Las Investigaciones sobre Didáctica de la Matemática. Contexto Científico y Social
- Razones por las que la
Matemática aparece en los currículos de los
diferentes niveles escolares y
universitarios - Resultados con carácter
de principio de las ciencias
pedagógicas - Estado actual de las
investigaciones en la enseñanza de la
Matemática - Conclusiones
- Bibliografía
El presente trabajo
tiene como objeto de estudio el proceso
enseñanza aprendizaje de
la Matemática.
En primer lugar el trabajo
está orientado a un análisis a través del cual,
podamos precisar el contexto teórico en el que se
encuentra este objeto de estudio, para lo cual hemos puesto
atención tanto a las teorías psicopedagógicas que
permiten fundamentar los estudios de la didáctica de la Matemática, como
al estado de
desarrollo
logrado por la comunidad
científica en la Didáctica de la
Matemática en particular.
El análisis descrito en el párrafo anterior se hace a partir de
consideraciones acerca del por qué la Matemática
aparece en los diferentes currículos, desde el nivel
básico hasta el universitario.
Desarrollo:
1. Razones por
las que la Matemática aparece en los currículos
de los diferentes niveles escolares y
universitarios.
Es evidente que si se desea estudiar el estado de
las investigaciones en Didáctica de la Matemática,
sus debilidades y avances, es necesario comenzar por un breve
análisis de las razones por las cuales se enseña
Matemática en los diferentes niveles, lo cual hacemos a
continuación.
Sabemos que con frecuencia se dice que la
Matemática es la reina de las ciencias ya
que todas necesitan de su autoridad para
que la de cada una se reconozca. Pero enfocándolo desde
otro punto de vista también podemos decir que es su
doncella porque a todas sirve en sus desarrollos. Pero
verdaderamente, es la reina de las ciencias porque, una
característica que la diferencia del resto es "la
posibilidad de vida independiente". Es decir, su sangre azul
radica en el hecho de su capacidad de existir en cualquiera de
los mundos posibles sin más necesidad que el desarrollo de
las habilidades llamadas de orden superior del intelecto
humano.
Tanto los matemáticos, como los profesores de
Matemática, leen el párrafo anterior con deleite, y
es posible que los especialistas de otras ciencias lo vean con
reticencia, pero no les es posible en modo alguno, negar lo que
se plantea en el mismo.
Pero esta propia característica que la eleva a
alcurnia real, ha estado interpuesta en la forma que se presenta
a los estudiantes, ya que esta posibilidad de vida propia,
permite desarrollar un proceso enseñanza aprendizaje de la
Matemática, totalmente descontextualizado, lo cual como
veremos mas adelante es uno de los puntos polémicos, sobre
el proceso enseñanza aprendizaje de esta ciencia.
Las propias razones por la que se enseña la
Matemática, contienen cierta discrepancia, entre
matemáticos, profesores de Matemática y pedagogos
en general, entre dichas razones podemos citar las
siguientes:
1.1 Su facultad para desarrollar capacidades de
razonamiento.
Luis Vives, s. XVI, expresó: "son una asignatura
para manifestar la agudeza de la mente". Y pudiéramos
hacer una larga lista de citas como la anterior, no obstante,
aunque muchos autores, incluido el del presente trabajo, estamos
convencido de esta primera razón para la enseñanza
de la Matemática, no contamos con los presupuestos
científicos necesarios, para rebatir psicólogos y
otros especialistas, quienes plantean que el desarrollo
intelectual del niño en su paso por la escuela es
producto de
toda la actividad escolar, que este realiza y no producto de una
asignatura en particular. Por otra parte, tampoco existen
instrumentos psicométricos que permitan medir lo que cada
asignatura aporta al desarrollo cognoscitivo del
niño.
1.2 Su utilidad, tanto
para la vida cotidiana como para el aprendizaje de
otras disciplinas necesarias para el desarrollo
personal y profesional.
Efectivamente muchos autores compartimos la creencia de
que este punto es una poderosa razón para enseñar
Matemática, pero aquí también aparecen
argumentos en contra que no son fáciles de ripostar, como
es el hecho de que la Matemática que se usa en la vida
cotidiana se termina, a lo sumo en la secundaria, por lo que la
Matemática preuniversitaria saldría sobrando. Por
otra parte, agregan que hay muchas personas que eligen
profesiones que no requieren de un soporte matemático muy
amplio, como son artistas, lingüistas, abogados,
etc.
1.3 La Matemática posee el asombroso poder de
explicar cómo funcionan las cosas, por qué son como
son.
Es realmente asombrosa la capacidad de la
Matemática para explicar el mundo que nos rodea, desde las
cónicas de Apolonio de Pérgamo (s. III a. C), que
asombrosamente describen las órbitas de los planetas
alrededor del sol, con este como uno de los focos de
cada una de las cónicas descrita por los planetas,
ciertamente Kepler quedó asombrado ante esta coherencia.
Los logaritmos creados por John Neper con la única
intención de simplificar los cálculos, dieron lugar
a la función
logaritmo, la cual interviene el la descripción de innumerables
fenómenos del mundo objetivo. Como
un ejemplo, la curva de la concha de un caracol es una espiral
logarítmica. Una espiral logarítmica
especialmente perfecta en la naturaleza
puede encontrarse en la concha de una de una jibia primitiva
llamada Nautilus. En el caracol, la espiral
logarítmica es una expresión pacífica de
crecimiento exponencial.
El descubrimiento de Neptuno por John Couch Adams, quien
con lápiz y papel, demostró en 1846 su existencia a
partir de las alteraciones sufridas en la órbita de Urano,
Adams realizó los cálculos adecuados y
señaló las coordenadas del objeto que alteraba la
órbita de Urano, y a los expertos sólo les
quedó enfocar sus telescopios. De forma análoga a
los ejemplos citados la Matemática describe tantos y
tantos fenómenos del mundo que nos rodea, que nos permite
pensar que este mundo está construido
matemáticamente, y nos posibilita comprender el por
qué del pensamiento
místico de René Descartes.
La perfección del pensamiento matemático
ha llevado a considerarlo en muchas etapas de la historia de la humanidad
como instrumento de comunión con la divinidad y con las
fuerzas ocultas del mundo.
Si alguien nos dice que esto no es razón
suficiente para enseñar Matemática, simplemente
creemos que no vale la pena, procurar cambiar la actitud de
quien así piense. Independientemente de que Bertrand
Russell (1872-1970) dijera de la Matemática que: "Es la
materia en la
que no sabemos de qué estamos hablando, ni si lo que
decimos es verdad".
1.4 Son necesarias para desarrollar habilidades
laborales y dar respuesta a cuestiones científicas y
tecnológicas.
Este inciso es parecido al 1.2 pero aquí
nos salimos de su aplicabilidad en tareas cotidianas, no
obstante, existe una razón de orden práctico para
su presencia en la formación de personas, a muy distinto
nivel, la cual está en el hecho de que es realmente
impredecible cuando una persona puede
necesitar cierta formación caracterizada por el
pensamiento matemático.
1.5 La potencia de la
Matemática como medio de comunicación.
Hay un lenguaje
común para todas las civilizaciones técnicas,
por muy diferentes que sean, y éste es el lenguaje de
la ciencia y
la Matemática. La razón está en que las
leyes de la
Naturaleza son idénticas en todas partes. Así, las
naves exploratorias Voyager, que desde 1977 buscan vidas
inteligentes fuera de nuestro planeta, llevan ejemplos de
Matemáticas en la información sobre la vida en la
Tierra.
Es indudable que existen diferentes opiniones sobre las
razones por las cuales se debe incluir la Matemática en
los diferentes niveles de los currículos escolares, aunque
a nivel mundial se asumen acuerdos importantes al respecto, como
es el caso de la ICMI, Comisión Internacional para la
Instrucción Matemática. En la cual en un simposio
celebrado en Kuwait en 1986, se acordaron cuatro razones
básicas para enseñar Matemática y sus
correspondientes consecuencias curriculares, estas
son:
a) Desarrollo de la potencia crítica
que capacita a la gente para manejar la masa de datos con la que
constantemente somos bombardeados.
Como consecuencia, se deriva la introducción de nociones estadísticas en todos los currículos
de los niveles obligatorios.
b) La existencia de una certeza verificable ausente en
otros aspectos de la existencia humana.
Dos consecuencias se derivan de este hecho:
b.1 Suministra al alumnado las suficientes
Matemáticas como para convencerse de que existe algo que
es verdad fuera de toda duda.
b.2 La enseñanza debe realizarse de forma que
capacite y anime al alumnado a llegar a sus propias
convicciones.
c) El placer inherente de la creación
matemática.
La afirmación de la naturaleza artística
de la matemática puede sonar extraña en muchos
oídos. Si arte es la
producción por parte del hombre de un
objeto bello, esperamos que esta afirmación resulte
justificada al término de las notas que siguen. Desde que
se empezó a analizar lo que es arte y belleza aparece
explícita esta aseveración. Para los
pitagóricos, la armonía, uno de los ingredientes de
la belleza, va unida al número en la constitución ontológica de todo
el universo.
Aristóteles mismo se expresa así en
su Metafísica (Libro XII
cap.III, v. 9): "Las formas que mejor expresan la belleza son el
orden, la simetría, la precisión. Y las ciencias
matemáticas son las que se ocupan de ellas
especialmente".
- El papel auxiliar de las Matemáticas, en
crecimiento continuo y exponencial.
Como se puede apreciar, los puntos a y c de los
acuerdos del ICME, aportan otras dos razones para la
enseñanza de la Matemática. Lo que quiere decir,
que en una forma u otra, no hay duda de la necesidad de la
presencia de la Matemática en los currículos
escolares, aunque también es una conclusión
definitiva, que el proceso enseñanza aprendizaje de la
Matemática, se debe desarrollar en aras de satisfacer
las razones por la que esta materia aparece en el currículo.
Concluimos entonces, que el maestro debe estar al
tanto, de las diferentes razones que hemos analizado y debe
encaminar su trabajo científico pedagógico a
encontrar, adquirir o perfeccionar las estrategias
didácticas que le permitan dirigir el proceso
enseñanza aprendizaje de la Matemática
según las razones específicas que determinan la
presencia de esta disciplina
en los diferentes currículos.
2. Resultados
con carácter de principio de las ciencias
pedagógicas.
A continuación a través de un
análisis, desde el punto de vista de las ciencias de la
educación en primer lugar y posteriormente desde la
óptica de la enseñanza de la
Matemática en particular, queremos concretar con que
presupuestos teóricos podemos contar como fundamentos
para la obtención de nuevos resultados.
A estos resultados les hemos atribuido la
categoría de principios,
debido a que las principales teorías
psicopedagógicas actuales, concuerdan en los mismos,
independientemente de que cada teoría haya llegado a sus conclusiones
desde sus presupuestos específicos, lo cual garantiza
poder elevar estos resultados a categorías de principios
básicos, sobre los cuales se puede sustentar el
desarrollo del proceso docente en general y en particular el
proceso enseñanza aprendizaje de la
Matemática.
Estos resultados son los siguientes:
2.1 Carácter activo del estudiante en el
proceso enseñanza aprendizaje.
2.2 Carácter social del aprendizaje.
2.3 El historicismo.
2.4 El carácter mediatizado de la psiquis
humana.
2.1 El carácter activo del estudiante en el
proceso enseñanza aprendizaje, fue planteado en primer
lugar por Amos Comenio y fue esgrimido por Pestalozi y la
escuela de los ilustrados. Llegando a la posmodernidad con una fuerza tal,
que determina la búsqueda constante de procedimientos
que transfieran la actividad del maestro al alumno en el
desarrollo del proceso enseñanza aprendizaje. Al
respecto expresó Vygotski: El análisis de la
conciencia
debe iniciarse con el análisis de la actividad
práctica; la conciencia está determinada por la
relación sujeto objeto y en esta interrelación el
papel intermediario entre conciencia y realidad lo cumple la
actividad práctica. La Profesora N. F. Talizina destaca
de manera notable la necesidad de la actividad del estudiante
en el proceso enseñanza aprendizaje con su
planteamiento: "Si el estudiante no hace nada cualquier cosa
que haga el profesor es
inútil." Lo que es equivalente al planteamiento
constructivista: " El que aprende tiene la responsabilidad final de su
aprendizaje."
Por lo cual podemos asegurar que no hay una
teoría psicopedagógica de peso, que desconozca el
papel fundamental que juega la actividad del estudiante en el
proceso docente educativo.
2.2 El carácter social del aprendizaje es
reconocido actualmente, por la escuela histórico
cultural, constructivistas, cognotivistas, e incluso por la
versión moderna del conductismo
conocido como conductismo social o
paradigmático.
Vigotsky citado por Shuare M. (1990) plantea que: "Los
fenómenos psíquicos, la psiquis humana, siendo
sociales por su origen, no son algo dados de una vez para
siempre, existe un desarrollo histórico de dichos
fenómenos, una relación de dependencia esencial
de los mismos con respecto a la vida a la actividad social. La
historia de la psiquis humana es la historia de su
constitución".
De la misma forma M.C. Papipini (Papini M.C. 1997)
plantea que Glasersfeld incluye en el núcleo
constructivista el siguiente principio: "el proceso de construcción de significado tiene lugar
en el medio social del cual el individuo es
parte."
De igual modo en (Pontecorvo C. 1993) se hace
referencia a una conferencia
internacional celebrada en Roma, cuyo
objetivo fue identificar y describir los mecanismos socio
cognoscitivos a través de los cuales se
desarrolló el pensamiento y el aprendizaje mediante
diferentes tipos de interacción social. También Santos
Rego M. A. Expresa que los escenarios de socialización escolar potencian el
crecimiento cognoscitivo y afectivo del alumno. (Santos Rego
M.A. 1995).
Como vemos se aprecia la influencia social en la
construcción del conocimiento, influyendo en el sujeto que
construye el
conocimiento y por tanto en el conocimiento
mismo.
Podemos citar innumerables autores de diferentes
tendencias, los cuales en una forma u otra destacan el
carácter social del aprendizaje, por lo que concluimos
que es efectivamente un principio fundamental a tener en cuenta
en el desarrollo del proceso enseñanza aprendizaje, en
general y en particular el de la Matemática.
2.3 El historicismo.
Por su reconocimiento por las teorías
psicopedagógicas fundamentales, también tiene
rango de principio en el proceso docente educativo, el
historicismo. Ya que al desarrollo orgánico
realizarse en un medio cultural, se convierte en un proceso
biológico históricamente condicionado. Donde el
desarrollo consiste en la reorganización gradual de la
conciencia, siendo la interiorización de las actividades
socialmente arraigadas e históricamente desarrolladas el
rasgo distintivo de la formación de la conciencia
humana.
Este planteamiento expresa que el aprendizaje de un
sujeto no se inicia en un punto determinado, desconociendo todo
el desarrollo precedente de este sujeto, sino que está
condicionado por su historia en general, pero en particular por
su historia en lo que a aprendizaje respecta.
Así encontramos innumerables autores que
muestran estudios realizados sobre las preconcepciones de los
estudiantes, las influencias de estas en el aprendizaje y como
atacar el problema. En estos trabajos, podemos encontrar o no,
el historicismo como premisa en una forma explícita,
pero explícita o no esta premisa está presente
siempre que se trate de las preconcepciones.
Por otra parte, afirmaciones como la planteada por
D’Amore B. quien nos dice: "Las raíces de la
aversión de los estudiantes a la Matemática
está en la Matemática mal enseñada que
tuvieron en los primeros grados. (D’Amore B. 2000).
Reflejan el carácter histórico del
aprendizaje.
Por otra parte, Santos Rego M. trata sobre un enfoque
global que incluye un número de técnicas basadas
en el nuevo concepto de
función cerebral, arribando entre otras, a conclusiones
tales como:
- El cerebro
organiza el nuevo conocimiento sobre la base de la experiencia
y significados previos. - Son los mismos patrones derivados de la experiencia
los que ayudan a determinar el significado del contenido.
(Santos Rego. M. 1995).
Aquí de nuevo está presente el
historicismo, aunque no se exprese literalmente así,
pero como se puede apreciar las conclusiones planteadas ponen a
la experiencia del sujeto en un lugar importante en la
asimilación de los nuevos contenidos; cómo
separar la experiencia del sujeto de su propia
historia.
De los planteamientos anteriores y de otros muchos,
que no relacionamos en el presente trabajo, concluimos incluir
también, el historicismo, como un principio que se
cumple, sin lugar a dudas en el proceso docente
educativo.
2.4 Carácter mediatizado de la psiquis
humana.
Por último podemos garantizar también
como principio del proceso enseñanza aprendizaje "el
carácter mediatizado de la psiquis humana".
Al respecto Vigotsky
plantea que de la misma forma que el uso del primer instrumento
marcó el inicio del género
humano, el uso del símbolo marcó la salida de la
actividad orgánica, el inicio de la actividad
psíquica, y destaca que mientras que el instrumento
actúa sobre el objeto, el símbolo actúa
hacia adentro, es la forma de materialización del
pensamiento.
La interiorización de los signos y la
utilización del lenguaje pueden considerarse los
mecanismos fundamentales que transforman el desarrollo
cognoscitivo humano, completamente divergente de las otras
especies. El instrumento fundamental de la actividad
psíquica es el símbolo, con un significado
definido que ha evolucionado con la historia de la cultura.
Al respecto Piaget nos
dice: "las relaciones son formadas por la mente humana que le
asigna luego símbolos." (Labinovics. E.1987).
Aquí tenemos que, independientemente de que Piaget
resolviera incorrectamente el problema fundamental de la
gnoseología, reconoce la necesidad del símbolo
para poder estudiar las relaciones de los objetos.
Además Piaget distingue dos tipos de
experiencia: La física y la
lógica
Matemática; en la primera el sujeto manipula (toca,
siente ve, etc.) el objeto real para abstraer sus propiedades,
mientras que en la segunda la abstracción se
efectúa a partir de las acciones
ejecutadas sobre la representación del objeto y no a
partir del objeto mismo como tal. (González F. 1994).
Esto es, el niño primero manipula conjuntos de
objetos antes de poder abstraer el cardinal de estos conjuntos,
que representados por símbolos (números)
representan las acciones ejecutadas sobre los objetos
originales.
En la literatura
especializada podemos encontrar innumerables planteamientos
como el siguiente: "El proceso de abstracción y
representación requiere un sistema de
símbolos, el conocimiento de la representación
simbólica permite una clara comunicación, y
posibilita al estudiante ignorar diferencias no esenciales y
enfocar su atención en las esenciales. Luego el proceso
de la representación y transformación
simbólica permite computar, deducir, probar hipótesis, inducir y generalizar"
(Cerreto F. et al 1996).
Las citas planteadas aquí, son solo ejemplos de
la aceptación por la comunidad científica de los
principios planteados. No obstante podemos asegurar que la
literatura especializada es capaz de aportar la documentación necesaria para fundamentar
el carácter de principio, tanto del carácter
mediatizado de la psiquis humana, como los tres
anteriores.
Por lo que ha modo de conclusión parcial,
podemos garantizar la validez de los principios propuestos y
que estos pueden fundamentar cualquier estudio que se
desarrolle sobre el proceso docente educativo o sobre
cualquiera de sus componentes, y en particular sobre el proceso
enseñanza aprendizaje de la
Matemática.
3.
Estado actual de las investigaciones en la enseñanza de la
Matemática.
En lo que respecta a la enseñanza de la
Matemática en particular, encontramos una falta notable
de resultados con amplia aceptación, por los estudiosos
de esta rama del saber, lo cual no se debe precisamente a que
no haya sido tema de interés,
o que no hayan existido suficientes investigadores que hayan
dedicado sus esfuerzos a esta tarea, incluso han existido
momentos históricos en los que se ha trabajado en una
dirección determinada, pero sin llegar a
resultados concretos y categóricos, como es el caso
primero de la matemática moderna, después el
regreso a lo básico, luego la resolución de
problemas,
etc.
Como es conocido, la matemática moderna, fue
una línea de trabajo que tuvo gran aceptación al
final de los sesenta y principio de los setenta, pero que
quedó muy lejos de los resultados esperados, e incluso
los resultados fueron contrarios a lo esperado, lo que
determinó la corriente conocida como regreso a lo
básico, que realmente produjo mejores resultados, pero
no podemos decir que determinara una teoría consistente
de la enseñanza de la Matemática. Por otra parte,
muchos han sido los seguidores de Polya, buscando como lograr
que los estudiantes adquieran habilidades satisfactorias en la
resolución de problemas, pero a pesar de los esfuerzos,
la mayoría de los estudiantes siguen teniendo
dificultades para poder resolver problemas, aunque podemos
relacionar un número considerable de autores que
trabajan en esta dirección como: Alan Schoenfeld,
López Trigo, Douglas McLeod, T. Dreyfus, M.A. Simon,
etc. Pero lo cierto es que a pesar del reconocido merito a las
obras de G.Polya: How to Solve It (1945/1957),
Mathematics and Plausible Reasoning (1954), and
Mathematical Discovery (1962, 1965/1981). No se reconoce
en la actualidad un método
único para entrenar a los estudiantes en la
resolución de problemas, aunque sí se puede
asegurar que el entrenamiento
del estudiante incrementa sus habilidades en la solución
de problemas. No obstante, la comunidad científica
trabaja para satisfacer la necesidad que tiene la sociedad, de
que los estudiantes lleguen a desarrollar habilidades notables
en la resolución de problemas.
Realmente en lo que respecta a la enseñanza de
la Matemática, hay muy pocos resultados sobre los que
podamos decir, que haya acuerdo de la comunidad
científica dedicada al tema, lo cual no quiere decir que
no podamos plantear una teoría coherente que explique el
proceso enseñanza aprendizaje de la Matemática,
pero no es ese el objetivo del presente trabajo, sino plantear
lo aceptado por los especialistas del tema, en particular
aquellos resultados que están fuera de discusión
por su grado de aceptación, y de la misma forma plantear
los aspectos que son de interés estudiar, con el
objetivo de lograr resultados que permitan estructurar una
teoría sobre la enseñanza de la Matemática
con la anuencia de los estudiosos del tema.
Como resultados categóricos podemos plantear en
primer lugar, que en la actualidad no hay lugar a dudas de que
la Matemática se aprende haciendo
Matemática, en otras palabras, para aprender
Matemática no es suficiente comprender, es necesario
poder hacer, aunque comprender sea el primer paso. Por lo que
es un resultado aceptado que el estudiante no aprende
Matemática viendo al profesor o a sus compañeros
hacer Matemática, por lo tanto si queremos que el alumno
aprenda tenemos que logra que trabaje, como vemos este
resultado está ligado al resultado también
aceptado sobre el carácter activo del estudiante en el
proceso enseñanza aprendizaje.
Otro resultado también aceptado lo encontramos
a partir del carácter histórico de la
formación del estudiante, este va a enfocar cualquier
nuevo tema de estudio a la luz de lo que
ha aprendido hasta ese momento, ya sean aprendizajes correctos
o incorrectos; esto quiere decir que si al estudiar los
triángulos rectángulos, las
representaciones de dicha figura que usó el estudiante,
siempre presentaron el triángulo en la misma
posición, esa posición será incorporada
por el estudiante como parte esencial del concepto estudiado, y
cuando encuentre un triángulo rectángulo en una
posición diferente a la que siempre vio, se
encontrará en dificultades para identificarlo como tal.
De la misma forma el estudiante suele cometer el error de
distribuir la potencia respecto a la suma, porque primero
aprendió que el producto es distributivo respecto a la
suma, en símbolos tenemos que el alumno comete el error
de plantear (a+b)n = an + bn ,
porque primero aprendió que n(a + b) = na + ab; en el
primer ejemplo la preconcepción creada fue producto de
un error didáctico al presentar la figura siempre en la
misma posición, pero en el segundo caso es producto de
un conocimiento correcto, el cual usó reiteradamente con
resultados satisfactorios. Lo que acabamos de explicar, es un
hecho categórico en la didáctica de la
Matemática y lo que queda estudiar al respecto es
cómo contrarrestar los efectos de las preconcepciones de
los alumnos en el estudio de los nuevos contenidos.
Otro aspecto que debemos tener en cuenta cuando
analizamos el estado de desarrollo de la Didáctica de la
Matemática es la existencia de discrepancias sobre temas
específicos, en los cuales puntos opuestos son
defendidos con abundancia de argumentos.
- La enseñanza contextualizada o no
contextualizada. - El aprendizaje de la Matemática es
conceptual o procedimental.
3.3 Aprendizaje guiado o por
descubrimiento.
3.4 Qué contenido explicar en cada nivel de
enseñanza.
3.5 Hasta que punto son transferibles las
habilidades y conocimientos de un contenido a
otro.
A continuación haremos un comentario sobre cada
uno de los puntos anteriores, no con la intención de
orientar la opinión del lector hacia uno de los aspectos
de discusión, sino mostrar la polémica al
respecto, de modo que se manifieste la necesidad de realizar
investigaciones que permitan dilucidar la
polémica.
3.1 La enseñanza contextualizada o no
contextualizada:
Por una parte, tenemos los que estudian las ventajas
de una enseñanza contextualizada, es decir donde el
contenido se asocia a situaciones propias del entorno del
estudiante, lo que conduce, tal como se ha comprobado en
diferentes trabajos, entre otros (Schlieman A. D. 1997) que el
sujeto es capaz de resolver problemas en su contexto, que no
puede resolver si se le plantean disociados de este. En
particular en estudios con niños
vendedores, donde se comprobó que estos eran capaces de
resolver operaciones
aritméticas, relacionadas con sus actividades
comerciales, que no eran capaces de resolver si se les
planteaban fuera de su contexto comercial. Estos resultados son
interpretados de formas contrarias, unos plantean que el
contexto facilita el aprendizaje y otros demandan que se
desarrolla un aprendizaje tan restringido al contexto, que se
hace demasiado específico.
Por una parte se puede pensar que una enseñanza
atada al contexto puede ser útil para formar un obrero
calificado, o un técnico, quienes actuaran sobre un
campo de acción relativamente restringido, y que
además no requieren de amplios conocimientos
teóricos. Por otra, se puede considerar que si se trata
de formar un profesional con profundos conocimientos sobre los
fundamentos de su área de actuación, entonces su
formación tiene que tener un carácter general, no
contextualizado. También se argumenta que en el caso
particular de la Matemática, su enseñanza
referida a situaciones específicas, choca con una de las
características propias de la Matemática que es
"el carácter descontextualizado del modelo
matemático" lo cual se evidencia claramente si pensamos
en la variedad de problemas que se modelan mediante la
ecuación: ax2 + bx + c = 0 (por citar
sólo un ejemplo). Pero también se argumenta que
la enseñanza contextualizada, favorece la
motivación y el interés del alumno por el
contenido de estudio. Además según Selden A. y J.
(1997) la adquisición de conocimientos es "situada"
quiere decir que refleja como fue originalmente adquirida y ha
sido usada, consiste no sólo en reglas abstractas, leyes
y fórmulas, sino también en experiencias
personales. Por lo que convertirse en un experto, digamos un
matemático o un físico, conduce a un proceso de
"desituación" del propio conocimiento, o sea hacerlo
menos atado al contexto y a características
superficiales.
Como se puede apreciar los argumentos a favor y en
contra de la enseñanza contextualizada, determinan la
necesidad de continuar haciendo investigaciones sobre la
conveniencia o no de la misma, o la ventaja de aplicarla dentro
de ciertos límites.
3.2 El aprendizaje de la Matemática es
conceptual o procedimental:
Independientemente de que este punto es analizable,
partiendo desde un criterio, aceptados por los especialistas
del tema, que es el hecho de que la Matemática se
aprende haciéndola, no existe unidad de criterios en lo
que respecta hacia donde dirigir la actividad de los
estudiantes, esto es, hacia los objetos o hacia los procesos.
Para que los alumnos asimilen un concepto dado, unos
autores plantean que lo pueden hacer trabajando con el concepto
a nivel de objeto, esto es viendo y construyendo ejemplos,
viendo y haciendo diferentes interpretaciones y
representaciones del mismo, las cuales son ejecutadas
preferentemente por medios
electrónicos. Por otra parte, otros plantean que
para que el concepto sea asimilado, tiene que ser tratado como
proceso, esto es, que el alumno debe ejecutar operaciones y
cálculos en general donde esté involucrado el
concepto, por supuesto también están los que
plantean el tratamiento del concepto como objeto y proceso.
Dubinsky. También se señala que existe una
diferencia básica en el aprendizaje de conceptos y el
aprendizaje de procedimientos. Morales Velásquez C
(1997). Por su parte Kilpatrick J. (1999) plantea que la
dualidad objeto proceso de los conceptos matemáticos es
un obstáculo para el aprendizaje de los
mismos.
La aparición de los medios
automatizados de cómputo en el escenario docente
educativo, aporta al problema características
específicas, pues estos medios pueden resolver
ejercicios donde se requiere operatoria algebraica, pueden
derivar o integrar, etc. Por lo tanto si se pone al estudiante
a realizar estas operaciones con la
computadora, el aspecto procedimental tiene que ser
reorientado hacia otros aspectos del accionar
matemático, ya que debemos recordar, que la
matemática se aprende haciéndola, por lo tanto si
el estudiante no calcula, deberá modelar, demostrar o en
alguna manera trabajar con los procedimientos y conceptos
matemáticos. Ahora este cambio de
enfoque requiere de cambios cuidadosos y muy bien
fundamentados, los cuales requieren investigaciones muy bien
desarrolladas, porque si la computadora
hace los cálculos, lo que queda para el estudiante es lo
que tradicionalmente le ha sido más difícil, como
decíamos: modelar, demostrar, operar con conceptos, etc.
Por lo que para hacer este cambio se requiere tener
garantizadas las condiciones necesarias, de modo que los
resultados de los estudiantes no sean peores de lo que ya son,
lo cual crearía una situación compleja para la
institución docente y los maestros ante la
sociedad.
La explicación anterior ilustra, como algo que
es demandado en la actualidad, (la incorporación de las
TIC al
proceso enseñanza aprendizaje ) no se puede hacer de
forma arbitraria, sin realizar estudios pertinentes que
garanticen el éxito
de su introducción.
Como se puede apreciar, la posición asumida
determina la forma de desarrollar el proceso enseñanza
aprendizaje de la Matemática, y en particular determina
también la forma en que serán usados los medios
automatizados de computo en el proceso, lo cual permite
fundamentar el uso que será dado a lo que podemos llamar
"el medio de enseñanza del siglo XXI" de modo que no sea
usado por la simple razón de incorporar el desarrollo
tecnológico al salón de clases.
El profesor de Matemática puede asumir una
posición u otra, en acuerdo con la argumentación
planteada por determinado autor o autores, pero de esa
decisión personal a una
definición consensual de la mejor opción, hay una
diferencia considerable, la cual amerita el esfuerzo
investigativo que se ejecute sobre el tema.
3.3 Aprendizaje guiado o por
descubrimiento:
Podemos decir que el aprendizaje por descubrimiento,
tal como lo planteara John Dewy, no tiene una real
aceptación en la actualidad, pero muchos autores hablan
y argumentan las ventajas de situar al estudiante en un medio
de aprendizaje, en el que pueda adquirir conocimientos por
descubrimiento y se generan variantes de las ideas de Dewy,
como es el caso del Método Montessori, pero en
oposición al aprendizaje por descubrimiento se encuentra
el aprendizaje guiado, como propone Gagne; e indiscutiblemente
el aprendizaje
significativo que profetiza D. Ausubel, es un
aprendizaje guiado, pues de lo contrario como es posible contar
con lo que ya el estudiante sabe, para que incorpore el nuevo
conocimiento a su estructura
cognoscitiva.
Aquí podríamos entrar a proponer
argumentos a favor y en contra, tanto del aprendizaje guiado
como del aprendizaje por descubrimiento, pero no es el objetivo
de nuestro trabajo entrar en este tipo de argumentación,
lo que queremos destacar, son aquellos aspectos del proceso
enseñanza aprendizaje de la Matemática sobre los
que existen discrepancias manifiestas y que por lo tanto
ameritan ser estudiados, partiendo precisamente de esas
opiniones opuestas, para por lo menos fundamentar una
posición propia y contribuir tal vez a la
unificación de criterios y en última instancia a
la creación de una teoría de la enseñanza
de la Matemática.
3.4 Qué contenido explicar en cada nivel de
enseñanza:
Este es un punto sobre la enseñanza de la
Matemática sobre el que existe acuerdo de manera
general, pero a la vez es uno de los puntos sobre los que
existe discrepancia si hablamos de la selección del contenido de forma
detallada.
Por ejemplo en lo que respecta a la enseñanza
primaria, el contenido en general está
lógicamente determinado por la edad de los estudiantes y
podemos decir que no hay muchas variaciones ha nivel
internacional, pero aún así se manifiestan
diferencias notables, como es por ejemplo, la opinión
que gana adeptos continuamente de que los niños en la
primaria pueden aprender sin mayores dificultades, tanto los
nombres como identificar figuras geométricas en tres
dimensiones, siempre que se le muestren a los alumnos modelos
físicos de estas figuras, incluso se han realizado
experimentos al
respecto con resultados positivos.
Según se incrementa el grado, las discrepancias
empiezan a crecer, aunque ciertamente hay un núcleo de
contenidos que mantiene cierta estabilidad. Una de las
variaciones más notables es la tendencia actual en
muchos lugares de incluir, desde la enseñanza media
contenidos sobre estadística y probabilidades, de modo que
se contribuya de manera eficaz a brindar a los estudiantes las
herramientas
necesarias para que puedan por una parte comprender y manipular
el volumen de
información cuantitativa al que se enfrentan
continuamente y por otra facilitarle la compresión del
mundo en que viven, el cual sin lugar a dudas no es
determinístico.
Otro punto de discusión al respecto es sobre la
conveniencia o no de las demostraciones matemáticas, las
cuales en la mayoría de los casos no se especifican en
el currículo y quedan a criterio del profesor, lo cual
incrementa la variedad de acciones en el proceso. Sobre la
necesidad o no de determinadas demostraciones en la clase de
matemática, existen muchos trabajos, pero
desafortunadamente con puntos de vistas diferentes, por lo que
en el momento en que sea posible demostrar conclusiones al
respecto, se habrá dado un gran paso de avance en la
construcción de una teoría consistente sobre la
enseñanza de la Matemática.
La polémica en la educación
superior es aún mayor, pues no existe acuerdo ni
siquiera sobre la matemática que debe llevar una carrera
especifica de ingeniería, como por ejemplo, ingeniería
civil, eléctrica, mecánica, etc y mucho menos sobre como
tratar en las clases, la matemática que ha sido
definitivamente especificada en el currículo; claro que
siempre hay coincidencia en determinados temas, pero de eso a
que haya una coincidencia de currículos, hay un acierta
distancia.
También existen opiniones que argumentan la
necesidad de incluir lógica matemática, no sólo
en carreras particulares, sino en una forma más amplia,
incluso en la Matemática preuniversitaria, en aras de
entrenar el pensamiento lógico de los estudiantes, pues
evidentemente la precisión del pensamiento
matemático, no es cosa que se adquiera sin cierto
entrenamiento, pero aunque los defensores de estos criterios
cuentan con argumentos muy consistentes, no han logrado
convencer a la comunidad científica, de las bondades de
sus ideas y la lógica matemática,
prácticamente sólo se encuentra en la actualidad
en las carreras de matemática, usualmente en las
carreras de ingeniería, en informática y en muy contados
currículos.
Debemos considerar también, la posibilidad de
que los acuerdos sobre el currículo se deriven de otros
acuerdos sobre el proceso enseñanza aprendizaje de la
Matemática, como es por ejemplo la selección de
razones específicas por las que se enseña esta
disciplina, es natural pensar, que si la comunidad
científica selecciona de forma categórica las
razones por las cuales la Matemática debe aparecer en
los currículos de los diferentes niveles escolares,
desde la primaria hasta la
educación superior, se infiera de tales razones el
contenido matemático que debe estar en el
currículo de cada nivel escolar. Pero indudablemente la
definición del contenido a ubicar en cada nivel escolar
es un tema que requiere estudio, con la perspectiva de poder
alcanzar acuerdos a nivel de consenso.
3.5 Hasta que punto son transferibles las
habilidades y conocimientos de un contenido a
otro:
Podemos decir que es un objetivo de todo profesor de
Matemática que sus alumnos puedan transferir las
habilidades adquiridas en un contenido, a otro contenido que
requiera de estas, aunque sea de una forma parcial.
Además para el desarrollo de estrategias de aprendizaje
del estudiante, es necesario que este independice la estrategia de
un contenido particular que pudo servir de base para la
adquisición de la misma.
Por otra parte, es una realidad la poca aptitud de los
estudiantes para generalizar, lo cual evidentemente es un
requisito para que las habilidades puedan ser transferidas de
una situación a otra. Se sabe por experimentos
realizados y por la experiencia cotidiana de muchos profesores,
que el alumno las mas de las veces incorpora elementos no
esenciales en la solución de un problema, como
esenciales y no es capaz de resolver el problema cuando ese
elemento no esencial se ha omitido o cambiado, por ejemplo
cuando los alumnos estudian la altura del triángulo, si
siempre trabajan con triángulos acutángulos, les
resultará difícil identificar la altura en un
triángulo obtusángulo.
Por lo tanto aunque existen muchos trabajos de
diversos autores que tratan sobre la transferencia de
habilidades, y más trabajos aún que tratan sobre
la formación de estrategias de aprendizajes, que el
estudiante pueda aplicar en diferentes situaciones de estudio,
podemos asegurar que la posibilidad del estudiante de
transferir de una situación a otra, habilidades o
estrategias de aprendizaje es notablemente limitada, y aunque
en modo alguno planteamos que no sea posible dicha
transferencia, sí alertamos que es un tema que requiere
estudio, y cuya solución sería un aporte de gran
importancia, que propiciaría avances notables en el
proceso enseñanza aprendizaje de la
Matemática.
La falta de acuerdo sobre los puntos discutidos
anteriormente, no significa que el proceso enseñanza
aprendizaje de la Matemática se encuentre en un estado
caótico, la falta de acuerdo se manifiesta en muchos
casos debido a que los experimentos en las ciencias
sociales, no se pueden replicar tal como se hace en las
ciencias técnicas y naturales lo cual determina la
necesidad de un estudio contextual de estos problemas. Por otra
parte debemos considerar que no necesariamente la
posición excluyente será necesariamente la mejor,
sino una posición intermedia, por ejemplo en lo que
respecta a la enseñanza guiada o por descubrimiento, se
puede pensar en una opción donde el proceso se
desarrolle guiando al estudiante hacia el
descubrimiento.
A continuación analizaremos algunos aspectos
sobre los que sí hay acuerdo, solo que el acuerdo
consiste en que se requieren realizar investigaciones que
aporten resultados consistentes que permitan ampliar los
conocimientos de que se dispone para dirigir el proceso
enseñanza aprendizaje de la
Matemática.
Estos aspectos son los siguientes:
- Las habilidades de los estudiantes de abstraer,
generalizar y realizar demostraciones formales tienen un
desarrollo cognoscitivo insuficiente. - No existe una metodología que garantice el desarrollo
de los proceso de análisis y síntesis a través del
aprendizaje de la Matemática. - No existen instrumentos para evaluar la influencia
del trabajo en la Matemática con el proceso
cognoscitivo de los estudiantes.
Podemos decir que existe acuerdo en la comunidad de
profesores e investigadores en enseñanza de la
Matemática, respecto a la necesidad e importancia del
proceso de abstracción en el aprendizaje de la
Matemática y también a la falta de desarrollo de
esta capacidad en los estudiantes, pero se requiere desarrollar
investigaciones al respecto, cuyos resultados determinen el
modo de dirigir el proceso de manera que sea manifiesto el
desarrollo de la capacidad de abstracción de los
estudiantes.
Sobre el tema, es oportuno destacar que la
abstracción en el pensamiento científico
está orientada a rebelar los atributos propios,
intrínsicos y sustanciales de los fenómenos, en
sus regulares dependencias en armonía con los cuales
opera. Además es evidente que las abstracciones se hacen
con diferentes grados de profundidad, lo cual está en
relación directa con lo intrínseco y complejo que
sean los nexos y relaciones que se abstraen.
Completando la idea podemos llamar al pensamiento que
funciona a nivel de abstracciones, como pensamiento abstracto,
esto es: la actividad mental cognoscitiva, realizada desde la
abstracción inicial, hasta las conclusiones sobre el
fenómeno, obtenidas de un estudio a través de las
abstracciones hechas.
Para desarrollar investigaciones sobre el proceso de
abstracción es necesario tener en cuenta, que esta se
materializa a través de la representación
simbólica del fenómeno que se abstrae, por lo
tanto son los símbolos el medio de que dispone el hombre
para materializar las relaciones entre objetos y
fenómenos, así como sus nexos internos y
esenciales. Aquí es necesario tener en cuenta
además que la creación de un nexo símbolo
objeto se manifiesta en dos direcciones, una cuando el objeto
material es sustituido pos su semiótica y otra cuando la sola presencia
del símbolo determina la representación mental
del objeto. O sea, en la introducción de objetos hay que
preocuparse primeramente, por desarrollar imágenes
correctas sobre el contenido del objeto, y no que se sustituya
la introducción del objeto por la introducción de
un nombre; más tarde hay que preocuparse porque la
relación entre el signo y lo designado no se
pierda.
Otro aspecto que se requiere tener en cuenta para
investigar el proceso de abstracción es la posibilidad
del estudiante de identificar los elementos esenciales, del
objeto que se estudia, la cual depende directamente de la
capacidad del sujeto de orientarse hacia lo esencial del
material y es necesario estar al tanto de que esta habilidad no
es igual para cada alumno, con relativa independencia de su desarrollo histórico
cultural, pues en estudios realizados se ha podido comprobar,
que en estudiantes que se han desenvuelto en el mismo medio
escolar, esta habilidad no se manifiesta de la misma
manera.
Concluyendo este punto tenemos, que es importante
investigar como desarrollar la capacidad de abstracción
del estudiante, la cual depende de la habilidad de este de
orientarse a lo esencial del contenido y de expresar sus
abstracciones a través de una semiótica
determinada.
Otro proceso del pensamiento lógico, cuya
importancia en el proceso enseñanza aprendizaje de la
Matemática tiene reconocimiento de la comunidad
científica, es el proceso de generalización, por
lo que podemos afirmar que un papel fundamental en el
desarrollo del pensamiento teórico científico
corresponde a la generalización, pero no a la
generalización empírica que opera como resultado
de comparar los rasgos comunes en los que coinciden los
fenómenos, sino aquella que se realiza sobre los rasgos
esenciales y los nexos internos de los fenómenos que se
estudian, o sea que aquí se tiene una dirección
precisa hacia donde orientar la actividad del estudiante, pues
se hace imprescindible que el estudiante generalice y que lo
haga correctamente sobre los rasgos esenciales y los nexos
internos de los fenómenos que se estudian, ya que la
generalización de los rasgos sustanciales de las
situaciones que se analizan constituyen los rasgos
característicos del pensamiento teórico, el cual
garantiza un conocimiento más profundo de la realidad
circundante.
Lo explicado en el párrafo anterior nos
muestra la
necesidad de hacer estudios tanto de las características
fundamentales de la generalización como de la manera de
orientar la actividad del estudiante de modo que logre un
desarrollo consistente de su capacidad de
generalización, por supuesto, la generalización
que tenemos que desarrollar es la generalización
teórica.
En lo que respecta a las demostraciones, nos podemos
hacer la pregunta ¿Cómo se hace para
demostrar? La cual en teoría tiene una respuesta muy
concreta: Si se trata de demostrar que si se verifica A
entonces se verifica B. Entonces lo que se hace es asumir A
y con el conjunto de conocimientos obvios, admitidos o ya
establecidos se infiere a B. Pero en la práctica este
proceso de inferir B a partir de A usando los conocimientos que
se supone dispone el estudiante, funciona con mucha dificultad,
incluso cuando el estudiante realmente dispone de los
conocimientos necesarios.
Por lo tanto en las clases de matemática, hay
dos aspectos importantes que deben ser estudiados, uno es, que
se debe demostrar en la clase de Matemática, y otro,
como lograr que el estudiante adquiera habilidades en las
demostraciones matemáticas. La gran mayoría de
los estudiosos del proceso docente educativo de
formación matemática, consideran sin lugar a
dudas como reales, las virtudes pedagógicas de las
demostraciones matemáticas en la formación del
estudiante, lo cual no es del todo apoyado por los
especialistas del tema, no matemáticos, esto determina
la necesidad de realizar investigaciones que permitan
establecer, de una forma precisa, el peso de la
demostración matemática, en lo que compete a la
asimilación de la asignatura y en lo que corresponde a
la formación del estudiante. También es necesario
investigar que demostraciones hacer en clases y como debe
trabajar el estudiante con las demostraciones para que
desarrolle habilidades al respecto.
Debemos apuntar que tal como analizamos anteriormente,
la generalización teórica juega un papel
fundamental en el desarrollo del conocimiento y especialmente
en el conocimiento Matemático, entonces como la
generalización teórica es una
característica del accionar matemático y se
manifiesta en todos sus niveles, toda demostración
conduce a una generalización, pero sólo es
posible lograr la demostración a través de
generalizaciones de los componentes esenciales del
fenómeno que se demuestra. Por lo que este
vínculo: "generalización teórica
demostración" es otro aspecto que requiere ser
investigado.
Otro aspecto de interés resulta la
relación intuición demostración
teórica, pues, aunque desde el punto de vista de la
lógica formal, cualquier teorema es completamente
independiente de su interpretación, de modo que puede perder
cualquier conexión con la intuición; no debe ser
esta la perspectiva educativa. Ya que no se puede deducir lo
que no se ha inferido primero. Por lo tanto, una
cuestión principal es la de superar conflictos,
construyendo una relación correcta entre
intuición y actitud teórica, (deducción) es decir, una
complementariedad entre formas de conocimiento diferentes, la
intuitiva y la formal, tan distantes una de la otra tal vez,
pero las que se deben convertir en dos aspectos de un mismo
comportamiento mental. Lo cual debe ser
considerado en las investigaciones sobre las demostraciones
matemáticas.
Mediante el análisis y la síntesis el
pensamiento científico puede llegar a formalizar los
conceptos a nivel racional. Por esta razón es de
capital
importancia examinar la naturaleza del análisis y la
síntesis
No hay dudas en que existe una influencia
recíproca entre el desarrollo de los procesos de
análisis y síntesis y el trabajo con la
Matemática, pero está lejos de existir una unidad
de criterios en lo que respecta a como se produce esta
reciprocidad. Para explicar estos procesos S. L. Rubinstein,
utilizó con frecuencia ejemplos de geometría y de modo general la habilidad
de los estudiantes para resolver problema se asocia en alguna
manera a su capacidad para efectuar análisis y
síntesis, y a través de estos procesos lograr
identificar lo esencial del contenido, separándolo de
las circunstancias transitorias y eventuales del
problema.
Por lo tanto es necesario para el desarrollo de la
enseñanza de la Matemática, así como para
lograr que los estudiantes desarrollen habilidades en la
resolución de problemas, el estudio investigativo de los
proceso de análisis y síntesis, y la
interacción de estos con las habilidades propias del
trabajo matemático.
Vimos que entre las razones que se esgrimen para la
presencia de la Matemática en los diferentes
currículos de los diferentes niveles escolares y hasta
en la educación superior, es la influencia que
ejerce esta disciplina en el desarrollo de las capacidades
cognoscitivas de los estudiantes, sobre lo cual podemos decir
que hay un grado considerable de aceptación entre
maestros de matemática y pedagogos en general. Pero un
aspecto que dificulta los estudios que pueden ser realizados
sobre este interesante tema, es la carencia total de
instrumentos capaces de evaluar o medir en alguna forma la
referida influencia.
Es innegable que investigaciones encaminadas al
desarrollo de estos instrumentos, presentarán
complejidades notables y requieren de un montaje con un
fundamento científico riguroso y la colaboración
de especialistas de sicología, pero sus resultados
concretos serían un aporte notable a la Didáctica
de la Matemática y una herramienta muy útil para
futuras investigaciones.
Como se puede apreciar, se han analizado los tres
factores puntuales dentro del proceso
enseñanza aprendizaje de la Matemática,
esto es, se relacionaron las razones para la
enseñanza de esta ciencia, se destacaron los
principios psicopedagógicos que fundamentan las
investigaciones que se realizan y se detallaron aspectos
conocidos y en discusión sobre el proceso
enseñanza aprendizaje de la
Matemática.
El análisis planteado muestra una
situación complicada, pero donde se pueden encontrar
puntos de partida, para desarrollar investigaciones sobre el
proceso enseñanza de la Matemática, cuyos
objetivos
deben ser la producción de nuevos conocimientos sobre la
enseñanza aprendizaje de la Matemática. De modo
que paulatinamente vayan creando una teoría aceptada por
la comunidad científica internacional que se ocupa de
esta problemática.
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Autor:
Dr. Ramón
Blanco Sánchez
Prof. Titular
Universidad de Camagüey. Cuba
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