Apuntes sobre el 2_subgrupo de Sylow contenido en el grupo general lineal

Resumen
Orden y caracterización
matricial de un 2-subgrupo de sylow
Caracterización
matricial de un q-subgrupo de sylow contenido en
Bibliografía

Un estudio sobre el 2-subgrupo de Sylow contenido en
con n natural y p
primo cualquiera en el que se obtuvo el orden de este subgrupo y
una caracterización matricial de un 2-subgrupo de Sylow
contenido en con
n natural y p primo tal que , siendo y .

Se propone, además, un algoritmo que
permite obtener una caracterización matricial de un
q-subgrupo de Sylow contenido en con n natural y p primo cualquiera.

INTRODUCCIÓN

Al trabajar sobre un grupo finito, resulta de interés el
estudio de los subgrupos contenidos en él, cuyos
órdenes son divisores del orden del grupo (Teorema de
Lagrange). Pero como es sabido el recíproco de este
teorema no se cumple, o sea en el grupo finito de orden pueden no existir
subgrupos de orden d, divisor de.

Sobre la existencia de subgrupos de un grupo
finito, son
especialmente notables las leyes que
formuló el matemático noruego Sylow [ 1872] . Ellas se
refieren a los p-grupos que en
calidad de
subgrupos están contenidas en y que en honor a esta matemático
se llaman p-subgrupos de Sylow y que tienen como orden la mayor
potencia de p que
divide al orden de.

Una importante familia de grupos
finitos es obtenida al estudiar los grupos de transformaciones
sobre un campo de característica p>0. Al estudio de
estos subgrupos se han dedicado numerosas investigaciones,
en las cuales se enmarcan las que se han realizado sobre el grupo
general lineal,
para un n natural y un p primo dado.

Para realizar un estudio del grupo general lineal
donde n y p son
respectivamente un natural y un primo cualquiera es importante
conocer sus subgrupos. Es por ello que comenzaremos con un
estudio del 2_subgrupo de Sylow.

Como el orden del grupo general lineal es: se puede afirmar
después de un simple análisis que existe un 2-subgrupo de Sylow
pero no podemos determinar de igual forma el orden de estos
subgrupos. Solo sabemos que este orden es una potencia de
2.

Es importante determinar el orden de estos 2-subgrupos
el cual no queda resuelto de forma inmediata, pero aun esto es
insuficiente para un estudio de este subgrupo, por lo que a
continuación nos proponemos en un primer capítulo
darle respuesta a esta problemática y obtener una
caracterización matricial para un 2-subgrupo de Sylow. En
el segundo, utilizando la caracterización matricial
obtenida en el capítulo 1 para un 2-subgrupo de Sylow
contenido en , se
determinan los primeros términos de la serie central
superior; en el tercero se propone un algoritmo mediante el cual
se puede obtener una caracterización matricial para un
p-subgrupo de Sylow contenido en con n natural y p primo.

CAPÍTULO
I:

ORDEN Y CARACTERIZACIÓN MATRICIAL DE UN 2-SUBGRUPO
DE SYLOW.

Como el orden de es se puede afirmar que en este grupo existe un 2-subgrupo de
Sylow. Si p=2 los factores de la forma son divisibles por 2 , siendo la mayor potencia de 2 que
divide a cada uno de estos y el orden del 2-subgrupo de Sylow de
es . Uno de estos 2-subgrupos
de Sylow contenidos en está caracterizado por las matrices
unitriangular superior.

Para p primo impar, cada uno de los factores,, ,…,
es divisible por 2 ya que mod 2 (Teorema de Fermat) pero el orden de estos
2-subgrupos no esta determinado y por tanto no están
caracterizados matricialmente estos subgrupos.

Es por lo anterior que en este capítulo en un
primer epígrafe se aborda el orden de los 2-subrupos de
Sylow contenidos en con n natural y p primo impar y en le segundo se muestra una
caracterización matricial para uno de estos
2-subgrupos.

§1 Orden de un
2-subgrupo de Sylow contenido en con n natural y p primo (p2)

Veamos primeramente las siguientes
proposiciones:

Proposición 1: Para todo ( p impar) y para todo
se cumple que
si y solo sí
=1.

Demostración

Probemos que si =1 entonces

por ser p
impar

por propiedad de
la potenciación

por propiedad de
la suma

por
trasitividad

Probemos ahora que si
entonces =1.

Antes de continuar con la demostración, es
válido hacer destacar algunas propiedades de los
números naturales. [3]

Todo número natural impar esta contenido en
las formas 4n+1 y 4n-1
Cuando el exponente de la potencia es par, la
potencia de un número impar es de la forma 4n+1

Por lo anterior tenemos que ===

Supongamos que si
>1. Por tanto
tenemos que.

(>1) por hipótesis

(>1) por las propiedades
antes vistas

(>1) por propiedad de la
congruencia mod q

(>1) por propiedad de la
congruencia mod q, lo cual es una contradicción pues
>1. Por tanto
=1.

Lemma 1: Para todo (p impar) y (l par) se cumple que ; donde y son
el exponente de la mayor potencia de 2 que divide a y respectivamente, o sea; ; (2,m)=1 y ; y

Demostración (ver anexo 1)

Después de haber visto la proposición y el
lemma anterior podemos pasar a obtener , a partir de la
expresión del orden del grupo general lineal , el orden del 2-subgrupo
de Sylow contenido en el.

Pasemos ahora a analizar el factor, pero hagámoslo de
forma separada para i par e i impar.

Caso i impar

Es fácil darse cuenta que para i impar el factor
no es divisible
por 2 dado que es una suma impar de potencias de un número
impar.

Caso i par

Dado que i es par existe tal que donde (2,m)=1 , o sea es la mayor potencia de 2 que divide a y por tanto es el exponente de la
mayor potencia de 2 que divide a

Luego y
por el lemma 1 tenemos que , donde

Como consecuencia del análisis anterior tenemos
que el factor es
divisible por 2 solo cuando i es par, lo que ocurre veces.

Además si definimos a tenemos entonces que =, donde .

Denotando por al exponente de la mayor potencia de 2 que divide a
entonces tenemos
que

De acuerdo con la definición de los
términos
tenemos entonces que , donde es
el exponente de la mayor potencia de 2 que divide a n! y por
tanto ; [3].

Por tanto podemos afirmar que el orden del 2-subgrupo de
Sylow contenido en con n natural y p primo impar es, donde .

Pasemos ahora a ver como obtener , o lo que es lo mismo, el exponente de la
mayor potencia de 2 que divide a p-1.

, m
dondey no son divisibles por
2.

, donde
. De aquí
que

De forma análoga obtenemos, o sea, el exponente de la mayor potencia
de 2 que divide a p+1; la cual es:

Pero como denotamos por al exponente de la mayor potencia de 2 que
divide a un
cualquiera entonces tenemos que y .

Por tanto:

§2
Caracterización matricial de un 2-subgrupo de Sylow
contenido en

En este epígrafe obtendremos una
caracterización matricial de un 2-subgrupo de Sylow
contenido en donde n es natural y p primo tal que , donde y .

El orden del 2-subgrupo de Sylow contenido en es:

, o lo
que es lo mismo ;
forma ésta con la que trabajaremos en lo
adelante.

Es importante destacar que para p primo de la forma
considerada, o sea, ; donde y
; el orden del
2-subgrupo de Sylow contenido en es

A continuación veremos como construir algunos
subgrupos contenidos en que serán de gran utilidad para la
caracterización matricial de este 2-subgrupo.

§§1 Subgrupos de orden
, y

Consideremos las matrices de la forma y . Supongamos , donde , ,.

El subgrupo de orden está compuesto por las matrices que podemos
agrupar en los siguientes formas.

La matriz de la
forma constituye el neutro.
Las

matrices de la forma

,,…,, las
cuales son obtenidas al combinar una matriz de la forma en m posiciones.

Podemos obtener matrices al combinar dos matrices de la forma
en m
posiciones.
Y así sucesivamente matrices al combinar tres matrices de la
forma , …,
matrices al
combinar
matrices de la forma , hasta obtener una matriz donde todas sus células
sean de la forma

Luego hemos obtenido en total matrices.

Para construir un subgrupo de orden consideremos las matrices
y . Supongamos , donde , , .

El subgrupo de orden está compuesto por las matrices que podemos
agrupar en los siguientes formas.

La matriz de la forma constituye el neutro.
Las

matrices de la forma

,,…,,

las cuales son obtenidas al combinar una matriz de la
forma en m
posiciones.

Podemos obtener matrices al combinar dos matrices de la forma
en m
posiciones.
Y así sucesivamente matrices al combinar tres matrices de la
forma , …,
matrices al
combinar
matrices de la forma , hasta obtener una matriz donde todas sus células
sean de la forma

Luego hemos obtenido en total matrices.

Para construir un subgrupo de orden consideremos las matrices
y . Supongamos , donde , , .

El subgrupo de orden está compuesto por las matrices que podemos
agrupar en los siguientes formas.

La matriz de la forma constituye el neutro.
Las

matrices de la forma

,,…,,

las cuales son obtenidas al combinar una matriz de la
forma en m
posiciones.

Podemos obtener matrices al combinar dos matrices de la forma
en m
posiciones.
Y así sucesivamente matrices al combinar tres matrices de la
forma , …,
matrices al
combinar
matrices de la forma , hasta obtener una matriz donde todas sus células
sean de la forma

Luego hemos obtenido en total matrices.

No hemos probado, lo cual es muy sencillo, que esos
conjuntos de
matrices forman un subgrupo del orden que se indica; esto lo
dejamos al lector.

Es importante destacar que con un procedimiento
análogo a los descritos es posible obtener subgrupos de
ordenes ,
, …, ; .

Estos subgrupos de ordenes,,,…,los
denotaremos por , ,
,…,
respectivamente.

Importante es el hecho de que al considerar las matrices
y no con sus elementos uno,
sino con elementos pertenecientes al ubicados en igual posición
obtenemos entonces subgrupos de ordenes

,,…,
()
respectivamente; o lo que es lo mismo; ,,…,con .

Denotamos a estos subgrupos por ,,,…,
según corresponda.

§§2
Caracterización matricial de un 2-subgrupo de Sylow
contenido en

Visto lo anteriormente expuesto podemos pasar a dar una
caracterización matricial de un 2-subgrupo se Sylow
contenido en para
n natural de la forma y p primo tal que donde y .

Primeramente veamos las siguientes proposiciones que
serán de gran utilidad.

Proposición 2: Si , son subgrupos de un grupo G, el complejo producto

es un subgrupo de G si y solo sí y son permutables [2].

Proposición 3: Si , , …, son subgrupos de un grupo G, el complejo
producto

.…=

es un subgrupo de G si y solo sí , , …, son permutables dos a dos.

El complejo producto de los subgrupos ,,…,y es un subgrupo contenido . Como el orden de estos subgrupos es ,,,…,
y respectivamente
y además y

entonces el subgrupo es de orden .

Como el subgrupo es un subgrupo contenido en
cuyo
orden es y es
este precisamente el orden del dos subgrupo de Sylow contenido en

entonces = .

Por tanto para obtener una caracterización
matricial de un 2-subgrupo de Sylow contenido en son necesarios los
siguientes pasos.

Determinar los subgrupos
Efectuar el complejo producto

A continuación pasaremos a obtener una
caracterización matricial para un 2-subgrupo de Sylow
contenido en y para lo cual será de gran utilidad lo
expuesto en este subepígrafe que acaba de
concluir.

Si expresamos n en base 2, o sea donde ,
entonces:

=+ ++…+

Pero como tenemos que :

=++

+…+1

=+
+

+…+

Por otro lado

Luego

Es importante indicar aquí que

Como ,
si definimos
y entonces podemos definir
el subgrupo .

Aquí y son
matrices idénticas de dimensiones y respectivamente.

Es válido destacar que

, donde

, donde
.

Además si ,
definimos

Luego, hechas todas las aclaraciones necesarias podemos
afirmar que el complejo producto de los subgrupos , ,…, contenidos en es un subgrupo contenido
de
orden .

Como el subgrupo
es un
subgrupo contenido en cuyo orden es , el cual es precisamente el orden del
2-subgrupo de Sylow contenido en entonces

Hemos visto como construir un 2-subgrupo de Sylow
contenido en para lo cual son necesarios los siguientes
pasos.

Expresar donde ,
Construir los subgrupos de Sylow contenidos en
,
Construir a partir de los los subgrupos
Efectuar el complejo producto …

De esta forma concluimos con este capítulo en el
que de determinó el orden de un 2-subgrupo de Sylow
contenido en para n natural y p primo cualquiera y se obtuvo una
caracterización matricial para un 2-subgrupo de Sylow
contenido en para n natural y p primo tal que , y

CAPITULO
2:

CARACTERIZACIÓN MATRICIAL DE UN q-SUBGRUPO
DE SYLOW CONTENIDO EN

En el capítulo I se obtuvo una
caracterización matricial de un 2-subgrupo de Sylow
contenido en con
n natural y p primo tal que , y
; cuyo orden
es:

,
(

donde es
el exponente de la mayor potencia de 2 que divide a .

En este capítulo obtendremos una
caracterización matricial de un q-subgrupo de Sylow
contenido en con
n natural y p primo tal que , y
; cuyo orden
es:

donde es
el exponente de la mayor potencia de q que divide a . También se
expondrán resultados que permitan obtener una
caracterización matricial de un q-subgrupo de Sylow
contenido en con
n natural y p primo cualquiera; cuyo orden es:

donde es
el exponente de la mayor potencia de q que divide a y en

§1
Caracterización matricial de un q-subgrupo de Sylow
contenido en con k natural, q primo cualquiera y p primo tal que
,
y
.

Veamos los siguientes resultados que serán de
gran importancia.

A cualquier matriz de dimensión se le puede escribir en forma de unión
de submatrices columnas de dimensiones , o sea , donde .

Sean en particular ,,
…, ; donde
las submatrices
cuya unión forma la matriz . Definimos la matriz donde de modo que es una matriz de dimensiones

Proposición 1: El conjunto de las matrices
es un subgrupo contenido
en

Demostración:

Es evidente, por la forma en que se define , que las matrices
contenidas en el están contenidas a su vez en .

Sean y
dos permutaciones
arbitrarias y .
Por definición en la i-ésima fila de la matriz
y en la
j-ésima submatriz columna de la matriz , los elementos distintos
de cero serán , respectivamente, y . Por eso, para la matriz , la condición es equivalente a , o sea, y esto precisamente
significa que .

En consecuencia es un subgrupo contenido en .

Proposición 2: Existe un homomorfismo
sobreyectivo

tal que a la matriz se le hace corresponder la
permutación

Demostración:

Probemos que es un homomorfismo
Probemos que es sobreyectiva

Por definición de las matrices , es evidente que para todo
existe tal que .

Proposición 3: El del homomorfismo es:

Teorema : La aplicación tal que a la permutación
se le hace
corresponder la clase
perteneciente al
grupo cociente
es un isomorfismo.

Demostración:

Por la proposición 2 tenemos que tal que a la matriz se le hace corresponder la permutación
es un
homomorfismo sobreyectivo; además como entonces por el primer
teorema sobre el isomorfismo tenemos que es isomorfo a .

Estos resultados que acabamos de demostrar son de gran
importancia para obtener la caracterización matricial de
un q-subgrupo de Sylow contenido en y en general de otros subgrupos pues a
partir del conocimiento
de un subgrupo de
de orden podcemos
obtener un subgrupo en de oreden ; siendo el orden del subgrupo
.

Con la aplicación de los resultados anteriores y
considerando ,
, y el q-subgrupo de Sylow
contenido en , el
cual es un subgrupo cíclico generado por la
permutación entonces podemos obtener una caracterización
matricial de un subgrupo de orden ; constituyendo éste un q-subgrupo de
Sylow contenido en el cual denotaremos por .

De esta forma, considerando , , y
el q-subgrupo de Sylow contenido en , el cual es un subgrupo cíclico
generado por la permutación entonces podemos obtener una
caracterización matricial de un subgrupo de orden
; constituyendo
éste un q-subgrupo de Sylow contenido en el cual denotaremos por
.

Así sucesivamente hasta considerar , , y el

q-subgrupo de Sylow contenido en , el cual es un subgrupo cíclico
generado por la permutación entonces podemos obtener una
caracterización matricial de un subgrupo de orden
; constituyendo
éste un q-subgrupo de Sylow contenido en ; el cual denotaremos por
.

Por tanto, como hemos visto, con este algoritmo descrito
podemos obtener una caracterización matricial de un
q-subgrupo de Sylow contenido en .

Es importante destacar que como el q-subgrupo de Sylow
contenido en es
un subgrupo cíclico de orden q este va a estar generado
por cualquiera de los elementos que componen este q-subgrupo y
por tanto tomando otros generadores; por ejemplo la
permutación ; y aplicando el algoritmo anterior podemos obtener una
caracterización matricial diferente a la anterior para el
q-subgrupo de Sylow contenido en .

Como consecuencia de esto podemos afirmar que los
q-subgrupos de Sylow contenidos en con k natural, q primo cualquiera y p primo tal que , y no son invariantes [1]

§2
Caracterización matricial de un q-subgrupo de Sylow
contenido en con
n natural y p primo tal que , y .

Si expresamos n en base q, o sea donde y ,

entonces:

=+ +

+…+

Pero como tenemos que :

+++…+

=+ +
+…+

Por otro lado

Luego

Es importante indicar aquí que

Como ,
si definimos y
entonces podemos
definir el subgrupo .

Aquí y son
matrices idénticas de dimensiones y respectivamente.

Es válido destacar además que para
entonces ,

Para entonces
.

Si ,
definimos

Hechas todas las aclaraciones necesarias estamos en
condiciones de enunciar la siguiente proposición, cuya
demostración dejamos al lector.

Proposición 4: El complejo producto de los
subgrupos ,
,…, contenidos en
es un
subgrupo contenido en de orden .

Como el subgrupo
es un
subgrupo contenido en cuyo orden es , el cual es precisamente el orden del
q-subgrupo de Sylow contenido en entonces

Hemos visto como construir un q-subgrupo de Sylow
contenido en con n natural y p primo tal que , y . para lo cual se hacen necesarios los
siguientes pasos.

Expresar donde y
,
Construir el q-subgrupos de Sylow contenido en
,
Construir a partir de los los subgrupos
Efectuar el complejo producto …

De esta forma concluimos con este epígrafe en el
que se obtuvo una caracterización matricial para un
q-subgrupo de Sylow contenido en para n natural y p primo tal que
, y .

§3
Caracterización matricial de un q-subgrupo de Sylow
contenido en con
n natural y p primo tal que en

El orden del q-subgrupo de Sylow contenido en con n natural y p primo
cualquiera; cuyo orden es:

, (1)

donde es
la mayor potencia de q que divide a y en .

En el epígrafe anterior trabajamos para obtener
una caracterización matricial de un q-subgrupo de Sylow
contenido en con n
natural y p primo tal que en .
Ahora mostraremos resultados que nos permitan obtener una
caracterización matricial de un q-subgrupo de Sylow
contenido en con n
natural y p primo tal que en .

Al analizar la expresión (1) anterior nos damos
cuenta que en el orden del q-subgrupo de Sylow contenido en este
grupo es ;
resultado este que será de gran importancia en lo
adelante.

Como son conocidos y
podemos obtener
tal que donde
.

Abordaremos ahora en el siguiente subepígrafe el
caso .

§§1
Caracterización matricial de un q-subgrupo de Sylow
contenido en con
n natural y p
primo tal que en
.

En el caso tenemos que el orden del
q-subgrupo contenido en este grupo es:

, (1)

Por el epígrafe 1 de este capítulo (
considerando ,
y ) podemos afirmar
que:

tal que a la matriz se le hace corresponder la
permutación es un homomorfismo.
El del
homomorfismo
es:
se
le hace corresponder la clase perteneciente al grupo cociente , es un
isomorfismo.
tal que a la
permutación
Como
entonces en
existe un subgrupo de orden ; siendo s el orden de un subgrupo contenido en

Si el
orden del q-subgrupo de Sylow contenido en es . Además los subgrupos de Sylow contenidos en
fueron descritos
por Kaludznin [1961] , entonces podemos obtener una
caracterización de un subgrupo contenido en cuyo orden es

(1).

Como y (1) es precisamente el
orden de
entonces podemos afirmar que la caracterización matricial
obtenida al aplicar el procedimiento anterior es un q-subgrupo de
Sylow contenido en .

Si el
orden del q-subgrupo de Sylow contenido en es y una caracterización matricial de
este q-subgrupo es:

Se ha mostrado como obtener una caracterización
matricial de un q-subgrupo de Sylow contenido en para los dos casos
posibles: y
.

La dificultad que tiene este procedimiento es el no
conocimiento de la caracterización matricial de un
q-subgrupo de Sylow contenido en .

§§2
Caracterización matricial de un q-subgrupo de Sylow
contenido en con
n natural y p primo tal que en .

Considerando , , o sea,
tenemos que el
orden del q-subrupo de Sylow contenido en es:

,
(1)

Transformando (1) tenemos que

,
(2)

Analicemos
(3)

Expresando en la base tenemos que (3) es

(4)

Pero como

entonces (4) se puede expresar como

(5)

De aquí que y
por tanto concluimos que (1) puede expresarse como

Con este resultado podemos afirmar que el orden del
q-subgrupo de Sylow contenido en es igual al orden del q-subgrupo de Sylow
contenido en con n
natural tal que ,
.

El isomorfismo tal que a
la matriz se le
hace corresponder la matriz nos permite obtener, a partir de la
caracterización matricial de un q-subgrupo de Sylow
contenido en , una
caracterización matricial de un q-subgrupo de Sylow
contenido en

BIBLIOGRAFÍA

Kostrikin, A. I. Introducción al Álgebra/ A. I.
Kostrikin.–Moscú:Editorial Mir, 1980.
–435p.
Dubriel, P. Lecciones de Álgebra Moderna/ P.
Dubriel, M. L. Jacotin. –La Habana: InsInstituto del Libro, 1969.
–434p.
Arrechavaleta, E. Elementos de Análisis
Numérico y de la Teoría de los Números/ E.
Arrechavaleta. —Madrid,
1921.–438p.
Dickson, L. F. Linear groups with an exposition of de
galois fiel/ L. F. Dickson.–Lupsig, 1991. –352p.
Kargapolov, M. I. Fundamentos de la Teoría de
Grupos/ M. I. Kargapolov, Y. I.
MerzliaKov.–Moscú:Editorial Nauka, 1977.
–240p.

MSC. Jorge Manuel Ríos
Obregón

Centro Universitario "José Martí
Pérez" de sancti Spiritus. Cuba

MSc. Vicente Eloy Fardales Macias

Facultad de Ciencias
MÉdicas de Sancti Spiritus. Cuba

Dra. Juana Rosa Subit Gómez

Universidad Central "Marta Abreu" de Las Villas.
Cuba