En busca de ternas pitagóricas

2. Donde y como buscar las
   ternas
3. Ternas
   primitivas obtenidas por compatibilidad
4. Referencias

Introducción

El teorema de Pitágoras es el más conocido
de la Geometría. Esta relación era
conocida por los Babilonios en 1700 A.C. (Resnikoff and Welles,
1884), aunque se atribuye a Pitágoras de Samos (c. 585
– 500 A. C.). Además, distintas culturas han dejado
testimonio de que la conocían (Boyer and and Merzbach,
1989; Heath, 1981).

En su versión más conocida, el Teorema de
Pitágoras expresa que en un triángulo
rectángulo el cuadrado construido sobre la hipotenusa es
equivalente a la suma de los cuadrados construidos sobre los
catetos.

c2 = a2 + b2
(1)

en que c = longitud de la hipotenusa

a = longitud del primer cateto

b = longitud del segundo cateto

En la ecuación (1), es conveniente llamar "suma"
a c2 y "sumandos" a a2 y
b2.

Esta misma expresión representa la
ecuación de la circunferencia en la geometría
analítica, y es la base de la circunferencia
trigonométrica. Tiene, además, una vasta
utilización en el Álgebra. La aplicación del
teorema de Pitágoras abarca muchas disciplinas
científicas, como se resume en el libro "Desde
Pitágoras hasta Einstein" (Friedrichs, 1965). El teorema
de Pitágoras fue fundamental para la Aritmética, ya
que permitió descubrir los números irracionales
(que no tienen raíz cuadrada exacta).

El número de demostraciones del Teorema de
Pitágoras muy grande, y esta breve contribución
sólo tratará de los números racionales
enteros que cumplen con la ecuación (1), que se denominan
números pitagóricos. Como se presentan en grupos de a tres,
reciben el nombre de "ternas pitagóricas", de las cuales
hay ternas pitagóricas primitivas y derivadas. Estas
últimas se obtienen a partir de las primeras.

El descubrimiento de las ternas pitagóricas
primitivas de valores bajos
debe haberse realizado sin duda por prueba y error. Las ternas
derivadas pueden obtenerse desde las ternas primitivas por un
procedimiento
sencillo. Así, si se multiplican los términos de la
ecuación (1) por n (un número entero) se
obtiene:

nc2 = na2 + nb2
(2)

lo que conduce a que hay infinitos números y
ternas pitagóricas.

Las ternas pitagóricas primitivas tienen una
propiedad
interesante: los números pares pueden construirse
multiplicando cualquier número (par o impar) por dos, pero
2 es un número irracional, cuya irracionalidad se
demuestra por reducción al absurdo (Guedj,
1998).

Los números pares pueden construirse
también por la suma de dos números pares o por la
suma de dos números impares. Un número racional
puede ser representado por una fracción que no pueda
reducirse más, por lo que una terna pitagórica
primitiva debe estar constituida por dos números impares y
un número par (si se divide c2 por
(a2 + b2) y resulta un número par,
entonces es posible todavía reducir más la
expresión). Para una terna pitagórica primitiva la
"suma" siempre debe resultar impar y los sumandos deben ser un
cuadrado par y un cuadrado impar. Como se verá
posteriormente, esta propiedad facilita mucho la obtención
de ternas pitagóricas primitivas, ya que si n es impar se
mantiene la paridad en la ecuación (2), y si n es par,
todos los términos de la ecuación (2) son pares y
se está tratando con una terna pitagórica
derivada.

El advenimiento de las calculadoras y ordenadores hace
el problema de encontrar ternas pitagóricas (primitivas y
derivadas) aparentemente trivial, pero no es fácil
encontrar un listado de ternas pitagóricas. Como en la
Antigüedad, se requiere repetir muchos cálculos
tediosos para obtenerlas, una necesidad imperiosa para los
estudiantes, que deben responder a sus deberes escolares no
teniendo tiempo para
calcular por prueba y error o por el recurso de programar un
ordenador. Es sorprendente que la inspección de una
variedad de libros no es
fructífera, y que la búsqueda en INTERNET resulta en algunas
páginas útiles, pero que contienen un número
muy reducido de ternas, al mismo tiempo que algunas de ellas
contienen evidentes errores o se alejan mucho del tema (los
números y ternas pitagóricas tendrían
contenidos esotéricos, aserto que datan desde los tiempos
de la Grecia
clásica).

En esta contribución se darán algunos
algoritmos
(recetas) que facilitan el trabajo,
para los primeros cien cuadrados. Algunas propiedades pueden
extrapolarse más allá de este ámbito,
mientras otras se postulan como conjeturas.

La terna pitagórica más conocida es
obviamente la primera:

32 + 42 = 52
(3)

y es corriente el concepto que
todas las otras ternas pitagóricas derivan de ella,
lo cual no es efectivo. Para los números enteros positivos
(en geometría
se habla de triángulos rectángulos racionales,
según Heath, 1981) esta terna es la más
pequeña concebible, y es muy especial, ya que es la
única terna constituida por tres números
consecutivos. Hay casos en los cuales los valores de
los sumandos son consecutivos (b = a +1) y otros en los que la
suma (c) y el sumando mayor (b) son consecutivos (c = b +1). Los
tres números consecutivos en este caso comienzan con un
número impar, siguen con un número par y terminan
con un número impar.

En el caso particular de la terna [3, 4, 5], dos de los
tres componentes son, además, números primos
(sólo divisibles por ellos mismos y por 1). Puede
suponerse condicionalmente que las ternas primitivas contienen al
menos un número primo, y que las ternas primitivas no
contienen divisores comunes.

Desde la antigüedad se conocen algunas formulas
para comprobar si un número es pitagórico (es
decir, cumple con la ecuación (1)) o si un conjunto dado
de tres números es una terna pitagórica. En la
descripción de las formulas se expresa que
las ternas tiene ciertas propiedades, pero esto no ayuda a
encontrarlas.

Así, una vieja tablilla babilónica (Boyer
and Merzbach, 1989, pp. 65) expresa que si un número
c es impar, una terna pitagórica tiene como
elementos:

(c2 – 1)/2 , c, (c2 +1)/2
(4)

si se suman los términos de los extremos, el
resultado es c2, pero para obtener el valor de c hay
que recurrir a la prueba y error.

La misma referencia (pp. 101) señala que, para
cualquier número natural (c):

(2c)2 + (c2 – 1)2
= (c2 + 1)2 (5)

pero nuevamente hay que probar distintos valores para c
hasta encontrar los valores que cumplen la
relación.

En esta misma referencia (pp. 246) aparece una
modificación de Brahmagupta (matemático
hindú, c. 628), que complica un poco más las cosas,
dando como constituyentes de las ternas:

m, (m2/n – n)/2, (m2/n + n)
(6)

m y n son sin duda números enteros. Esta es una
variante de la ecuación (4), y tiene el problema que en
vez de buscar un solo valor, ahora hay que encontrar
dos.

La formula para generar todas las ternas
pitagóricas (debieran ser las ternas primitivas, la
referencia no lo indica) es (Devlin, 1988):

a = 2·s·t, b = s2 –
t2; c = s2 + t2 (7)

s y t son números naturales (uno par, el otro
impar); s > t; s y t no tienen factores comunes. Obviamente
debe cumplirse la ecuación (1), y nuevamente hay que dar
valores tentativos a s y t.

Un desarrollo
más general es de Fraleigh (1969), que al multiplicar por
k (un número entero) generaliza las ecuaciones (7)
a:

a = k·(m2 – n2); b =
2·k·m·n; c = k·(m2 –
n2) (8)

c2 = [k·(m2 +
n2)]2 (9)

esta relación se cumpliría para todo k, m,
n que pertenezcan al conjunto de los números reales. Ahora
hay que buscar los por prueba y error los números k, m,
n.

De las relaciones mostradas es evidente que el encontrar
ternas pitagóricas requiere un paciente trabajo de
iteración (hacer muchas veces lo mismo para distintos
números). Como existe un número infinito de ternas
pitagóricas, habría que fijarse una meta menos
ambiciosa, como por ejemplo calcular todas las ternas
pitagóricas que se pueden obtener de los 100 primeros
cuadrados (lo usual en los deberes escolares). El rango
iría de 1 (12) a 10.000
(1002).

Un método
laborioso, pero efectivo, es hacer uso de la ecuación (10)
en una planilla de cálculo
sabiendo que:

a2 = c2 – b2 = (c
+ b)·(c – b) (10)

La obtención de las ternas pitagóricas
implicaría tomar 99 veces el número 10.000
(c2) y restarle en cada caso los cuadrados entre 1 y
99 (b2), para obtener a2, luego tomar la
raíz cuadrada de la diferencia y eliminar de la lista
todos los valores no exactos. Se obtienen en el caso de 10.000
las ternas [28, 96, 100] y [60, 80, 100], que al tener todos sus
componentes pares pueden ser identificadas como ternas
derivadas.

El próximo paso sería tomar el cuadrado de
99 (9801) 98 veces y restarle todos los cuadrados entre 1 y 98,
repitiendo el resto del procedimiento. En este caso particular no
se obtienen ternas pitagóricas.

Calcular el resto de las ternas pitagóricas entre
1 y 10.000 implicaría seguir haciendo lo mismo con los
cuadrados restantes. El trabajo es grande, pero hay modos de
acortarlo.

Donde y
como buscar las ternas

En la Tabla 1 aparecen las 52 ternas pitagóricas
(16 primitivas y 36 derivadas) posibles entre los 100 primeros
cuadrados. Están ordenadas según el valor de la
suma (c2), de su origen (primitiva o derivada), y de
uno de los sumandos (intentando que sea el menor). Esta es la
información difícil de encontrar. La
búsqueda se facilita si se obtiene una terna primitiva y
se multiplica por números enteros crecientes, según
la ecuación (2). El análisis de la Tabla 1 da como, resultado
que no hay cuadrados que terminen en 2, 3, 7 ni 8, lo cual reduce
la población de 10.000 a 6.000 números
a analizar. De estos 6.000 números sólo 100 son
cuadrados, lo que reduce la población a analizar a 100
números. Toda la población de los números de
1 a 100 contiene 50 números pares y 50 números
impares, y para las ternas primitivas (c2) debiera
corresponder sólo a números impares, por lo cual
los candidatos a probar se reducen a 50.

Como ya se mencionó, las ternas
pitagóricas primitivas deben tener la suma (c2)
impar, y los sumandos deben ser uno par y el otro, impar. La
multiplicación de una terna primitiva por un número
par transforma esta en sólo números pares, por lo
cual en las ternas derivadas sucesivas se alternan pares e
impares en un sumando, mientras el otro siempre es par. A
consecuencia de esto la suma (c2) sucesiva
también es alternada. Como ya se mencionó,
sólo las ternas derivadas originan sumas pares. La Tabla 1
se construyó en base a encontrar compatibilidades en la
sumas, como se detalla más adelante.

En la Tabla 2 se lista los 100 primeros cuadrados.
Observe que la diferencia entre dos cuadrados consecutivos es
siempre un número impar. En las columnas 1 y 1A se dan los
números enteros en orden ascendente; en las columnas 2 y
2A, los cuadrados de dichos números; en las columnas 3 y
3A las diferencias entre dos números cuadrados enteros
consecutivos, que corresponde a la serie de los números
enteros impares. La columna 4 lista los cuadrados de los
números impares. Observe que cuando en las columnas 3 y 3A
aparece un cuadrado impar, este es el sumando que le falta al
cuadrado menor para completar el cuadrado mayor
(c2).

Así, 9 (columna 3) es el cuadrado de 3, que
sumado al cuadrado de 4 (columna 1) genera el cuadrado de 5.
También cumplen esta relación: 52 +
122 = 132; 72 + 242 =
252;

92 + 402 = 412;
112 + 602 = 612; 132
+ 842 = 852.

En general:

x2 = (x-1)2 +
(2x-1) (11)

A partir de la ecuación (11) pueden obtenerse
seis de las 16 ternas primitivas, las que pueden generar ternas
pitagóricas derivadas según la ecuación (2),
como se resume en la Tabla 3, donde se presentan otras ternas
primitivas, que fueron deducidas por la compatibilidad de las
sumas, que se describe más adelante. Como x es impar,
x2 es impar, (2x-1) es impar y (x–1) es par, por
lo que (x–1)2 es par. Cuando se aplica la
ecuación 2 a estas ternas, se pierde la contigüidad
de la terna (3, 4, 5 multiplicados por 2 resultan en 6, 8, 10,
que ya no son números consecutivos).

De la Tabla 3 resulta claro que las generalizaciones
hechas anteriormente a partir de la primera terna primitiva se
cumplen: c2 es impar, uno de los sumandos
(a2, b2) es par y el otro es impar; hay al
menos un número primo en la terna y los constituyentes de
la terna

no tienen factores comunes.

Es interesante que (x-1) es el cuadrado del par
inmediatamente inferior al resultado, mientras (2x-1) es
también un cuadrado, en este caso impar.

Tabla 1: 52 ternas primitivas y derivadas
pitagóricas para los primeros 100 cuadrados, indicando
origen