- Capitalización y
descuento - Interés
Simple - Tipos de plazos de los
intereses - Descuentos
- Valor del dinero en el
tiempo - Flujos
variables - Las
anualidades - Las
perpetuidades - El
interés - Tasas de interés y
descuento equivalente - La Inflación y la Tasa de
Interés - Préstamo
- Sistema
Financiero - Amortización
- Bibliografía
No sabemos a ciencia
cierta cuando aparecieron, pero de lo que si estamos seguros es que
la Matemática
Financiera es una derivación de las
matemáticas aplicadas que estudia el valor del
dinero en el
tiempo y que
a través de una serie de modelos
matemáticos llamados criterios permiten tomar las
decisiones más adecuadas en los proyectos de
inversión.
El lector debe establecer y analizar el concepto de
Matemática Financiera, así como
sus principios y
elementos básicos. Del mismo modo, debe relacionar el
estudio de las matemáticas
financieras con la práctica empresarial.
Para la solución de los ejemplos, casos y
ejercicios aplicamos en forma combinada las fórmulas y
las funciones
financieras de Excel o simplemente la función,
siguiendo un proceso
básico:
- Identificación y ordenamiento de los
datos, - Aplicación de la fórmula o
fórmulas y, - Empleo de las funciones financieras de
Excel.
Cuando operamos con porcentajes, lo hacemos en su
expresión decimal (0.20), por ejemplo 20% = 0.20
(20/100), que es la forma correcta de trabajar con las
fórmulas.
Los resultados de las operaciones lo
expresamos generalmente con cinco o cuatro decimales, en el
caso de los factores o índices. Las respuestas finales
de los ejercicios vienen con dos decimales. En ambos casos los
resultados son redondeados por exceso o por defecto.
Las funciones financieras más utilizadas en la
obra son:
PER (tasa;pago;va;vf;tipo); PAGO
(tasa;nper;va;vf;tipo);
TASA (nper;pago;va;vf;tipo;estimar); VA
(tasa;nper;pago;vf;tipo);
VF (tasa;nper;pago;va;tipo) y la opción Buscar
Objetivo del
menú herramientas, entre otras.
Consideramos dos tipos de interés:
el interés simple y el interés
compuesto.
Una operación financiera es a interés
simple cuando el interés es calculado sobre el
capital (o
principal) original y para el período completo de la
transacción. En otras palabras, no hay
capitalización de intereses.
Nomenclatura básica:
Símbolo Significando
VA Capital, principal, Valor Actual expresado en
unidades monetarias
VF Capital más el interés, monto,
Valor Futuro expresado en unidades monetarias
j Tasa nominal o la tasa de
interés anual
t Número de años, tiempo,
m Número de capitalizaciones por
año
n Número de períodos de
composición
i Tasa periódica
TEA Tasa Efectiva Anual
VAN Valor Actual Neto
TIR Tasa Interna de Retorno
C Anualidad o cuota uniforme
VA Valor presente de una anualidad
VF Valor futuro de una anualidad
ia Tasa de interés anticipada
iv Tasa de interés vencida
UM Unidad Monetaria
3.1. Conceptos básicos
Los empresarios que obtienen dinero prestado tienen
que pagar un interés (I) al propietario o
a la entidad financiera por usar su dinero.
La cantidad prestada es el capital o
principal (VA o P), la suma de ambos (capital
más interés) recibe el nombre de monto
(VF); el período de tiempo acordado para la
devolución del préstamo es el plazo
(n).
El interés cobrado es proporcional tanto al
capital como al período del préstamo, está
expresado por medio de una tasa de interés
(i). Para la teoría económica, el
interés es el precio del
dinero.
Cuando sólo pagan intereses sobre el principal,
es decir, sobre la totalidad del dinero prestado, se denomina
interés simple.
Fórmula del interés
simple:
El interés es el producto de
los tres factores, capital (VA), tiempo (n) y tasa (i),
así tenemos:
Que viene a ser la fórmula o ecuación
para calcular el interés simple.
EJERCICIO 1 (Calculando el interés
simple)
Una Caja Rural, paga el 6% sobre los depósitos a
plazos. Determinar el pago anual por interés sobre un
depósito de UM 18,000.
Solución:
VA = 18,000; n = 1; i = 0.06; I = ?
[1] I = 18,000*1*0.06 = UM 1,080
Respuesta:
La Caja Rural paga anualmente sobre este depósito
la suma de UM 1,080.
EJERCICIO 2 (Préstamo a
MYPES)
Un Banco obtiene
fondos al costo de 12% y
presta a los microempresarios al 58.6% anual, ganándose
así el 46.6% bruto. Si los ingresos anuales
que obtuvo de esta forma fueron de UM 500,000,
¿cuánto dinero prestó?
Solución
I = 500,000; n = 1; i = 0.466; VA = ?
[1] 500,000 = VA*1*0.466 despejamos VA:
Respuesta:
El Banco prestó UM 1’072,961.37
EJERCICIO 3 (Calculando el plazo de una
inversión)
Una entidad financiera invirtió UM 250,000 al
17.6% en hipotecas locales y ganó UM 22,000. Determinar el
tiempo que estuvo invertido el
dinero.
Solución
VA = 250,000; I = 22,000; i = 0.176; n = ?
Despejamos n de la fórmula [1] I =
VA*n*i
Respuesta:
El dinero estuvo invertido durante medio
año.
EJERCICIO 4 (Calculando la tasa i de
interés)
Si una empresa
hipotecaria tiene invertido UM 320,000 durante 3½
años a interés simple y obtiene en total UM 146,250
de ingresos, ¿cuál es la tasa de
interés?.
Solución
I = 146,250; VA = 320,000; n = 3.5; i = ?
Despejamos i de la fórmula [1] I =
VA*n*i:
Respuesta:
La empresa
hipotecaria obtuvo el 13% sobre su inversión.
3.2. Monto
El monto es la suma obtenida añadiendo el
interés al capital, esto es:
MONTO = CAPITAL + INTERES
Reemplazando en [1] por sus respectivos símbolos, obtenemos la fórmula
general para el monto:
Fórmula para el monto (VF) a interés
simple de un capital VA, que devenga interés a la
tasa i durante n años.
De donde:
4. Tipos de plazos de
los intereses
Generalmente conocemos dos tipos de plazos:
a) Interés Comercial o Bancario.
Presupone que un año tiene 360 días y cada mes
30 días.
b) Interés Exacto. Tiene su base en el
calendario natural: un año 365 o 366 días, y el
mes entre 28, 29, 30 o 31 días.
El uso del año de 360 días simplifica
los cálculos, pero aumenta el interés cobrado por
el acreedor, es de uso normal por las entidades
financieras.
La mayoría de ejercicios en la presente obra
consideran el año comercial; cuando utilicemos el
calendario natural indicaremos operar con el interés
exacto.
EJERCICIO 5 (Interés Simple
Comercial)
Jorge deposita UM 2,300, en una libreta de ahorros al 9%
anual, ¿cuánto tendrá después de 9
meses?.
1º Expresamos la tasa en meses: 0.09/12 = 0.0075,
mensual:
Solución:
VA = 2,300; i = 0.0075; n = 9; VF = ?
2º Aplicamos la fórmula [2] y
Excel:
[2] VF = 2,300 [1 + (0.0075*9)] = UM
2,455.25
Respuesta:
El valor futuro es UM 2,455.25
EJERCICIO 6 (Interés Simple
Exacto)
Un pequeño empresario,
con utilidades por UM 5,000 los deposita en una libreta de
ahorros en un banco al 9.7% anual. Calcular cuanto tendrá
al final de 8 meses.
1º Expresamos el plazo en años: (8 meses por
30 días = 240 días)
240/365 = 0.6575 años
Solución:
VA = 5,000; i = 0.097; n = 0.6575; VF = ?
2º Aplicamos la fórmula (2) y
Excel:
[2] VF = 5,000 *[1 + (0.097*0.6575)] = UM
5,318.89
Respuesta:
El pequeño empresario tendrá al final de
los 8 meses UM 5,318.89
Es una operación de crédito llevada a cabo principalmente en
instituciones bancarias y consiste en que estas
adquieren letras de cambio,
pagarés, facturas, etc. de cuyo valor nominal descuentan
una suma equivalente a los intereses que devengaría el
documento entre la fecha recibida y la fecha de vencimiento.
Anticipan el valor actual del documento.
La formula para el cálculo
del descuento es:
Donde:
D = descuento
VF o VN = valor del pagaré o documento (monto), valor
nominal
d = tasa de descuento
n = número de períodos hasta
el vencimiento del pagaré
Otras fórmulas del descuento:
Despejando de la fórmula [6]
tenemos:
[7] VN = VA + D
[8] VA = VN – D
[9] D = VN – VA
Sustituimos el valor de VF en la formula
[6]:
D =[VA +
D]n*d
D =VA*b*d + D*n*d y pasando el segundo termino tenemos
D – D*n*d = VA*n*d
EJERCICIO 7 (Pagaré)
Tenemos un pagaré por UM 185,000, girado el
15/09/03 y con vencimiento al 15/11/03, con una tasa de descuento
de 50% anual. Determinar el descuento y el valor actual del
documento.
Solución:
VN = 185,000; n = 2 meses; d = (0.50/12) = 0.0417; D =
?; VA = ?
Respuesta:
El descuento es de UM 15,416.64 y el valor actual del
documento es de UM 169,583.33.
EJERCICIO 8 (Descuento de
pagaré)
Una empresa descuenta un pagaré y recibe UM
20,000. Si la tasa de descuento es del 66% anual y el vencimiento
es en tres meses después del descuento.
¿Cuál era el valor nominal del documento en la
fecha de vencimiento?.
Solución:
VA = 20,000; d = (0.66/12) = 0.055; n = 3; VF =
?
[7] VF = 20,000 + 3,300 = UM
23,300
Respuesta:
El valor nominal (VF) del documento en la fecha de
vencimiento es UM 23,300.
EJERCICIO 9 (Descuento de
letra)
Una empresa descuenta una letra por la cual recibe UM
2,520. Si la tasa de descuento es de 66% y el valor nominal de UM
2,950. ¿Cuánto tiempo faltaba para el vencimiento
de la obligación?.
Solución:
VN = 2,950; VA = 2,520; d = (0.66/12) = 0.055; D =
?
[9] D = 2,950 – 2,520 = UM
430.00
Despejando n de la fórmula (6) D =
VN *n*i obtenemos:
Respuesta:
Faltaba para el vencimiento 2 meses y 20
días.
6. Valor del dinero
en el tiempo
El tiempo (plazo) es fundamental a la hora de
establecer el valor de un capital.
Una unidad monetaria hoy vale más que una
unidad monetaria a ser recibida en el futuro. Una UM disponible
hoy puede invertirse ganando una tasa de interés con un
rendimiento mayor a una UM en el futuro. Las matemáticas
del valor del dinero en el tiempo cuantifican el valor de una
UM a través del tiempo. Esto, depende de la tasa de
rentabilidad
o tasa de interés que pueda lograrse en la
inversión.
El valor del dinero en el tiempo tiene aplicaciones en
muchas áreas de las finanzas el
presupuesto, la
valoración de bonos y la
valoración accionaria. Por ejemplo, un bono paga
intereses periódicamente hasta que el valor nominal del
mismo es reembolsado.
Los conceptos de valor del dinero en el tiempo
están agrupados en dos áreas: el valor futuro y
valor actual. El valor futuro (VF –
Capitalización) describe el proceso de crecimiento de
una inversión a futuro a una tasa de interés y en
un período dado. El valor actual (VA –
Actualización) describe el proceso de un flujo de dinero
futuro que a una tasa de descuento y en un período
representa UM de hoy.
6.1. Valor futuro de un flujo
único
El valor futuro de un flujo único representa la
cantidad futura, de una inversión efectuada hoy y que
crecerá si invertimos a una tasa de interés
específica. Por ejemplo, si el día de hoy
depositamos UM 100 en una libreta de ahorros que paga una tasa
de interés de 9% compuesto anualmente, esta
inversión crecerá a UM 109 en un año. Esto
puede mostrarse como sigue:
Año 1: UM 100(1 + 0.09) = UM 109
Al final de dos años, la inversión
inicial habrá crecido a UM 118.81. Como vemos la
inversión ganó UM 9.81 de interés durante
el segundo año y sólo ganó UM 9 de
interés durante el primer año. Así, en el
segundo año, ganó no sólo interés
la inversión inicial de UM 100 sino también los
UM 9 al final del primer año. Esto sucede porque es
una tasa de interés compuesta.
6.2. El Interés compuesto
El interés compuesto es una fórmula
exponencial y en todas las fórmulas derivadas de
ella debemos operar únicamente con la tasa efectiva. La
tasa periódica tiene la característica de ser a
la vez efectiva y nominal, ésta tasa es la que debemos
utilizar en las fórmulas del interés
compuesto.
Con el interés compuesto, pagamos o ganamos no
solo sobre el capital inicial sino también sobre el
interés acumulado, en contraste con el interés
simple que sólo paga o gana intereses sobre el capital
inicial.
Una operación financiera es a interés
compuesto cuando el plazo completo de la operación (por
ejemplo un año) está dividido en períodos
regulares (por ejemplo un mes) y el interés devengado al
final de cada uno de ellos es agregado al capital existente al
inicio. Así, el interés ganado en cada
período percibirá intereses en los periodos
sucesivos hasta el final del plazo completo. Su
aplicación produce intereses sobre intereses, conocido
como: la capitalización del valor del dinero en el
tiempo.
La tasa de interés en el ejemplo anterior es 9%
compuesto anualmente. Esto significa que el interés paga
anualmente. Así tenemos que en nuestra libreta de
ahorros al final del primer año tendremos UM 109 (el
principal más los intereses), en el segundo año
este saldo aumenta en 9%. Arrojando al final del segundo
año un saldo de UM 118.81 que puede computarse como
sigue:
Como vemos, un modelo
matemático va manifestándose con mucha nitidez.
El Valor Futuro de una inversión inicial a una tasa de
interés dada compuesta anualmente en un período
futuro es calculado mediante la siguiente
expresión:
Que no es otra cosa, que la fórmula general del
interés compuesto para el período n
de composición. En las matemáticas financieras es
fundamental el empleo de la
fórmula general del interés compuesto para la
evaluación y análisis de los flujos de
dinero.
Las ecuaciones
derivadas de la fórmula [11] (para inversión y
recuperación en un sólo pago) son:
El tipo de interés (i) y el plazo
(n) deben referirse a la misma unidad de tiempo
(si el tipo de interés es anual, el plazo debe ser
anual, si el tipo de interés es mensual, el plazo
irá en meses, etc.). Siendo indiferente adecuar la tasa
al tiempo o viceversa.
Al utilizar una tasa de interés mensual, el
resultado de n estará expresado en
meses.
EJERCICIO 10 (Calculando el VF)
Calcular el VF al final de 5 años de una
inversión de UM 20,000 con un costo de oportunidad del
capital de 20% anual.
Solución:
VA = 20,000; n = 5; i = 0.20; VF = ?
Respuesta:
El VF al final de los 5 años es UM
49,766.40
EJERCICIO 11 (Calculando el VF a partir del
VA)
Yo tengo un excedente de utilidades de UM 1,000 y los
guardo en un banco a plazo fijo, que anualmente me paga 8%;
¿cuánto tendré dentro de 3
años?
Solución:
VA = 1,000; n = 3; i = 0.08; VF = ?
Indistintamente aplicamos la fórmula y la
función financiera VF:
Respuesta:
El monto al final de los 3 años es UM
1,259.71
EJERCICIO 12 (Calculando el VA a partir del
VF)
Inversamente, alguien nos ofrece UM 5,000 dentro de 3
años, siempre y cuando le entreguemos el día de hoy
una cantidad al 10% anual. ¿Cuánto es el monto a
entregar hoy?
Solución:
VF = 5,000; n = 3; i = 0.10; VA = ?
Aplicamos la fórmula y/o la función
financiera VA:
Respuesta:
El monto a entregar el día de hoy es UM
3,757.57
EJERCICIO 13 (Calculando el tipo de
interés i)
Determinar la tasa de interés aplicada a un
capital de UM 25,000 que ha generado en tres años
intereses totales por UM 6,500.
Solución:
(VF = 25,000 + 6,500)
i = ?; VA = 25,000; n = 3; I = 6,500; VF =
31,500
Aplicando la fórmula [13] o la función
TASA, tenemos:
Respuesta:
La tasa de interés aplicada es de 8%
anual.
EJERCICIO 14 (Calculando el tiempo o plazo
n)
Calcular el tiempo que ha estado
invertido un capital de UM 35,000, si el monto producido fue UM
56,455 con un interés de 9 %.
Solución
VA = 35,000; VF = 56,455; i = 0.09; n = ?
Aplicando la fórmula [14] o la función
NPER, tenemos:
Respuesta:
El tiempo en que ha estado invertido el capital fue de 5
años, 6 meses y 17 días.
6.3. Valor actual de un flujo
único
El valor actual, es el valor de las unidades
monetarias de hoy. El proceso de calcular los valores
actuales a una tasa específica de Interés es
conocido como descuento.
La tasa de interés con el que determinamos
los valores
actuales es la tasa de descuento, cuando el dinero proviene de
fuentes
externas y costo de oportunidad cuando la inversión
proviene de recursos
propios.
Por ejemplo:
El valor actual de UM 100 a ser recibido dentro de un
año es UM 91.74, si la tasa de descuento es 9% compuesto
anualmente tenemos:
Cálculos a valor futuro:
Un año 91.74(1 + 0.09) = 100 ó
La ecuación de valor futuro la utilizamos para
describir la relación entre el valor actual y el valor
futuro. Así, el valor actual de UM 100 a ser recibido
dentro de dos años es UM 84.17 a la tasa de descuento de
9%.
Dos años 84.17(1 + 0.09)2 = UM 100
ó
84.17 = 100/(1 + 0.09)2
Como vemos el modelo matemático derivado de la
fórmula del interés compuesto utilizada es el del
valor actual. Ecuación que nos permite calcular el
valor actual de un flujo de caja
futuro dado la tasa de descuento en un período determinado
de tiempo.
EJERCICIO 15 (Calculando el VA)
Determinar el valor actual de UM 100 a ser recibido
dentro de 3 años a partir de hoy si la tasa de
interés es 9%.
Solución:
VF = 100; n = 3; i = 0.09; VA = ?
Aplicando al flujo la fórmula 12 o la
función financiera VA, tenemos:
Respuesta:
El VA al final de los 3 años es UM
77.22
7.1. Valor actual de un flujo
variable
El valor actual de un flujo variable es igual a la
suma de los valores actuales de cada uno de estos flujos. Para
comprender esto, suponga una inversión en que las
promesas de pago de UM 100 dentro de un año y UM 200
dentro de dos años es hoy; si un inversionista tiene que
decidir entre estas dos opciones, al inversionista le
resultaría indiferente, elegir entre las dos opciones,
asumiendo que las inversiones
son de igual riesgo, es
decir, la tasa de descuento es la misma. Esto es porque los
flujos futuros que el inversionista recibiría hoy
carecen de riesgo y tienen el mismo valor bajo cualquier
alternativa. Sin embargo, sí la inversión tuviera
una tasa de descuento de 12%, el valor actual de la
inversión puede encontrarse como sigue:
Valor actual de la inversión
VA = 89.29 + 79.72 = UM
169.01
La siguiente ecuación puede emplearse para
calcular el valor actual de un flujo futuro de caja:
Dónde:
VA = Valor actual del flujo de caja
FCt = Flujo de caja (ingresos menos egresos) de t = 0
a n
i = Tasa de descuento,
t = El período que va de cero a n
n = El último período del flujo de
caja
EJERCICIO 16 (Calculando el VA de un flujo
variable de caja)
Calcule el valor actual del siguiente flujo de caja
considerando una tasa de descuento de 15%:
Solución: (Aplicamos sucesivamente
la fórmula (12) ó (17):
Aplicando la función VNA tenemos:
Respuesta:
El valor actual del flujo de caja es UM
1,938.92
Una anualidad es un flujo de caja en el que los
flujos de dinero son uniformes (es decir, todos los flujos de
dinero son iguales) y los movimientos de dinero ocurren a un
intervalo regular. Los flujos de dinero de la anualidad son los
pagos de la anualidad o simplemente pagos. El nombre de
anualidad es utilizado como una generalización sobre el
tema, no siempre son períodos anuales de pago. Algunos
ejemplos de anualidades son:
1. Pagos mensuales por renta
2. Cobro quincenal o semanal por sueldo
3. Abonos quincenales o mensuales por pago de un
préstamo.
4. Pagos anuales de primas de pólizas de
seguro de
vida, etc.
Flujo de una anualidad
No es una Anualidad
El flujo no es una anualidad porque al 4to año
se interrumpen para reiniciarse al 5to.
Cuando el flujo de caja es de una anualidad, el
proceso de cálculo del valor actual y del valor futuro
de un flujo de dinero se simplifica enormemente.
Las anualidades son:
Vencidas. Las anualidades vencidas, ordinarias
o pospagables son aquellas en las cuales los pagos son hechos a
su vencimiento, es decir, al final de cada periodo.
Ejemplo, el pago de salarios a
los empleados, el trabajo
es primero, luego el pago.
Anticipadas. Las anualidades anticipadas o
prepagables se efectúan al principio de cada
periodo.
Las anualidades prepagables son el resultado de
capitalizar un período el VA o VF las pospagables
multiplicándolas por (1 + i). Es decir, utilizamos las
mismas fórmulas del VA o VF de las anualidades
pospagables, multiplicando el resultado por (1 + i).
8.1. Valor actual de una anualidad
El valor actual de una anualidad es igual a la suma de
los valores actuales de los pagos de la anualidad. Esto puede
calcularse a través de la siguiente
ecuación:
, con esta fórmula obtenemos:
Donde:
VA = Valor actual de la anualidad
C = Pago de una anualidad
i = Interés o tasa de descuento
En las fórmulas de anualidades de VA y
VF, la tasa de interés no puede ser despejada, por lo
cual debe obtenerse por ensayo y
error. Por esta razón en el presente libro, para
obtener la tasa de interés utilizamos la función
TASA cuando operamos con flujos uniformes y la función
TIR cuando operamos con flujos variables.
Cuando estamos frente a un perfil de flujos iguales
para cada período, es posible hacer una
formulación que nos de el Valor Actual de los flujos de
una sola vez obviando el cálculo del descuento flujo por
flujo. De esta forma de cálculo son las Anualidades.
Ejemplo:
Si usamos el método
de descuento flujo por flujo y lo descontamos al 15% por
período tendríamos los valores indicados en el
cuadro y después lo comparamos con el método
abreviado a través de la fórmula y la
función VA:
Aplicando la fórmula [18] o la función
VA:
Como podemos observar, con los tres métodos
obtenemos resultados iguales.
EJERCICIO 17 (Calculando el VA de una
anualidad pospagable)
Tenemos una anualidad de UM 500 anual, durante cinco
años vencidos. Si la tasa de descuento es igual a 13%,
¿cuál es el VA de la anualidad?
Solución:
C = 500; n = 5; i = 0.13; VA = ?
Aplicando la fórmula (18) o la función VA,
tenemos:
Respuesta:
El VA de los cinco pagos iguales es UM
1,758.62.
EJERCICIO 18 (La mejor
elección)
Usted gana la lotería. Cuando va a cobrar, los
ejecutivos de la lotería le proponen lo siguiente: cobrar
hoy UM 500,000 ó UM 3,000 mensuales durante los
próximos 25 años. ¿Qué elige
Ud.?
Solución:
VA = 500,000; i = ?
En este caso, primero determinamos la tasa de
interés, que nos permita descontar las cuotas mensuales y
compararlo con los UM 500,000 que recibiríamos el
día de hoy. El dinero hoy vale más que en el
futuro. Asumamos una inflación del 6% anual proyectada
para los próximos 25 años. (i = 0.06/12 =
0.005)
i = 0.005; C = 3,000; n = (5*12) = 300; i = 0.005; VA =
?
Aplicamos la fórmula [18] o la función
VA:
Respuesta:
El VA de las 300 cuotas mensuales de UM 3,000
descontadas a la tasa de inflación del 6% anual es UM
465,620.59 inferior a los UM 500,000 que cobraríamos hoy,
en consecuencia, nuestra decisión será cobrar la
loterías hoy.
EJERCICIO 19 (Calculando el VA de una
anualidad prepagable)
El dueño de una MYPE contrae una deuda para
saldarla en cinco pagos iguales de UM 26,913 al inicio de cada
año, con una tasa de interés de 45.60% anual.
Calcular el valor actual de esta obligación.
Solución:
C = 26,913; n = 5; i = 0.456 ; VA = ?
Aplicando el concepto de las anualidades prepagables en
la fórmula (18) y la función VA multiplicamos el
resultado de la fórmula por (1 + i) y la función a
operamos con tipo = 1:
Respuesta:
El valor actual prepagable de ésta
operación es UM 72,800, considera el pago anticipado de
cada cuota anual.
EJERCICIO 20 (Calculando el incremento
anual)
En 1978 el franqueo de un sobre a Europa era de UM
10. En el 2003 colocar por correo la misma carta cuesta UM
70. ¿Que incremento anual en el franqueo de una carta
experimentó durante este tiempo?
Solución (n = 2003 –
1978)
C = 10; VA = 70; n = (2003 – 1978) = 25; i =
?
Aplicando la función TASA obtenemos:
Respuesta:
El incremento anual es 13.71%
EJERCICIO 21 (Calculando la tasa de
interés de una anualidad)
Una inversión de UM 120,000 hoy, debe producir
beneficios anuales por un valor de UM 45,000 durante 5
años. Calcular la tasa de rendimiento del proyecto.
Solución:
VA = 120,000; C = 45,000; n = 5; i = ?
Respuesta:
La tasa anual de rendimiento del proyecto es
25.41%
8.2. Valor Futuro de una anualidad
Al tratar el cálculo de las anualidades,
determinábamos el valor de los flujos en valor actual o
del momento cero. También es posible emplear esta misma
formulación y plantear por ejemplo, cuánto
tendré ahorrado en un momento futuro si depositara una
determinada cantidad igual período a período,
dada una cierta tasa de interés por período. Es
decir, lo que estamos haciendo es constituir un
fondo.
Anteriormente calculamos el valor actual de una serie
de pagos futuros. Lo que ahora buscamos, como monto futuro, es
una expresión que responda al siguiente perfil
financiero:
Partimos depositando una suma ahora y hacemos lo mismo
con igual monto hasta el período n-1 y con la misma tasa
de interés por cada período.
La fórmula del valor futuro de la anualidad y
las derivadas de ella son:
El valor, depende sólo de las variables tasa de
interés «i», igual para cada período
y el valor correspondiente al número de periodos
«n», para flujos realizados a comienzo de cada uno
de ellos.
Las anualidades tienen la característica que
siendo un pago constante en el caso de amortizar una deuda los
intereses pagados en los primeros periodos son mayores,
destinándose el excedente al pago de amortización de capital, el cual aumenta
gradualmente, el interés posterior deberá
calcularse sobre un menor monto de capital por la
disminución o amortización de
éste.
EJERCICIO 22 (Calculando el VF y el plazo de
un ahorro)
Un microempresario deposita UM 2,500 ahora en una cuenta
de ahorros que reconoce una tasa de interés del 1.8%
mensual y considera retirar UM 390 mensuales, empezando dentro de
10 meses. ¿Calcular por cuánto tiempo podrá
realizar retiros completos?
Solución:
VA = 2,500; i = 0.018; C = 390; n = 10; VF = ?; n =
?
1º Calculamos el VF de los UM 2,500 a 10
meses:
[11] VF = 2,500(1 + 0.018)10 = UM
2,988.2559
2º Calculamos el tiempo durante el cual
podrá hacer retiros por UM 390 cada uno:
Respuesta:
A partir del mes 10 puede hacer retiros completos por 7
meses.
Por definición significa duración sin
fin. Duración muy larga o incesante.
A partir del valor actual (VA) de una anualidad C, que
representa una serie de pagos, depósitos o flujo
periódico uniforme para cada uno de estos
periodos y efectuando algunas modificaciones podríamos
derivar las perpetuidades. La característica de una
perpetuidad es que el número de periodos es grande, de
forma que el valor de los últimos flujos al descontarlos
es insignificante. El valor de la anualidad de muchos
términos, llamada perpetuidad, es calculada con la
siguiente fórmula:
Las perpetuidades permiten cálculos
rápidos para determinar el valor de instrumentos de
renta fija (VAP) de muchos periodos. En este caso,
«C» es el rendimiento
periódico e «i» la tasa de
interés relevante para cada período. Ejemplos de
perpetuidades son también las inversiones inmobiliarias
con canon de arrendamiento, dada la tasa de interés
aproximamos el valor de la inversión (C).
Por lo general, la tasa de interés es casi
siempre anual y el canon de arriendo es mensual, por lo cual
deberá establecerse la tasa de interés
equivalente (Ver definición y fórmula en el
numeral 10, de este capítulo) para este período
de tiempo. Otras aplicaciones importantes son las pensiones o
rentas vitalicias.
EJERCICIO 23 (Perpetuidad)
Para que mis 2 hijos estudien becados en una universidad de
prestigio, dentro de 10 años, es requisito fundamental
-entre otros- depositar el día de hoy una suma de dinero
en una institución financiera que paga mensualmente por
ahorros de este tipo el 1.5% y que permite a la
institución disponer de UM 2,500 mensuales a perpetuidad.
¿Cuánto debo depositar el día de
hoy?.
Solución:
C = 2,500; i = 0.005; VAP = ?
Respuesta:
Debo depositar el día de hoy UM 166,6667.
Mensualmente el dinero gana UM 2,500 de interés. Este
interés constituye la beca.
El interés (I) es el monto pagado
por la institución financiera para captar recursos,
igualmente es el monto cobrado por prestarlos (colocar). El
interés es la diferencia entre la cantidad acumulada
menos el valor inicial; sea que tratemos con créditos o con inversiones.
El interés es un precio, el cual expresa
el valor de un recurso o bien sujeto a intercambio, es la renta
pagada por el uso de recursos prestados, por período
determinado.
Fórmulas utilizadas para el cálculo
del interés I:
[16] I = VF – VA
10.1. La tasa de interés ( i
)
La tasa de interés es el precio del tiempo,
mientras que la tasa de rentabilidad es el precio del tiempo
cuando existe riesgo. La tasa de rentabilidad es el precio
del tiempo más una prima por riesgo (precio del
riesgo).
Calculamos la tasa de interés dividiendo el
interés I recibido o pagado por
período, por el monto inicial, VA; de modo que la
tasa de interés será:
El resultado obtenido con las fórmulas [13A] y
[13B], representa la tasa de todo el período de
composición. De aplicación cuando evaluamos
préstamos e inversiones a interés simple (pago
flat) y para casos de inversiones a interés compuesto
aplicamos la fórmula [13], cuando tratamos con un
solo pago. No es aplicable para el caso de las
anualidades o flujos variables, en estos casos son de mucha
utilidad las
funciones financieras TASA (flujos uniformes) y TIR (flujos
variables) de Excel.
10.2. Componentes de la tasa de
interés
La tasa de interés corriente
(ic), es la tasa del mercado,
aplicado por los bancos y las
entidades financieras; la tasa efectivamente pagada por
cualquier préstamo. Tiene tres componentes o
causas:
1. El efecto de la inflación
(): medida del aumento del nivel general de precios,
valorada a través de la canasta familiar; notamos su
efecto en la pérdida del poder
adquisitivo de la moneda. A mayor inflación, mayor tasa
de interés.
2. El efecto del riesgo, inherente al negocio o
inversión. A mayor riesgo, mayor tasa de interés.
Elemento de riesgo (ip).
3. La tasa real « i »
propio del negocio, lo que el inversionista desea ganar, libre
de riesgos e
inflación. Rendimiento base. Generalmente los bonos del
tesoro de EE.UU. son tomados como parámetro para la
tasa libre de riesgo. Tasa de interés real
(i).
11. Tasas de
interés y descuento equivalente
En el mundo real, las tasas de interés son en
más de un período por año. Por
convención, las tasas de interés son en base
anual. La tasa de interés expresada anualmente y con
composición en más de una vez por año es
la tasa nominal, es una tasa de interés simple;
ignora el valor del dinero en el tiempo y la frecuencia con la
cual capitaliza el interés.
Tasa periódica: Tasa de interés
cobrada o pagada en cada período, por ejemplo, semanal,
mensual o anual; tiene la característica de ser nominal
y efectiva a la vez.
Tasa efectiva anual (TEA): La tasa que
realmente paga o cobra por una operación financiera,
incluye todos los costos
asociados al préstamo o inversión. Si el
interés capitaliza en forma trimestral, semestral,
mensual, la cantidad efectivamente pagada o ganada es mayor que
la compuesta en forma anual.
Interés anticipado (ia): Es el
interés liquidado al inicio del período, cuando
recibimos o entregamos dinero.
Interés vencido (iv): Liquidado al final
del período, cuando recibimos o entregamos
dinero.
Fórmulas de las Tasas de interés
nominal, efectivo y equivalente:
11.1. Tasas equivalentes
Dos tasas con diferentes periodos de
capitalización serán equivalentes, si al cabo de
un año producen el mismo interés
compuesto.
Común en operaciones bancarias y también
en el caso de bonos del tipo «cupón cero»,
el uso de la tasa de descuento (d) en vez de (o junto con) la
tasa de interés, como referencia del rendimiento de la
operación. Usar la tasa de descuento o la tasa de
interés es puramente convencional y siempre podemos
expresar una en términos de la otra.
Esto lo explicamos con las tasas equivalentes pagadas
al vencimiento (iv) o por anticipado (ia).
Pactan muchas negociaciones en términos de
interés anticipado y es deseable conocer cuál es
el equivalente en tasas de interés vencido. Un ejemplo
corriente, lo constituyen los préstamos bancarios y los
certificados de depósito a término.
Cuando indican un pago de interés anticipado
(ia), en realidad ello significa que -en el caso
de un préstamo- recibe un monto menor al
solicitado.
Estas dos fórmulas sólo son de
aplicación a tasas periódicas.
EJERCICIO 24 (Tasa nominal y tasa efectiva
anual)
Tenemos una tarjeta de crédito cuya tasa de
interés es 2.5% mensual. Determinar la tasa anual que
realmente me cuesta.
Solución:
i = 0.025; n = 12; j = ?; TEA = ?
Por demostración calculamos la tasa
periódica a partir de la tasa nominal y TEA:
Aplicando las funciones financieras de Excel:
Respuesta:
El costo nominal de la tarjeta de crédito es 30%
y el costo real o Tasa Efectiva Anual (TEA) es 34.49%.
Caso típico de tasas equivalentes, 30% de tasa
nominal es equivalente a 34.49% de tasa efectiva
anual.
EJERCICIO 25 (Tasa anticipada y tasa
vencida)
Una institución financiera paga por uno de sus
productos el
18% anual y liquida trimestralmente por anticipado. Determine a
cuánto equivale el interés trimestral vencido. j =
0.18
Solución:
11.1. Tasas de interés en el
Perú
Las Circulares del Banco Central de Reserva del
Perú (BCRP) Nº 006-91-EF/90 y Nº 007-91-EF/90
del 11 de marzo de 1991, establecieron que a partir del 1º
de abril de 1991 la Superintendencia de Banca y
Seguros (SBS) debía calcular y publicar diariamente la
Tasa Activa en Moneda Nacional (TAMN) y la Tasa
Activa en Moneda Extranjera (TAMEX), así como los
intereses aplicables a las diferentes operaciones fijadas en
función a la TAMN y TAMEX, respectivamente. De acuerdo
con dichas Circulares, la TAMN debe ser publicada en
términos efectivos mensuales y la TAMEX en
términos efectivos anuales.
La SBS también debe publicar las Tasas de
Interés Legal, las cuales son fijadas por el
BCRP según el Código Civil (artículos 1244º
y 1245º) y utilizan cuando las partes no han acordado una
tasa de interés con antelación. En dicha
oportunidad, establecieron la Tasa de Interés Legal en
moneda extranjera equivalente a la TAMEX y la de moneda
nacional equivalente a la TAMN, TAMN + 1 y TAMN + 2,
dependiendo del plazo del contrato.
Adicionalmente, dichas Circulares fijan la Tasa
Efectiva de Interés Moratorio en 15% de la TAMN y
20% de la TAMEX, respectivamente. El interés moratorio
es cobrado sólo cuando las partes hayan pactado y
únicamente sobre el monto correspondiente al capital
impago cuyo pago esté vencido.
Las tasas de interés utilizadas por las
entidades financieras para los ahorros llamadas operaciones
pasivas son la TIPMN (Tasa de interés pasiva
promedio en moneda nacional) y la TIPMEX (Tasa de
interés pasiva promedio en moneda
extranjera).
Tasa de interés convencional
compensatorio, cuando constituye la contraprestación
por el uso del dinero o de cualquier otro bien. En operaciones
bancarias está representada por la tasa activa para las
colocaciones y la tasa pasiva para las captaciones que cobran o
pagan las instituciones financieras.
Tasa de interés moratorio, cuando tiene
por finalidad indemnizar la mora en el pago. No cumplimiento de
una deuda en el plazo estipulado. Se cobra cuando ha sido
acordada. Aplicable al saldo de la deuda correspondiente al
capital.
Cuando la devolución del préstamo se
hace en cuotas, el cobro del interés moratorio procede
únicamente sobre el saldo de capital de las cuotas
vencidas y no pagadas.
Tasa de interés legal, La tasa de
interés legal en moneda nacional y extranjera, es
fijada, según el Código Civil por el BCRP, cuando
deba pagarse la tasa de interés compensatorio y/o
moratoria no acordada; en este caso, el prestatario
abonará el interés legal publicado diariamente
por el BCRP en términos efectivos.
12. La
Inflación y la Tasa de Interés
Como vimos al tratar los componentes de la tasa de
interés, la Inflación es un alza sostenida en el
nivel de precios, que hace disminuir el poder adquisitivo del
dinero. De esta forma en un futuro con la misma cantidad de
dinero compramos menos cantidades de bienes y
servicios
que en la actualidad.
EJERCICIO 26 (Precios en
inflación)
Hoy un televisor cuesta UM 300 y está calculado
que dentro de un año costará UM 400, en este caso
decimos que el precio ha subido un 33%.
Si la cantidad disponible de dinero es UM 6,000, en el
momento actual en que cada unidad vale UM 300, podemos comprar 20
unidades, pero en el momento futuro sólo es posible
adquirir 15 unidades con UM 6,000, es decir, se ha perdido
capacidad de compra o poder adquisitivo.
El interés ganado en un período de tiempo,
lo expresábamos como una determinada tasa de
interés «i» que aplicábamos sobre el
capital inicial. Por lo tanto, en ausencia de
inflación, esta tasa de interés es
«real», por cuanto explica el crecimiento habido
en la capacidad de consumo.
Frente a la presencia de un proceso inflacionario, debemos tener
una tasa de interés mayor, que compense el efecto
inflacionario y además recoja el interés real
esperado, será por tanto una tasa «nominal»,
que incluye inflación e intereses:
j = Tasa Real + efecto
inflacionario sobre capital e intereses
Veamos la determinación de la tasa de
interés nominal a partir de un ejemplo, primero sin la
presencia de inflación y después con una
inflación esperada de 15%:
EJERCICIO 27 (Tasa real de
interés)
Un determinado bien actualmente vale UM 800. El costo de
oportunidad por el uso del capital o rendimiento exigido es 15%
por el período de un año; el capital disponible es
UM 80,000.
Situación sin
Inflación:
VA = 80,000; n = 1; i = 0.15; VF = ?
[11] VF = 80,000*1.15 = UM
92,000
(11) VF = 80,000(1 + 0.15) =
92,000
COMPRA: 92,000/800 = 115 unidades
En estas condiciones, sin inflación, el capital
inicial de UM 80,000, con un precio por cada unidad de UM 800,
permite comprar 100 unidades. Al ganar un 15% de intereses en el
período, aumenta su capacidad de compra a 115 unidades (
92,000/ 800 = 115 unidades).
Veamos a continuación la situación con
inflación ():
VA = 80,000; n = 1; F = 25%;
El crecimiento nominal del capital durante el
período es de:
115,000 – 80,000 = 35,000
Crecimiento relativo del capital:
35,000 / 80,000 = 0.4375 ó 43.75%.
Esto significa que una tasa nominal de un 43.75% permite
mantener el poder adquisitivo del capital y ganar intereses,
también cubiertos del efecto inflacionario, que aumenten
la capacidad real de consumo en un 10%, o bien ganarse realmente
un 10%. Si actualmente compramos 100 unidades del bien, con esta
tasa nominal de un 43.75%, podremos comprar al término del
período 115 unidades. Así, la tasa de
Interés Nominal debe recoger o sumar el interés del
período de 15% más la tasa de inflación del
período de 25% y más la tasa de Inflación
sobre el Interés 25% por 15%:
Interés Nominal = 0.15 + 0.25 + (0.15 * 0.25) =
0.4375
j =Tasa Real +
Inflación + Tasa Real x Inflac
Por definición, préstamo es el contrato
en el que una de las partes (prestamista) entrega activos
físicos, financieros o dinero en efectivo y la otra
(prestatario) quien se compromete a devolverlos en una fecha o
fechas determinadas y a pagar intereses sobre el valor del
préstamo. El préstamo es la única
alternativa que existe en el mundo de las inversiones y de la
que todas las demás derivan.
Las alternativas más comunes de
inversión, generalmente lo constituyen los distintos
tipos de depósito que hacemos en los bancos: cuentas de
ahorro, cuentas corrientes y plazo fijos. El banco reconoce un
«interés» por nuestros depósitos (por
el hecho de prestarle nuestro dinero), que los empleará
para «prestárselo» a otras personas,
empresas o
gobierno. El
banco intermedia, entonces, entre quienes tienen ahorros y los
que necesitan fondos. El riesgo es la solvencia del banco
para devolvernos el dinero prestado.
14.
Sistema
Financiero
Formado por el conjunto de instituciones financieras,
relacionados entre si directa o indirectamente, cuya
función principal es la intermediación, es decir,
el proceso mediante el cual captan fondos del público
con diferentes tipos de depósitos (productos pasivos)
para colocarlos a través de operaciones
financieras (productos activos) según las
necesidades del mercado.
Conforman el Sistema
Financiero Peruano 18 Bancos (16 bancos privados), 6
Financieras, 12 Cajas Rurales de Ahorro y Crédito, 6
Almaceneras, 13 Cajas Municipales de Ahorro y Crédito, 7
Empresas de Arrendamiento
Financiero, 13 EDPYMES, 4 Administradoras de Fondos de
Pensiones (AFP), 17 Empresas de Seguros, 2 Cajas (Caja de
Beneficios y Seguridad
Social del pescador y Caja de Pensión Militar
Policial) y 2 Derramas (Derrama de Retirados del Sector
Educación y Derrama
Magisterial).
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