- Cantidades de
inercia - Traslación de los ejes
coordenados - Producto
tensorial - Propiedad universal del
producto tensorial - Producto tensorial de
espacios de Hilbert - Ejemplos y
aplicaciones - Descripción
intrínseca - Relación con el espacio
dual - Tipos de tensores, v.g.
alternantes - Sobre anillos más
generales
El tensor de inercia se presenta cuando en un contexto
físico una magnitud escalar a es una función
lineal de otra x, es decir, cuando
a(x + y) =
a(x) + b(y)
entonces esta relación puede representarse
mediante un escalar k tal que
a(x)=k x
El momento de inercia de una masa con respecto a un eje
hace parte de las consideraciones de la dinámica del cuerpo
rígido.
Una superficie plana gira alrededor de un punto cuando
existiendo similitud entre las componentes del esfuerzo en dos
dimensiones, los momentos y los productos de
inercia, sus componentes cambian conforme el sistema de
referencia respecto al cual se están midiendo; cabe que
este constituye un caso especial del tensor de
esfuerzos.
Los momentos y productos de inercia de unas superficies
son igualmente casos especiales del tensor de inercia de las
masas.
Teniendo un cuerpo rígido de mas M, y un sistema
de referencia xyz, los cuales pueden tener cualquier
clase de
movimiento
relativo entre si, el cuerpo se asumirá como un compuesto
de partículas, cada una de las cuales tienen su propia
masa p dv; siendo p la densidad de masa,
dv el volumen.
Para un cuerpo de masa M las componentes inerciales con
respecto a xyz en tiempo
t serán
Ixx, Iyy, Izz,los cuales son los momentos de
inercia de la masa del cuerpo respecto a x,y,z los cuales
están definidos como la integración del elemento de masa pdv
multiplicado por el cuadrado de la distancia perpendicular al eje
correspondiente.
El producto de
inercia de la masa son los términos con índices
mixtos, y se toma respecto a los ejes que se indican en los
subíndices.
Los índices en el producto de inercia se pueden
invertir lo que da un total de nueve términos; pero vale
la pena tener en cuenta que hay términos
iguales:
Ixy= Iyx Izx= Ixz Iyz= Izy
Estas cantidades dependen de la inclinación, y
posición del sistema de referencia, el cual se puede
ubicar en cualquier parte del espacio.
Las componentes inerciales tiene una in variancia
importante, debido a que la suma de los momentos inerciales de la
masa, dentro de un conjunto ortogonal de ejes no depende de la
orientación de los ejes, solo depende de la
posición del origen.
Teniendo en cuenta que la magnitud del vector de
posición desde el origen hasta una articulación no
depende de la inclinación del sistema, entonces la suma de
los momentos de inercia en un punto del espacio para un cuerpo
dado es invariante.
Se debe tener muy en cuenta que los momentos de inercia
siempre deben ser mayores que cero, los productos pueden tomar
cualquier valor.
Cuando dos ejes forman un plano de simetría para
la distribución de la masa de un cuerpo los
productos de inercia que tengan como uno de sus índices a
la coordenada perpendicular al plano de simetría
serán cero, por ejemplo si el plano de simetría es
el plano xy los productos Ixz, Iyz serán
cero.
Para calcular los momentos de inercia y los productos de
inercia se debe realizar lo siguiente:
Dando la densidad p
Primero se calcula Ixx con las ecuaciones
indicadas anteriormente de la integral triple.
Iyy, Izz se calculan permutando
términos.
Luego se procede a calcular Ixy empleando la
ecuación dada para este termino; los términos Ixz,
e Iyz se hayan permutando términos; Cuando se trata con
una cuerpo esférico las componentes del tensor de inercia
se halla usando coordenadas esféricas; teniendo las nueve
componentes se procede a armar la matriz de
nueve elementos.
Teniendo el tensor de inercia se hace posible hallar los
segundos momentos y los productos de inercia de las áreas,
para esto se debe tomar en cuenta que teniendo las ecuaciones
anteriores para Ixx, Iyy, Izz Ixy, Ixz, Iyz; se considera
t tendiendo a cero y p tendiendo a infinito, dependiendo de la
rapidez con que se lleve a cabo =lo anteriormente planteado
será el valor del pt, así que se puede considera
que este producto llegue a ser 1, basados en estas
consideraciones y con las ecuaciones que se han venido planteando
se puede obtener las ecuaciones para los momentos y productos de
inercia de un área, a partir de los momentos y productos
de inercia de una cara, las ecuaciones que se emplearan para esto
serán:
Izz se considera como el momento de inercia
polar
Ixx, Iyy, son los segundos momentos
Ixy, es el producto de inercia de la cara de la
superficie.
Traslación
de los ejes coordenados
Hasta el momento los cálculos se ha realizado
sobre el eje coordenado O, ahora se considerara un sistema
coordenado xyz desplazado
referencia x’y’z’, cuyo origen
está en el centro de la masa.
Si va a calcular el momento de inercia Izz.
Izz = ∫∫∫y (x2 + y2) ρdv =
∫∫∫y [(xc + x’)2 + (yc + y’)2)]
ρdv
Desarrollando los cuadrados, reordenando y observando
que las cantidades del subíndice c son constantes para la
integración y pueden sacarse de ella,
así:
Izz = M[xc2 + yc2] + 2xc ∫∫∫y x’dm +
2yc ∫∫∫y y’ dm + ∫∫∫y
(x’2 + y’2) ρdv
Donde en algunos términos se ha sustituido pdv
por dm y se ha obtenido el valor de la integral ∫∫∫
pdv que es M, la masa total del cuerpo. En la expresión
anterior los términos intermedios son cero y si el ultimo
termino se designa por Iz`z`, se tiene la formula
deseada:
Izz = Iz’z’ + M(xc2 + yc2) =
Iz’z’ + Md2
Donde d es la distancia perpendicular entre los ejes z y
z’. Se puede generalizar el enunciado anterior, el momento
de inercia de algún cuerpo con respecto a cualquier eje,
es igual al momento de inercia de algún cuerpo con
respecto a un eje paralelo que pase a través del centro de
masa, mas la masa total multiplicado por el cuadrado de la
distancia perpendicular entre los ejes
Producto
tensorial de dos tensores
Hay una fórmula general para el producto de dos
(o más) tensores
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Estamos asumiendo aquí, para simplificar,
tensores ortogonales, sin distinción entre índices
covariantes y contra variantes. Los parámetros
introducidos arriba trabajan así:
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Producto tensorial de funciones
multilineales
Dadas las funciones multilineales f(x1… xk) y
g(x1… xm) su producto tensorial es la función
multilineal
Producto tensorial de espacios
vectoriales
El producto
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de dos espacios vectoriales V y W
tienen una definición formal por el método de
generadores y relaciones. La clase de equivalencia de
(v,w) se llama un tensor y es denotada por
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. Por construcción, se puede probar solamente
tantas identidades entre los tensores, y las sumas de tensores,
como se siguen de las relaciones usadas.
Tómese el espacio vectorial generado por W x
V y aplique (factorice los subespacios generados por) las
relaciones multilineales detalladas abajo. Con esta
notación las relaciones toman la forma:
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la opción ¨Descargar trabajo¨
del menú superior
Propiedad
universal del producto tensorial
El espacio de todos las funciones bilineales desde V
x W a R es naturalmente isomorfo al espacio
de todos las funciones lineales de
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a R. Esto es por
construcción:
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tienen solamente las relaciones que son necesarias para
asegurarse de que un homomorfismo de los
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a R será bilineal
Producto tensorial de espacios de
Hilbert
El producto tensorial de dos espacios de Hilbert es otro
espacio de Hilbert.
Sean H1 y H2 dos espacios de Hilbert
con los productos internos < ·, ·>1 y <
·, ·>2, respectivamente. Constrúyase el
producto tensorial de H1 y H2 como espacios
vectoriales. Podemos convertir a este producto tensorial de
espacios vectoriales en uno con producto escalar
definiendo:
Para todo
y extendiendo por linealidad. Finalmente, tomemos
completación de este producto interno. El resultado es el
producto tensorial de H1 y H2 como espacios de
Hilbert.
Propiedades
Si H1 y H2 tienen bases
ortonormales {φk} y
{ψl}, respectivamente,
entonces
{φk⊗ψl}
son una base ortogonormal para
H1⊗H2.
Dados dos espacios de medida X y
Y, con μ y ν las medidas
respectivamente, uno puede considerar L2(X
× Y), el espacio de las funciones en X
× Y que son cuadrado-integrables con
respecto a la medida producto μ Χ ν. Si
f es una función cuadrado-integrable en
X, y g es una función
cuadrado-integrable en Y, entonces podemos definir una
función h en X × Y por
h(x, y) = f(x)
g(y). la definición de la medida
producto nos asegura que todas las funciones de esta forma son
cuadrado-integrables, así que ésta define una
función bilineal de L2(X) × L2(Y)
→ L2(X × Y). Las combinaciones
lineales de las funciones de la forma f(x)
g(y) estan también en L2(X
× Y). Resulta que el conjunto de combinaciones
lineales es de hecho denso en L2(X × Y),
si L2(X) y L2(Y) son separables. Esto demuestra
que L2(X) ⊗ L2(Y) es isomorfo a
L2(X × Y), y también explica
porqué necesitamos tomar la completación en la
construcción del producto tensorial del espacio de
Hilbert.
Semejantemente, podemos demostrar que L2(X;
H), denotando el espacio de las funciones
cuadrado-integrables de X → H, es isomorfo
al L2(X) ⊗ H si este espacio es
separable. El isomorfismo manda
f(x) ⊗ψ ∈
L2(X)⊗ H a
f(x)ψ ∈
L2(X; H). Podemos combinar esto
con el ejemplo anterior y concluir que L2(X) ⊗
L2(Y) y L2(X × Y) son ambos
isomorfos a L2(X; L2(Y)).
Los productos tensoriales de los espacios de Hilbert se
presentan a menudo en la mecánica
cuántica. Si una cierta partícula es descrita
por el espacio de Hilbert H1, y se describe otra
partícula por H2, entonces el conjunto que
consiste en ambas partículas es descrito por el producto
tensorial de H1 y H2. Por ejemplo, el espacio
de estado de un
oscilador armónico cuántico es
L2(R), así que el espacio de estado de
dos osciladores es L2(R) ⊗
L2(R ), el cual es isomorfo a
L2(R2). Por lo tanto, el conjunto de la dos
partículas es descrito por las funciones de la onda de la
forma φ(x1, x2). Un ejemplo más
intrincado es proporcionado por los espacios de Fock, que
describen un número variable de
partículas.
El producto tensorial de los dos espacios vectoriales
V y W sobre el mismo cuerpo base F es
definido por la siguiente propiedad
universal: es un espacio vectorial T sobre F,
junto con un operador bilineal:
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, tales que para cada operador bilineal
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existe un operador lineal L único:
L: T → X con
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, i.e.
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para todo x en V y y en
W.
El producto tensorial es módulo un único
isomorfismo especificado unívocamente por este requisito,
y podemos por lo tanto escribir
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en vez de T. Por la construcción
directa, según lo sugerido en la sección anterior,
uno puede demostrar que existe el producto tensorial para
cualesquiera dos espacios vectoriales. El espacio
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es generado por la imagen de
la
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y aún más: si S es una base de
V y T es una base de W,
entonces
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es una base para
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La dimensión del espacio por lo tanto está
dada por el producto de las dimensiones de V y de
W. Es posible generalizar la definición a un
producto tensorial de cualquier número de espacios. Por
ejemplo, la propiedad universal de
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es que cada operador tri-lineal en
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corresponde a un operador lineal único
en
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El producto binario tensorial es asociativo:
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es naturalmente isomorfo a
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Nótese que el espacio
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(espacio dual de
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que contiene todos los funcionales lineales en ese
espacio) corresponde naturalmente al espacio de todos los
funcionales bilineales en los
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. Es decir cada funcional bilineal es un funcional en el
producto tensorial, y viceversa. Hay un isomorfismo natural
entre
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y
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. Así pues, los tensores de los funcionales
lineales son funcionales bilineales. Esto nos da una nueva manera
de mirar el espacio de funcionales bilineales: como producto
tensorial.
Tipos de tensores, v.g.
alternantes
Los subespacios lineales de operadores bilineales (o en
general, operadores multilineales) determinan espacios cociente
natural del espacio tensorial, que son con frecuencia
útiles. Otro sería el tratamiento de las formas
algebraicas como tensores simétricos.
Es también posible generalizar la
definición a los productos tensoriales de módulos
sobre el mismo anillo. Si el anillo es no conmutativo,
necesitaremos tener cuidado en distinguir los módulos
derechos y los
módulos izquierdos. Escribiremos RM para un
módulo izquierdo, y MR para un módulo
derecho. Si un módulo M tiene una estructura
izquierda de módulo sobre un anillo R y una
estructura de módulo derecho sobre un anillo S, y
además para cada m en M, r en R
y s en S tenemos r(ms) = (rm)s, entonces diremos que
M es un bimódulo, y lo notaremos RMS.
Nótese que cada módulo izquierdo es un
bimódulo con Z actuando por mn = m +
m +… +m de m como el anillo derecho, y
viceversa.
Al definir el producto tensorial, necesitamos ser
cuidadosos respecto al anillo: la mayoría de los
módulos se pueden considerar como distintos módulos
sobre diversos anillos o sobre el mismo anillo con diversas
acciones del
anillo en los elementos del módulo. La forma más
general de la definición de producto tensorial es como
sigue: Sea MR y RN un módulo derecho y
un módulo izquierdo, respectivamente. Su producto
tensorial R es un grupo abeliano
P junto con un operador R-bilineal T:
M x N → P tal que para cada
operador R-bilineal B: M x N
→ O hay un homomorfismo de grupos
único L: P → O tales que
L o T = B. P no necesita ser
un módulo sobre R. Sin embargo, si S1MR
es un S1-R-bimódulo, entonces hay una
única estructura de S1-módulo izquierdo en
P que es compatible con T. similarmente
RMS2 es un R-S2-bimódulo, entonces
semejantemente hay una única estructura de
S2-módulo derecho en P que es compatible
con T. Si M y N son ambos
bimódulos, entonces P es también un
bimódulo, otra vez de una manera única.
(P, T) es único salvo un isomorfismo
único, y se llama el "producto tensorial" de M y
N. Si R es un anillo, RM es un
R-módulo izquierdo, y el conmutador rs-sr de
cualesquiera dos elementos r y s de R
está en el aniquilador de M, entonces se puede
hacer de M un módulo derecho de R
fijando mr=rm. Observe que en esta situación la
acción
de R en M factoriza por una acción del
anillo conmutativo R/Z(R), i.e. R módulo
su centro. En este caso el producto tensorial de M con
sí mismo sobre R es otra vez un
R-módulo. Si M y N es ambos
R-módulos que satisfacen esta condición,
entonces su producto tensorial es otra vez un
R-módulo. Esto es una técnica muy
común en álgebra
conmutativa.
Ejemplo: Considere los números racionales
Q y los enteros módulo
n
Zn. Ambos
se pueden considerar como módulos sobre los números
enteros, Z. Sea B:
Q x Zn
→ M sea un operador
Z-bilineal. Entonces B(q, i) = B(q/n,
n*i) = B(q/p, 0) = 0, así que cada operador
bilineal es idénticamente cero. Por lo tanto, si
definimos P como el módulo trivial, y
T como la función bilineal cero, entonces las
propiedades para el producto tensorial son satisfechas. Por lo
tanto, el producto tensorial de Q y
Zn es
{0}.
RIGOBERTO HERNANDO OLARTE
ING Mecatronico.
BUCARAMANGA – SANTANDER –
COLOMBIA