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La transformada de Laplace




Enviado por sergiodaniel_3



     

    La transformada de Laplace se
    define como:

    Siendo f(t) una función
    continua para ; s>0;
    s>so ; siendo "s" un parámetro real; y
    so un valor fijo
    de "s".

    La integral impropia
    se define
    como:

    y se dice que si el
    límite existe también existe la transformada de
    Laplace; y decimos que la integral converge.

    Se puede representar la
    actividad de la transformada de Laplace mediante el siguiente
    esquema:

     

    Ejemplo 1:
    Obtener la transformada de Laplace de

    ;para
    s>a. Resultado.

    Ejemplo
    2:
    Obtener la transformada de Laplace de
    f (t)= t.

    aplicando
    la integración por partes:

    L{t} =

    Resultado.

    Y en general : L{
    } =

    Ejemplo
    3:
    Obtener la
    transformada de Laplace de Sen at.

    Paso
    1.-
    ; resolviendo la
    integral por partes:

    Paso
    2.-

    Paso
    3.-

    Paso
    4.-
    ; Integrando por
    partes:

    Paso
    5.-
    u= Cos at ; du= -a Sen at dt ;

    Paso
    6.-

    Paso
    7.-

    Paso
    8.-

    Paso
    9.-
       
    Resultado.

    Ejemplo
    4:
    Método alternativo para obtener
    la transformada de Sen at ;y simultáneamente la
    transformada de Cos at :

    Paso
    1.-

    Paso
    2.-
    Sustituir Sen at  por
    :

    Paso
    3.-
    L{}

    Paso
    4.-
    Como en el ejemplo 1,se obtuvo
    ; entonces en
    este

    caso:

    Paso
    5.-
    Utilizando la identidad de
    Euler:

    y
    aplicándola a éste caso:

    Paso
    6.-

    Paso
    7.-
    Aplicando la propiedad de
    las igualdades en:

    ; se
    obtiene que

    y que
     
    Resultados.

    Propiedades de la
    transformada de Laplace.

    I) Si
    f(t), f1 (t) y f2(t) ;poseen
    transformadas de Laplace y,C es una constante
    entonces:

    Paso
    1.-
    L { f(t)+
    L f1(t)+ L f2(t) } =
    L {f(t)} + L { f1(t)} + L {
    f2(t) }

    Paso
    2.-
    L { C f(t) } = C
    L { f(t) }

    II ) Si
    F(s) = L { f(t) } , entonces:

    L {
    } =

    Ejemplo: Obtener

    Paso
    1.-
    L {} = (-1)
    { }=

    Paso
    2.-

    Paso
    3.-

    Paso
    4.-
    {   
    Resultado.

    Para s >a , n=0, 1, 2,
    3…

    Transformada de Laplace
    de derivadas.

    Obtener la transformada de
    Laplace de f ' (t).

    resolviendo la
    integral por partes:

    L {f ' ( t ) } = L { f(t) }
    – f(0)   
    Resultado.

    Obtener la transformada de
    Laplace de f '' (t) .

    Haciendo f ' (t) = g(t) ; f
    '' (t) = g ' (t) ;y g(0)= f ' (0) ; y aplicando el
    resultado
    anteriormente
    obtenido de la transformada, para la primera derivada
    tenemos:

    L { f '
    ' (t) } = L { f ' (g) } = s L {g (t)} – g(0)
    ;

    s L { g( t ) } = s
    L { f ' ( t ) } = s ( – f (0) + s L { f (t) }
    )

    L { f ' ' (t) } =
    s2 L { f (t) } – s f (0) – f ' (0)
    Resultado.

    Generalizando
    tenemos:

    L {
    } = sn
    L { f (t) } –
    sn-1 f
    (0) – sn-2
    f ' (0) – …. – f n-1
    (0)

    Función Gamma

    Obtener la función
    gamma de 1: sustituir x=1

     
      Resultado.

    Obtener la función
    gamma de ( x+1) :

    Integrando por partes:

    =
    Resultado.

    Generalizando tenemos que:

     Esta
    es la propiedad más importante de la función
    gamma.

    Aplicando la función
    gamma obtener la transformada de Laplace de f(t)
    =;siendo n
    un entero no negativo y, t ;

    L {
    } =

    si sustituimos

    tenemos que
    L{}=    
    Resultado.

    Teorema de
    Traslación del eje s :

    Si F(s) = L{f(t)} existe
    para s>c , entonces L { } existe para
    s>a+c :

    La
    traslación de S de la
    transformada corresponde a la multiplicaciónde la
    función original de t por

    En forma semejante: L
    { F(s-a)
    }=  haciendo
    S

    Aplicando éste
    teorema en las transformadas obtenidas
    anteriormente:

    Como entonces

     

    Como entonces

    Como ;
    entonces

    Así como hay tablas de integrales
    para facilitar la solución de problemas de
    integración, utilizaremos las tablas de
    transformadas.

    de Laplace para agilizar la solución de
    problemas de ecuaciones
    diferenciales lineales no homogéneas, que en el tema
    anterior resolvimos por el método
    de coeficientes indeterminados.

    A continuación se presentan las transformadas
    de Laplace más comunes que utilizaremos, en la
    solución de problemas algebraicos y en los problemas de
    aplicación.

     

     TRANSFORMADAS DE LAPLACE
         
      

    = L {f
    (t)}=F(s)

    FORMULAS

    _____________________|____________________________

     ;
    s>a

     
    ; s>0

     
    ; s>0

     
    ; s>0

     
    ; s>0

     
    ; s>a

     
    ; s>a

     
    ;

    Traslación del eje
    s

    32. Ejemplo

    Siendo la fórmula

    33.
    Ejemplo

    Siendo la fórmula

    En todos los casos a, b, k,
    son constantes y además .

    34.

    35.

    36.

    37.

    38.

    40.

    41.

    42.

    43.

    44.

    45.

    46.

    47.

    48.

    49.

    50.

    51.

    52.

     

    RESOLVER LAS ECUACIONES
    UTILIZANDO

    LAS TRANSFORMADAS DE LAPLACE.

    Problema 1.- con
    las condiciones :

    Paso
    1.-
    Se aplica la transformada de Laplace
    a toda la ecuación término a término.

    Paso
    2.-
    – Sumando los términos
    semejantes

    Paso
    3.-
    Se factoriza la transformada :

    Paso
    4.-
    Se despeja la transformada:

    Paso
    5.-
    – Se obtiene la
    transformada inversa de Laplace

    ;

    Paso
    6.-
      

    ;  

    Paso
    7.-
    Se obtiene el resultado
    final:

    Resultado

     

    La solución de la
    ecuación, puede obtenerse en el Mathematica con
    la instrucción: DSolve[{y'' [x]+4 y'[x]+4 y[x]==4
    E^(-2 x),y[0]== -1,y'[0]==4},y[x],x]

    Una gráfica de la
    solución es:

    Problema 2.
    Condiciones
    iniciales

    Paso
    1.-
    Se aplica la transformada de Laplace
    a toda la ecuación término a

    término.

    Paso
    2.

    Paso
    3.-
    Se factoriza la ecuación;

    Paso
    4.-
    Se despeja la transformada:

    Paso
    5.-
    Se obtiene la transformada inversa de
    toda la ecuación.

    Fórmulas de
    fracciones parciales
    :

    Paso
    6.-
    Se encuentra el valor de las
    constantes utilizando el método de Fracciones
    Parciales.

    L

    Paso
    7.-

    Paso
    8.-
    .

    Paso
    9.-
    Se aplica la propiedad de las
    igualdades factorizando los términos en S, del mismo
    exponente:

    Una vez factorizado los
    términos, se igualan con su correspondiente valor que se
    encuentra en el lado derecho de la ecuación :

    ;

    Paso
    10.-
    Una vez obtenidos los valores
    de las constantes se procede a sustituir.

    Resultado  

    La solución de la
    ecuación se obtiene en el Mathematicacon la
    instrucción:

    DSolve[{y''[t]-4 y'[t] + 4
    y[t] ==t^3 , y[0]==0,y'[t]==0},y[t],t]

    Una gráfica de la
    solución obtenida es:

    Problema 3.-

    Paso
    1.-
    Se aplica la transformada a toda la
    ecuación:

    Paso
    2.-
    Se saca la transformada como factor
    común:

    Paso
    3.-
    Se despeja la transformada:

    Paso
    4.-
    Se obtiene la transformada
    inversa:

    Paso
    5.-
    Se aplican la fórmulas
    correspondientes para obtener los resultados:

    Paso
    6.-

    Paso
    7.-
     
      
    Resultado.

    Paso
    8.-
    La ecuación también se
    puede resolver en el Mathematica con la instrucción:
    DSolve[{y''[t]+10 y'[t]+25 y[t] ==10 E^(-5
    t),y[0]==1,y'[0]==5},y[t],t]

    Paso
    9.-
    Una gráfica del resultado
    obtenido es:

    Problema 4.-

    Paso
    1.-
    La transformade de toda la
    ecuacón es:

    Paso
    2.-
      Factor común de la
    transformada:

    Paso
    3.-
    Se despeja la transformada:

    Paso
    4.-
    Se obtiene la transformada
    inversa:

    Paso
    5.-

    Resultado.  

    Paso
    6.-
    La solución de la
    ecuación se puede obtener en el Mathematica con la
    instrucción:DSolve[{ y''[x]-6y'[x]+9y[x]==x^2 E^(3x),
    y[0]==2,y'[0]==6},y[x],x]

    Paso
    7.-
    La gráfica del resultado
    es

    Problema 5.-

    Paso
    1.-
    Se aplica la transformada a toda la
    ecuación:

    Paso
    2.-
    Factorizando la
    transformada:

    Paso
    3.-
    Despejando la
    transformada:

    Paso
    4.-
    Obteniendo la transformada
    inversa:

    Paso
    5.-
    Simplificando la expresión en
    una suma de fracciones parciales:

    Paso
    6.-
      Resolviendo se tiene:

    Paso
    7.-
      Por lo que obteniendo la
    transformada inversa de toda la expresión:

    Resultado.

    Paso
    8.-
      La solución se puede
    obtener en el Mathematica con la instrucción:

    DSolve[{y''[x]-4y'[x]+4y[x]==4 Cos [2
    x],y[0]==0,y'[0]==5},y[x],x]

    Paso
    9.-
      La gráfica de la
    solución es:

    Problema
    6.-

    Paso
    1.-
      Aplicando la transformada a
    toda la ecuación:

    Paso
    2.-
      Factorizando la
    transformada:

    Paso
    3.-
    Despejando la
    transformada:

    Paso
    4.-
      Obteniendo la transformada
    inversa:

    Paso
    5.-
      Resolviendo con las
    fórmulas:

     
    Resultado.

    Paso
    6.-
    La solución se obtiene el
    el Mathematica con la instrucción:

    DSolve[{ y'' [x]+6 y' [x]+9
    y[x]==6 x^2 E^(-3 x),y[0]==1,y' [0]==4},y[x],x]

    Paso
    7.-
    La gráfica de la
    solución es:

     

     

     

    Responsable:

    Ing. Arturo García
    González

     

    ESTA TEORIA FUE SACADA
    DE:

    docentes.uacj.mx/agarcia/Cursos/ecuaciones/default.htm

     

     

    Presentada por:

     

    SERGIO DGM

     

    Estudiante de Ingeniería Electromecánica de Argentina

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