado mecanismo de
resolución. Esta regla de inferencia consiste en las
etapas siguientes:

1. Las Reglas son sustituidas por expresiones
   lógicas equivalentes.
2. Estas expresiones lógicas se combinan en otra
   expresión lógica.
3. Esta última expresión se utiliza para
   obtener la conclusión.

Estas etapas involucran conceptos tales como la
combinación y simplificación de expresiones
lógicas, que se ilustra de modo intuitivo en el siguiente
ejemplo.

Supóngase que se tienen las dos
reglas:

Regla 1: Si A es cierto, entonces B es cierto

Regla 2: Si B es cierto, entonces C es cierto

La primera etapa en el mecanismo de resolución
consiste en sustituir cada una de las dos reglas por expresiones
lógicas equivalentes. Esto se hace como sigue:

• La Regla 1 es equivalente a la expresión
  lógica: "A es falso o B es cierto". Una prueba de esta
  equivalencia se muestra en la tabla de verdad que se muestra
  en la figura No. 12.
• Similarmente, la Regla 2 es equivalente a la
  expresión lógica: "B es falso o C es
  cierto".

Figura No. 12 Tabla de verdad mostrando
que la regla "Si A es cierto, entonces B es cierto" es
equivalente a la expresión lógica "A es falso o B
es cierto"

La segunda etapa consiste en combinar las dos
expresiones anteriores en una, tal como sigue: las expresiones
lógicas "A es falso o B es cierto y "B es falso o C es
cierto" implican la expresión "A es falso o C es cierto".
Una prueba de esta equivalencia se muestra en la figura No. 13.
Esta última expresión se utiliza seguidamente en la
tercera etapa para obtener la conclusión.

Figura No. 13. Tabla de verdad que
muestra que las expresiones lógicas "A es falso o B es
cierto" y "B es falso o C es cierto" implican la expresión
"A es falso o C es cierto".

2.7. Demostración usando tablas de
verdad

Un argumento es válido si las premisas en su
conjunto implican lógicamente la conclusión. Por lo
tanto, si denotan
las premisas y si C denota la conclusión, se debe
tener

|=C

Como se demostró previamente, esto se puede
demostrar mediante el método de la tabla de verdad,
mostrando que la siguiente expresión es una
tautología.

2.8. Demostración automática de
teoremas

La capacidad de hacer deducciones lógicas fue
considerada durante mucho tiempo como
una posibilidad reservada a la mente humana. La
investigación desarrollada en los años 1960 en el
área de la demostración automática de
teoremas ha mostrado que esta tarea puede ser realizada por
máquinas programables, tales como las
computadoras.

Tales máquinas son capaces no sólo de
modificar el conocimiento existente, sino también de
obtener conclusiones nuevas. En primer lugar, los demostradores
de teoremas han sido utilizados en varios campos de las
matemáticas, tales como la Lógica, la Geometría, etc. el campo de la
Matemática constituye un área natural para esta
metodología por la existencia de mecanismos
de deducción y de una extensa base de
conocimiento.

Sin embargo, los demostradores de teoremas, pueden ser
adaptados para resolver problemas de
otras áreas de conocimiento con estas dos mismas
características.

Analícese el Propositional Logic Program (PROPC), el
cual es una aplicación bajo ambiente
MS-DOS para
ayudarnos en la elaboración y verificación de
proposiciones. Dicho software fue Diseñado
por John Kennedy Mathematics Department Santa Monica College,
versión única, hasta el momento. Enseguida se
muestra breve descripción de este programa.

El programa PROPC desarrolla y analiza formulas de Calculo
Proposicional o Calculo sentencial, una rama de la Lógica
Simbólica. PROPC puede ser usado para desarrollar una
completa tabla de verdad del análisis de una formula proposicional de
complejidad arbitraria. Maneja 9 variables independientes, lo
cual significa que una tabla de verdad puede contener hasta 512
líneas de valores de verdad. El programa puede imprimir
todas la líneas, imprimir solo las líneas
verdaderas o solo las líneas falsas o simplemente probar
una formula como una Tautología. Este programa es capaz de
generar y desplegar en pantalla la estructura de
árbol correspondiente a alguna formula y trasladar
formulas de notación común a notación
Polish.

Las tablas de verdad que genera este programa pueden ser
impresas o guardadas en algún dispositivo
magnético, además de que esta aplicación
trabaja en modo texto
solamente y no requiere hardware
gráfico.

Para ejemplificar un poco más se toma como
referencia una de tantas aplicaciones que se utiliza como
herramienta para la demostración de proposiciones
automatizado, vea la figura No. 15. La cual muestra el
menú principal de esta aplicación. A
continuación demostraremos con un ejemplo un
proposición tomada de la figura No. 7.

Primero que nada, como toda aplicación en primer
lugar muestra la pantalla de presentación, misma que
presenta información de vital importación referente a el nombre del
programa, su versión así como su(s) creador(es);
como lo notara en la figura No. 14.

Para ver el gráfico seleccione la
opción "Descargar" del menú superior

Figura No. 14 Pantalla de
presentación

Figura No. 15 Menú principal de la
aplicación.

Después de revisar el menú principal se
procede a revisar la ayuda, con el fin de saber que
símbolos son utilizados para la formulación de la
proposición. Refiérase a la figura No.
16.

Para ver el gráfico seleccione la
opción "Descargar" del menú superior

Figura No. 16 Operadores utilizados para
la formulación de proposiciones.

En seguida de eso queda escribir la proposición
nueva, de esta manera poder
evaluarla, en la figura No. 17 se puede apreciar la formula que
se evaluará.

Para ver el gráfico seleccione la
opción "Descargar" del menú superior

Figura No. 17 Escritura de
proposición.

Hecho los pasos anteriores solo queda escribir la letra
T para poder ver el resultado de la proposición, como lo
notara el resultado de esta proposición es exactamente
igual al de la figura No. 7.

Es menester hacer mención que la tabla de verdad
de la figura No. 7 fue realizada a mano, basándose en el
proceso que se muestra en el apartado 2.2 Operaciones sobre las
proposiciones – Tablas de verdad. Como podrá darse
cuenta que el resultado de esa tabla de verdad de la Figura No. 7
es igual al que se muestra en la figura No. 18. Mostrada
enseguida.

Para ver el gráfico seleccione la
opción "Descargar" del menú superior

Figura No. 18 Resultado de la
proposición.

3. CÁLCULO DE PREDICADOS

3.1.
Insuficiencia de la lógica de proposiciones en las
representaciones de la lógica de sentido
común

La principal debilidad de la lógica proposicional
es su limitada habilidad para expresar conocimiento. Existen
varias sentencias complejas que pierden mucho de su significado
cuando se les representa en lógica proposicional. Por esto
se desarrolló una forma lógica más general,
capaz de representar todos los detalles expresados en las
sentencias, esta es la lógica de
predicados.

La lógica de predicados está basada en la
idea de que las sentencias realmente expresan relaciones entre
objetos, así como también cualidades y atributos de
tales objetos. Los objetos pueden ser personas, objetos
físicos, o conceptos. Tales cualidades, relaciones o
atributos, se denominan predicados. Los objetos se conocen
como argumentos o términos del
predicado.

Al igual que las proposiciones, los predicados tienen un
valor de veracidad, pero a diferencia de las preposiciones, su
valor de veracidad, depende de sus términos. Es decir, un
predicado puede ser verdadero para un conjunto de
términos, pero falso para otro.

3.2. Concepto y ejemplos de calculo de
predicados.

La lógica de predicados determina los elementos
del razonamiento de los pequeños elementos de las
proposiciones. Véase la figura No. 18.

Figura No. 19 Componentes que forman un
predicado

Donde el nombre del predicado identifica a la
relación que existe entre los argumentos, entre
paréntesis o bien identifica a la propiedad o
características que tienen los argumentos en el
paréntesis, o bien identifica al nombre de la clase a la
que pertenecen los argumentos.

Ejemplo

María y Pablo son hermanos

Juana es la madre de María

Tom es un gato

LA suma de 2 y 3 es 5

Por ejemplo, para expresar "Juana es madre de
María", se selecciona un identificador, digamos "madre",
para expresar el predicado "es la madre", y se escribe
madre(Juana,María). Muchos estudiosos de la lógica
sólo utilizan letras individuales para los nombres de
predicados y de constantes, ejemplo M(j,m).

3.3. Los cuatro grupos básicos de identidad

Y Ù

O Ú

No Ø

Implicación(Entonces) Þ

Básicamente los operadores utilizados en el
calculo de predicados son los mismos que se utilizan en el
calculo proposicional. No obstante, véanse los siguientes
ejemplos de utilización de los operadores
básicos.

Ejemplos de operadores

CIENTÍFICO(CARLOS_MARX) Ù
ALEMAN(CARLOS_MARX) (Y)

Carlos Marx es un
científico alemán

CIENCIA(LÓGICA)
Ú
DISCIPLINA(LÓGICA) (O)

La lógica es ciencia o disciplina

DEPORTE(CICLISMO) Ù 
¬DECONJUNTO(CICLISMO) (No)

El ciclismo no es un deporte de conjunto.

CULTURA(LA_CIENCIA) Þ
APOYAR(LA_CIENCIA) (Sí…entonces)

Si la ciencia es cultura
entonces debe apoyarse

3.4. La declaración de función,
variables y cuantificadores

Función

Asumiendo que un conjunto es una determinada
colección de entidades, tenemos que entre conjuntos cabe
establecer relaciones. Una relación entre dos conjuntos
tiene una dirección, va de un conjunto al que llamaremos
origen a otro conjunto que llamamos imagen. Para
ciertas relaciones el conjunto origen y el conjunto imagen
coinciden, son el mismo conjunto. Pues bien, una función
es una relación entre dos conjuntos que satisface la
condición de que a cada entidad del conjunto origen le
corresponde una única entidad del conjunto
imagen.

Las entidades del conjunto origen de una función
son denominadas "argumentos de la función". Las entidades
del conjunto imagen que corresponden a los argumentos de una
función son denominados: valores de la función. El
conjunto de los argumentos de una función coincide con el
conjunto origen de una función. El conjunto de los
argumentos de una función también se denomina
"dominio de la
función" en cuestión. El conjunto de los argumentos
de valores o rango de una función no tiene por qué
coincidir con el conjunto imagen, pudiendo ser un subconjunto
imagen.

En resumen los argumentos pueden ser constantes,
variables o a su vez otra función. Los identificadores de
funciones los
representaremos con letras minúsculas, a
continuación un paréntesis izquierdo, luego los
argumentos o parámetros separados por comas, si va
más de uno y finalizando con un paréntesis
derecho.

Ejemplo:

– madre(x): La madre de x, siendo x una
variable

– jugo(UVA): Jugo de uva, donde UVA es una
constante

– refresco(jugo(NARANJA)): refresco de jugo de
naranja

Variables

Las variables son identificadores las cuales
representarán un elemento de un conjunto, pero, sin
representar uno en específico, como en el caso de las
constantes. Sus identificadores los representaremos por medio de
cadenas en letras minúsculas. Por ejemplo: guerrillero,
fruta, país, asignatura, x, y, z, etc.

Como se podrá verificar el ejemplo anterior, se
dará cuenta como es la sintaxis para la utilización
de variables en la elaboración de predicados. Chequense
estos ejemplos, muy parecidos al anterior.

fruta(x) animal(x) color(x)

Mejor a un, ejemplifiquemos esto como una
proposición:

Fruta(x):-colores(color),formas(forma),sabores(dulce).

Donde x, color y forma cumplen la misma función,
estas están desempeñando el papel de variables, a
excepción de sabores; ya que esta ya no se considera como
variable por el hecho de tener un valor definido. Por ende a este
tipo de identificadores se les denomina "constantes".

Cuantificadores

En matemáticas, muchas afirmaciones son de la
forma "todos los elementos de D (un dominio dado)
satisfacen el predicado P(x)" o bien "hay al menos un
elemento de D que satisface P(x)".

En el primer caso, abreviaremos usando el símbolo
y en el segundo
usando el símbolo . Así, si P(x) es un predicado q que
depende sólo de x, tenemos:

Si se
reemplaza x por cualquier elemento de D, entonces
P(x) se hace verdadera.

En D
hay al menos un valor tal que, al reemplazar x por dicho
valor, la proposición resultante es verdadera.

Los símbolos y son
llamados cuantificador universal y cuantificador
existencial respectivamente.

Ejemplos del cuantificador universal:

" x
OSO(x) Þ
ANIMAL(x): Los osos son animales.

" x
ANIMAL(x) Þ
CEREBRO(cerebro(x)): Todos los animales tienen
un cerebro. Para todo x que es un animal implica que el cerebro
de x es un CEREBRO.

Ejemplos del cuantificador existencial:

$ x
SABROSA(x): Que significará que algo es sabroso o que
existe al menos una x tal que x es sabrosa.

$ x
DEPORTE(x) Ù
DECONJUNTO(x): Algunos deportes son de
conjunto.

$ x
ELECCIONES(x) Ù Ø LIMPIAS(x): Las elecciones no son
limpias.

3.5. Aplicación del cálculo de
predicados a la teoría de los sistemas expertos para la
representación de los conocimientos.

Los sistemas de razonamiento basados en la lógica
de predicados son sistemas de razonamiento monotónico
("monotónico" significa "moverse en una sola
dirección") ya que las deducciones realizadas nunca
generan contradicciones.

Un sistema de razonamiento no monotónico es aquel
que sigue la trayectoria de un conjunto de creencias tentativas y
revisa aquellas creencias cuando se observa o se deduce nuevo
conocimiento.

El razonamiento que seguiría un experto humano en
la materia a fin de poder codificarlo mediante el empleo de un
determinado lenguaje informático; por otra, la síntesis
artificial, de tipo mecánico, de los razonamientos de
manera que éstos serán semejantes a los empleados
por el experto humano en la resolución de la
cuestión planteada.

Los sistemas expertos son, por lo tanto, intermediarios
entre el experto humano, que transmite sus conocimientos al
sistema, y el usuario de dicho sistema, que lo emplea para
resolver los problemas que se le plantean con la competencia de un
especialista en la materia y que, además, puede adquirir
una destreza semejante a la del experto gracias a la
observación del modo de actuar de la
máquina.

Finalmente, el nivel cognoscitivo corresponde al
conjunto de los conocimientos que el experto humano pone en
práctica para la resolución del problema planteado.
Este conjunto de conocimientos debe poder traducirse al lenguaje
definido mediante el formalismo de representación del
conocimiento adoptado. En cuanto al desarrollo
actual de la investigación en el campo de los sistemas
expertos, la primera fase corresponde al desarrollo de sistemas y
programas que traten directamente el lenguaje
natural, si bien persisten todavía dos escollos
importantes. Por un lado, el problema de cómo emplear de
un modo eficaz una gran cantidad de información sin
necesidad de echar mano de la combinatoria; Es decir, cómo
conseguir un sistema dotado de conocimientos (metaconocimientos),
que le permitan utilizar los conocimientos del sistema y que, a
su vez, le permitan deducir automáticamente nuevos
conocimientos, ya que no cabe pensar en la reunión de
todos los conocimientos necesarios en casos de campos tan
sumamente vastos como el del diagnóstico en la medicina.

3.6. Aplicación del cálculo de
predicados a la teoría de las bases de
datos

El área de base de datos
es un área importante de la ciencia de la
computación concerniente con la historia, consultando y
actualizando una gran cantidad de datos. La lógica y las
bases de datos están íntimamente conectados desde
el nacimientos del sistema de base de datos a principios de los
‘70s. Aquellas relaciones en un suceso incompetente de la
historia. En efecto la lógica de primer orden (FO) tiende
hacia los sistemas de base de datos modernos, y los lenguajes de
consulta estructurados (SQL) y
Consulta Por Ejemplo (QBE) son variantes sintácticas de
(FO). El lenguaje de consulta mas poderos esta basado en
extensiones de FO con recursión y son evocados con el bien
conocido punto fijo consultado y estudiado en un modelo de
teoría finita. El impacto de la lógica en base de
datos es notable en la mayoría de los ejemplos de la
eficacia de la
lógica en ciencias computacionales.

En conclusión, la lógica provee una
herramienta espectacularmente efectiva en el área de base
de datos. FO provee las bases para el lenguaje de consulta
estándar, porque la comodidad del uso de la
implementación eficiente vía álgebra
relacional. FO puede lograr escalas lineales, consiguiendo
fuentes de
procesos
paralelos. Así, se llena el potencial como un lenguaje de
consulta permaneciendo aun para ser realizado.

3.7 Aplicación del cálculo de
predicados a la tecnología Orientada a
Objetos.

La mayoría de los lenguajes experimentales que se
han producido en los últimos 10 años son orientados
a objetos. Al igual que los frames, se asocia a un objeto tanto
datos como procedimientos en
estructuras organizadas en jerarquías. Los datos al igual
que los procedimientos pueden ser heredados. Los objetos se
comunican entre ellos a través de un protocolo
especial de pasar mensajes. Cada objeto es una instancia de una
clase y puede mandar su propio mensaje y hacer acciones
independientes. Las clases se relacionan en una
jerarquía.

El objeto puede ser objeto físico, un concepto, o
lo que sea que queremos describir (ejemplo; un coche, un curso,
un programa, etc.) Un objeto tiene un estado, exhibe
un comportamiento
bien definido y tiene una identidad única.

El código
privado que tiene el objeto puede ser accesado solo por medio de
mensajes. El mensaje dice a que objeto se dirige, que procedimiento
ejecutar y cuales son los argumentos.

Los métodos que se utilizan se refieren a un
procedimiento privado de un objeto que dice que hacer con un
mensaje y como hacerlo. Como cada objeto tiene sus propios
métodos, los objetos pueden responder diferente al mismo
mensaje.

Normalmente los mensajes se mandan a instancias, que
heredan su métodos de clases. Cuando se manda un mensaje a
un objeto, éste checa sus datos y métodos
particulares para ver si se puede manejar el mensaje. Si no
puede, busca la forma de hacerlo en su objeto padre.

Los procedimientos pueden ser polimórficos (i.e.,
aceptar diferentes tipos o clases da datos y de todos modos saber
que hacer) Se tiene que programar en términos de
operaciones genéricas. Las propiedades relevantes dependen
de cómo se persigue el objeto, ejemplo., un piano a un
músico (como suena) a un cargador (cuanto pesa). De nuevo
puede existir herencia
múltiple (ejem., combinar ventanas).

La filosofía de representar el conocimiento en
términos de objetos y agentes es adecuada para muchos
problemas (en especial los que tienen un componente de simulación.) El tener datos y
procedimientos, obliga a pensar en el tipo de objetos y el
comportamiento que es relevante para el problema.

CONCLUSIONES

Desde principios de la lógica clásica
pasando por la lógica Aristotélica hasta llegar a
nuestros días con la lógica moderna, nos da la
pauta al pensar que siempre hemos dependido y dependeremos de la
lógica.

Con nuestra convivencia diaria utilizamos esta
disciplina, en nuestros pensamientos como tipo de
deducción, hoy en día se utiliza también en
la gran mayoría de los campos de aplicación, en la
fabricación de computadoras entre otros
equipos.

En la actualidad la lógica es la base para la
elaboración de programas de aplicación como
herramienta indispensable para el trabajo cotidiano, que en
algunos casos es cansado o en su caso tedioso.

Los sistemas expertos son en este caso la
aplicación que ha estado teniendo mucho de que hablar y de
que discutir, con el uso de la lógica se pretende llegar a
simular el comportamiento
humano mediante premisas o reglas, implícitas en la
base de conocimientos.

Otra área muy práctica del uso de
reglas e inferencias lógicas es la robótica, supóngase que un robot
tiene censores como ojos, pies y brazos (al igual un humano). Lo
que ocurrirá internamente es inferir con respecto a los
objetos que se encuentren a su paso del robot, lo que
determinará hacia donde moverse. Al igual que los seres
humanos tomamos esas decisiones muy a menudo y solo dese cuenta
al cruzar una calle en la cual circulan vehículos por
ambos sentidos.

Tal es el hecho de que la lógica
clásica es una de las disciplinas profundizadas por muchos
pensadores, (cada uno, en sus tiempos). Mismos que incluso han
tenido diferencias significativas respecto a la
explicación descriptiva en lo que respecta a algunas
proposiciones más complejas, como es sabido la
lógica tiene ramas que se desprenden de ella, resolviendo
de esta manera la mayoría de los problemas que tienen un
alcance profundo o prolongado en el cual tendrían que
hacer demasiados cálculos. Tal es el caso del calculo de
predicados, el cual es complementario de la
lógica.

Por ende, desde el punto de vista particular se
entiende que todas o casi todas las disciplinas y áreas
que existen utilizan de alguna u otra manera principios
lógicos, es decir que con esta se simplifican un poco a
diferencia de hacer los procesos de otra manera (si es que existe
la forma).

Cabe destacar que al correr de los años esta
disciplina ha tenido pequeños cambios para beneficio de la
ciencia, así mismo las ramas que de ella se derivan. Sin
embargo, aunque se pretenda simplificar al proceso, otro
tendrá algún modo de dificultad. Solo que eso es lo
interesante de poder adentrarse al problema y poder darle la
solución más factible.

Aquí en este documento solo se le informa del
Calculo de proposicional y del calculo de predicados. A decir
verdad, lo que describe es escrito no es todo lo que abarcan
estas disciplinas. Por lo tanto si necesita saber más
acerca de esta, podrá consultar en las referencias
bibliográficas se enlistan en el apartado de
Bibliografía (parte final del documento).

BIBLIOGRAFIA

Artificial Intelligence A
Knowledge-Based

Approach Morris W. Firebaugh Pag.143.

Discrete Mathematical Structures with Applications to
Computer Science

J.P. Tremblaya y R. Monohar

McGraw Hill International Editions

Computer Science Series; Pág.
1-102

Knowledge Representation: An Approach to Artificial
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Bench-Capon, T.J.M. (1990), Academic Press, San
Diego.

Artificial Intelligence. The Search for the Perfect
Machine

Stevens, L. (1984) Hayden Book Company, Hasbrouck
Heights, N.J.

Expert Systems: Design and Development Durkin,
J.(1994),. Maxwell Macmillan,

New York.

Iniciación a la lógica
simbólica

José Antonio Arnaz

Edit. Trillas, Pág. 26 a la 30

Lógica: Introducción a la Ciencia del Razonamiento,
Aut. Pedro Chávez C. Pág. 293

Grupo Patria Cultural, Publicaciones
Cultural

GLOSARIO DE
TERMINOS

SQL (Structured Query Language).-
Lenguaje Estructurado de consulta

QBE (Query By Example).- Consulta por
ejemplo

FO (First Logic Orden).- Lógica de
primer orden

IA (Artificial Intelligent).- Inteligencia
Artifical

AGRADECIMIENTOS

A DIOS por permitirme llegar hasta donde he
llegado

A mis PADRES por su apoyo incondicional en esos
momento de crisis por sus
sentido

perspicaz que los caracteriza, percibiendo los
momentos difíciles que pasaba, los

Momentos en los que desfallecía creyendo
no poder continuar.

A mis HERMANOS por su sacrificio al
transmitirme su aliciente, su s ganas

de vivir, de superarse motivándose con
mi logro, cuidando a mis padres

en esos momentos tan difíciles que
pasamos, y sobre todo superando mi ausencia.

A mis AMIGOS con quienes la convivencia diaria se
nos hizo rutina, después costumbre y a partir de
ahí un muy fuerte

lazo de AMISTAD.

A mis PROFESORES ya que gracias a sus
conocimientos impartidos y a su instinto hacia mi persona al
creer

en mi capacidad. Logre llevar a cabo la meta
más importante.

Presenta para la obtención de título
profesional

de Licenciado en
Informática

ELIAS MARINO ESCOBAR
AYONA

INSTITUTO TECNOLOGICO DE
CHILPANCINGO