Monografias.com > Matemáticas
Descargar Imprimir Comentar Ver trabajos relacionados

¿Por qué la Geometría? Introducción del Teorema de Pitágoras en la escuela media




Enviado por jorgeh



    Una formación matemática
    elevada y amplia es, cada vez más, un componente esencial
    de la formación universal del hombre. Del
    contenido y de la formación matemática depende, en
    gran medida, cómo llegarán a vencerse las tareas
    planteadas a la ciencia y
    la técnica.

    La geometría
    juega un papel importante y por esa razón, ocupa ya un
    lugar definitivo en la enseñanza de la matemática en
    la
    educación general politécnica y laboral.

    La geometría se origina en las antiguas
    civilizaciones egipcias y babilónicas como genuina
    ciencia
    experimental sobre la base de requerimientos de la Arquitectura, la
    Astronomía y, particularmente, de las
    mediciones de las tierras que frecuentemente se hacían
    necesarias después de las crecidas periódicas de
    los grandes ríos. Los resultados se daban a conocer sin
    fundamentación, como "recetas".

    En el siglo VII a.n.e los conocimientos
    geométricos se extendieron hasta Grecia.
    Allí la geometría alcanzó un florecimiento
    con los notables geómetras griegos Thales de Mileto
    (alrededor de 600 a.n.e), Pitágoras (alrededor de 550
    a.n.e), Platón
    (alrededor de 400 a.n.e), Eudoxio (alrededor de 400 a.n.e),
    Euclides (alrededor de 300 a.n.e), Arquímedes (alrededor de 250 a.n.e),
    Herón de Alejandría (alrededor de 100
    a.n.e).

    Euclides emprendió el ensayo de
    deducir teoremas geométricos en sucesión lógica.
    Para ello partió de algunas "definiciones" y
    formuló después "axiomas" y "postulados" que fueron
    supuestos como válidos, sin
    demostración.

    Euclides fundamentó la construcción lógica de su
    geometría en las "definiciones", "axiomas" y "postulados".
    El rigor de sus demostraciones fue reconocido como modelo a lo
    largo de muchos siglos.

    Con el desmoronamiento de la antigua sociedad
    esclavista, comenzó un período de estancamiento de
    la geometría. Solamente las necesidades técnicas
    del naciente capitalismo
    condujeron al desarrollo
    posterior de los métodos
    geométricos y, por cierto, en dos direcciones:

    Por una parte, los fundamentos de la geometría
    euclidiana permanecieron invariables; pero las figuras
    geométricas más generales fueron estudiadas con
    ayuda de nuevos métodos. Así surgen en los siglos
    XVII-XVIII la geometría analítica (Descartes
    1596-1650), la geometría diferencial (Euler 1703-1783;
    Gauss 1777-1855), la geometría proyectiva y la
    geometría descriptiva (Desargues,1593-1662; Pascal 1623-1662;
    Monje, 1746-1818).

    La segunda dirección que se establece un poco
    más tarde, conduce al desarrollo de las nuevas teorías
    geométricas. Mediante la negación del axioma de las
    paralelas de Euclides, llegan Lobatscheski (1793-1856), Bolyai
    (1802- 1860) y Gauss a una geometría no euclidiana; las
    modificaciones en la concepción del espacio condujeron a
    la geometría de Riemann (1826-1866); Felix Klein
    (1849-1925) presentó en su programa de
    Erlanger, publicado en 1872, un principio de orden para la
    notable profusión de teoremas geométricos y
    definiciones de las distintas teorías
    geométricas.

    Desde el punto de vista de las matemáticas modernas, las demostraciones de
    Euclides no pueden satisfacer plenamente. Así, en los
    ejemplos ya mencionados de "definiciones" se observa que Euclides
    opera con conceptos que son ellos mismos indefinibles, como por
    ejemplo, "longitud" y "anchura". Se trata de descripciones
    intuitivas de figuras geométricas.

    En formulaciones como "un punto se halla en el interior
    de un triángulo" o "dos puntos están situados en
    lados opuestos de una recta", Euclides apela a la evidencia
    convincente de un dibujo.

    Además la igualdad por
    superposición (congruencia) de figuras geométricas
    se define con ayuda del movimiento
    (compárese con "las cosas que se cubren mutuamente son
    iguales entre sí").

    Sin embargo, Euclides no define el concepto de
    movimiento ni tampoco enuncia las propiedades de un
    movimiento.

    Por estas y otras razones, es comprensible que distintos
    matemáticos se esforzaran en construir en forma
    irreprochable la geometría euclidiana. En una
    construcción rigurosamente lógica de la
    geometría, cada teorema no importa lo evidente que sea
    debe ser demostrado, a menos que esté incluido entre los
    axiomas.

    La primera invitación a la geometría se
    realiza por medio de la intuición, desde la más
    temprana edad se experimenta con las formas de los objetos ya
    sean juguetes o
    utensilios familiares.

    La geometría como cuerpo de conocimientos es la
    ciencia que tiene por objeto analizar, organizar y sistematizar
    los conocimientos espaciales. En un sentido amplio se puede
    considerar a la geometría como la matemática del
    espacio.

    En la enseñanza de la geometría deben
    fijarse algunos objetivos
    mínimos en función de
    los cuales deben programarse las actividades. En un aprendizaje
    dinámico por su relación con otras disciplinas y
    otras materias.

    Por supuesto existen objetivos generales que todo
    ciudadano debería alcanzar tras su formación: tener
    una cultura
    geométrica con una visión histórica e
    interdisciplinar, aplicar conocimientos geométricos para
    modelizar, crear o resolver problemas
    reales, usar los diferentes lenguajes y representaciones…,
    etc.

    Un tema muy actual en los medios
    educativos es distinguir entre lo que es útil de aprender
    y lo que es deseable de enseñar. El concepto de utilidad en la
    enseñanza matemática está ligado
    necesariamente al concepto de futuro. Se forman ciudadanos del
    mañana y profesionales del futuro a lo largo de un
    proceso cada
    vez más largo en el tiempo.

    Lo más importante: lo extraordinariamente
    inútil es aquello no adecuado ni al nivel ni a la
    capacidad de el que aprende.

    Por ejemplo las construcciones con regla y compás
    son útiles y formativas pero son inútiles a una
    edad en que no puedan manejarse manualmente y con soltura dichos
    instrumentos o no esté asumida la definición de
    recta y circunferencia.

    En definitiva será deseable en la
    enseñanza de la geometría aquello que sea
    útil con rango futurible y pueda motivarse desde la
    actualidad: razonar correctamente (deductivamente e
    intuitivamente), representar, abstraer, relacionar, clasificar, y
    resolver son verbos claves en el abanico de lo
    deseable.

    Por ejemplo ante la pregunta más prosaica y
    utilitaria que nos puedan hacer nuestros alumnos o alumnas:
    ¿Para qué sirve saber el Teorema de
    Pitágoras?, está ya dicho que no podemos
    contentarnos con contestar que en el futuro se darán
    cuenta de ello.

    Dicho contenido debe tener significación para la
    vida presente de las personas que desarrollarán las
    actividades propuestas, deben comprender su carácter instrumental para resolver
    multitud de problemas, por ejemplo de cálculo de
    distancias en el plano, en los mapas, en la
    realidad, y por tanto, de un tipo de conocimiento
    muy específico, el geométrico, con
    características muy peculiares y diferenciadoras frente a
    otro tipo de conocimientos.

    Esta última idea tiene que ver con el
    carácter formativo de su enseñanza y no con el
    meramente instrumental; de esta forma el
    conocimiento matemático pierde parte del
    carácter elitista que ciertamente tuvo en sus
    orígenes a pesar de que realmente se caracteriza por todo
    lo contrario.

    También se puede recordar como en la edad media
    los monjes calculistas se opusieron a la divulgación de
    los algoritmos
    árabes, que ahora enseñamos desde los primeros
    años de la escolaridad.

    De esta manera podrán apreciar como no es preciso
    estar "bien dotado" para ellas, no es necesario asumir que uno no
    "vale" para las matemáticas como de manera muy general se
    suele pensar, sino que todas las personas que asumen y resuelven
    determinadas situaciones problemáticas acaban llegando
    inevitablemente a las mismas conclusiones, con las repercusiones
    positivas que ello tiene para su autoestima y
    para aumentar su confianza en sus propias posibilidades intelectuales.

    Por todo ello, en definitiva, por su aportación a
    su formación y educación tanto
    teórica como práctica, además de por su
    destacado papel en la evolución del mundo de las ideas y de los
    modos de racionalidad subyacentes, es por lo que justificamos su
    incorporación como contenido obligatorio en la
    educación secundaria.

    Para su introducción en el 7mo grado de la
    enseñanza secundaria es necesario partir del nivel de
    desarrollo del alumno, asegurando aprendizajes significativos,
    posibilitando que los realicen por si mismos, mediante una
    modificación de sus esquemas de conocimientos, y a
    través de la realización de una intensa actividad
    por su parte.

    La realización de un aprendizaje
    significativo exige que el alumno observe, se haga preguntas,
    formule hipótesis, relacione los conocimientos
    nuevos con los que ya posee, obtenga conclusiones lógicas
    de las proposiciones y datos a su
    alcance, etc.

    El profesorado favorecerá que los alumnos se
    identifiquen, inicien y desarrollen sus propios problemas
    relacionados con las situaciones planteadas; en concreto, se
    trataría en primer lugar, de explicarles verbalmente que
    el conjunto de actividades que realizarán a
    continuación están relacionadas con uno de los
    conocimientos matemáticos más universales,
    planteado y resuelto a través de diferentes cursos
    operatorios por civilizaciones muy diversas (babilónica,
    egipcia, india,
    china,
    arábiga, griega,…), que explica de manera abstracta y
    general la relación existente entre diferentes cuadrados,
    rectángulos y triángulos y que permite resolver un gran
    número de problemas geométricos y algebraicos en el
    plano y generalizándolo, en el espacio.

    Se conoce convencionalmente como el "Teorema de
    Pitágoras"
    , y nos va a permitir adentrarnos en las
    características de los conocimientos científicos,
    más concretamente, matemáticos, que implican una
    manera de razonar, argumentar y demostrar muy específica y
    determinada, muy peculiar, la que se recoge de manera
    implícita con el nombre de "teorema".

    Para comenzar esta actividad el profesor debe
    dividir el aula en pequeños grupos y orientar
    a los alumnos construir (utilizando solo regla y compás)
    los triángulos que tienen por longitud de sus lados
    {(3,4,5), (6,8,10), (5,12,13), (10,24,26), (8,15,17)}
    respectivamente. Luego de concluir esta tarea los alumnos deben
    clasificar los triángulos obtenidos según sus
    ángulos.

    Es en este momento que el profesor aprovecha la
    oportunidad para plantear que estas son algunas de las llamadas "
    ternas pitagóricas " y que se pueden obtener a partir de
    las fórmulas dadas por el famoso
    filósofo-matemático Platón
    varios siglos a.n.e y que solo tienen por inconveniente que con
    ellas solo se obtienen ternas de números enteros [n;
    (n2/4)-1; (n2/4)+1, siendo n un
    número par].

    Como contra ejemplo podemos mostrar el triángulo
    rectángulo isósceles de lado (1), como veremos la
    hipotenusa de este triángulo es un número entre 1 y
    2, es decir un número irracional.

    A modo de conclusión parcial se puede inferir que
    existe una estrecha relación entre los catetos y la
    hipotenusa de todo triángulo rectángulo. En este
    momento se debe orientar el siguiente ejercicio (continuando con
    el trabajo en
    grupo):

    – Calcule el área de los cuadrados que tienen por
    longitud de sus lados (a=3, b=4, c=5), (p=6, q=8, r=10), (l=5,
    m=12, n=13), (x=8, y=15, z=17) respectivamente.

    a) Sumar las áreas de los cuadrados menores y
    comparar con el área del mayor (en cada
    trío).

    Por último los alumnos deben expresar esta
    relación en función de las variables
    correspondientes al lado de cada cuadrado.

    Después de concluido el ejercicio el profesor
    debe orientar a los alumnos a la observación de las longitudes de los lados
    de los triángulos construidos y las áreas de los
    cuadrados para arribar a conclusiones la cual de una forma muy
    acabada debe ser el teorema deseado: en todo
    triángulo rectángulo la suma de las áreas de
    los cuadrados construidos sobre los catetos es igual al
    área del cuadrado construido sobre la hipotenusa

    (dicho con variables y suponiendo que estas sean a, b, c
    respectivamente entonces queda que: a2 + b2
    = c 2).

    Luego de la obtención del teorema se debe
    orientar la resolución de algunos problemas
    geométricos de cálculo sencillos pues de esta
    forma, mediante la situación típica "problemas", es
    que mejor se puede fijar un contenido.

    En este sistema de
    ejercicios se debe incluir problemas que no tengan nada que ver
    con los triángulos rectángulos y de hecho con el
    teorema de Pitágoras para dejar muy claro que esta
    relación solo se cumple para los triángulos
    rectángulos, como ejemplo de los ejercicios que se deben
    proponer a los estudiantes puede ser el que sigue:

    Un constructor a perdido su escuadra y necesita
    saber si la habitación que está trazando le ha
    quedado totalmente con ángulos rectos en sus esquinas;
    para esto con su cinta de medir pudo conocer que las longitudes
    de los lados opuestos son 2,5m y 3,5m respectivamente dos a dos y
    además las longitudes de las diagonales son 5,2m y
    4,3m.

    1. ¿Puede usted ayudarlo aplicando para
      ello los conocimientos matemáticos que
      posee?
    2. ¿Qué
      haría?
    3. En caso que no haya obtenido ángulos
      rectos, y si necesariamente las longitudes de los lados tienen
      que ser esas y no otras, cuál debe ser entonces la
      longitud de las diagonales para obtener ángulos rectos
      en todas las esquinas de la
      habitación
      .

    Es conveniente explicar a los estudiantes que en el
    noveno grado se estudiará una demostración rigurosa
    de este teorema (a partir del teorema de los catetos) aunque
    existen muchas otras formas de demostrarlo, sin tener que
    recurrir a la antes mencionada.

    Bibliografía

    HORT, PAD. Fundamentos teóricos de la
    enseñanza de la geometría y orientaciones
    metódicas sobre la estructuración de la
    enseñanza / Pad Hort; Wolfram Turke.—La Habana :
    Pueblo y Educación, 1985.—220p.

    Matemática : Séptimo Grado.—La
    Habana: Pueblo y Educación, 1990.—206p

    Martín Ibañez, R. : Problem Solving.
    Rev.Técnicas Generales de Estimulación
    Winograd, K: Writing, reading, and talking mathematics: One
    interdisciplinary possibility.Rev. The Reading Teacher.
    48, (4), 310-318p. December 1994 / January1995.

    Federación Española de sociedades
    de profesores de Matemáticas. Algunos referentes para
    analizar tareas matemáticas. SUMA (18): 13-23
    p,1994 / E.
    Pehkonen.__ Helsinki: E.d. Use of opend-ended problems in
    mathematics classroom. Ed. Department of Teacher Education.
    University of Helsinki, 1997.__130p.

    González O. Mario. Complementos de
    geometría y nociones de cálculo
    diferencial e integral: Métodos de resolución
    de problemas geométricos / Mario O. González
    .__La Habana: Editorial Pueblo y Educación, 1968
    .__498p.

    Contreras, L.C. La resolución de problemas,
    ¿Una panacea metodológica?. Enseñanza
    de las ciencias (Barcelona) 5(1): 49-52p, Febrero
    1987.

    Claxton, G. : Educar mentes curiosas. El reto de la
    ciencia en la escuela./ G. Claxton.__ Madrid:
    Ediciones Visor, 1991,__181.p.

     

     

    Autor:

    MsC. Jorge Herrera Quintana

    (Profesor Asistente)

    Institución: Universidad
    Pedagógica de Cienfuegos.

    Nota al lector: es posible que esta página no contenga todos los componentes del trabajo original (pies de página, avanzadas formulas matemáticas, esquemas o tablas complejas, etc.). Recuerde que para ver el trabajo en su versión original completa, puede descargarlo desde el menú superior.

    Todos los documentos disponibles en este sitio expresan los puntos de vista de sus respectivos autores y no de Monografias.com. El objetivo de Monografias.com es poner el conocimiento a disposición de toda su comunidad. Queda bajo la responsabilidad de cada lector el eventual uso que se le de a esta información. Asimismo, es obligatoria la cita del autor del contenido y de Monografias.com como fuentes de información.

    Categorias
    Newsletter