PRÁCTICA 3: MODELADO DE SISTEMAS
FÍSICOS.
Las dinámicas de muchos sistemas, sean
mecánicos, eléctricos, térmicos,
económicos, biológicos, etc., se pueden describir
en términos de ecuaciones
diferenciales que se obtienen utilizando las leyes
físicas que rigen ese sistema en
particular. La respuesta de un sistema dinámico a una
entrada puede obtenerse si se resuelven las ecuaciones
diferenciales que modelan dicho sistema, para ello, en la
presente práctica se utiliza la herramienta Matemática
Simbólica.
MATLAB permite trabajar en un modo llamado
"Matemática Simbólica" en el cual las
variables no
contienen resultados numéricos sino simbólicos, es
decir los resultados se presentan en forma de letras, las
ecuaciones algebraicas se pueden resolver dejando variables
indeterminadas.
Modelar matemáticamente y simular por medio del
computador y
de la herramienta Matemática Simbólica de
MATLAB los diferentes sistemas físicos.
Al finalizar la práctica, el estudiante
deberá estar en capacidad de:
- Obtener el modelo y la
función de transferencia de diferentes
sistema físicos: mecánicos, eléctricos,
hidráulicos, etc. - Notar que un modelo matemático no es
único para un sistema dado y depende de perspectivas
individuales. - Hallar por medio de la simulación la respuesta en el tiempo de
estos sistemas y así poder
analizar su estabilidad. - Simplificar y efectuar operaciones
complejas utilizando como ayuda la herramienta
Matemática Simbólica.
Utilizando matemática simbólica,
realice la gráfica de la ecuación de y
en función de t y compruebe si la
ecuación es solución para dicha ecuación
diferencial.
- A partir de la ecuación
diferencial: - Dada la ecuación diferencial:
Repita el punto anterior utilizando la
ecuación:
3. Obtenga la función de
transferencia de los sistemas que aparecen en las siguientes
figuras. Demuestre que las funciones de
transferencia de los dos sistemas tienen una forma
idéntica y por lo tanto son sistemas
análogos.
4. Halle la respuesta en el tiempo
para una entrada escalón, exprese si el sistema es estable
o inestable analizando la gráfica de salida.
Análisis de los sistemas propuestos por la
práctica
Sistema Eléctrico.
Sistema mecánico.
Programa realizado para obtener los
resultados:
%PRÁCTICA No. 3
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syms t y1 e a1 b y2 a2 s c1 c2 r1 r2 hes het hms hmt hen
hmn
%EJERCICIO 4.1
y1=3*t-5*exp(-t)+16*exp(-t/2)-9;
a1=3*t-5*e^(-t)+16*e^(-t/2)-9;
pretty(a1)
figure
ezplot(y1,[-6,9]), grid, pause;
b1=simplify(2*diff(y1,2)+3*diff(y1)+y1);
pretty(b1)
disp('la ecuación si es solución para
dicha ecuación diferencial'), pause;
%EJERCICIO 4.2
y2=6*exp((-5)*t)-30*t^2+6;
a2=6*e^((-5)*t)-30*t^2+6;
pretty(a2)
figure
ezplot(y2), grid, pause;
b2=simplify(diff(y2,3)+5*diff(y2,2)+10*y2);
pretty(b2)
disp('la ecuación no es solución para
dicha ecuación diferencial'), pause;
%EJERCICIO 4.3
%sistema Eléctrico
hesn=simplify(s^2*(0.1034)+s*(0.69)+1);
hesd=simplify(s^2*(0.1034)+s*(0.79)+1);
hes=hesn/hesd;
pretty(hes)
disp('Función de transferencia del sistema
eléctrico'), pause;
het=tf([0.1034 0.69 1],[0.1034 0.79 1]);
hen=step(het,[0:0.1:5]);
figure
plot([0:0.1:5],hen), grid
disp('El sistema es estable'), pause;
%sistema mecánico
hmsn=simplify(s^2*0.047+s*0.31385+0.455);
hmsd=simplify(s^2*0.037+s*0.31385+0.455);
hms=hmsn/hmsd;
pretty(hms)
disp('Función de transferencia del sistema
mecánico'), pause;
hmt=tf([0.047 0.31385 0.455],[0.037 0.31385
0.455]);
hmn=step(hmt,[0:0.1:5]);
figure
plot([0:0.1:5],hmn), grid
disp('El sistema es estable')
Resultados obtenidos:
1.
2.
Para ver el gráfico seleccione la
opción "Descargar" del menú superior
3.
4.
Para ver el gráfico seleccione la
opción "Descargar" del menú superior
Respuesta al escalón del sistema eléctrico
(Sistema estable).
Para ver el gráfico seleccione la
opción "Descargar" del menú superior
Respuesta al escalón del sistema mecánico
(Sistema estable).
Con el desarrollo de
esta práctica se pudieron afianzar los conocimientos
matemáticos útiles para el análisis y solución de sistemas
físicos (mecánicos, eléctricos,
hidráulicos, etc.) mediante modelamientos
matemáticos.
Con ayuda de la herramienta Matlab Pudimos simular la
respuesta en el tiempo de los sistemas físicos propuestos
en la práctica y así entendimos con ayuda de esta
simulación cuando un sistema es estable o
inestable.
Al desarrollar esta práctica nos dimos cuenta de
que un modelo matemático de un sistema físico puede
cambiar dependiendo de la perspectiva de sus mismas
variables.
Se pudo comprender en general que en Matlab con ayuda de
la matemática simbólica se nos facilitan muchos
cálculos matemáticos que cuando los realizamos sin
una herramienta software de alta capacidad
nos complican el desarrollo de los problemas, se
nos hacen complejos por las cantidades de variables que se deben
de tener en cuenta cuando realizamos el análisis
respectivo de este problema. La matemática
simbólica de Matlab es muy importante para el cálculo en
general.
MAURO BAQUERO
RIGOBERTO HERNANDO OLARTE
ING Mecatronico. BUCARAMANGA – SANTANDER –
COLOMBIA
2005