- Perspectiva general de la
integración - Cálculo de área
de regiones planas mediante integrales - Volúmenes de
sólidos - Crecimiento y decaimiento
exponencial - Sucesiones
- Límite de
sucesión - Series
infinitas - Aplicaciones del cálculo
integral en computación
matemática - Método de las
arandelas - Método de los
cascarones - Tema de
aplicación - Bibliografía
1.
INTRODUCCIÓN.
En el siguiente trabajo se
presenta una perspectiva acerca de lo que es el Cálculo
Integral así como diversos procedimientos
involucrados para lograr resolver problemas
dentro de ésta área, además, se dan algunos
aspectos sobre el uso de esta disciplina en
las ciencias de la
computación y su relación con
ella.
Esperamos que este trabajo sirva de ayuda o apoyo para
estudiantes que están próximos a ingresar en una
carrera de este tipo o que ya estén en una de ellas. Todos
los comentarios o criticas sobre la elaboración de este
documento son bienvenidas al correo que se presenta en la parte
superior las cuales serán contestadas lo más pronto
posible.
2. PERSPECTIVA
GENERAL DE LA INTEGRACIÓN
La integración es el procedimiento por
el cual se puede determinar el área limitada por la curva
de ecuación y = f(x) el eje X y las rectas
x = a y x = b.
Para encontrar dicha área inscribimos bajo la
curva dada un número determinado de rectángulos, la
suma del área de cada rectángulo es una
aproximación del área bajo la curva, y conforme el
número de rectángulos tiende a infinito nos
aproximamos más al área exacta de la región.
Se volvería muy complicado inscribir demasiados
rectángulos y calcular el área de cada uno y
después sumarla, por ello surge el procedimiento de la
integral conforme al siguiente límite:
Lo cual podemos expresar de la forma:
a la cual llamamos integral de f de a a
b , ésta representa un número y ése
número es el área de la región acotada entre
la curva y las rectas mencionadas con anterioridad.
Los métodos de
integración son procedimientos que nos permiten calcular
este valor de
manera más sencilla. Cuando este valor existe para la
función, se dice que la función es
integrable, de lo contrario es una función no
integrable.
Teorema: Si f es una función
continua en el intervalo cerrado [a, b], entonces es
integrable de a a b.
2.1. Propiedades de la integral:
Si f y g son funciones
integrables en el intervalo [a, b] y k una
constante, entonces f + g y kf son
integrables en el mismo intervalo, y además se
cumple:
Una integral que tiene límites de
integración (a, b) se llama integral definida, de lo
contrario se nombra indefinida.
Algunas de las integrales
trigonométricas más conocidas son:
2.2. Método de
integración por sustitución simple:
Sea f(x) diferenciable, entonces la diferencial
de f(x) = f’(x)dx. Éste método se basa
en realizar cambios de variable en el integrando, de tal forma
que transforme la integral original en otra equivalente y
más simple de integrar, ya sea por la tabla de integral
anterior o por algún otro método.
Por otra parte, sabemos que para una función f
integrable en el intervalo [a, b] su integral:
es un número y es posible definir una
función mediante una integral definida, para esto hacemos
lo siguiente:
Definimos:
de lo cual se desprende:
PRIMER TEOREMA FUNDAMENTAL DEL Sea f una función continua en el
|
SEGUNDO TEOREMA FUNDAMENTAL DEL Sea f un función continua (y de
|
2.3. Método de integración por
partes:
Si la integración por sustitución simple
falla o se complica, es posible utilizar una doble
sustitución conocida como integración por partes.
Éste método tiene como base la integración
de la igualdad de la
derivada del producto de
dos funciones:
La integral de VdU debe ser sencilla, y algunas
veces puede repetirse el método de integración por
partes varias veces hasta conseguir el resultado
final.
2.4. Integración
trigonométrica:
Para resolver integrales que involucran a funciones
trigonométricas debemos hacer un uso adecuado de otros
métodos, ya sea utilizando la tabla de integrales
básicas o integración por partes y al mismo
tiempo nos
será muy útil conocer algunas identidades
trigonométricas que pueden sustituirse en la
función original para hacer la integración
más fácil:
- IDENTIDADES DE RECÍPROCOS:
- Sen Cosec
- Cos Sec
- Tg Cotg
- DE COCIENTES O DIVISIÓN
- Tg Sen a / Cos
- Ctg Cos a / Sen
- DE CUADRADOS (PITAGÓRICAS)
- Sen2+
Cos2 - Sec2
+ Tg2 - Cosec2
+
Ctg2
- DE ÁNGULO MEDIO
- Sen2
– Cos(2)
/ 2 - Cos2
+ Cos (2) /
2
Con estas identidades podemos transformas integrales
trigonométricas complejas a algunas más
sencillas.
2.5. Método de sustitución
trigonométrica:
Cuando aparecen radicales en un integrando generalmente
son problemáticos y por lo común tratamos de
librarnos de ellos. Así, con una sustitución
apropiada que racionalice la expresión nos
permitirá simplificar.
Consideramos integrandos de la siguiente
forma:
En donde para cada uno de ellos se sugieren las
siguientes sustituciones:
- x = b/a Tg()
- x = b/a Sec()
- x= b/a Sen()
2.6. Fracciones parciales:
Éste método de integración
comprende la integración de fracciones racionales, es
decir, funciones cuyo numerador y denominador son funciones
polinomiales: P(x) / Q(x). Se estudian aquellos casos en
los cuales el grado del numerador es menor que el de el
denominador. La idea es tratar de descomponer esta
fracción en la suma de fracciones más simples
denominada fracciones parciales.
Nos interesan también en nuestro estudio
fracciones que al ser factorizadas, los factores que aparecen
sean lineales o cuadráticos los cuales pueden o no
repetirse.
De ésta forma el método de
integración por descomposición de fracciones
parciales lo estudiamos en dos apartados: Factores lineales y
factores cuadráticos.
Procedimiento:
Para descomponer una función racional en
fracciones parciales procedemos como sigue:
- Si la función es impropia, esto es, si el
grado de P(x) es mayor o igual al de Q(x) se realiza primero la
división para expresarla en términos de
fracciones propias. - Se factoriza Q(x) en producto de factores
cuadráticos irreducibles con coeficientes reales.
Factores esperados: ax + b y ax2 + bx +
c - Por cada factor de la forma (ax + b)k se espera que
la descomposición tenga la forma: A1/(ax + b)
+ A2/(ax + b)2 + … + Ak/(ax
+ b)k. - Por cada factor de la forma (ax + bx + c)m
se espera que la descomposición tenga la forma en
términos de: B1x + C1 /
(ax2 + bx + c) + B2x + C2 /
(ax2 + bx + c)2 + … + Bmx +
Cm / (ax2 + bx +
c)m. - Sustituya una función racional por la suma de
las fracciones parciales. - Encuentra el valor de los coeficientes.
- Calcule las integrales.
3. CÁLCULO
DE ÁREA DE REGIONES PLANAS MEDIANTE
INTEGRALES.
Para Calcular el área de una región
R acotada por las gráficas y = f(x), x = a, x = b y
y = 0 donde R esta por debajo de y = f(x)
entre x = a y x = b su área esta dada
por:
es decir, esto es para regiones por arriba del eje X,
ahora, para regiones debajo del eje X, tenemos lo siguiente: El
área es un número no negativo, si la gráfica
y = f(x) esta por debajo del eje X, entonces:
es negativo y por tanto no puede ser un área, sin
embargo, sólo es el negativo del área de la
región R, entonces el área queda de la
siguiente forma:
Para una región que contempla un área por
debajo del eje X y al mismo tiempo por arriba,
tenemos:
Una manera útil de pensar:
Cuando se consideran integrales muy complicadas, hay una
manera muy útil para pensar siguiendo éstos
pasos:
- Bosqueje la gráfica.
- Córtela en pedazos delgados (Tiras) y marque
una pieza representativa. - Aproxime el área de esa pieza como si fuera un
rectángulo. - Sume las aproximaciones a las áreas de las
piezas. - Tome el límite cuando el ancho de las piezas
se aproxima a cero, obteniendo así una integral
definida.
3.1. Una región entre dos
curvas:
Primero consideremos lo siguiente:
- Curvas: y = f(x) y y =
g(x). - g(x) < f(x) en a < x
< b.
En la figura notamos que f(x) – g(x) da la altura
perfecta de un rectángulo representativo, aunque g(x) esta
debajo de X:
Podemos usar la integral definida entre otras cosas para
el cálculo de volúmenes de sólidos al
seccionar éstos y siempre y cuando el volumen de cada
pedazo sea fácil de obtener.
Ya que una figura de alguno de estos tipos:
Se calcula como: V = Área de la base
altura, entonces el volumen de un fragmento de cilindro o de
cualquier figura regular se obtiene como:
Ai
xi
Por lo tanto, cualquier figura al ser seccionada se
determina mediante:
Tomando el límite se tiene que:
5. CRECIMIENTO Y
DECAIMIENTO EXPONENCIAL:
Una de las aplicaciones de la integral se refiere al
crecimiento y decaimiento exponencial. El crecimiento o
disminución de algún dato se puede expresar de
forma matemática
con las funciones ln(x) y ex y usar la integración y
derivación para encontrar una fórmula que nos
permita hacer el cálculo de alguna cantidad que crece en
un tiempo determinado, encontrar ese tiempo o bien , la contante
de crecimiento o decaimiento a la cual está sujeta cierta
cantidad inicial. Sabemos que si tenemos una función y =
f(t) puede haber un desplazamiento y respecto a un
cambio de
tiempo t, por tanto:
y = kyt
Si despejamos obtenemos y /t
= ky y en su forma de límite, esto representa la
ecuación diferencial:
dy / dt = ky,
Aquí, k representa una constante de crecimiento o
decaimiento:
Si k > 0, entonces se denomina crecimiento
exponencial.
Si k < 0, entonces se denomina decaimiento
exponencial.
Para resolver la última ecuación dada,
despejamos t y "y" tenemos: dy / y = kdt, integrando de
ambos lados tenemos:
6. SUCESIONES.
En lenguaje llano
podemos decir que una sucesión es un arreglo ordenado de
números reales, uno para cada natural existente y
formalmente hablando es una función definida de la
siguiente forma:
f: IN à IR
Las sucesiones las denotamos de la siguiente forma: f(n)
= an, o bien de la forma: {an}
nIN.
Siendo funciones, entonces podemos hablar de las
siguientes operaciones:
- {an} + {bn} = {an + bn};
- {an} {bn} = {an bn}:
- {an} / {bn} = {an / bn} con bn !=0.
Las formas para representar sucesiones son:
explícita y recursiva. Por ejemplo, una forma
explícita es: {2/n}nIN è an=2/n. Una
forma recursiva es: a1 = 3, a2 = 5 …
an = 2an-1+1.
- Se dice que una sucesión es creciente si
an+1 > an " neIN. - Se dice que una sucesión es decreciente si
an+1 < an " neIN.
Cuando hay la posibilidad de igualdad se agrega el
prefijo "monótono".
Se dice que una sucesión está acotada si:
keIR | an < k " neIN.
è k es una
cota superior, o bien, si: keIR | an
> k " neIN è k es cota inferior.
Definición: La sucesión
{an} converge a L y escribimos:
si para cada número positivo e hay un
número positivo correspondiente N talque:
n > N è | an – L | <
e
Si no hay un número finito L al que converja una
sucesión, se dice que esta diverge o que es divergente.
Los límites de sucesión válidos
son:
Sean {an} y {bn} sucesiones
convergentes y k una constante, entonces:
Teorema: Si {an} es no decreciente y
acotada superiormente, entonces an converge. Un
enunciado análogo es: Si {an} es no creciente y
acotada inferiormente, entonces an
converge.
Subsucesión: Es una sucesión que se
forma con algunos de los términos de una sucesión
dada, por ejemplo: Sea una sucesión {n}, entonces con ella
podemos formar las subsucesiones {2n} o bien {2n-1},
etcétera.
Sea {an} nIN y {Sn}
nIN talque:
S1 = a1;
S2 = a1 +
a2;
S3 = a1 + a2 +
a3;
.Sn = a1 + a2 +
a3 + … + an
Entonces a {Sn} se le llama serie infinita y
la denotamos por:
Además, se dice que {an} es sumable si
la sucesión {Sn} converge y el límite de
{Sn} es la sumatoria.
8.1. Convergencia:
Convergencia de:
Para determinare la convergencia de una serie infinita
utilizamos los siguientes criterios:
- Criterio de Cauchy: La sucesión
{an} es sumable si y sólo si:
- Criterio del resto:
- Criterio de acotación: Una
serie no negativa es no convergente si y sólo si el
conjunto de sumas parciales es acotado.
Prueba o criterio del cociente:
Supóngase que an " neIN y
que - Criterio de comparación:
Supóngase que 0 < an
< bn " neIN, entonces: - Criterio de la Integral: Supongamos que f es
positiva y decreciente en [1,
) y que f(n) = an,
entonces:
) y que f(n) = an,
8.1.1. Convergencia Absoluta:
La serie:
se dice absolutamente convergente si la
serie:
Teorema: Toda serie absolutamente
convergente es convergente. Además, una serie es
absolutamente convergente si y solo si, la serie formada con sus
términos negativos y la serie formada con sus
términos positivos son ambas convergentes.
8.2. Linealidad de las series
convergentes:
9. APLICACIONES
DEL CÁLCULO INTEGRAL EN COMPUTACIÓN
MATEMÁTICA.
Sabemos ahora que el cálculo integral tiene
diversas aplicaciones no solo en el campo de las matemáticas, sino además en otras
ciencias que no precisamente son ciencias exactas.
Entre las aplicaciones más conocidas tenemos la
obtención de áreas delimitadas por curvas de
cualquier forma, así mismo la obtención del volumen
de sólidos de revolución.
El trabajo de los computólogos en el área
de las matemáticas se ha extendido hacia casi cualquier
área de conocimiento,
actualmente la mayoría de las micro, pequeñas y
medianas empresas basan
todos sus movimientos con la ayuda de computadoras,
y ahí se centra la actividad principal de los Ingenieros y
Licenciados en Ciencias de la Computación.
Éstas actividades de las cuales hablamos que debe
desarrollar un computólogo son entre otras las que se
refieren a los siguientes puntos:
- Generación de Software.
- Creación de sistemas que
coadyuven al mejoramiento de la
comunicación entre empresas e instituciones. - Comunicación y transmisión de información.
- Generación de Hardware que
haga cada vez más eficiente - Investigación y desarrollo
de los mecanismos computacionales que existen actualmente
.
Estamos de acuerdo en que el mundo actual sería
un caos sin la ayuda de las computadoras, artilugios que hacen
que la información requerida por una empresa
llegue en cuestión de segundos a su destinatario, pero
todo esto tampoco se podría llevar a cabo sin la ayuda de
lo que son precisamente las Ciencias de la Computación,
entre ellas, el Cálculo, y en esta ocasión nos
referimos especialmente al Cálculo Integral.
Una de las aplicaciones menos conocidas del entorno de
la Computación es la creación de software para la
generación de otros aparatos que facilitan la tarea de
otras personas no dedicadas al área de las
matemáticas; por ejemplo, que haría un
físico-matemático si no contara con un software que
tenga como tarea primordial el cálculo de funciones
matemáticas, o la graficación de éstas
mismas, la labor de este tipo de científicos se
volvería muy tediosa, es por ello que en la actualidad se
genera software como el de Mathemática, Derive, Maple y
Theorist, los cuales pueden crear hermosas figuras de objetos
matemáticos, y además realizar muchos tipos de
cálculos incluyendo integración
simbólica.
Entre otras aplicaciones del Cálculo se
encuentras las presentadas a continuación, que se refieren
no solamente a la Computación
matemática:
9.1. NEGOCIOS.
Costos de transporte:
Una compañía de autobuses está
dispuesta a alquilar sus vehículos solo ha grupos de 35 o
más personas. Si un grupo consta
de 35 personas, cada una paga US$60. En grupos mayores, la tarifa
de todas las personas se reduce en 50 centavos por cada persona
adicional. Exprese los ingresos de la
compañía de autobuses como una función del
tamaño del grupo, elabore la gráfica y estime que
tamaño del grupo maximizará los
ingresos.
Costos de construcción:
Una caja cerrada, de base cuadrada, tiene un volumen de
250 m³. El material de las partes superior e inferior de la
caja cuesta US $2 por m² y el de los lados, US $1 por
m². Exprese el volumen de la caja como una función de
la longitud de su base.
9.2. VOLUMEN:
A partir de una pieza cuadrada de cartón de 18
por 18 pulg ², quitando un pequeño cuadrado de cada
esquina y plegando las alas para formar los lados,
construirá una caja abierta. Exprese el volumen de la caja
resultante como una función de longitud x de un lado de
los lados eliminados. Elabore la gráfica y calcule el
valor de x para el cual el volumen de la caja resultante es el
máximo.
9.3. ECONOMÍA:
Distribución de fondos:
Un fabricante planea vender un nuevo producto al
precio de US
$150 por unidad y estima que si gastan x miles de dólares
en desarrollo e y miles de dólares en promoción, los consumidores compraran
aproximadamente (320y / y + 2)+(160x / x + 4) unidades del
producto. Si los costos de
fabricación de este producto son US $50 por unidad,
¿cuánto debería gastar el fabricante en
desarrollo y cuanto en promoción para generar la mayor
utilidad
posible en la venta de este
producto? [nota: Utilidad =(N º de unidades) (precio por
unidad – costo por unidad)
– cantidad total gastada en desarrollo y
promoción]
Ventas al por menor:
Una lechería produce leche entera y
leche descremada en cantidades x e y galones, respectivamente.
Suponga que el precio de la leche entera es p(x)=000-x, y el de
la leche descremada es q(y)=100-y. Suponga que C(x, y) = x²
+ xy + y² es la función de costos conjuntos de
los productos.
¿Cuales deberían ser x e y para maximizar las
utilidades?
9.4. CIENCIAS
SOCIALES:
Agotamiento de reservas:
Cierto gas raro usado en
procesos
industriales tenía reservas conocidas de 3 exp 11 m³
en 1990. En 1991, se consumía 1.7 exp 9 m³ del gas
con un incremento anual del 7.3% ¿cuando se
agotarán las reservas conocidas del gas?
Valor presente:
Una inversión garantiza pagos anuales de US
$1.000 a perpetuidad; empezando de inmediato con los pagos. Halle
el valor presente de esta inversión si la taza de interés
anual predominante permanece fija al 12% capitalizado
continuamente. (sugerencias: El valor presente de la
inversión es la suma de los valores
presentes de los pagos individuales.)
Control de calidad:
Tres inspectores se turnan para revisar componentes
electrónicos a medida que salen de una línea de
ensamblaje. Si el 10% de todos los componentes producidos en la
línea de ensamblaje son defectuosos, halle la probabilidad de
que el inspector que prueba el primer componente sea el mismo que
encuentra el primer componente defectuoso.
Cuando tenemos dos curvas, y la región que se
forma entre ellas se hace girar, formando un sólido de
revolución, es posible que se genere un agujero en el
centro, éstos discos se conocen con el nombre de
arandelas, en este caso para calcular el volumen de dicho
sólido se calcula el radio del
círculo que se engendra en el centro y además el
del disco total, esta será la base de nuestro cilindro,
por lo cual para poder calcular
su área, necesitaremos el área de la base, que se
obtiene restándole al radio mayor el radio menor, el
resultado lo multiplicamos por ¶ y después por la
altura, observe la figura que viene a
continuación:
Figura 1
EJEMPLO 1: Encontrar el volumen del
sólido generado al hacer girar la región acotada
por las parábolas y=x2 y
y2=8x en torno al eje
X.
SOLUCIÓN: Para Dar solución al
problema presente veamos la siguiente gráfica, en ella
observamos que r1=x2 y r2=
y que los
interceptos entre las curvas son el origen (0,0) y (2,4), por
tanto el volumen del sólidos que buscamos se encuentra
entre la región [0,2], sustituyendo en la fórmula
dada en la Figura 1 tenemos lo siguiente:
Figura 2
EJEMPLO 2: La región semicircular acotada
por la curva x = (4 – y2
)1/2 y el eje y se hace girar alrededor de la
recta x = -1, formular la integral que representa su
volumen.
SOLUCIÓN: El radio exterior de la arandela
es 1 + (4 – y2)1/2 y el radio
interior es 1, haciendo las sustituciones requeridas tenemos lo
siguiente:
Figura 3
Considere una región del tipo que se muestra en la
Figura 4. Si la rebanamos de manera vertical y la hacemos
girar en torno al eje y, generará un sólido
de revolución , y cada rebanada generará una pieza
que es aproximadamente un cascarón cilíndrico. Para
obtener el volumen de este sólido, calculamos el volumen
V de un cascarón representativo, sumamos y
tomamos el límite cuando el grosor de los cascarones
tiende a cero y de ahí obtenemos una integral:
V = 2 |
V = 2x f(x)
x f(x)Figura 4.
EJEMPLO 1: La región acotada
por y = 1 / x1/2 , el eje x, x = 1 y x = 4se hace
girar entorno al eje y. Encontrar el volumen del sólido
resultante.
Solución: Con base en la Figura 4
vemos que el volumen del cascarón que se genera
es:
V = 2x f(x)
x
esto para f(x) = 1 / x1/2, tenemos:
V = 21 / x1/2x
x, entonces el volumen se encuentra por medio de
integración:
EJEMPLO 2: La región acotada
por la recta y = (r / h)x, el eje x y x = h
se hace girar en torno al eje x, y por ello se genera un
cono (suponer que r>0, h>0 ), encontrar su
volumen por medio del método de los cascarones.
Solución: Siguiendo los pasos sugeridos
por la Figura 5 tenemos que el volumen es:
Para ver el gráfico
seleccione la opción "Bajar trabajo" del menú
superior
Figura 5.
Aplicación a resortes (Trabajo): De
acuerdo con la ley de Hooke en
física la
fuerza F(x)
necesaria para mantener un resorte estirado (o comprimido) x
unidades alargado (o acortado) de su longitud natural está
dada por F(x) = kx.
Aquí la contante k, es la constante del resorte y
es positiva y depende del resorte particular bajo
consideración, entre más rígido sea el
resorte mayor será el valor de k.
EJEMPLO 1: Si la longitud natural de un resorte
es 0.2 metros y si es necesaria una fuerza de 12 newtons para
mantenerlo estirado 0.04 metros, encuentre el trabajo
hecho al estirar el resorte de su longitud natural a una longitud
de 0.3 metros.
Solución: Por la ley de Hook antes
mencionada, la fuerza requerida para mantener el resorte estirado
x pulgadas está dada por F(x)= kx. Para evaluar la
constante del resorte, k, para este resorte en particular,
observamos que F(0.04) = 12, por lo que k · 0.04 = 12 o
bien, k = 300, de modo que: F(x) = 300x.
Note que cuando el resorte tiene su longitud natural de
0.2 metros, x = 0, cuando tiene una longitud de 0.3 metros, x =
0.1, por tanto, el trabajo hecho al estirar el resorte esta dado
por:
Aplicación a bombeo de un
líquido: Para bombear agua de un
tanque se requiere trabajo, para conocer esa cantidad de trabajo
debemos tomar en cuenta los mismos principios
básicos que tomamos con integración.
EJEMPLO 2: Encontrar el trabajo realizado al
bombear agua hasta el borde superior de u depósito, que es
de 50 pies de largo y tiene extremos semicirculares de radio = 10
pies, si el depósito está lleno hasta una
profundidad de 7 pies (vea la figura).
Solución: Colocamos un
extremo del tanque en un sistema de
coordenadas, como se muestra en la última figura. Una
rebanada horizontal representativa se muestra en ambas figuras de
éste ejemplo; esta rebanada es aproximadamente una caja
delgada , de modo que calculamos su volumen multiplicando su
largo, ancho y grosor, su peso es su densidad, P =
62.4, por su volumen. Finalmente, notamos que la rebanada debe
elevarse una distancia de –y (el signo menos es porque en
la figura y es negativa).
- Purcell Edwin J., Varberg Dale, Rigdon Steven E.,
(2001) Cálculo, Prentice Hall. - Microsoft Encarta Edición 2001.
- (2002) Matemáticas VI, Benemérita
Universidad
Autónoma de Puebla.
Luis Antonio Fernández Aldana
Estudiante del 3er. Cuatrimestre de Ingeniería en Ciencias de la
Computación.
Benemérita Universidad Autónoma de
Puebla.
Facultad de Ciencias de la
Computación.
11 / Diciembre / 2003.