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Geometría




Enviado por jsanabria123



    1. Reseña
      histórica
    2. Geometría
    3. Euclides
    4. Los Elementos de
      Euclides
    5. Reseña
      Histórica de la Evolución de las
      Geometrías no Euclideanas
    6. Geometría de
      Lobatchevsky
    7. El significado Real de la
      Geometría de Lobatchevsky
    8. Conclusión
    9. Anexos
    10. Bibliografía

    Introducción

    La geometría fue, primero, la ciencia de
    la medida de las extensiones (geo = tierra;
    metrón = medida). Lo que se aprendió a medir (con
    los geómetras griegos) fue la extensión de una
    línea, recta o curva; de una superficie limitada por
    líneas y de un volumen limitado
    por superficies. Pero rápidamente la expresión
    medir adquirió entre los griegos un sentido muy general de
    "establecer relaciones". Estas relaciones eran de dos
    clases:

    • Relaciones de posición que se enuncian por
      proposiciones tales como " La recta D es paralela a la recta
      D’", " la recta D es tangente al círculo C",
      etc.
    • Relaciones métricas, tales como "el segmento AB es
      triple del segmento AC", "la relación entre la longitud
      de la circunferencia y su diámetro es un número
      que ninguna fracción puede definir", etc.

    Para establecer estas relaciones tan numerosas y variadas, los
    geómetras de la antigüedad pusieron a punto un
    método que
    se convertiría más adelante en el método
    matemático por excelencia: la demostración.

    Todo el arte de los
    geómetras griegos consistió en reunir un conjunto
    importante de teoremas enlazados mediante largas cadenas de
    razones – como dijo Descartes– a
    algunos principios
    primeros. Este "corpus" es la geometría
    euclidiana.

    Precisamente, el valor
    estético de la construcción euclídea y la
    trascendencia intelectual de su programa consiste
    en haberse propuesto eslabonar el conjunto de axiomas,
    definiciones y razonamientos con arte y perfección. En vez
    del confuso montón de intuiciones y demostraciones de los
    geómetras anteriores, Euclides seleccionaba unos pocos
    conceptos fundamentales y unas pocas relaciones entre estos
    conceptos, enunciadas explícitamente, para, desde
    aquí, pasar a la creación de nuevos conceptos y al
    descubrimiento de nuevas relaciones entre ellos.

    La geometría de Euclides, la geometría de
    Descartes, la geometría de Riemann o la de Lovachevski,
    etc., son unas teorías
    deductivas. Los entes de los cuales tratan se llaman figuras y
    podemos dar de ellas diversas imágenes
    que nos permiten comunicar con nuestros semejantes. Estas
    imágenes pueden ser símbolos figurativos, ecuaciones,
    etc.

    • La Geometría no euclídea: Geometría
      para la que no es válido el axioma de paralelismo de
      Euclides (quinto postulados de Euclides).
    • La Geometría hiperbólica: Geometría no
      euclídea en la cual el postulado de las paralelas se
      sustituye por otro según el cual desde un punto exterior
      a una recta se pueden trazar al menos dos paralelas a ella, las
      cuales separan a todas las rectas que pasan por el punto en dos
      clases. Una, la de las que cortan a la recta dada y otra, la de
      las que no tienen puntos comunes con esa recta.
    • La Geometría elíptica: Geometría no
      euclídea en la cual el quinto se sustituye por otro el
      cual desde un punto exterior a una recta no se puede trazar
      ninguna recta paralela a ella.
    • La Geometría proyectiva: Geometría cuyos
      objetos son los espacios proyectivos y sus aplicaciones
      propias, las proyectividades.

    Reseña
    histórica.

    Es importante, antes de emprender un estudio de la
    geometría Euclidiana, revisar algunos antecedentes
    históricos que nos permita tener una visión general
    de su desarrollo.
    Tanto Proclos, como Herodoto, consignan en sus escritos que la
    geometría tuvo sus orígenes en Egipto con la
    medición de áreas, ya que el
    río Nílo, al desbordarse, borraba las señales
    que limitaban los terrenos de los agricultores. Según
    reseña el historiador Herodoto, en tiempos de Ramses II
    (1300 A. C.) la tierra del
    valle del Nilo se distribuía en terrenos rectangulares
    iguales por los cuales se debía pagar un impuesto anual,
    pero cuando el río invadía los terrenos, el
    agricultor tenía que avisar al rey lo sucedido, enviando
    éste a su vez a un supervisor que medía la parte en
    que se había reducido el terreno para que pagara sobre lo
    que quedaba, en proporción a impuesto que se había
    fijado. Precisamente, la palabra Geometría significa
    «medición de tierra».  Afirma
    Herodíto que habiéndose originado la
    geometría en Egipto, país después a Grecia
    Hay evidencias
    históricas, también, de aplicaciones, 
    geométricas, algunos miles de años antes de nuestra
    era en regiones tales como Mesopotamia,
    (comprendida entre los ríos Tígris y Eufrates) y
    algunas regiones del centro, sur y este de Asia, en las
    cuales se desarrollaron grandes obras de ingeniería en la construcción de
    edificios y sistemas de
    canalización y drenaje. Los babilonios (Mesopotamia),
    habían desarrollado la aritmética a muy buen nivel,
    permitiéndoles hacer cálculos astronómicos y
    mercantiles. Conocían reglas (2000 – 1600 A. C.) para
    calcular el área de triángulos, rectángulos,
    trapezoides, volumen de paralelepípedos rectangulares,
    volumen de prisma recto, volumen de cilindro circular recto, del
    área del círculo (con aproximación 71= 3).
    Hay vestigios de que en esa época era también
    conocido el teorema de Pitágoras. La geometría
    babilónica y egipcia, como podemos apreciar era
    eminentemente práctica. Se le utilizaba para resolver una
    serie de problemas de
    la vida cotidiana y no como una disciplina
    especial, metódica. A La matemática
    prehelénica se, le veía como una colección
    de reglas para hacer cálculos que les
    permitía   obtener  
    resultados   satisfactorios para las necesidades de la
    época. Alcanzaron un gran desarrollo de, la habilidad
    operatoria, pero sin que se presentara un sólo caso de
    razonamiento deductivo, como se presentó posteriormente en
    la etapa griega. Las relaciones matemáticas de los babilonios y egipcios
    fueron esencialmente formuladas, mediante el método de
    experimentación y error, de manera empírica, de
    ahí que muchas de ellas eran definitivamente
    erróneas.

    Cualquiera que sea la conexión entre las
    matemáticas griegas y las de oriente, los griegos
    trasformaron la geometría en algo muy diferente del
    conjunto de conclusiones empíricas que usaron sus
    predecesores. Los griegos, propusieron que los hechos
    matemáticos deben ser establecidos por razonamientos
    deductivos. Las conclusiones matemáticas deben ser
    confirmadas mediante una demostración lógica,
    no por experimentación. No se sabe con certeza por
    qué los griegos decidieron alrededor de 600 A. C.
    abandonar el método empírico de obtener
    conocimientos matemáticos y  adoptar el de
    razonamiento deductivo. Tal vez una de las causas sea su estructura
    social, pues los filósofos, artistas y matemáticos
    pertenecían a una clase social
    privilegiada que desdeñaban los  trabajos 
    manuales y las
    ocupaciones prácticas que eran desempeñadas por las
    clase más bajas, lo cual permitía a las clases
    privilegiadas dedicar tiempo a
    pensar, pues por aquel tiempo los griegos eran muy dados a hacer
    grandes teorías para explicar el mundo. De hecho no
    existen fuentes para
    el estudio de la geometría griega antigua, la única
    fuente de que se dispone, de tal época, es la obra de
    Proclo, conocida con el nombre de sumario de Eudemo, escrita en
    el siglo V D. C., y en la cual se esboza de manera muy breve
    el  desarrollo de la geometría, desde la
    antigüedad hasta Euclides. El sumario de Eudemo debe su
    nombre a que está basado en una serie de trabajos escritos
    por Eudemo, discípulo de Aristóteles.   Según lo
    relaciona el sumario de Eudemo, la geometría demostrativa
    se inicia en 600 a. c. con Tales de Mileto,
    comerciante originario de Mileto, en la costa de Asia Menor.
    Conocido como uno de los «siete hombres sabios» 
    de la antigüedad, también se dedico a la
    filosofía, matemática, astronomía y política,
    frecuentemente se le llama «el padre de la geometría
    demostrativa», pues aplicó a sus trabajos los
    procedimientos
    del razonamiento deductivo. A Tales se le acreditan los
    siguientes resultados, geométricos:

    • Un diámetro biseca un círculo.
    • Los ángulos a la base de un triángulo
      isósceles son iguales.
    • Los ángulos opuestos formados por dos rectas que se
      intersecan son iguales.
    • Dos triángulos son congruentes si tienen un lado y
      dos ángulos iguales.
    • El ángulo inscrito en un semicírculo es
      ángulo recto (los babilonios conocían esto 1400 a
      los antes).

    El siguiente matemático griego famoso en el sumario de
    Eudemo es Pitágoras, nacido aproximadamente en el
    año 572 a. c. en la isla de Samos, isla del mar Egeo,
    cercano a la ciudad de Mileto. Pitágoras, 50 años
    más joven que tales, razón por la cual se cree que
    fue discípulo de éste, es famoso no solo por el
    teorema que lleva su nombre, sino por sus estudios de 
    música y
    sobre todo por haber fundado en el puerto de Crotona, al sur de
    Italia, la famosa
    escuela
    Pitagórica para el  estudio de la filosofía,
    la música, la matemática y las ciencias
    naturales y a la cual se le atribuye la práctica de
    ritos secretos. Parece ser que con el transcurso del tiempo, sus
    estudios derivaron también hacia la política, lo
    cual, hizo que finalmente se desbandaran. La contribución
    de los pitagóricos a la geometría fue, entre otras,
    el teorema que demuestra que la suma  de los ángulos
    interiores de un triángulo es igual a dos ángulos
    rectos, al cual se llegó a través de los
    conocimientos que obtuvieron de las paralelas; propiedad de
    las figuras semejantes, así como una serie de estudios
    sobre áreas y volúmenes. Los pitagóricos
    proporcionaron a la geometría, sobre todo, un gran avance
    en el aspecto del desarrollo deductivo de la matemática.
    Muchos de los conocimientos geométricos los plantearon
    como una cadena de proposiciones sucesivas basadas en unas
    cuantas suposiciones iniciales y unos cuantos axiomas.

    Platón (427-347 a. c.), filósofo, fue otro de
    los personajes que influyeron en el desarrollo de la
    matemática en Grecia, no por sus descubrimientos
    matemáticos, sino porque en su escuela era de primordial
    importancia que sus  alumnos estudiaran geometría, ya
    que estaba convencido que la geometría era un campo de
    entrenamiento
    muy importante para la mente, debido a sus elementos gicos y a la
    más pura actitud mental
    que crea su estudio. A la entrada de la academia colocó un
    letrero que decía: «que nadie entre si no sabe
    geometría». Durante el siglo IV a. c., el rey Felipe
    de Macedonia emprendió la conquista de Persia, enemigos de
    los griegos. Felipe fue muerto y sucedido por Alejandro El Magno.
    A la muerte de
    Alejandro El Magno, Egipto quedó bajo el mando de Ptolomeo
    I, un antiguo general de Alejandro. En ese tiempo, el año
    331 a. c., la capital de
    Egipto se estableció en Alejandría y Ptolomeo la
    concibió como el centro de la gran cultura
    griega. Fundó en 300 a. c. la Universidad de
    Alejandría a la cual atrajo, pagando muy buenos salarios, a los
    más notables artistas, filósofos, historiadores,
    poetas, astrónomos, etc., de la época que se
    desenvolvían en un, ambiente
    físico óptimo: atractivo edificio con grandes
    jardines, laboratorio,
    salas de lectura,
    así como una gran biblioteca con
    una colección de más de 600,000 obras. El
    matemático más notable en esa universidad fue
    Euclides, quién fundó precisamente la escuela de
    matemáticas de Alejandría. No se sabe cual es su
    fecha de nacimiento y se cree que se educó en la Escuela
    Pitagórica de Atenas. Euclides escribió sobre
    astronomía, música, óptica
    y otras materias, sin embargo, la obra que le dió fama
    universal fueron "Los Elementos", trabajo cuya
    mayor parte es una colección de los trabajos de sus
    predecesores, resumido en 13 libros
    capítulos que incluyen 465 proposiciones, muchas de las
    cuales no son de geometría sino de teoría
    de números y de álgebra,
    escrita como una sola cadena deductiva y que por cientos de
    generaciones se ha conservado como un ejemplo de
    lógica.  El Libro I
    contiene los conceptos iniciales, así como los teoremas de
    congruencia, líneas paralelas  y figuras,
    rectilíneas. El Libro II es dedicado al álgebra, el
    Libro III,  al círculo y el IV a la
    construcción de polígonos regulares. El Libro V y VI
    contiene la teoría de las proporciones y sus aplicaciones
    a la geometría. Los Libros VII, VIII y IX contienen
    teoría de números. El Libro X es dedicado a la
    teoría de los irracionales y los últimos tres a la
    geometrías liba,  Ningún tratado ha causado un
    impacto tan grande sobre las matemáticas como Los
    Elementos, es la obra científica que más se ha
    editado, analizado, traducido y estudiado en el mundo. Uno de sus
    máximos méritos es la selección
    y  disposición sistemática de los
    teoremas  en un orden   meticulosamente
    lógico, procediendo  paso a paso, teorema por
    teorema, desde las proposiciones más simples, hasta las
    más complejas, estableciéndose como un modelo de
    razonamiento, llamado razonamiento deductivo. Es lógico
    pensar que no todos los trabajos eran ajenos, Euclides tuvo que
    hacer un buen número de demostraciones y perfeccionar
    otras para dar a la obra una secuencia tal, que se viera como un
    todo. Es lógico pensar que no todos los trabajos eran
    ajenos, Euclides tuvo que hacer un buen número de
    demostraciones y perfeccionar otras para dar a la obra una
    secuencia, que se viera como un todo. Después de Euclides,
    el matemático de más renombre fue Arquímedes de Siracusa (287 – 212 a. c.).
    Después de estudiar en Alejandría, regresó a
    Sicilia lugar donde escribió tres obras sobre
    geometría plana: «Medidas de una
    circunferencia»,  «Cuadratura de la
    parábola» y «Sobre espirales», que son
    ejemplos de rigor en las demostraciones. También
    dejó escritos sobre la esfera, el cilindro, conos,
    así como estudios sobre mecánica y aritmética. El tercer
    matemático de la antigüedad fue Apolonio,
    quién nació en el año 262 a. c., en Perga,
    al sur de Asia Menor; 25 más joven que Arquímedes,
    estudió en Alejandría, donde murió alrededor
    del año 200 a. c., Apolonio adquirió
    reputación entre sus contemporáneos como «el
    más grande geómetra» debido a su
    magnífica obra «Secciones cónicas», el
    último de los trabajos de la matemática griega
    considerada como una obra maestra. Escrita en ocho libros,
    contiene el estudio más acabado sobre el tema. La
    época de oro de la
    matemática griega llega a su fin con la muerte de
    Apolonio. Pocas contribuciones geométricas se hicieron
    después de estos grandes matemáticos. Herán
    (125 d. c.) calculó el área del triángulo en
    función
    de sus lados.

    Menelao (98 d. c.)  y Claudio Ptolomeo (168 d. c.)
    pusieron las bases de la trigonometría. Ptolomeo aplicó la
    trigonometría a la astronomía, su obra
    máxima es «Almagesto», una obra que es a la
    astronomía lo que Los elementos es a la geometría.
    Pappus (s IV) calcula las superficies generadas por una
    línea que gira alrededor de un eje situado en un plano y
    de volúmenes que se generan cuando se hace girar una
    superficie  alrededor de un plano. La gran
    civilización griega que se había desarrollado en,
    Mesopotamia, en Egipto y en Grecia, fue paulatinamente destruida
    al ser conquistada por lo romanos, primeramente Grecia en el
    año 146 a. c. y finalmente Egipto en el año 30 a.
    c. El último aliento de la civilización griega se
    extinguió con la conquista de Egipto por los
    Árabes, comandados por Omar en el año 640 d. c.
    iniciando así la  caída del imperio romano y
    el inicio de una época conocida como la edad del
    oscurantismo de Europa, por su
    decadencia de productividad
    científica y cultural, que duró hasta el siglo XII
    d. c.  Desde el año 200 hasta el año 1200 d.
    c. los hindúes, influenciados de alguna manera por los
    griegos, habían hecho varias contribuciones a la
    aritmética y al álgebra. Los árabes, que a
    estas alturas habían extendido sus dominios sobre todas
    las tierras que bordean el Mediterráneo y sobre el Cercano
    Este agrupaban muchas razas unidas por la religión mahometana,
    absorbieron los conocimientos griegos e hindúes. Fue muy
    importante para la conservación de la cultura
    del  mundo que los árabes asimilaran y resguardaran
    sus  conocimientos. Numerosos trabajos hindúes y
    griegos referentes a astronomía, medicina y
    matemática, fueron diligentemente traducidos a la lengua
    árabe y   así se salvaron hasta que
    posteriormente los escolares Europeos pudieron traducirlos al
    latín y a otros idiomas. En el año 1482 se
    imprimió la primera versión de la obra  de
    Euclides. En el año 1533 se tradujo el Libro I de
    Comentarios sobre Euclides, de Proclo. En 1572, se tradujo Los
    elementos de Euclides del griego, que sirvió como base
    para muchas otras traducciones siguientes.  Después
    del período del renacimiento,
    inició el período que corre hasta nuestros
    días y que se conoce con el nombre, de era  moderna.
    Durante esta época y debido a efervescencia que causaron
    tantas obras de los grandes geómetras griegos, los
    matemáticos de la era moderna descubrieron una gran
    cantidad de proposiciones, a partir de las señaladas en
    Los elementos, dando lugar este cúmulo de conocimientos a
    lo que hoy se conoce como Geometría Moderna.

    Geometría

    La geometría es la parte de las matemáticas que
    estudia las propiedades y las medidas de las figuras en el plano
    o en el espacio.

    En el ámbito de las matemáticas, se distinguen
    varias clases de geometría:

    Geometría algorítmica:

    Aplicación del álgebra a la geometría
    para resolver por medio del cálculo
    ciertos problemas de la extensión.

    Geometría analítica:

    Estudio de figuras que utiliza un sistema de
    coordenadas y los métodos
    del análisis
    matemático.

    Geometría del espacio:

    Parte de la geometría que considera las figuras cuyos
    puntos no están todos en un mismo plano.

    Geometría descriptiva:

    Parte de las matemáticas que tiene por objeto resolver
    los problemas de la geometría del espacio por medio de
    operaciones
    efectuadas en un plano y representar en él las figuras de
    los sólidos.

    Geometría plana:

    Parte de la geometría que considera las figuras cuyos
    puntos están todos en un plano.

    Geometría proyectiva:

    Rama de la geometría que trata de las proyecciones de
    las figuras sobre un plano.

    Euclides

    Biografía

    Euclides (en
    griego
    ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ,
    Eukleides) es un
    matemático griego,
    que vivió alrededor del año
    300 a.C, ~(325
    adC) – (265
    adC) Escribió los Elementos, una de las
    obras más conocidas de la literatura mundial. En ella
    se presenta de manera formal, partiendo únicamente de
    cinco
    postulados, el estudio de las propiedades
    de líneas y planos, círculos y esferas,
    triángulos y conos, etc.; es decir, de las formas
    regulares. Los teoremas
    que nos enseña Euclides son los que generalmente
    aprendemos en la escuela. Por citar algunos de los más
    conocidos:

    Para ver el gráfico seleccione la
    opción "Descargar" del menú superior

    Retrato de Euclides en una
    estampilla

    • La suma de los ángulos de cualquier
      triángulo es 180°.
    • En un triángulo rectángulo el cuadrado
      de la hipotenusa
      es igual a la suma de los cuadrados de los
      catetos,
      que es el famoso teorema de Pitágoras.

    La geometría de Euclides, además de ser un
    poderoso instrumento de
    razonamiento deductivo ha sido
    extremadamente útil en muchos campos del conocimiento,
    por ejemplo en la física,
    la astronomía, la química
    y diversas
    ingenierías. Desde luego es muy
    útil en las
    matemáticas. Inspirados por la
    armonía de la presentación de Euclides, en
    el siglo
    II se formuló la teoría

    ptolemaica del Universo,
    según la cual la Tierra
    es el centro del Universo, y
    los planetas,
    la Luna
    y el Sol dan
    vueltas a su alrededor en líneas perfectas, o sea
    círculos
    y combinaciones de círculos. Sin embargo, las ideas
    de Euclides constituyen una considerable abstracción de la
    realidad. Por ejemplo, supone que un punto no tiene
    tamaño; que una línea es un conjunto de puntos que
    no tienen ni ancho ni grueso, solamente longitud; que una
    superficie no tiene ancho, etcétera. En vista de que el
    punto, de acuerdo con Euclides, no tiene tamaño, se le
    asigna una dimensión nula o de cero. Una línea
    tiene solamente longitud, por lo que adquiere una
    dimensión igual a uno. Una superficie no tiene ancho, por
    lo que tiene dimensión dos. Finalmente, un cuerpo
    sólido, como un cubo, tiene dimensión tres. De
    hecho, en la geometría euclidiana las únicas
    dimensiones posibles son las que corresponden a los
    números enteros: 0, 1, 2 y 3.

    Los Elementos de
    Euclides

    Los Elementos de Euclides se utilizaron como texto durante
    2.000 años, e incluso hoy, una versión modificada
    de sus primeros libros constituye la base de la enseñanza de la geometría plana en
    las escuelas secundarias. La primera edición
    impresa de las obras de Euclides que apareció en Venecia
    en 1482, fue una traducción del árabe al
    latín.

    Durante el reinado del faraón helenista Tolomeo I
    Soter (323-285 a. C.) quien, deseando modernizar los tratados de
    geometría existentes, encomendó a Euclides escribir
    una compilación o refundición completa. El
    resultado fue los "Elementos", en trece volúmenes, a los
    que posteriormente se añadieron dos más, atribuidos
    a Hipsicles de Alejandría. Se cuenta que Ptolomeo pregunto
    a Euclides si no hay una manera más simple de aprender
    Geometría que estudiar los "Elementos", a lo que el autor
    respondió " No existe un camino real hacia la
    Geometría".

    Al comienzo de cada uno de los libros que componen los
    Elementos, Euclides presenta unas definiciones y unas Nociones
    Comunes relativas a los temas desarrollados.

    Tomos de los Elementos

    • El libro I de los "Elementos" trata sobre rectas
      paralelas, perpendiculares, y las propiedades de los lados y
      ángulos de los triángulos.
    • El II desarrolla el álgebra
      geométrica.
    • El III estudia las propiedades del círculo y
      de la circunferencia.
    • El IV los polígonos inscritos y
      circunscritos.
    • El V la teoría de las proporciones de
      Eudoxio.
    • En el VI aplica dicha teoría a la semejanza de
      triángulos y otros problemas. Los libros VII, VIII. IX y
      X están dedicados a la aritmética.
    • El XI estudia la perpendicularidad y el paralelismo
      de rectas y planos, ángulos diedros y poliedros,
      etc.
    • El XII aplica el método exhaustivo de Eudoxio
      a diversos problemas geométricos, como la equivalencia
      de pirámides y la semejanza de conos y
      cilindros.
    • El XIII estudia los poliedros regulares.

    La obra de Euclides no es totalmente original, pues
    muchos de sus libros están basados en geómetras
    anteriores. Sin embargo, sistematizó todos los
    conocimientos de su época, ordenó las
    enseñanzas a su manera y demostró los teoremas
    requeridos por su nueva ordenación lógica, basada
    en el método axiomático; todo se deduce a partir de
    cinco axiomas y cinco postulados, cuya verdad se considera
    evidente.

    Los
    axiomas son:

    • Dos cosas iguales a una tercera son iguales entre
      sí.
    • Si cantidades iguales se suman a cantidades iguales,
      las sumas son iguales.
    • Si cantidades iguales se restan de cantidades
      iguales, las diferencias son iguales.
    • Dos figuras que coinciden son iguales entre
      sí.
    • El todo es mayor que cualquiera de sus
      partes.

    Los
    postulados son:

    • Es posible trazar una línea recta entre dos
      puntos cualesquiera.
    • Todo segmento puede extenderse indefinidamente en
      línea recta.
    • Un círculo puede tener cualquier centro y
      cualquier radio.
    • Todos los ángulos rectos son
      iguales.
    • Si una línea recta corta a otras dos, de tal
      manera que la suma de los dos ángulos interiores del
      mismo lado sea menor que dos rectos, las otras dos rectas se
      cortan, al prolongarlas, por ese lado.

    Otra forma equivalente, más conocida de expresar
    el quinto postulado es: "Por un punto exterior a una recta no
    puede trazarse más que una paralela a ella"
    Algunas proposiciones equivalentes al postulado de las paralelas
    (postulado 5) son:

    • Playfair: Por un punto exterior a una recta se
      puede trazar una paralela y sólo una.
    • Proclo: Dos rectas paralelas están
      entre si a una distancia finita.
    • Legendre: Existe un triángulo en el
      cual la suma de sus tres ángulos vale dos
      rectos.
    • Saccheri y Laplace: Existen dos
      triángulos no congruentes, con los ángulos de uno
      respectivamente iguales a los del otro.
    • Legendre y Lorente: Por un punto cualquiera
      interior a un ángulo menor que dos tercios de rectos
      pasa una recta que corta a ambos lados del
      ángulo.
    • Gauss: Si k es un entero cualquiera, siempre
      existe un triángulo cuya área es mayor que
      k.
    • Bolilla: Por tres puntos no alineados pasa
      siempre una circunferencia.
    • Entre otros.

    Durante mucho tiempo, los geómetras lucharon por
    demostrarlo a partir de los otros cuatro y de los cinco axiomas,
    sin conseguirlo. A partir del siglo XIX surgieron nuevas
    geometrías no euclidianas que niegan este postulado y lo
    sustituyen por otros diferentes. Los "Elementos" de Euclides
    tuvieron una influencia enorme sobre los matemáticos
    árabes y occidentales, prácticamente hasta nuestros
    días. También se le atribuyen otras obras como
    "Óptica", "Datos" "Sobre las
    divisiones" "Fenómenos" (sobre Geometría
    esférica) y "Elementos de la Música".

    Reseña
    Histórica de la
    Evolución de las Geometrías no
    Euclideanas

    En 1697 el italiano Giolamo Saccheri abrió un
    gran campo de posibilidades para la resolución del
    problema sobre el quinto postulado. Se podría decir
    que dio el pistoletazo de salida en una carrera con muchos
    obstáculos pero con una meta abrumadora. La importancia de
    su trabajo radica en la suposición de que el quinto
    postulado de Euclides es falso e intentar llegar a una
    contradicción.

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      FIGURA 1: El Cuadrilátero de
    Saccheri

      Con la FIGURA 1, Saccheri prueba que el
    ángulo ADC es igual al ángulo BCD. Se
    hizo la siguiente pregunta: ¿son ángulos rectos?
    Supuso que no:

    Hipótesis del
    ángulo obtuso: ADC y BCD son
    mayores que un recto (es decir, mayores que 90º).

    Hipótesis del ángulo agudo: ADC y
    BCD son menores que un recto (menores que
    90º).

             De
    la hipótesis 1 y del resto de los axiomas pudo
    deducir que ADC y BCD son
    ángulos rectos, con lo que se llegó a una
    contradicción. De la hipótesis 2 obtuvo muchos
    teoremas y propiedades de una geometría no-euclidiana que
    se consolidará unos pocos años después, pero
    sin saber lo que estaba haciendo realmente. Continuó hasta
    llegar al siguiente teorema: "Dado cualquier punto A y una recta
    b, con la hipótesis del ángulo agudo existe en el
    haz (familia) de
    rectas que pasan por A dos rectas p y q que dividen el haz en dos
    partes. La primera de ellas consiste en las líneas que
    intersecan a b y la segunda la forman las líneas (que
    forman un ángulo α) que tienen una
    perpendicular comϊn con b en algϊn sitio a
    lo largo de b. Las rectas p y q son asintóticas a
    b".

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     FIGURA 2: Las rectas de Saccheri

     De este resultado y una cadena de razonamientos
    muy extensa demostró que p y b tendrían una
    perpendicular común en su punto común, que
    está en el infinito. ¡Otra vez nos encontramos con
    el infinito! Saccheri afirmó que este descubrimiento era
    totalmente descabellado y, aun sin llegar a una
    contradicción, lo rechazó decidiendo que la
    hipótesis del ángulo agudo era falsa.

             Así,
    sólo quedaba suponer que ADC y
    BCD son ángulos rectos. Saccheri ya había
    demostrado que, en este caso, la suma de los ángulos de
    cualquier triángulo es 180º, y esto implica la
    veracidad del quinto postulado.

             Nuestro
    matemático italiano quedó sumamente satisfecho de
    su logro, pero Klügel (1739-1812) observó en su
    disertación de 1763 que los resultados de Saccheri no
    conducían a una contradicción sino a resultados que
    parecían estar en contraposición con la
    experiencia. Esto motivó a Lambert (1728-1777) a
    considerar un cuadrilátero con tres ángulos rectos
    y estudiar la posibilidad de que el cuarto fuera agudo u obtuso.
    Dedujo que la hipótesis del ángulo obtuso originaba
    propiedades como las que se obtenían para figuras sobre
    una esfera si se prescindía del absurdo que provocaba con
    respecto al quinto postulado, y conjeturó que los teoremas
    que se deducían bajo la hipótesis del ángulo
    agudo se verificaban en figuras sobre una esfera de radio
    imaginario. Este descubrimiento afirmaba que cualquier conjunto
    de hipótesis que no conducía a contradicciones nos
    ofrecía una geometría posible.

             F.
    K. Schweikart (1780-1859), influido por los trabajos de Saccheri
    y Lambert, hizo una distinción clara entre dos
    geometrías: la de Euclides y aquella en la que se
    verificaba que la suma de los ángulos de un
    triángulo es distinta a 180º. A esta última la
    llamó astral porque cabía la posibilidad de que se
    cumpliera en el espacio de las estrellas.

             F.
    A. Taurinus (1794-1874), un sobrino de Schweikart y seguidor de
    sus avances en esta materia,
    demostró la conjetura de Lambert acerca de la
    hipótesis del ángulo agudo. Afirmaba que
    únicamente la geometría euclidiana podía ser
    verdadera para el espacio físico (incluyendo, por tanto,
    el de las estrellas) pero que la geometría astral era
    "lógicamente consistente" (en el sentido de que no llevaba
    a ninguna contradicción).

             Con
    la obra de Lambert, Schweikart y Taurinus el mundo
    matemático se convenció de que el quinto postulado
    de Euclides no se podía demostrar a partir del resto de
    los axiomas, es decir, que es independiente. Además, cabe
    subrayar que también se demostró que bajo
    hipótesis contradictorias se pueden deducir
    geometrías tan consistentes como la de Euclides. Llegados
    a este punto deberíamos reparar en la problemática
    que subyace en todos los descubrimientos de este periodo
    determinado de la historia de las
    matemáticas. ¿Es posible modelizar el espacio
    físico con cualquiera de estas geometrías? La
    evidencia de que la geometría euclídea era
    perfectamente compatible reinaba en el pensamiento de
    la época pero también la consistencia de todas
    aquellas geometrías que se originan a partir de
    hipótesis contrarias a nuestra protagonista: al axioma de
    las paralelas.

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    FIGURA 3: Resumen de las hipótesis de las
    geo

             Que
    las geometrías sobre la esfera no respondían a las
    propiedades del mundo físico pese a su carácter no contradictorio seguía
    siendo una creencia bastante arraigada en el seno de la
    Matemática, que todavía era euclidiana. El propio
    D'Alembert llamó al problema del axioma de las paralelas
    "el escándalo de los elementos de la
    Geometría".

             La
    primera persona que
    realmente llegó a comprender este problema fue Gauss
    (1777-1855). Comenzó su trabajo con tan solo 15
    años y en 1813 todavía no había conseguido
    grandes progresos, aunque seguía empeñado en
    reducir el axioma de los restantes. Escribió: "En la
    teoría de las paralelas ni siquiera ahora estamos mucho
    más lejos que Euclides. Ésta es una parte
    vergonzosa de las matemáticas…
    ".

             En
    1813 desarrolló una nueva geometría. La
    llamó geometría antieuclídea, más
    adelante geometría astral y finalmente la bautizó
    geometría no euclídea. En 1817 Gauss se
    había convencido de que el quinto postulado era
    independiente y estudió las consecuencias que se pudieran
    derivar de su geometría, a saber, aquella en la que se
    puede trazar más de una línea paralela a una recta
    dada y que pasa por un punto exterior a ésta. Llegó
    a la conclusión de que era perfectamente aplicable al
    espacio físico.

             Todavía
    es un misterio el hecho de que Gauss no publicara sus
    descubrimientos, aunque en una de sus cartas
    llegó a decir que se debía a un miedo a ser
    malinterpretado. Quienes sí publicaron toda la
    construcción de esta nueva geometría fueron
    Lobatchevsky (1793-1856) y Janos Bolyai (1802-1860), hijo de W.
    F. Bolyai. En el siguiente apartado hablaremos únicamente
    de la solución propuesta por Lobatchevsky, puesto que la
    de Bolyai es totalmente análoga.

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    Geometría de
    Lobatchevsky

    Biografía

    Nikolai Ivanovich Lobatchevsky estudió en la
    Universidad de Kazan. Publicó por primera vez su
    teoría sobre el axioma de las paralelas en su obra Sobre
    los fundamentos de la geometría en el año
    1829-1830, pero no fue plenamente aceptada hasta muchos
    años después. Su trabajo, tanto como el de Bolyai,
    se ignoró hasta aproximadamente 30 años
    después. El tema atrajo la atención gracias a que el nombre de Gauss
    proporcionó peso a las ideas cuando se hizo pública
    su correspondencia en 1855 después de su muerte. Fue en
    1868 cuando Beltrami (1835-1900) obtuvo un modelo real donde se
    verificaban parte de las propiedades de la geometría de
    Lobatchevsky y la colocó en el mismo lugar que la
    euclídea.

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    FIGURA 4: Las rectas de
    Lobatchevsky

     Lobatchevsky, como la mayoría de sus
    contemporáneos, intentó deducir el quinto postulado
    de Euclides a partir de los restantes axiomas de esta
    geometría, al puro estilo de Saccheri.

             La
    esencia de la solución de este problema la expuso
    él mismo en su obra Nuevos elementos de Geometría
    (1835): "Es bien sabido que, en geometría, la
    teoría de las rectas paralelas ha permanecido hasta ahora
    incompleta. Los inútiles esfuerzos realizados desde los
    tiempos de Euclides a lo largo de dos mil años me han
    inducido a sospechar que los conceptos no contienen la verdad que
    queríamos probar, sino que, al igual que otras leyes
    físicas, solamente pueden ser verificados mediante
    experimentos,
    tales como observaciones astronómicas. Convencido por fin
    de la verdad de mi conjetura y considerando que este
    difícil problema está completamente resuelto,
    expuse mis argumentos en 1826
    ".

             Comenzó
    sus investigaciones
    suponiendo que por un punto exterior a una recta no pasa una,
    sino al menos dos rectas paralelas a la recta dada y
    desarrolló una geometría totalmente concebible que
    no lleva a contradicción alguna. Se puede resumir la
    solución de Lobatchevsky al problema del quinto postulado
    como sigue: "El postulado no puede ser
    probado
    ".

    Obra

    Añadiendo a las proposiciones básicas de
    la geometría el axioma opuesto se puede desarrollar una
    geometría extensa y lógicamente perfecta. La verdad
    de los resultados de cualquier geometría
    lógicamente concebible debe ser desarrollada no
    sólo como un esquema lógico arbitrario, sino como
    una teoría que abra nuevos caminos y métodos para
    las teorías físicas.

             Uno
    de los resultados más sorprendentes es el
    siguiente:

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    FIGURA 4: Las rectas de Lobatchevsky

    Dada una recta AB y un punto C (ver FIGURA 4) todas las
    rectas que pasan por C caen dentro de dos clases respecto a AB, a
    saber: la clase de las rectas que cortan a AB y la clase de las
    que no lo hacen. A la última pertenecen las dos rectas p y
    q que forman la frontera entre
    las dos clases. Estas dos líneas fronteras son llamadas
    las rectas paralelas. El ángulo
    π (a) se llama ángulo de
    paralelismo. Las otras rectas que no son paralelas y que pasan
    por C y las que no cortan a AB son llamadas rectas que no
    intersecan, aunque en el sentido de Euclides éstas son
    paralelas a AB y así, en este sentido, la geometría
    de Lobatchevsky contiene un número infinito de paralelas
    que pasan por C.

             También
    llegó a establecer la trigonometría no euclidiana,
    resolución de triángulos y cálculo de
    áreas y volúmenes. Mostró identidades
    trigonométricas para triángulos que se
    mantenían en su geometría, advirtiendo que a medida
    que el triángulo se hacía más pequeño
    las identidades tendían hacia las identidades
    trigonométricas usuales. Con esto y una cadena de
    razonamientos y deducciones verdaderamente sorprendentes no
    sólo construyó una geometría plena sino que
    redujo a la geometría euclídea a un caso
    límite y, por tanto, particular.

             Todo
    el trabajo de
    Lobatchevsky, Bolyai y Gauss y su concepción acerca de
    estas nuevas teorías revolucionó los fundamentos de
    la Matemática. Aunque fuera lógicamente concebible,
    no se podía aplicar al mundo físico, por lo que
    esta nueva geometría se vio relegada a puro juego y
    deducción matemática sin ninguna
    trascendencia ni real ni social.

    El significado Real de la
    Geometría de Lobatchevsky

    Eugenio
    Beltrami

    Biografía
          

      En 1868 el italiano Eugenio Beltrami
    publicó Ensayo sobre
    la interpretación de la Geometría no
    euclídea, que proporcionó un modelo para la
    geometría no-euclidiana de Lobatchevsky dentro de la
    geometría euclídea 3-dimensional.

    Fotografía de
    Beltrami

    Obra

    Consideró una curva llamada tractriz (ver FIGURA
    5). Una de las propiedades de esta curva es que la longitud del
    segmento de tangente comprendido entre el punto de tangencia y el
    punto de corte con el eje OY es constante. El eje OY es una
    asíntota. Al girar la curva alrededor de su
    asíntota se engendra una superficie llamada seudoesfera,
    representada en la parte derecha de la FIGURA 5.

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            FIGURA
    5: Tractriz y seudoesfera

     Beltrami hizo notar que la geometría
    intrínseca de la seudoesfera coincide con la
    geometría sobre parte del plano de Lobatchevsky. De este
    modo, esta geometría no euclidiana tiene un perfecto
    significado real: no es más que una exposición
    abstracta de la geometría sobre la seudoesfera.

             Pero,
    como hemos mencionado con anterioridad, Beltrami sólo
    estableció una correspondencia entre la seudoesfera y
    parte del plano de Lobatchevsky. El problema de dar una
    interpretación real a todo el plano y el espacio quedaba
    sin solventarse. La solución fue dada más tarde por
    el matemático alemán Klein (1849-1925).

             Las
    ideas más generales del modelo que propuso Klein en 1870
    para esta particular geometría son las siguientes: En un
    plano usual tomamos el interior de un círculo; un punto se
    considera como un punto; una recta, como una cuerda (excluyendo
    los extremos); un movimiento se
    toma como una transformación que transforma el
    círculo en sí mismo y las cuerdas en cuerdas; la
    situación de los puntos (un punto está sobre una
    recta; un punto está entre otros dos) se considera con el
    sentido usual. La regla para medir longitudes y ángulos (y
    también áreas) se deduce de la forma en que se
    definen los movimientos; la igualdad de
    segmentos y ángulos (o de figuras arbitrarias)
    también se define, y esta misma definición es
    aplicable a la operación de transportar un segmento a lo
    largo de otro.

             Con
    todas estas condiciones, a cada teorema de la geometría de
    Lobatchevsky en el plano corresponde un hecho verdadero de la
    geometría de Euclides dentro del círculo, y
    viceversa: todo hecho de este tipo se puede reinterpretar en
    forma de un teorema de la geometría de
    Lobatchevsky.

             Pero
    aún fue más lejos: diseñó un modelo
    para el espacio de esta geometría. Análogamente al
    caso del plano, consideró una el interior de una esfera
    (ver FIGURA 6).

             Una
    recta se interpreta como una cuerda, un plano como un
    círculo cuya circunferencia esté sobre la esfera;
    pero la superficie de la esfera, y por tanto los puntos extremos
    de las cuerdas y las circunferencias de esos círculos, se
    excluyen; finalmente, un movimiento se define como una
    transformación de la esfera en sí misma que
    transforma cuerdas en cuerdas.

             Cuando
    se dio este modelo de la geometría de Lobatchevsky se
    estableció al mismo tiempo que su geometría tiene
    un significado real sencillo. La geometría de Lobatchevsky
    es válida porque se puede tomar como exposición
    concreta de la geometría en un círculo o en una
    esfera. Al mismo tiempo se probó su carácter no
    contradictorio: sus resultados no pueden llevar a contradicciones
    porque cada uno de ellos se puede trasladar al lenguaje de la
    geometría euclidiana ordinaria dentro del círculo
    (o una esfera si se trata de la geometría de Lobatchevsky
    en el espacio).  

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     FIGURA 6: La Esfera de
    Klein

    Geometría de Riemann.

    Biografía

    Riemann (1826-1866) Nació: 17 de Septiembre
    1826 en Breselenz, Hannover (Ahora Alemania),
    Falleció: 20 de Julio 1866 en Selasca, Italia
    escribió su tesis
    doctoral bajo la supervisión de Gauss, dio una clase
    inaugural en la que reformuló todo el concepto de la
    geometría, que el veía como un espacio con la
    suficiente estructura
    adicional para poder medir
    cosas como la longitud. Esta lección no se
    publicó hasta 1868, dos años después de la
    muerte de Riemann, pero había de tener una profunda
    influencia en el desarrollo de las diferentes
    geometrías. Riemann trató brevemente una
    geometría 'esférica' en la que cada línea
    que pasaba por un punto P exterior a una recta AB se cruzaba
    con la recta AB. En esta geometría no existían
    las paralelas.

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    Obra

    Tal vez su más conocida aportación fue
    su geometría no euclidiana, basada en una
    axiomática distinta de la propuesta por Euclides, y
    expuesta detalladamente en su célebre memoria Sobre
    las hipótesis que sirven de fundamento a la
    geometría. Esta geometría se sigue si se
    considera la superficie de una esfera y se restringen las
    figuras a esa superficie. Medio siglo más tarde,
    Einstein demostró, en virtud de su modelo de
    espacio-tiempo relativista, que la geometría de Riemann
    ofrece una representación más exacta del universo
    que la de Euclides. Murió de tuberculosis
    antes de cumplir los cuarenta años.

    Conclusión

    Gracias a la
    realización de este trabajo pudimos comprender un poco
    mejor lo que es la geometría Euclídea; las
    repercusiones que ésta tuvo en pensamiento del mundo
    antiguo.

    Además de conocer las diferencias que existen
    entre los distintos tipos de geometría, y de los
    pensadores responsables de sus fundaciones, es muy interesante
    reconocer y estudiar estas diferencias, ya que nos muestran las
    diversas formas de pensamiento de la mente humana.

    El estudio formal de la geometría euclidiana y de
    las demás geometrías nos permite organizarlas de
    forma tal que podemos conocer y entender sus estructuras
    conceptuales, facilitando así su estudio
    futuro.

    El estudio de los Elementos de Euclides es muy
    importante ya que es la recopilación de todos sus
    pensamientos e ideales, además de contar con todos sus
    axiomas, postulados y teoremas, los cuales son de gran utilidad para
    entender y poder aplicar su concepto de
    geometría.

    Estructura conceptual
    de la Geometría.

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    Anexos

    GAUSS, Carl F. (1777-1855):
    Matemático alemán nacido en Brunswick y
    fallecido en Gotinga. Gauss fue un niño prodigio en
    matemáticas y continuó siéndolo toda su
    vida. Hay quien le considera uno de los tres mayores
    matemáticos de la historia junto a Arquímedes y
    Newton. Su
    inteligencia
    superdotada llamó la atención del duque de
    Brunswick, quien decidió costearle todos sus estudios,
    entrando en 1795 en la universidad de Gotinga. Antes de cumplir
    los veinte años hizo algunos descubrimientos importantes,
    entre los que se incluye el método de los mínimos
    cuadrados. Gauss halló un método para construir un
    polígono equilátero de 17 lados con ayuda de regla
    y compás, e incluso fue más allá,
    demostrando que sólo ciertos polígonos
    equiláteros se podían construir con ayuda de regla
    y compás. Hizo una labor importante en la Teoría de
    Números. También construyó una
    geometría no euclídea, basada en axiomas distintos
    a los de Euclides, pero se negó a publicarla. Lovachevski
    y Bolyai ostentan el honor de su descubrimiento al publicarla
    algo más tarde. En 1799 Gauss demostró el teorema
    fundamental del álgebra. También demostró
    que los números se podían representar mediante
    puntos en un plano. El 1801 demostró el teorema
    fundamental de la aritmética. Se levantó una
    estatua en su honor en su ciudad natal, que descansa sobre un
    pedestal en forma de estrella de 17 puntas, en celebración
    de su descubrimiento de la construcción del
    polígono de 17 lados. Le llamaban Príncipe de las
    Matemáticas.

    BOLYAI, Janos (1802-1860): Matemático
    húngaro nacido en Kolozsvar y fallecido en
    Marosvásárheli, ambas en Hungría. Su padre
    había sido gran amigo de Gauss, llegando incluso a
    intentar demostrar el quinto axioma de Euclides. En 1825
    ponía en práctica los mismos proyectos que
    Lovachevski sobre la geometría no euclideana, publicando
    en 1831 un apéndice en un libro de su padre sobre
    matemáticas. En él explicó su
    geometría, que Lovachevski había publicado tres
    años antes.

    SACCHERI,
    Giovanni Girolamo (1667-1733):
    Nació y murió en
    San Remo, Génova (ahora Italia). Se unió a la Orden
    de los Jesuitas en
    1865. Cinco años después marchó a
    Milán, donde estudió filosofía y
    teología en el Colegio Jesuita. Allí, Tommaso Ceva
    le animó a estudiar matemáticas. En 1694 fue
    ordenado sacerdote y se dedicó a enseñar en
    colegios jesuitas. Fue catedrático de matemáticas
    en Pavia desde 1699 hasta su muerte

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    Esquema de la evolución de la
    Geometría no Euclidianas

     Bibliografía

     

     

    Elaborado por:

    Carlos A. Albenda Solís.

    Jorge Sanabria Hernández

    Cartago, Costa Rica.
    2004

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