Importancia de la convergencia uniforme

2. Desarrollo
3. Conclusiones
4. Bibliografía

Introducción:

Al igual que en cada proceso del
desarrollo de
la sociedad
humana, las leyes de la
dialéctica están presentes en la Matemática
mediante la actividad de los hombres, donde "Actividad" incluye
la discusión sobre hipótesis y teorías, y la búsqueda de la
solución a las dificultades encontradas. Por tanto,
también en la Matemática se realiza el proceso
cognoscitivo independientemente de la conciencia de
cada uno mediante las leyes de la dialéctica. Esto se
puede ilustrar por medio de muchos ejemplos en la Historia de la
Matemática. Para el profesor de
Matemática resulta una necesidad obtener conocimientos
buenos y sólidos de la Historia de la Matemática
para influenciar en la educación de los
alumnos.

En este trabajo
queremos presentar algunos datos
históricos y ejemplos donde se ponga de manifiesto la
importancia de la Convergencia Uniforme, así como
también su proceso dialéctico.

Consideramos que estos conocimientos tienen una gran
significación para la formación de los estudiantes
en la Licenciatura en Educación
especialidad Matemática, porque la Convergencia Uniforme
juega un papel importante en su ciclo
matemático.

Desarrollo:

Es un hecho bien conocido que Abel y Cauchy crearon por
primera vez, al comenzar el siglo XIX, una teoría
rigurosa de las series.

Hasta entonces, se manejaba este algoritmo sin
tener idea clara de su significado. Por ejemplo, Euler para
demostrar que la serie

1-1+1-1+……..

tiene como suma , procede así:

Después de la
organización de la teoría de las series por
Cauchy, este razonamiento nos parece totalmente inadmisible. Si
un alumno de Universidad diera
hoy esta demostración en los exámenes, revelando el
desconocimiento de las más elementales precauciones que
exponen todos los tratados, a cerca
el manejo de series, sería suspenso sin
titubear.

En los siglos XVIII y principios del
XIX, había una gran dificultad en la fundamentación
del Análisis
Matemático. Cauchy, con su teoría de las series
trató de dar una solución, pero su método no
era suficientemente completo. Se necesitaban suposiciones no
demostradas, sin las cuales no era posible el desarrollo
posterior de las series. Veamos:

Suposición de Cauchy: "Sean las funciones
definidas y
continuas sobre el intervalo , y la serie convergente en todo punto de ,entonces la suma S(x) es otra vez una
función
continua sobre ".
Cauchy trató de demostrar el teorema:

"La ecuación .donde son funciones de una variable x, continua sobre el
intervalo [x0 , x] implica la ecuación
siguiente:

La opinión de Cauchy sobre las condiciones
suficientes para la continuidad de la función S(x),
así como el teorema correspondiente, sabemos que son
falsos.

Alrededor de 1840 los matemáticos Seidel y Stokes
encontraron contraejemplos para demostrar dicha falsedad.
Veamos:

1. 

   Todos los términos de esta serie son
   funciones continuas sobre todo Ñ ; para
   cualquier x la serie es absolutamente convergente. A pesar de
   todo eso, su suma no es una función continua, pues
   para se
   cumple y para
   .

   La justificación de lo anterior viene dado
   porque se trata de una progresión geométrica de
   la forma , Luego
   su suma,

2. Sea la serie
3. La serie cuyo término n-ésimo
   es:

es
convergente sobre [0,1]. La suma es = 0 para todo ; sus términos son funciones
continuas sobre .

Integrando la serie por términos entre 0 y 1,
se obtiene una serie numérica convergente cuya suma es
igual a 1. Al mismo tiempo se
cumple que:

En este caso la suma = 0 porque:

Luego:

Seide, Stokes y Weierstrass descubrieron las causas de
estos hechos "paradójicos", demostraron que una
condición suficiente para la continuidad de una serie
convergente de funciones continuas y definidas sobre el intervalo
es la
Convergencia Uniforme de esta serie sobre

El teorema de Cauchy con respecto a la integración por términos, de una
serie de funciones es válido si se le añade la
exigencia de la convergencia uniforme de la serie dada
sobre

Si las funciones son continuas sobre pero la serie

no converge uniformemente sobre , entonces su suma puede tener sobre
puntos de
discontinuidad.

El concepto de
Convergencia Uniforme permitió desarrollar y
precisar los métodos
sobre la teoría de las series de funciones, pero no niega
el método de Cauchy.

En efecto: Una serie convergente en todo punto de es uniformemente convergente sobre
, si y solo si,
para todo existe
un número N independiente de x tal que para todo n > N
la desigualdad se cumple para todo .

Otro ejemplo de negación dialéctica
en el desarrollo de las matemáticas es el siguiente:

En 1750 Euler definia el concepto de función
del modo siguiente: " Se dice que Y es función de X,
cuando a todo valor de X
corresponde uno o varios valores de
Y". Definición que a primera vista, parece coincidir con
la actualmente admitida. Pero para Euler esta relación
no es completamente arbitraria. El distingue entre
correspondencias arbitrarias y correspondencias expresables por
los símbolos del análisis; distingue cuidadosamente entre
curvas arbitrarias, esto es, dibujadas a capricho, y
curvas geométricas, es decir, representables por
medio de combinaciones mas o menos complicadas, de potencias,
de exponenciales y logaritmos, de senos y arco tangentes,
etc.

Este antagonismo entre curvas arbitrarias y curvas
geométricas subsistió en la ciencia
solamente hasta Fourier(1807).

Quien primero puso a prueba el valor de esta
distinción entre curvas arbitrarias y curvas
geométricas, fue uno de los Bernoulli con
motivo del famoso problema e las cuerdas
vibrantes(1753).

Desviemos de su posición de equilibrio una
cuerda tirante, de longitud l, sujeta en dos puntos fijos,
abandonándola sin velocidad
inicial, si es Y la desviación del punto de abscisa X en
el momento t, demuestra Bernoulli la fórmula:

(k
constante de la cuerda).

Dando ésta como solución más
general del problema.

El sagaz espíritu de Euler hizo la observación siguiente: si eso es cierto,
haciendo t = 0, la fórmula

(A), debe
representar la posición inicial de la cuerda; pero siendo
esta curva arbitraria, trazable a nuestra voluntad,
resultaría e aquí que toda curva empírica
puedo expresarla por medio de un desarrollo en serie del tipo
(A), es decir, por una expresión analítica. Y esta
conclusión, en el estado de
las Matemáticas de entonces, se refutaba
absurda.

Mas todavía: si la posición inicial de la
cuerda fuese un polígono, resultaría, de ser cierta
la afirmación de Bernoulli, que una sola expresión
analítica puede representar varios segmentos
rectilíneos; es decir, coincide con una función
lineal en un intervalo, y es igual a otra función lineal
en otro intervalo. Esto parecía entonces tan
paradójico y tan absurdo, que ni siquiera fue tomado por
muchos en consideración.

El mismo problema se le presentó mas tarde a
Fourier(1807) en la teoría el calor, y mas
atrevido que Euler, contesta afirmativamente, demostrando por
primera vez que las series trigonométricas lo mismo sirven
para representar curvas geométricas que curvas
arbitrarias, y, en particular, curvas compuestas de arcos
geométricos cualesquieras. He aquí uno de los
ejemplos mas sencillos de Fourier:

La función que hace corresponder a x el valor 0
en todo el intervalo y el valor en todo el intervalo , o sea,

;
admite el siguiente desarrollo en serie convergente:

El único criterio en que apoyaban las
Matemáticas su distinción entre funciones
analíticas y correspondencias arbitrarias, entre curvas
empíricas y curvas geométricas, cayó
así por su base. Se planteo inmediatamente el siguiente
dilema. O no se consideran las series trigonométricas como
funciones, es decir, se excluye el símbolo lim
entre los admitidos para definir funciones, en cuyo caso
habría que suprimir gran parte del análisis
matemático, o se amplia el significado de la palabra
función.

La elección no era dudosa; la Matemática
prefiere siempre el grado máximo de generalidad, porque
generalidad significa supresión de excepciones, y por
tanto mayor sencillez y belleza. Así se llegó al
amplísimo concepto general de función formulado por
Dirichlet y Riemann, quedando definitivamente incorporado a la
Matemática: Función es toda correspondencia
entre dos conjuntos,
cualquiera que sea el modo de establecerla.

Si una función f es representable mediante una
serie de potencias, esta serie es la serie de McLaurin, es decir,
la representación es única. Una cuestión
análoga, respecto a la unicidad de la
representación de una función f mediante una serie
trigonométrica. Al principio se formuló el problema
de unicidad de la representación mediante una serie
trigonométrica de la manera siguiente:

¿Pueden existir dos series trigonométricas
distintas que convergen a la misma función en todo punto
del intervalo ?

Esta pregunta equivale a la siguiente: ¿Existe
una serie trigonométrica que converge a cero en todo punto
de salvo en el
caso de que todos sus coeficientes sean iguales a
cero?

El problema e la unicidad e la representación de
una función mediante una serie trigonométrica, la
llamada serie trigonométrica de Fourier, logró
importancia fundamental cuando Seidel, Stokes y Weierstrass
descubrieron que la integración por término de un
aserie de funciones, si no es uniforme convergente, en general,
no es permisible. Por lo tanto, surgieron dudas en cuanto a la
deducción de las fórmulas de Fourier
para calcular los coeficientes de una serie trigonométrica
mediante integraciones por término. Otra dificultad era
cómo las matemáticas podían demostrar que
las series trigonométricas no son necesariamente series de
Fourier.

Cantor en 1872 demostró que la unicidad e la
representación se conserva si los puntos de divergencia de
la serie trigonométrica sobre , forma un conjunto infinito de oren n,
donde n es un número natural cualquiera.

Esto no fue la solución completa del problema.
Dirichlet (1829) demostró por primera vez el fundamental
teorema que lleva su nombre:

"Toda función que cumple las condiciones de
Dirichlet en un intervalo, se puede desarrollar en serie de
Fourier:

f(x) =

La cual expresa el valor de la función en los
puntos de continuidad, y es igual a la semisuma de los valores
límites
de f(x) en los puntos de discontinuidad ordinaria. "Este
desarrollo es único, y los coeficientes están dados
por las fórmulas:

Durante mucho tiempo se admitió como verdad
inconclusa (que no ofrece dudas) que toda función continua
tiene derivada en cada uno de sus puntos convicción nada
extraña, puesto que las funciones mas sencillas,
únicas hasta entonces consideradas, son en efecto,
derivables.

Weierstrass (1872) dio el primer ejemplo de una
función continua que no admite derivada en ninguno de sus
puntos. Un caso particular de la función de Weierstrass es
la siguiente:

Ñ

Para probar que esta función es continua en
todo Ñ
hay que apoyarse en los teoremas siguientes:

1. "Toda sucesión uniformemente convergente de
   funciones continuas posee una función límite
   continua".
2. Prueba M de Weierstrass:"Si para una serie de funciones definidas en D existe
   una serie numérica convergente con para todo entonces la serie

es uniformemente convergente".

Y como las son continuas en todo Ñ y además en virtud de entonces se satisfacen las condiciones (1)
y (2) y la función Ñ
; es continua.

En Calculus, Michael Spivak Pág. 623-626 puede
verse la gráfica de las primeras sumas parciales de . Cuando n aumenta, las
gráficas se hacen cada vez más
difíciles de dibujar y la suma es absolutamente no dibujable.
Además, en dicho texto puede
verse la demostración de la no deribavilidad de en ninguno de sus
puntos.

Luego, la función de Weierstrass es una
función continua que no admite derivadas para
ningún valor de x y no es susceptible de
representación gráfica. Esto último es una
contradicción con la síntesis
cartesiana, que identifica la noción geométrica de
curva con la noción abstracta de función. Esta
contradicción fue tal que el famoso matemático
Hermite expresó: "Yo me aparto con horror y terror de esa
plaga lamentable de las funciones continuas, que no tienen
derivadas"

Conclusiones:

Hemos bosquejado la evolución histórica que condujo al
concepto de convergencia uniforme. Concepto este más
general que el concepto simple de convergencia, sin embargo la
convergencia uniforme no niega esta, sino por el contrario la
lleva dentro, pues se cumple que "toda sucesión
uniformemente convergente es convergente"

Hemos visto como la convergencia uniforme la respuesta
afirmativa a las siguientes preguntas:

En una serie de funciones convergentes a .

1. ?

2. Si todas las son funciones continuas de x en un intervalo,
   ¿lo es la suma
3. ¿Si es integrable, entonces se cumple que estando el intervalo
   

comprendido en el intervalo de convergencia?

Por último hemos tratado de mostrar como cada
crisis o
situación paradójica hace realmente pasar de un
nivel inferior del conocimiento a
un nivel superior, poniendo de manifiesto el desarrollo
dialéctico de las matemáticas.

Lenin escribió en Materialismo y
Empirocriticismo:

"El pensamiento
humano, por su naturaleza, es
capaz de proporcionarnos, y proporciona en realidad, la verdad
absoluta que resulta de la suma de verdades relativas.

Cada fase del desarrollo de la ciencia
añade nuevos granos a esta suma de verdad absoluta; pero
los límites de la verdad de cada tesis
científica son relativos, tan pronto ampliados como
restringidos por el progreso consecutivo de los
conocimientos".

Bibliografía:

Lenin, V.I. (1979) Materialismo y Empirocriticismo.
Editorial Progreso, Moscú.

Sánchez, C. (1982) Análisis
Matemático I. Pueblo y Educación. La
Habana.

Spivak, M. (1966) Calculus. Editora Revolucionaria. La
Habana.

Vorobiov, N. N. (1979) Teoría de series.
Editorial Nauka. Moscú.

Autor:

Profesor Luis del Pino Vidal

graduado de Licenciatura en
Matemática.

Josefa Pérez Rodríguez

graduada de Licenciatura en Educación,
especialidad Matemática, correo
electrónico: