Fluidodinâmica computacional e suas aplicações
- Introdução
- Modelagem
matemática - Acoplamento
pressão-velocidade - Métodos
de discretização - Modelos
de turbulência - Metodologia
les - Pacotes
computacionais - Resultados
- Discussão
e conclusões - Agradecimentos
- Referências
bibliográficas
RESUMO
A Dinâmica
dos Fluidos é um ramo da ciência que envolve estudos ligados a
problemas de fluidodinâmica, termodinâmica, hidráulica, e
outros. Em muitas indústrias, os produtos estão relacionados diretamente
com a Dinâmica dos Fluidos e se investe grandes quantidades de recursos
para desenvolver novas tecnologias na área de Dinâmica dos Fluidos
Computacional e Experimental. Contudo o investimento para a obtenção
de resultados experimentais é muito dispendioso, e, devido a isto, vem
se investindo muito em modelagem matemática e simulação
numérica para obtenção destes resultados, sendo chamado
este método de Dinâmica dos Fluidos Computacional, ou a sigla em
Inglês CFD (Computacional Fluid Dynamics). Esta metodologia é barata
e que gera resultados muito satisfatórios. Assim, o presente trabalho
visa dar uma visão geral sobre CFD, e os modelos matemáticos utilizados
por ela.
PALAVRAS CHAVE: Simulação
Numérica, Dinâmica dos Fluidos Computacional, Modelos Matemáticos.
ABSTRACT
The Fluid Dynamics
is a branch of the science where the problems of fluid dynamics, thermodynamics,
hydraulical, and others are treated. There are many industries with products
that are related directly with the Fluid Dynamics. There is great amounts of
resource engaged to develop new technologies in this area. However the investment
for the attainment of experimental results is very expensive. So, a high amount
of effort has been dedicated to mathematical modeling and numerical simulation
for attainment of these results. This area is called Computacional Fluid Dynamics
(CFD). Thus, the present work aims at to give a general vision on CFD, and the
mathematical models used in this domain.
KEY WORDS: Simulation,
Computacional Fluid Dynamics, Mathematical Models
A Fluidodinâmica
computacional é uma área de grande interesse para a solução
de muitos problemas práticos. Como exemplo, podem ser citados problemas
de aerodinâmica, termodinâmica, hidráulica, dentre outros.
As análises
nesta área de pesquisa podem ser desenvolvidas com base em experimentos
bem como em métodos teóricos. Dentro dos métodos teóricos
destacam-se os métodos computacionais, utilizados para simulação
numérica aplicada à Dinâmica dos Fluidos.
Para os escoamentos
de fluidos, o modelo matemático é estabelecido com base nas equações
de conservação da quantidade de movimento, da massa e da energia.
Estas equações,
quando submetidas a condições de contorno e iniciais apropriadas,
representam, matematicamente, um problema particular (Shames, Irving Herman,
1973). A solução analítica destas equações
somente é possível para escoamentos muito simples. Para se analisar
problemas reais, lança-se mão do uso dos chamados métodos
numéricos.
Nos casos de escoamentos
laminares, os modelos são relativamente simples, pois as equações
de Navier-Stokes, conservação da massa e conservação
de energia são resolvidas. Contudo, como a maioria dos escoamentos que
acontecem na natureza e no meio industrial são turbulentos, estes tem
um alto grau de complexidade, e portanto deve-se lançar mão de
modelos matemáticos de turbulência, acrescentando termos as equações
anteriormente citadas.
Os modelos de turbulência
levam em conta variáveis estatisticas, pois escoamentos turbulentos são
altamente caóticos, e com isto há a necessidade de ferramentas
estatisticas para representar os escoamentos turbulentos.
Há diversos
modelos de turbulência, tais como o modelo K-ε, dos tensores de Reynolds,
o de grandes escalas e outros.
O modelo matemático
para os diversos tipos de escoamentos, tais como os escoamentos multicomponentes,
é estabelecido com base nas equações de Navier-Stokes,
conservação da massa e da energia, contudo, nos escoamentos multicomponentes,
deve-se ter um fator de correção nestas equações
levando em conta a influência de cada componente no escoamento. Este fator
que leva em conta esta influência é a fração volumétrica
de cada componente. E devem ser resolvidas todas equações para
cada componente.
As equações
são escritas na forma tensorial a seguir:
- Equação de Navier-Stokes
modificada:
(1)
- Equação da conservação
da massa modificada:
(2)
Simplificando esta
equação, considerando que o escoamento é incompressível:
(3)
onde o termo 
representa
o termo não linear (termo convectivo) e 
representa
o termo difusivo.
Já, o termo
da fração volumétrica é definido como sendo:
(4)
sendo que k representa
a fase que esta sendo analisada. Quando o escoamento é monocomponente,
a fração volumétrica tem o valor unitário, pois
somente um componente é analisado e resolvido.
ACOPLAMENTO
PRESSÃO-VELOCIDADE
Na formulação
incompressível, o fato de r não variar com P introduz um forte
acoplamento entre a pressão e a velocidade, causando dificuldades para
a solução do sistema de equações. O objetivo, então,
é determinar um campo de pressões que, quando inserido nas equações
do movimento, origine um campo de velocidade que satisfaça a equação
da conservação da massa.
Existem diferentes
métodos utilizados para fazer o acoplamento Pressão-Velocidade,
tais como o SIMPLE, SIMPLEC, SIMPLER, o Método dos Passos Fracionados
com malhas deslocadas (figura 1), é descrito a seguir.
Figura 1: Esquema
de malhas deslocadas
Método dos
Passos Fracionados
Neste método
a equação do movimento é resolvida para as componentes
da velocidade e uma equação de Poisson é resolvida para
a pressão.
Para correção
de pressão, utilizou-se o método não iterativo, que consiste
em estimar um campo inicial de velocidade com base em campos de pressão,
de velocidades da iteração anterior. Com estes campos de velocidades
estimados calcula-se o campo da correção da pressão e em
seguida, obtém-se o novo campo de velocidades que satisfaz à equação
da continuidade.
As estimativas das
componentes da velocidade, que são feitas através dos campos de
pressão e velocidades, calculados na iteração anterior,
são dadas conforme equação (5):
(5)
Subtraindo-se a equação
(1) da equação (5), ambas já discretizadas, para escoamento
monofásico, obtêm-se:
(6)
Aplicando a conservação
da massa, têm-se:
(7)
(8)
Rescrevendo a equação
(7) de modo a obedecer a conservação da massa:
(9)
Sendo 
(8)
a correção do campo de pressão, obtêm-se:
(10)
Portanto, os passos
a seguir na realização do método dos Passos Fracionados
são os seguintes:
- Estima-se valores iniciais para
os campos de velocidades e pressão; - Resolve-se explicitamente a equação
(7) para se obter a estimativa dos campos de velocidades; - Com os campos de velocidades estimadas,
calcula-se a correção de pressão através da equação
(9); - Com o campo de correção
de pressão calcula-se explicitamente os campos de velocidades através
da equação (10) e corrige-se o campo de pressão com a
equação (8);
As equações
para as velocidades podem ser discretizadas de forma explícita pelo método
das Diferenças Finitas.
O sistema linear,
originado da equação de Poisson para a correção
de pressão, pode ser resolvido com diferentes métodos de solução,
tais como o MSI (Modified Strongly Implicit Procedure) desenvolvido por Schneider
e Zedan (1981), Gauss-Seidel, Gradiente Conjugado e outros.
Os termos convectivos
e os termos difusivos podem ser discretizados por Diferenças Centradas
(CDS) como mostrado nas equações abaixo.
- Termos convectivos
(11)
(12)
onde 
e
são médias calculadas
da seguinte forma:
;
;
;
;
- Termos difusivos:
(13)
(14)
Na discretização
do gradiente de pressão utiliza-se normalmente o esquema Upwind (BDS):
(15)
(16)
Para o termo temporal,
podem ser utilizados diferentes esquemas de discretização, tais
como o esquema de Euler de 1� ordem, Adams-Bashford ou outros:
- Esquema de Euler de 1� ordem
(17)
- Esquema de Adams-Bashford
(18)
A discretização
da equação para a correção da pressão (10)
resulta:
(19)
Logo, o sistema linear
a ser resolvido é:
cujos coeficientes
são dados pelas equações abaixo:
;
(20)
;
(21)
;
(22)
A turbulência,
passados muitos anos de pesquisas, ainda continua sendo um grande desafio para
os pesquisadores, pois os escoamentos turbulentos são instáveis
e contém flutuações que são dependentes do tempo
e do espaço.
Dentre as características
mais importantes dos escoamentos turbulentos, destaca-se a multiplicidade de
escalas que os caracterizam, desde as maiores estruturas, controladas pela geometria
que as geram, até as menores estruturas as quais são controladas
pela viscosidade do fluido, além de serem altamente rotacionais.
Muitos acreditam
que a física básica da turbulência pode ser descrita pelas
equações de Navier-Stokes, as limitações de tecnologia,
ainda não permitem a resolução direta para escoamentos
turbulentos complexos de interesse tecnológico.
Devido a complexidade
deste tipo de escoamento, os pesquisadores lançam mão de ferramentas
estatísticas para análise dos mesmos. No entanto, as médias
estatísticas não permitem o acesso às mais importantes
informações dos mecanismos físicos dos escoamentos, especialmente
no que concerne às instabilidades.
Delineando-se o estado
da arte do estudo da turbulência, pode-se partir dos trabalhos pioneiros
de Reynolds, que estabeleceu os conceitos iniciais de escoamento turbulento,
passando por pesquisas que visaram o aprimoramento destes conceitos, tais como
Rayleigh, Boussinesq, Prandtl, Von Karman, tem-se em mais de um século
de pesquisas o desenvolvimento de diversos modelos de turbulência, os
quais alguns serão descritos a seguir.
Modelo K-ε
É um modelo
de turbulência de duas equações, baseado na viscosidade
turbulenta, (que é idealização conhecida como hipótese
de Boussinesq). Este modelo apresenta duas equações de transporte
modeladas, separadamente, que são resolvidas, uma para energia cinética
(k) e outra para o termo de dissipação da energia cinética
(ε), considerando que os tensores de Reynolds são proporcionais
aos gradientes de velocidade média, as equações são
escritas como se segue:
Para k, conforme
equação (21):
(21)
Onde:
- Viscosidade efetiva da fase k:
(22)
- Geração de energia
cinética turbulenta no interior da fase k,
(23)
- Taxa de dissipação
de energia cinética turbulenta da fase k,
(24)
A partir destas
equações acima, (22, 23 e 24), chega-se a uma expressão
para a viscosidade turbulenta da fase k:
(25),
no qual 
,
é uma constante empírica do modelo.
Para ε,
conforme equaηγo (26)
(26)
No qual as constantes
assumem valores aproximados de:
(27)
A metodologia LES
ou método de Simulação de Grandes Escalas é uma
metodologia intermediária entre a Simulação Direta (DNS)
e a simulação via equações médias de Reynolds
(RANS), as quais os outros modelos são baseados.
Esta metodologia
filtra as equações de Navier-Stokes e decompõe as variáveis
do escoamento em duas partes: uma correspondente a grande escala (resolvida)
e a outra a pequena escala (não resolvida ou modelada).
A idéia deste
modelo de turbulência é dividir a velocidade em uma média
local espacial e as flutuações em torno desta média.
Assim, qualquer variável
do escoamento 
pode ser escrita como
sendo, 
. No qual 
é
a parte referente a grande escala e é definida através de uma
média volumétrica, assim:
(28)
onde 
é
a função filtro.
E o objetivo
principal é calcular esta média de maneira mais precisa possível.
Isto é perfeitamente tangível, pois baseado na idéia, que
as flutuações tem um comportamento randômico, seus efeitos
médios no movimento podem ser perfeitamente modelados.
Depois de feito
o cálculo da média volumétrica, e desprezando as flutuações
de densidade, e introduzindo tensores de escala de sub-malha, podem ser escritas
as equações de movimento como sendo:
(29)
(30)
com:
(31)
Dentro desta
metodologia, o modelo mais utilizado é o de Smagorinsky, que pode ser
visto como uma combinação da média de Reynolds dada por
Lij+Cij=0. E é assumido que os tensores SGS são
proporcionais ao módulo da taxa do tensor tensão, do escoamento
filtrado de larga escala, mas para fechar a equação, é
necessário um modelo de viscosidade. Por meio de análise dimensional,
e fazendo uma analogia ao modelo do comprimento de mistura de Prandtl, chega-se
ao modelo de Smagorinsky para a viscosidade:
(32)
onde:
(33)
E a constante Cs
é substituída dependendo do tipo de escoamento e da resolução
da malha. Seu valor esta entre um mínimo de 0.065 (escoamentos em canais)
e um máximo de 0.25. O valor mais freqüente é 0.1.
Assim, este modelo,
é uma técnica em que resolve para escoamentos de larga escala
flutuantes e utiliza modelos de turbulência de sub-malhas para os movimentos
de pequena escala.
Este modelo é
aplicável para escoamentos de altos números de Reynolds, especialmente
nos seguintes casos:
- O escoamento é instável;
- É transiente com estruturas
coerentes; - É flutuante, com grandes
regiões instáveis; - A abordagem RANS é falha;
E outros tipos de
escoamentos.
Existem diferentes
pacotes computacionais para CFD, uns são para construção
de geometria, como o ICEM CFD, outros já são pacotes mais completos
tais como o FLUENT®, o CFX®.
O ICEM CFD é
um pacote que tem como objetivo a construção de diferentes geometrias
e malhas numéricas para a simulação.
Figura 2: Tela do
ICEM CFD
O usuário
pode fazer diferentes geometrias utilizando esta ferramenta.
Figura 3: Corpo de
um misturador estático com malha gerado no ICEM
Figura 4: Malha Numérica
de um Corpo para Visualização do Escoamento Externo
O CFX®
que é um software de CFD integrado, no qual é possível
construir a geometria, fazer a malha numérica, ajustar os parâmetros
da simulação, resolver e analisar posteriormente, sendo utilizado
para a simulação de diversos tipos de escoamentos.
Como é um
software comercial, ele é uma "caixa-preta", contudo ele apresenta uma
boa interface software-usuário, sendo que o usuário tem a possibilidade
de incluir sub-rotinas computacionais escritas em linguagem FORTRAN, e além
disto, apresenta a flexibilidade da inclusão de equações
para o cálculo de certas variáveis.
- Características do software:
O pacote computacional
CFX é composto basicamente de quatro programas, que são:
- O CFX-Build, para a construção
das geometrias e da malha numérica; - O CFX-Pre, para o ajuste dos parâmetros
de simulação;
Figura 5: Tela do
CFX-Pre
- O CFX-Solver, para a obtenção
dos resultados, que podem ser obtidos utilizando um ou vários processadores,
isto é, pode ser utilizado em cluster;
Figura 6: Tela do
CFX-Solver
- E o CFX-Post, que é o programa
para a análise dos resultados, que processa e apresenta os dados graficamente,
podendo o usuário, criar diferentes tipos de imagens gráficas,
para melhor análise dos resultados.
Figura 7: Tela do
CFX-Post
- Aplicações:
O CFX e outros softwares
comerciais são utilizados nas mais variadas aplicações,
dentre elas:
- Indústria petroquímica:
na simulação de diversos equipamentos e processos, como por
exemplo, o caso da PETROBRAS que utiliza este software para simular diferentes
equipamentos e processos, tais como Risers, Ciclones e outros.
Figura
8: Típico Riser de FCC com 60" de diâmetro
Figura
9: Sistema de Ciclones de Dois Estágios
- Indústria Aeroespacial:
na simulação e desenvolvimento de aeronaves, o qual o escoamento
é externo, turbinas, onde o escoamento é interno com reação
química, que como exemplo se tem a EMBRAER;
Figura 10: Malha Numérica
em Diversos Aeroplanos.
Figura 11: Malha Numérica
de um Avião Jumbo
Figura 12: Simulação
de um Avião Harrier
Figura 13: Simulação
de um Avião de Caça F-18
Figura 14: Simulação
do Ônibus Espacial
- Indústria automotiva: na
simulação e desenvolvimento de automóveis mais aerodinâmicos
(escoamento externo), motores (escoamento interno com reação);
Figura 15: Simulação
de um Carro de Fórmula 1.
- Escoamentos naturais, como a simulação
atmosférica para previsão do tempo e simulação
de rios, lagos, para estudos ambientais.
Foi simulado um corpo
submetido ao escoamento externo de ar, utilizando o pacote computacional CFX®.
Figura 16: Distribuição
de Pressão no Plano XZ
Figura 17: Distribuição
de Pressão no Plano YZ, na Posição X = 0
Figura 18: Distribuição
de Pressão no Plano YZ, na Posição X = 5
Figura 19: distribuição
de Pressão no Plano YZ, na Posição X = 10
Figura 20: Velocidade
em X do Gás, no Plano XZ com Y = 0
Figura 21: Velocidade
em Y do Gás no Plano XZ com Y = 0
Figura 22: Velocidade
em Z do Gás no Plano XZ com Y = 0
Figura 23: Contorno
de Velocidade em Torno do Corpo
Figura 24: Contorno
de Velocidade em Torno do Corpo no Plano XY com Z = 5
Figura 25: Velocidade
em Y no Plano YZ em X = 0
Figura 26: Velocidade
em Y no Plano YZ em X = 5
Figura 27: Velocidade
em Y no Plano YZ em X = 10
Figura 28: Velocidade
em Z no Plano YZ em X = 0
Figura 29: Velocidade
em Z no Plano YZ em X = 5
Figura 30: Velocidade
em Z no Plano YZ em X = 10
Figura 31: Vetores
Velocidade do Gás no Plano XZ em Y = 0
Figura 32: Vetores
Velocidade do Gás no Plano YZ em X = 2
Figura 33: Vetores
Velocidade do Gás no Plano YZ em X = 5
Figura 34: Vetores
Velocidade do Gás no Plano XY em X = 0
Figura 35: Vetores
Velocidade do Gás no Plano XY em Z = 5
Figura 36: Vetores
Velocidade do Gás no Plano XY em Z = 10
Nos dias atuais,
as indústrias estão cada vez mais competitivas e, para se manter
em um mercado como este são necessários vários investimentos
em pesquisa e desenvolvimento de novas tecnologias.
Para isto, as empresas
investem em ferramentas computacionais que forneçam resultados precisos
e confiáveis. Principalmente, aquelas empresas cujo produto está
relacionado com escoamentos de fluidos, isto é, à fluidodinâmica.
As equações
que regem a fluidodinâmica de escoamentos industriais são de difícil
resolução analítica, como foi mostrado anteriormente. Desta
forma deve-se lançar mão de métodos numéricos ou
experimentais para a obtenção de resultados de tais escoamentos.
Contudo, a simulação
experimental destes, se torna dispendiosa, pois são necessários
modelos que representem o equipamento a ser simulado, equipamentos caros, tais
como túneis de vento, termopares, anemômetros, e outros equipamentos.
Com isto, a simulação
numérica vem se tornando cada vez mais popular, pois é um método
barato e de fácil utilização. Existem diversos programas
de simulação hoje em dia no mercado, que possibilitam obter resultados
muito satisfatórios.
Pode-se ver, através
das figuras, que os softwares de CFD são ferramentas poderosas que ajudam
cada vez mais os engenheiros. E os resultados obtidos são utilizados
para obtenção de dados importantes durante a fase de projeto ou
até de otimização de um equipamento industrial.
Contudo, ainda existe
um longo caminho a ser percorrido, pois ainda não se tem o entendimento
completo de determinados escoamentos, e os modelos matemáticos para tal,
ainda não são suficientemente precisos para que se tenham resultados
coerentes com a prática.
Além disto,
ainda não existe tecnologia suficiente para simulação numérica
de grandes equipamentos utilizando a metodologia DNS (Simulação
Numérica Direta).
Espera-se que futuros
pesquisadores venham contribuir ainda mais com este ramo da ciência que
é tão importante, e que sejam desenvolvidos modelos matemáticos
que representem bem a diversidade de fenômenos encontrada na natureza
e na meio industrial, para que se possa ter um entendimento maior dos mesmos.
Os autores agradecem
a FAPEMIG, através do Programa Institucional de Bolsas de Iniciação
Científica / PIBIC, pela bolsa concedida ao aluno Matheus Guilherme Reimann
Herckert, para a realização deste trabalho. E as várias
pessoas que de algum modo participaram deste projeto.
E o aluno Matheus
gostaria muito de agradecer ao Professor Dr. Aristeu de lhe ter dado esta grande
oportunidade.
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MATHEUS GUILHERME REIMANN HERCKERT
matheusreimann[arroba]yahoo.com.br
Faculdade
de Engenharia Mecânica � Universidade Federal de Uberlândia � Av.
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