- Resumen
- Los modelos en
física - Oscilador armónico
simple - Péndulo
simple - Ajuste de un péndulo real
a las características del modelo péndulo
simple - Conclusiones
El presente trabajo
pretende, a partir de un análisis teórico acerca del método de
los modelos,
mostrar la importancia de este método para el
establecimiento de teorías
físicas y brindar de forma sencilla el modo de ajustar un
péndulo real (físico) a las características
del modelo Péndulo simple.
DESARROLLO.
1.- LOS MODELOS EN
FÍSICA.
Desde las épocas más remotas, la Física ha
desarrollado un amplio conjunto de teorías que han servido
de fundamento, entre otras cosas, al desarrollo
técnico alcanzado por la humanidad.
Cuando una teoría
física está en proceso de
desarrollo, se hace necesario el establecimiento de hipótesis que constituyen una respuesta
anticipada al problema objeto de estudio y que debe ser aceptada
o rechazada en dependencia de su ulterior comprobación
mediante la experimentación.
A partir de esta hipótesis se
elabora un modelo de la situación que se estudia. Este
proceso de modelación constituye uno de los métodos de
trabajo fundamentales de la Física.
Todo modelo físico es una abstracción que
hace el científico de la realidad y en él se centra
la atención únicamente en los aspectos
realmente importantes del fenómeno y se minimizan aquellos
que solo implicarían hacer más dificultoso su
estudio.
Baste como ejemplo ilustrativo de lo planteado
anteriormente el modelo Gas Ideal, en el
que se considera que los choques entre partículas y entre
estas y el recipiente que contiene el gas como choques
perfectamente elásticos.
Dicho de otro modo " El modelo es una
representación adecuada del objeto" (Metodología de la enseñanza de la Física:
conferencias, V. Usanov. 1982. p.33). Entendiendo nosotros por
"representación adecuada" lo señalado en el
párrafo
anterior.
Los modelos físicos, según el V. Usanov.
pueden ser clasificados en tres tipos: visuales, abstractos y
simbólicos.
En la Física Clásica son de gran uso los
modelos visuales. Por ejemplo, al observar el desplazamiento de
un ómnibus, consideramos que de manera semejante se mueven
los demás objetos (el hombre, los
planetas,
etc.).
Pero sucede que en ocasiones, como es el caso del
análisis del movimiento de
las micropartículas, no es posible el establecimiento de
un modelo visual de la situación. Es aquí donde se
hace necesaria la implementación de un modelo
abstracto.
Como ejemplos de modelos abstractos podemos mencionar:
el punto material, el gas ideal, el oscilador armónico
simple y, relacionado con este último, el modelo
Péndulo Simple. Aclaremos que este tipo de modelo es el
más utilizado en Física.
En cuanto a los modelos simbólicos debemos
destacar que existe una gran cantidad de ellos, por cuanto las
ecuaciones
matemáticas que constituyen el fundamento
de toda teoría física son modelos de este tipo.
Veamos algunos ejemplos:
- La expresión
( segunda ley de Newton)
representa, implícitamente, la dependencia de los cambios
de la velocidad de
un cuerpo (su aceleración) de la fuerza
aplicada sobre él y de su masa.
- La ecuación
es representativa de un movimiento rectilíneo
uniforme, modelo en el que desprecian agentes que provoquen
efectos disipativos.
- Las ecuaciones de Maxwell tienen como significado la
unificación entre los campos eléctricos y
magnéticos en un campo único: el campo
electromagnético.
2.-
OSCILADOR ARMÓNICO SIMPLE.
Dentro de los modelos abstractos utilizados en
Física y al que hicimos referencia con anterioridad se
encuentra el oscilador armónico simple (O.A.S) que
presenta, como características, las siguientes:
1.- El movimiento es oscilatorio por cuanto el sistema realiza
un movimiento de vaivén alrededor de una posición
de equilibrio
estable.
2.- El movimiento es armónico pues el agente
restaurador es proporcional a la separación del sistema de
la posición de la posición de equilibrio estable y,
además, porque puede describirse a partir de funciones seno y
coseno.
3.- las oscilaciones se consideran libres pues se
desprecian agentes que provoquen efectos disipativos.
El modelo simbólico de este modelo abstracto es
una ecuación diferencial lineal, homogénea y de
segundo orden como la siguiente:
(1)
Pasemos ahora al análisis del péndulo
simple, un modelo abstracto estrechamente relacionado con el
anterior.
Un péndulo es un sistema formado por un cuerpo
suspendido de un hilo y que puede realizar oscilaciones alrededor
de una posición de equilibrio estable.
El péndulo simple es un modelo que debe cumplir
con las siguientes características:
1.- El hilo del que pende el cuerpo es inextensible y
sin peso .
2.- La masa del sistema se considera concentrada en el
cuerpo (puntual) que oscila.
3.- No existen agentes que provoquen efectos
disipativos.
Teniendo en cuenta estas características veamos
ahora cómo obtener el modelo simbólico
(ecuación matemática) que se utiliza para describir
el movimiento del sistema.
En la siguiente figura se han trazado los ejes
coordenados: el eje x en la dirección tangente a la trayectoria
descrita por el cuerpo y el eje y según el radio de esta
trayectoria. Es obvio que esta trayectoria es un arco de
circunferencia.
Se representan, además, las componentes de la
fuerza de gravedad en estos ejes quedando claro que su componente
en la dirección x tomada es el agente restaurador
para el caso que nos ocupa.
Apliquemos ahora la segunda ley de Newton al eje
x. Así:
Se toma el ángulo 
como variable para describir la
separación del sistema de la posición de equilibrio
estable. Entonces:
donde S es la longitud del arco de circunferencia que
describe la partícula y si expresamos el ángulo
en radianes
podemos escribir:
Entonces:
Acomodando la expresión anterior y dividiendo por
nos
queda:
Comparando la ecuación anterior con la
ecuación (1) nos damos cuenta que esta, realmente, no se
corresponde con el modelo del oscilador armónico simple
pues el agente restaurador no es proporcional a la
separación 
del sistema de la posición de equilibrio estable sino a
lo cual no
coincide con las características del modelo.
Para eliminar esta dificultad hagamos que la amplitud de
oscilación del sistema sea lo suficientemente
pequeña como para considerar que 
y entonces la ecuación anterior
podrá ser escrita como:
(2)
que sí es similar a la ecuación (1) y,
bajo estas condiciones se puede afirmar que el péndulo
simple realiza oscilaciones armónicas simples.
Por los procedimientos
conocidos para resolver ecuaciones
diferenciales de este tipo podemos obtener como
solución para (2) la siguiente:
donde:
es la
elongación.
es la
amplitud de las oscilaciones.
es la
frecuencia propia de las oscilaciones libres del
sistema.
Y 
es la
Fase inicial (estado en que
se encuentra el sistema cuando se comienza a medir el tiempo).
4.- AJUSTE DE UN
PÉNDULO REAL A LAS CARACTERÍSTICAS DEL MODELO
PÉNDULO SIMPLE.
Pasemos ahora a proponer un método
práctico para demostrar cómo podemos hacer que un
péndulo real pueda ajustarse a las características
del modelo péndulo simple.
Antes de hacerlo veamos algunas implicaciones a que
conllevan las características del modelo.
- HILO INEXTENSIBLE Y SIN
PESO.
Garantiza que la trayectoria del cuerpo sea un arco de
circunferencia y que toda la masa del sistema esté
concentrada en el cuerpo que oscila.
- CUERPO PUNTUAL.
Esto se garantiza logrando que la longitud del hilo
sea mucho mayor que cualquiera de las dimensiones lineales del
cuerpo.
- NO EXISTEN AGENTES QUE PROVOQUEN EFECTOS
DISIPATIVOS.
Se logra haciendo que la amplitud de las oscilaciones
sea lo suficientemente pequeña como para que se pueda
garantizar la condición:
El ajuste se realizó por el autor utilizando los
materiales que
se listan a continuación y realizando un montaje como el
de la figura.
1.- Hilo (120 cm).
2.- Dos cuerpos esféricos de masa 100 g cada
uno.
3.- Balanza digital.
4.- Regla graduada.
5.- Semicírculo graduado.
6.- Pié de rey.
Además se utilizaron los siguientes valores:
L0 = 120 cm ( longitud del hilo).
mc =100 g (masa de cada esfera)
dc =1,5 cm (diámetro de las
esferas).
amplitud
de las oscilaciones.
mH = 0,2 g (masa del hilo determinada en la
balanza).
PRIMER PASO: Hilo no tiene
peso.
Se determinan las masas del hilo y la esfera mediante la
balanza y, luego, se realiza con ellas la siguiente
operación:
Como se puede ver la masa del hilo sólo
representa un 0,2 % de la masa de la esfera suspendida de
él lo que implica que el peso del hilo es despreciable
respecto al del cuerpo. La masa del sistema está
concentrada en el cuerpo.
SEGUNDO PASO: Hilo
inextensible.
Se midió la longitud del hilo ( L0=120
cm) con el con el cuerpo de 100 g colgado de él. Luego se
adiciona el otro cuerpo y se mide la nueva longitud del hilo (L=
120,5 cm) y se realizan los cálculos
siguientes:
Del resultado anterior se puede concluir que el
alargamiento del hilo es despreciable (sólo un 0,4 %)
respecto a su longitud inicial.
TERCER PASO: Cuerpo
puntual.
Para esto se debe comprobar que la longitud del hilo es
mucho mayor que cualquiera de las dimensiones lineales del
cuerpo. Para esto se mide, con el Pie de rey el diámetro
de la esfera (se obtiene dc =1,5 cm) y se realiza la
siguiente comparación con la longitud del hilo:
Esto demuestra que cualquiera de las dimensiones
lineales del cuerpo (el diámetro en este caso) son
despreciables respecto a la longitud del hilo. El cuerpo puede
considerarse puntual.
CUARTO PASO: Despreciar agentes que
provoquen efectos disipativos.
Para esto se hace oscilar el sistema con una
pequeña amplitud de modo que se cumpla la condición
. Lo anterior se
cumple para ángulos de hasta 200
aproximadamente. Aquí lo hicimos para una amplitud angular
de 120 .
Se hace oscilar el sistema con una amplitud de
120 y se deja que realice 10 oscilaciones al cabo de
las cuales se mide el decremento de dicha amplitud mediante el
semicírculo graduado (se obtuvo una disminución de
0,50 y se determina la relación:
De este resultado se concluye que la
disminución de la amplitud (al cabo de 10 oscilaciones) es
de sólo un 4,1 % respecto a la amplitud inicial. De
aquí puede concluirse que las pérdidas por
fricción son mínimas y pueden obviarse los agentes
disipativos.
Aquí queda demostrado cómo el
establecimiento de un modelo (abstracto como es el caso que
analizamos) permite realizar un estudio simplificado de un
fenómeno físico por cuanto nos permite abstraernos
de elementos que puedan hacerlo más difícil y
centrar nuestra atención en aquellos aspectos que
realmente presentan interés en
nuestro análisis.
Además hemos ejemplificado cómo hacer que
a un sistema real (un péndulo físico en nuestro
caso) pueden asignársele las características del
modelo correspondiente.
1.- Usanov. Veniamin. "Metodología de la
enseñanza de la Física: conferencias". Editorial
Pueblo y Educación. La Habana,
1982.
2.- Reyes, S. Luis. "Oscilaciones y Ondas
Mecánicas". Editorial Pueblo y Educación. La
Habana. 1976.
3.- Marín Alonso. Fernando "problemas de
Física. Estudio teórico práctico. Editorial
Alambra. SA.
4.- Goldstein, Herbert. "Mecánica Clásica". Edicion
Revolucionaria.La Habana.1968.
Manuel Ballester Boza
Lic. En Educación en Física.