La mayoría de textos de mercadotecnia omiten las
matemáticas de la mercadotecnia, no
obstante ser tan importantes en muchas decisiones para este
campo. El cálculo de
las ventas,
costos y ciertas
razones permiten al estratega de mercadotecnia tomar medidas
acertadas. En este libro
describimos cinco áreas principales de la matemática
de la mercadotecnia: el estado de
resultados, las razones analíticas, los
márgenes de utilidad y
rebaja, las matemáticas en la investigación
de mercados, muestreo y el
punto de
equilibrio.

2. Los Estados
Financieros en la Empresa

Como vimos en el capítulo I, los principales
estados financieros que utilizan las empresas son dos:
el estado de
resultados y el balance
general.

El balance general muestra los
activos, los
pasivos y el patrimonio de
una empresa en
determinado momento. Mide la riqueza de la
empresa.

El estado de
resultados (llamado también estado de pérdidas
y ganancias o estado de ingresos) es el
principal de los dos estados para obtener información de mercadotecnia. Muestra las
ventas de la empresa, el
costo de los
bienes
vendidos y los gastos durante el
período dado de tiempo.
Refleja la actividad económica de una empresa en
determinado momento. Al confrontar el estado de resultados de un
periodo a otro, la firma puede detectar tendencias positivas o
negativas y emprender las acciones
más pertinentes.

EJERCICIO 01
(Analizando el Estado de
Resultados)

Debemos establecer la utilidad neta de
la empresa AZY, con ventas netas anuales de UM 430,000, siendo
sus costos de mercadería vendida la suma de UM 254,400 y
sus gastos totales de UM 145,846.

El cuadro 1-1, presenta el estado de pérdidas y
ganancias de la compañía AZY (tienda de muebles
para oficina), al 31
de diciembre del 2004. Corresponde al estado de una tienda
minorista. El de un fabricante sería diferente;
concretamente, el área de compras en
«costo de bienes vendidos» los reemplazaría
por «costo de bienes fabricados».

Aplicando el esquema general de pérdidas y
ganancias tenemos:

Ventas netas UM 430,000

(-) Costo de bienes vendidos 254,400

Margen Bruto 175,600

(-) Gastos 145,846

Utilidad neta 29,754

El primer elemento del estado de resultados, nos detalla
lo que la compañía AZY vendió durante el
año. Las cifras de ventas están formadas por tres
conceptos: ventas brutas, devoluciones y descuentos, ventas
netas. El primero representa el importe total que se carga a los
clientes durante
el año por mercadería adquirida en la tienda AZY.
Es usual que algunos clientes devuelven mercadería por
defectos o por que cambian de parecer. El reintegro
íntegro de dinero o el
crédito
completo al cliente es
denominado «devolución». Quizás decida
conservar la mercancía, si la tienda le rebaja el precio para
compensar el defecto. Estos son las «bonificaciones por
defecto». Los ingresos al término de un año
de ventas (ventas netas) lo obtenemos deduciendo las devoluciones
y rebajas de las ventas brutas.

Ahora examinaremos el costo de los bienes que AZY
vendió en el 2003.

Desde luego, para el análisis incluiremos el inventario
inicial del negocio. Durante el año compraron
artículos diversos para la venta
(escritorios, sillas fijas, giratorias, credenzas, gavetas, etc.)
por valor de UM
244,800.

El proveedor concedió un descuento de UM 24,000 a
la tienda; por tanto, las compras netas fueron de UM 220,800.
Como la tienda está situada en una población pequeña, necesita una ruta
especial de entrega, AZY tuvo que pagar UM 14,400 por concepto de
flete, lo que le da un costo neto de UM 235,200. Cuando sumamos
al inventario inicial este monto, el costo de los bienes
disponibles para su venta asciende a UM 321,600. El inventario
final de UM 67,200 en muebles que había en la tienda al 31
de diciembre lo restamos y obtenemos UM 254,400 que viene a ser
el «costo de los bienes vendidos». Como vemos en este
caso seguimos una serie lógica
de pasos para llegar al costo de los bienes vendidos:

El margen bruto (UM 175,600) es la diferencia entre lo
que AZY pagó (UM 254,400) y lo que recibió (UM
430,000) por su mercancía (430,000 – 175,600 = UM
175,600).

Para determinar lo que AZY «ganó» al
final del ejercicio, restamos al margen bruto los
«gastos» efectuados para generar ese volumen de
ventas. Los gastos de venta incluyen el sueldo de dos empleados
de tiempo parcial; publicidad local
en prensa, radio, televisión; y el costo de entrega de
mercancía a los consumidores. Los gastos de ventas
equivalían a UM 72,000 para el año. Los gastos
administrativos incluyen el salario de un
contador a tiempo parcial, suministros de oficina como
papelería, tarjetas de
negocio y diversos gastos de una auditoría
administrativa llevada a cabo por un asesor externo. Los
gastos administrativos fueron de UM 44,308 en el 2004.
Finalmente, los gastos generales de renta, servicios
públicos seguros y
depreciación fueron en total de UM 29,538.
Los gastos totales fueron de UM 145,846 para el año. Al
restar los gastos totales de UM 145,846 del margen bruto (UM
175,600), llegamos a las utilidades netas de UM 29,754 para AZY
durante el año del 2004.

3. Ratios o razones
analíticas

El analista del estado de pérdidas y ganancias
nos proporciona los datos necesarios
para derivar varios ratios claves. Específicamente, estos
índices son los ratios de operación (es decir, la
razón de determinados conceptos en el estado de
operación con las ventas netas), que permiten a las
empresas comparar su rendimiento en un año, con el de
años anteriores (o con los estándares o
competidores de la industria en
el mismo año); con el propósito de evaluar el
éxito
global de la compañía. Los principales ratios de
operación que se calculan son: los porcentajes de margen
bruto, utilidades netas, gastos de operación, devoluciones
y rebajas. Los ratios presentados en el presente capítulo,
son complementarios del capítulo anterior.

Otro ratio importante para propósitos
analíticos es la tasa de rotación de inventarios (RI).
Esta tasa indica el número de veces que un inventario se
mueve o vende durante un periodo específico (generalmente
un año). Podemos calcularlo a partir de un costo, venta o
precio unitario. Veamos las siguientes
fórmulas:

Índices de Rotación de Inventarios
(RI):

o
bien:

o bien:

Aplicando la fórmula (31) a nuestro caso,
tenemos:

Como vemos, el inventario de AZY rotó más
de 3.31 veces en el 2003. A una tasa mayor de rotación de
inventarios, corresponde una mayor eficiencia en
la
administración y utilidades mayores para la
empresa.

El rendimiento sobre la inversión (RSI)
mide la eficiencia general, opera con datos del estado de
resultados y del balance general.

Después de analizar la fórmula anterior
surgen como es natural, dos preguntas: ¿Por qué
usar un proceso de dos
etapas cuando el rendimiento sobre la inversión podría obtenerse
sencillamente como utilidad neta sobre la inversión?
¿Qué es exactamente la inversión?

La respuesta a la primera pregunta, la obtenemos
observando como puede afectar cada componente de la
fórmula al RSI. Imaginemos que AZY calculó
el índice aplicando la fórmula (34):

Si AZY hubiera proyectado conseguir ciertas ventajas de
mercadotecnia aumentando su participación en el mercado de
muebles, posiblemente habría generado el mismo RSI,
duplicando las ventas y permaneciendo sin variación la
inversión (aceptando una razón de utilidad
más baja, pero produciendo operaciones
comerciales y repartición de mercado más
altas):

También es posible aumentar el RSI, con una mayor
utilidad neta mediante una eficaz y eficiente planeación, realización y control de
mercadotecnia:

Otra forma para incrementar el RSI, es encontrar el modo
de producir el mismo volumen de ventas y utilidades, disminuyendo
al mismo tiempo la inversión (quizá reduciendo el
tamaño del inventario promedio del negocio):

¿Qué es la «inversión»
en la fórmula RSI? por inversión entendemos el
total de activos de una empresa. Como vimos en el Capítulo
I, existen otras medidas del rendimiento para evaluar la
eficiencia gerencial. Como la inversión se mide en un
punto del tiempo, es costumbre calcular el RSI tomando la
inversión promedio entre dos periodos (por ejemplo, entre
el 1° de enero y el 31 de diciembre del mismo año).
También puede medirse como una «tasa interna de
rendimiento», empleando el análisis de flujo por
pronto pago. La importancia de emplear cualquiera de estos ratios
es precisar la eficacia con que
la empresa ha utilizado sus recursos. A
medida que la inflación, las presiones de la competencia y el
costo del capital
muestran un movimiento
ascendente, estos ratios adquieren más importancia como
parámetros de la eficiencia de la administración de mercadotecnia y de la
gerencia.

4. Márgenes de
Utilidad y Rebajas

Tanto para minoristas y mayoristas es imprescindible
conocer los conceptos de margen de utilidad y rebaja. La empresa
necesita obtener ganancias si quiere seguir en el negocio; de
ahí que el porcentaje de margen de utilidad sea una
consideración estratégica de capital importancia.
Tanto el margen de utilidad como la rebaja lo expresemos en
porcentajes.

A continuación describimos dos métodos de
calcular los márgenes de utilidad (con base en el costo o
en el precio de venta):

Porcentaje del margen de utilidad basado en el costo, %
MUC.

Porcentaje del margen de utilidad basado en el precio de
venta, % MUPV.

Para evitar confusiones AZY debe decidir cuál
fórmula utilizar. Por ejemplo si compró las sillas
a UM 40 y quiere obtener un margen de utilidad de UM 20, este
porcentaje de sobrecargo en el costo será:

Margen de utilidad en UM : 20

Costo : 40

Sustituyendo estos valores en la
fórmula (29) tenemos:

Aplicando la fórmula (30) tenemos:

Es común en los minoristas calcular el porcentaje
de sobrecargo basándose en el precio de venta y no en el
costo.

Supongamos que AZY conoce su costo (UM 40) y el margen
de utilidad deseado (25%) en un sillón y quiere obtener el
precio de venta utilizando el margen de utilidad como porcentaje
de la fórmula para el precio de venta. La fórmula
es:

En el proceso de distribución de un producto, cada
integrante del canal añade su margen de utilidad al
producto antes de venderlo al siguiente integrante. Esta
«cadena de márgenes de utilidad» lo ilustramos
en el siguiente ejemplo con la venta de un juego de
muebles de AZY a UM 600:

El minorista cuyo margen de utilidad es de 25% no
necesariamente obtiene una utilidad mayor que el fabricante, cuya
ganancia es de 10%. La utilidad se condiciona al volumen de
venta, a la cantidad de artículos que pueden venderse con
ese margen de utilidad (tasa de rotación de inventarios) y
a la eficiencia de operación (gastos, etc.). Generalmente
al minorista le agrada convertir en costo (y viceversa) los
márgenes de utilidad basados en el precio de venta. Ver
fórmulas:

AZY, descubre que su competidor utiliza el 35% como
margen de utilidad, basado en el costo y desea saber
¿cuánto sería el porcentaje del precio de
venta? El cálculo arrojaría:

Sustituyendo valores en la fórmula (31)
obtenemos:

Como AZY estaba operando con 25% de margen de utilidad
basado en el precio de venta piensa que este recargo será
compatible con el de su competidor. Al finalizar la
campaña, AZY se dio cuenta que tenía en existencia
un inventario de sillones devueltos. Por lo que resulta
indispensable una rebaja del precio inicial de venta. Compraron
40 unidades a UM 35 cada una y vendieron 20 a UM 70 la unidad. El
saldo de sillones lo rebajaron a UM 45, vendiendo 10 unidades de
este lote. El cálculo de la razón de descuento lo
hacemos de la siguiente manera:

Sustituyendo valores en la fórmula (33)
tenemos:

Es decir que el porcentaje de rebaja es de 24.32%. Las
razones de descuento son calculados para cada grupo y no
para productos
individuales, al medir la eficiencia relativa de la mercadotecnia
en departamentos, calculamos y comparamos diferentes periodos.
AZY usará razones de rebaja para juzgar la eficiencia
relativa de los clientes y sus vendedores en los departamentos de
la tienda.

5. Las matemáticas en
la investigación de mercados y
muestreo

La investigación de mercados es la
obtención, interpretación y comunicación de información
orientada a las decisiones, la cual será utilizada en
todas las fases del proceso estratégico de mercadotecnia.
Esta definición tiene dos importantes
contenidos:

Interviene en las tres fases del proceso
administrativo del marketing:
planeación, instrumentación y evaluación.
Reconoce la responsabilidad del investigador de recabar
información útil para los
administradores.

5.1 Alcances de la
investigación de mercado

Dependiendo de sus necesidades y nivel de complejidad,
los directivos de mercadotecnia utilizan cuatro principales
fuentes de
información:

Una es la obtención de reportes
proporcionados regularmente, los cuales son elaborados y vendidos
por empresas de investigación. Éstos son llamados
servicios
sindicados porque son desarrollados sin tener en cuenta a un
cliente en particular, pero son vendidos a cualquier interesado.
Suscribirse a este servicio
permite al empresario
observar regularmente las ventas al detalle de los productos de
sus competidores por tipo de establecimiento y zona
geográfica.

La segunda fuente es el sistema de
información de mercadotecnia, una actividad
interna de una empresa la cual le proporciona un reporte
estandarizado continuo, programado o de flujo de demanda. Los
sistemas de
información de mercadotecnia son utilizados por
directivos y vendedores.

La tercera fuente es el sistema de apoyo
a las decisiones. También es interno, pero permite a
los directivos interactuar directamente con los datos a
través de computadoras
personales para contestar preguntas concretas. Un administrador,
por ejemplo, podría tener un sistema de apoyo a las
decisiones que proporcionará suposiciones
específicas que estimularán el impacto de varios
niveles de publicidad en las ventas de un producto.

La cuarta fuente es un no recurrente y exclusivo
proyecto de
investigación de mercadotecnia, conducido por el
personal de
asesoría de la compañía o por una empresa de
investigación independiente, para contestar una pregunta
específica.

5.2. Excel y las
Funciones
Estadísticas para muestras y
poblaciones

5.2.1. Algunos conceptos
importantes

Antes de pasar a exponer algunas funciones
estadísticas utilizadas en Excel para población y
muestra, desarrollaremos primeramente, conceptos relevantes al
tema que estamos tratando, las medidas centrales como la media
aritmética, mediana, moda y medidas de
dispersión como la desviación media,
desviación estándar y varianza.

Distribución de frecuencia. Ante un gran
número de datos, resulta de mucha utilidad distribuirlos
en clases o categorías y precisar el número de
individuos pertenecientes a cada clase, que es
la frecuencia de clase. La ordenación tabular de
los datos en clases, reunidas las clases y con las frecuencias
correspondientes a cada una, es una distribución de
frecuencias o tabla de frecuencias. La tabla 1, es una
distribución de frecuencias de alturas (en
centímetros) de 1,000 estudiantes
universitarios.

La primera clase o categoría, comprende
las alturas de 150 a 155 centímetros, indicada por el
símbolo 150 – 155. Puesto que 30 estudiantes tienen
una altura perteneciente a esta clase, la correspondiente
frecuencia de clase es 30.

Intervalos de clase y límites de
clase Los intervalos de clase como 150 – 155 de la
tabla anterior, son los intervalos de clase. Los
números extremos, 150 y 155, son los límites de
clase; el número menor 150 es el límite
inferior de la clase y el mayor 155 es el límite
superior. Las denominaciones clase e intervalo de clase son
utilizados indistintamente, aunque el intervalo de clase es
objetivamente un símbolo para la clase.

Marca de clase. La marca de clase es
el punto medio del intervalo de clase, lo obtenemos
sumando los límites inferior y superior de la clase y
dividiendo por 2. Así la marca de clase del intervalo 150
– 155 es (150 + 155)/2 = 152.50 centímetros). La
marca de clase también es conocida como punto medio de
la clase.

Para razonamiento matemático ulteriores, todas
las observaciones pertenecientes a un intervalo de clase dado lo
asumimos como coincidentes con la marca de clase. Así,
todas las alturas en el intervalo de clase 150 – 155
centímetros son considerados como 152.50
centímetros.

Rango. Es la diferencia entre el máximo y
el mínimo valor de la variable o de un conjunto de
números. En la tabla 1, el rango viene dado
así:

Población, una
población es el total de las observaciones concebibles de
un tipo particular.

Muestra, es un número limitado de
observaciones de una población, elegidos de tal mondo que
permita que todas las observaciones posibles tengan la misma
probabilidad
de presentarse.

5.2.2. Notación
con índice o subíndice

El símbolo Xj («X sub j») denota
cualquiera de los n valores de X1, X2; X3,…, Xn que una
variable X puede tomar. La letra j en Xj, representa cualquiera
de los números 1, 2,3,…, n, denominado índice o
subíndice. También podemos utilizar como
subíndice cualquier otra letra distinta de j, como i, k,
p, q, s.

5.2.3. Notación
sumatoria

El símbolo, indica la suma de todas las Xj desde j = 1 hasta j
= n, es decir, por definición:

Cuando no cabe confusión posible esta suma esta
representada por las notaciones más simples o. El
símbolo es la letra griega mayúscula sigma,
significando sumación.

En estos dos ejemplos a es una constante.
Más específicamente.

Ejemplo 3: Si a, b, c son constantes
cualesquiera,

5.2.4. Herramientas
de análisis estadístico

Microsoft Excel proporciona un conjunto de herramientas
para el análisis de los datos (denominado Herramientas
para análisis) que podrá utilizar para ahorrar
pasos en el desarrollo de
análisis estadísticos o técnicos complejos.
Cuando utilice una de estas herramientas, deberá
proporcionar los datos y parámetros para cada
análisis; la herramienta utilizará las funciones de
macros
estadísticas o técnicas
correspondientes y, a continuación, mostrará los
resultados en una tabla de resultados. Algunas herramientas
generan gráficos además de tablas de
resultados.

Acceder a las herramientas de análisis de
datos. Las Herramientas para análisis incluyen las
herramientas que se describen a continuación. Para tener
acceso a ellas, haga clic en Análisis de datos en
el menú Herramientas. Si el comando
Análisis de datos no está disponible,
deberá cargar el programa de
complementos de Herramientas para
análisis.

Hay cuatro funciones (VAR, VARP, DESVEST, DESVESTP) para
el cálculo de la varianza y desviación
estándar de los números en un rango de celdas.
Antes de calcular la varianza y la desviación
estándar de un conjunto de valores, es necesario
determinar si esos valores representan el total de la
población o solo una muestra representativa de la misma.
Las funciones VAR y DESVEST suponen que los valores
representan el total de la población.

5.2.4.1. Medidas de posición
central

Son aquellas medidas que nos ayudan a saber donde
están los datos pero sin indicar como se
distribuyen.

a) Media o promedio

La media aritmética o simplemente media, que
denotaremos por, es el resultado obtenido al dividir la suma de
todos los valores de la variable entre el número total de
observaciones, expresada por la siguiente
fórmula:

Función PROMEDIO

Devuelve el promedio (media aritmética) de los
argumentos.

Sintaxis

PROMEDIO(número1;número2;…)

Número1, número2, … son entre 1 y 30
argumentos numéricos cuyo promedio desea
obtener.

Observaciones

Los argumentos deben ser números o nombres,
matrices o
referencias que contengan números.
Si el argumento matricial o de referencia contiene
texto,
valores lógicos o celdas vacías, estos valores no
son considerados; sin embargo, las celdas con valor cero son
incluidas.

Sugerencia

Cuando calcule el promedio de celdas, tenga en cuenta la
diferencia existente entre las celdas vacías, de manera
especial si ha quitado la marca a la casilla Valores cero en la
ficha Ver (comando Opciones en el menú Herramientas). Las
celdas vacías no se cuentan pero sí los valores
cero.

Ejercicio 03 (Media
aritmética)

¿Cuál será la media
aritmética de los números 10, 5, 8, 14,
13?

1º aplicando la fórmula
(28), tenemos:

2º Aplicando la función
Promedio de Excel, tenemos:

En el CD que
acompaña la obra, encontrará la solución de
la mayoría de ejercicios en la hoja de Excel. Igualmente,
la mayoría de ejercicios en el CD, contienen etiquetas
explicativas (esquineros de color rojo) del
proceso operativo de las diferentes funciones. Ver la siguiente
ilustración:

b) Mediana

La mediana de una serie de datos ordenados en orden de
magnitud es el valor medio o la media aritmética de los
dos valores medios.

Función MEDIANA

Devuelve la mediana de los números. La mediana es
el número que se encuentra en medio de un conjunto de
números, es decir, la mitad de los números es mayor
que la mediana y la otra mitad es menor.

Sintaxis

MEDIANA(número1;número2;
…)

Número1, número2, … son entre 1 y 30
números cuya mediana desea obtener.

Observaciones

Los argumentos deben ser números o nombres,
matrices o referencias que contengan números. Microsoft
Excel examina todos los números en cada argumento
matricial o de referencia.
Si el argumento matricial o de referencia contiene
texto, valores lógicos o celdas vacías, estos
valores se pasan por alto; sin embargo, se incluirán las
celdas con el valor cero.
Si la cantidad de números en el conjunto es
par, MEDIANA calcula el promedio de los números
centrales.

Ejercicio 02
(Mediana)

La mediana de esta serie es
6.
Tenemos la siguiente
serie:
Tenemos la siguiente
serie:

La mediana de esta serie de
números es 10:

c) Moda

La moda es el valor de la variable que más veces
se repite, es decir, es el valor más común o
más de moda. La moda puede no existir, incluso si existe
puede no ser única.

Función MODA

Devuelve el valor que se repite con más
frecuencia en una matriz o rango
de datos. Al igual que MEDIANA, MODA es una medida de
posición.

Sintaxis

MODA(número1;número2;
…)

Número1, número2, … son de 1 a 30
argumentos cuya moda desea calcular. También puede
utilizar una matriz única o una referencia matricial en
lugar de argumentos separados con punto y coma.

Observaciones

– Los argumentos deben ser números, nombres,
matrices o referencias que contengan números.

– Si el argumento matricial o de referencia contiene
texto, valores lógicos o celdas vacías, estos
valores se pasan por alto; sin embargo, se incluirán las
celdas con el valor cero.

– Si el conjunto de datos no contiene puntos de datos
duplicados, MODA devuelve el valor de error #N/A.

En un conjunto de valores, la moda es el valor que se
repite con mayor frecuencia; la mediana es el valor central y la
media es el valor promedio. Ninguna de estas medidas de la
tendencia central tomada individualmente proporciona una imagen completa
de los datos. Supongamos que los datos están agrupados en
tres áreas, la mitad de las cuales es un valor bajo que se
repite y la otra mitad consiste en dos valores elevados. Tanto
PROMEDIO como MEDIANA devolverán un valor situado en una
zona central relativamente vacía, y MODA devolverá
el valor bajo dominante.

Ejemplo 1

La serie: 2, 2, 5, 7, 9, 9, 9,
10, 10, 11, 12, 18 la moda es 9

Ejemplo 2

La serie: 3, 5, 8, 10, 12, 15, 16 no
tiene moda

Ejemplo 3

La serie: 2, 3, 4, 4, 4, 5, 5,
7, 7, 7, 9 tiene dos modas,

por ello es bimodal

5.2.4.2. La desviación típica y otras
medidas de dispersión

La variación o dispersión de los datos
numéricos es el grado en que estos tienden a extenderse
alrededor de un valor medio. Existen diferentes medidas de
dispersión o variación, las más utilizadas
son el rango (expuesto en el numeral 5.2.1.), la
desviación media, el rango semiintercuartílico, el
rango entre percentiles 10-90 y la desviación
típica.

Cuartiles, Deciles y
Percentiles

Si un conjunto de datos están ordenados
por magnitudes, el valor central (o la media de los dos
centrales) que dividen al conjunto en dos mitades iguales, es la
mediana. Extendiendo esa idea, podemos pensar en aquellos
valores que dividen al conjunto de datos en cuatro partes
iguales. Esos valores denotados por Q1, Q2 y Q3, son el primer
cuartíl, segundo cuartíl y tercer
cuartíl, respectivamente. EL Q2 coincide con la
mediana.

Similarmente, los valores que dividen a los datos
en 10 partes iguales son los deciles, representados por D1,
D2,…,D9, mientras que los valores que lo dividen en 100 partes
iguales son los percentiles, denotados por P1, P2,…,P99. El
5º decil y el 50º percentil coinciden con la
mediana. Los 25º y 75º percentiles coinciden con
el primer y tercer cuartiles.

Colectivamente, cuartiles, deciles y percentiles son los
cuantiles.

Las medidas de dispersión tratan de medir el
grado de dispersión que tiene una variable estadística en torno a una
medida de posición o tendencia central,
indicándonos lo representativa que es la medida de
posición. A mayor dispersión menor
representatividad de la medida de posición y
viceversa.

d) Desviación media absoluta, o promedio de
desviación

Indica las desviaciones con respecto a la media
aritmética en valor absoluto. De una serie de N
números X1, X2,… Xn definido por:

Donde es
la media aritmética de los números y es el valor absoluto de
las desviaciones de las diferentes de . Valor absoluto de un número es el mismo
número sin signo asociado alguno, representado por dos
barras verticales a ambos lados del número. Así
tenemos:

Ejercicio 04 (Desviación
media)

Calcular la desviación media de
los números: 4, 5, 8, 10, 13

Solución

1º Calculamos la media
aritmética de los números, aplicando la
fórmula (28) y la función PROMEDIO de
Excel:

2º Aplicando la fórmula (29)
y la función PROMEDIO de Excel, calculamos la
desviación media:

Si X1, X2;…, Xk presentan con
frecuencias f 1, f2,…, fk,
respectivamente, la desviación media la podemos
representar como:

A veces, la desviación media es
definida como desviaciones absolutas de la mediana u otro
promedio en lugar de la media. La desviación media
respecto de la mediana es mínima.

Ejercicio 05 (Desviación
media)

Calcular la desviación media de
las siguientes series de números:

Serie 1: 11, 6, 7, 3, 15, 10, 18,
5

Serie 2: 10, 3, 8, 8, 9, 8, 9,
18

Solución

1º Aplicando la fórmula (28)
y la función PROMEDIO de Excel, calculamos la media
aritmética de cada serie:

1º Calculamos la media
aritmética de cada una de las series aplicando la
fórmula (34) y la función Promedio de
Excel:

2º Con la fórmula (35) y la
función PROMEDIO de Excel, calculamos la desviación
media de cada una de las series:

Finalmente, la desviación media
evidencia que la serie (2) tiene menos dispersión que la
serie (1).

e) Desviación típica o
desviación estándar

La desviación estándar es una medida
estadística de la dispersión de un grupo o
población. Una gran desviación estándar
indica que la población esta muy dispersa respecto de la
media; una desviación estándar pequeña
indica que la población está muy compacta alrededor
de la media.

La desviación típica o estándar
para una población puede definirse como:

Donde a es un promedio que puede ser distinto de la
media aritmética. De todas las desviaciones
típicas, la mínima es aquella para la que a =. El
número de elementos de la población esta
representado por N.

Cuando la muestra es pequeña (muestra propiamente
dicha), generalmente es utilizada la siguiente
relación:

Denominada desviación estándar
muestral o desviación estándar
corregida. El número de elementos de la muestra lo
representa n.

Cuando es necesario distinguir la desviación
estándar de una población de la desviación
estándar de una muestra sacada de esta población,
empleamos el símbolo s para la última y para
la primera. Así, s2 y representarán la
desviación estándar muestral y poblacional,
respectivamente.

f) Varianza

La varianza mide la mayor o menor dispersión de
los valores de la variable respecto a la media aritmética.
Cuanto mayor sea la varianza mayor dispersión
existirá y por tanto menor representatividad tendrá
la media aritmética. La varianza se expresa en las mismas
unidades que la variable analizada, pero elevadas al
cuadrado.

La varianza de un conjunto de datos se define como el
cuadrado de la desviación estándar y viene dada,
por tanto, por para una población o s2 para una
muestra:

Cuando la muestra es pequeña (muestra propiamente
dicha), generalmente es utilizada la siguiente
relación:

Denominada varianza muestral o varianza
corregida

5.2.4.3. Cálculos estadísticos con
Excel, con el total de la población

Si los datos que estamos analizando corresponden al
total de la población en lugar de una muestra, para
calcular la varianza y la desviación típica o
estándar debemos utilizar las funciones VARP y
DESVESTP.

Función VARP

Calcula la varianza en función de toda la
población.

Sintaxis

VARP(número1;número2;
…)

Número1, número2, … son de 1 a 30
argumentos numéricos correspondientes a una
población.

Observaciones

VARP parte de la hipótesis de que los argumentos
representan la población total. Si sus datos
representan una muestra de la población, utilice VAR
para calcular la varianza.
Utiliza la fórmula (38)
Se pasan por alto los valores lógicos como
VERDADERO y FALSO y el texto. Si los valores lógicos y
el texto no se deben pasar por alto, utilice la función
de hoja de
cálculo VARP.

Función DESVESTP

Calcula la desviación estándar de la
población total determinada por los argumentos. La
desviación estándar es la medida de la
dispersión de los valores respecto a la media (valor
promedio).

Sintaxis

DESVESTP(número1; número2;
…)

Número1, número2, … son de 1 a 30
argumentos numéricos correspondientes a una
población. También puede utilizar una matriz
única o una referencia matricial en lugar de argumentos
separados con punto y coma.

Se pasan por alto los valores lógicos, como
VERDADERO y FALSO, y de texto. Si los valores lógicos y el
texto no se deben pasar por alto, utilice la función de
hoja de cálculo DESVESTA.

Observaciones

DESVESTP parte de la hipótesis de que
los argumentos representan la población total. Si sus
datos representan una muestra de la población, utilice
DESVESTP para calcular la desviación
estándar.
Utiliza la fórmula (37)
Cuando el tamaño de las muestras es
importante, las funciones DESVEST y DESVESTP devuelven
aproximadamente el mismo valor.
La desviación estándar se calcula
utilizando los métodos "sesgado" o "n".

5.2.4.4. Cálculos estadísticos en Excel
con la muestra

Si los datos que estamos analizando corresponden a una
muestra de la población en lugar de la
población total, para calcular la varianza y la
desviación típica o estándar debemos
utilizar las funciones DESVEST y VAR.

Función DESVEST

Calcula la desviación estándar en
función de una muestra. La desviación
estándar es la medida de la dispersión de los
valores respecto a la media (valor promedio).

Sintaxis

DESVEST(número1; número2;
…)

Número1, número2, … son de 1 a 30
argumentos numéricos correspondientes a una muestra de una
población. También puede utilizar una matriz
única o una referencia matricial en lugar de argumentos
separados con punto y coma.

Observaciones

DESVEST parte de la hipótesis de que los
argumentos representan la muestra de una población. Si
sus datos representan la población total, utilice
DESVESTP para calcular la desviación
estándar.
Utiliza la fórmula: (37A)
La desviación estándar se calcula
utilizando los métodos "no sesgada" o "n-1".
Se pasan por alto los valores lógicos como
VERDADERO y FALSO y el texto. Si los valores lógicos y
el texto no deben pasarse por alto, utilice la función
de hoja de cálculo DESVESTA.

Función VAR

Calcula la varianza en función de una
muestra.

Sintaxis

VAR(número1;número2;
…)

Número1, número2, … son de 1 a 30
argumentos numéricos correspondientes a una muestra de una
población.

Observaciones

La función VAR parte de la hipótesis de
que los argumentos representan una muestra de la
población. Si sus datos representan la población
total, utilice VARP para calcular la varianza.
Utiliza la fórmula: (32A)
Se pasan por alto los valores lógicos, como
VERDADERO y FALSO y el texto. Si los valores lógicos y
el texto no se deben pasar por alto, utilice la función
de hoja de cálculo VARA.

Ejercicio 06 (Desviación
estándar de una muestra)

Determinar, la desviación
típica y la varianza de cada uno de las series de
números del ejercicio 5.

Para resolver este ejercicio trataremos
los datos de las series como muestra, por cuanto, asumimos como
población el universo de
todos los números enteros. Luego, aplicamos las
fórmulas y funciones de una muestra.

Solución

1º Calculamos la desviación
estándar de cada una de las series, aplicando la
fórmula (37) y la función DESVEST de
Excel:

= 5.15

= 4.16

Comentario

Comparando los resultados con los
obtenidos en el ejercicio 6. Constatamos que la desviación
típica indica que la serie (2) tiene menos
dispersión que la serie (1). No obstante, debemos
considerar, el hecho, de que los valores extremos afectan a la
desviación típica mucho más que a la
desviación media. Puesto que las desviaciones para el
cálculo de la desviación típica son elevadas
al cuadrado.

2º Calculamos la varianza
directamente elevando al cuadrado la desviación
estándar de cada una de las series y aplicando
indistintamente la función VAR:

1 = 5.1530; 2 = 4.1555; VAR1 y 2 =
?

Ejercicio 07 (Calculando el
rango)

Calcular los rangos de las
indemnizaciones recibidas por cuatro trabajadores de las empresas
A y B:

Rango ( A) = 350 – 90 =
270

Rango ( B) = 235 – 210 =
25 Distribución menos dispersa

Muchas veces el rango se da por la
simple anotación de los números mayor y menor. En
nuestro ejercicio, esto sería 90 a 350 ó
90-350.

En la Tabla 1, el rango lo calculamos
así:

Rango = Marca de clase de la clase
superior – marca de clase inferior

Ejercicio 08 (Calculando la media
aritmética)

En la Tabla 1, Tallas de estudiantes
universitarios 2004, determinar la marca de clase (x), las
desviaciones (d), la frecuencia (f) y la media
aritmética:

Solución

(155 + 150)/2 = 152.50,…, (185 +
180)/2 = 182.50
Calculamos las marcas de
clases aplicando el método
ya conocido:
Tomamos la media supuesta A
como la marca de clase 167.50 (que tiene la mayor frecuencia),
podíamos también tomar cualquier marca de
clase.
Calculamos las desviaciones
d, restando de la marca de clase x
la media A. Los cálculos efectuados lo
expresamos en la tabla 1-1:

4º Con los datos obtenidos en la
Tabla 1, ya estamos en condiciones de calcular la media
aritmética de la talla de los estudiantes universitarios
2004:

Ejercicio 09 (Calculando la media
aritmética)

Tenemos la siguiente distribución
de frecuencias de los salarios
semanales en UM de 85 empleados de la empresa BURAN
a.C.:

Determinar el salario medio semanal de
los 85 empleados.

Solución

Aplicando los métodos conocidos
calculamos la marca de clase y confeccionamos la siguiente
tabla:

Finalmente, calculamos la media
aritmética semanal de los salarios:

Ejercicio 10
(Desviación estándar de una
población)

Con los valores de la tabla 1, tallas de
estudiantes universitarios 2004, calcular la desviación
estándar:

Solución

Del ejercicio 08, sabemos que la media
aritmética es 168.08 centímetros. Podemos ordenar
los datos de la forma siguiente:

Ahora, vamos a calcular la
desviación estándar:

5.3. Poblaciones y
muestras

Como ya definimos, muestra es el número de
elementos, elegidos o no al azar, tomado de un universo cuyos
resultados deberán extrapolarse al mismo, con la
condición de que sean representativos de la
población.

No es necesario encuestar ni observar a todos los que
pueden arrojar luz sobre un
problema. Basta recabar datos de una muestra, a condición
de que sus reacciones sean representativas del grupo entero. La
clave de la investigación de mercados es determinar si la
muestra suministra suficiente información.

La idea central en que se fundamenta el muestreo es
que, un número pequeño de objetos (una muestra)
seleccionada adecuadamente de una cantidad mayor de ellos (un
universo) debe reunir las mismas características y casi en
la misma proporción que el número más
grande.

Para conseguir datos confiables, hay que aplicar la
técnica correcta al seleccionar la muestra.

Aunque existen numerosas técnicas muestrales,
sólo las muestras aleatorias o probabilísticas
son adecuadas para hacer generalizaciones de una muestra a un
universo. Extraemos una muestra aleatoria, de modo que todos
los miembros del universo tengan las mismas probabilidades de ser
incluidos en ella.

Las muestras, no aleatorias u opináticas
conocidas con el nombre de muestras disponibles o de
conveniencia, muy comunes en la investigación de mercados,
no los tratamos en presente libro.

Empleando la estadística y
fundamentándonos en la información obtenida por
medio de una muestra, podemos decir cómo es probablemente
una población. Igualmente, podemos tomar los datos
relativos a la población para predecir cómo deben
ser probablemente las muestras. Por ejemplo, un
empresario interesado por el número de ventas de todas las
empresas fabricantes de jeans de la ciudad de Lima. Puesto que el
número de observaciones posibles es muy grande, debe
decidir medir la cantidad de ventas de 30 de esos
establecimientos. En este caso, las 30 empresas son la muestra;
la población lo constituyen el total de las empresas
fabricantes de jeans de la ciudad de Lima.

El empresario, utilizará la
información sobre la muestra para conocer como es
probablemente la población de las empresas fabricantes de
jeans de la ciudad de Lima. Utilizará la
información sobre la población para saber
probablemente como será la muestra. Con esta
información el empresario esta en condiciones de
desarrollar adecuadamente la estrategia de
mercadeo de su
empresa.

Ejemplo
1: Para saber cuál de
los cinco mercados de la zona donde vive Alessandro tiene los
mejores precios,
elabora una lista común de compras y toma los precios que
figuran en la lista, de los cinco mercados. Para conocer si las
cifras obtenidas son muestras o poblaciones, preguntamos
¿Expresan las observaciones todo lo necesario, o asume que
las demás observaciones serán similares?
¿Son poblaciones o muestras las cifras de la lista de
compras?

Respuesta Son muestras.
Las poblaciones son todos los precios de cada almacén;
suponemos que otros días y con otras listas de productos,
obtendremos resultados similares.

Denominamos parámetro, a un número
utilizado para resumir una distribución de la
población. A un número similar, utilizado para
describir una muestra lo denominamos
estadística.

Ejemplo 2
: Estamos estudiamos la población
del Perú y queremos saber si ¿la edad media de
todos los peruanos es un parámetro o una
estadística?.

Respuesta. Es un
parámetro.

Ejemplo 3: Un productor de
café de
Jaén, zona nororiental del Perú, desea saber el
número promedio de insectos nocivos a este sembrío
por hectáreas; para ello cuenta el número de
insectos que hay en un gran número de parcelas de una
hectárea, seleccionadas al azar. Preguntamos: ¿El
número de insectos por hectárea que hay en su
muestra es un parámetro o una
estadística?

Respuesta. Es una
estadística.

Finalizando esta parte, precisamos lo siguiente: la
media de una distribución muestral es una
estadística; la media de una distribución de
población es un parámetro; la desviación
estándar de una distribución de la población
es un parámetro y la desviación estándar de
una distribución muestral es una
estadística.

5.3.1. Tamaño de
la muestra

El tamaño de la muestra depende de tres
aspectos:

1) Error permitido

2) Nivel de confianza estimado

3) Carácter finito o infinito de la
población.

Las fórmulas generales para determinar el
tamaño de la muestra son las siguientes:

Para poblaciones infinitas (más de 100,000
habitantes)

Para poblaciones finitas (menos de 100,000
habitantes)

Nomenclatura:

n = Número de elementos de la
muestra

N = Número de elementos de la población
o universo

P/Q = Probabilidades con las que se presenta el
fenómeno.

Z2 = Valor crítico correspondiente al nivel de
confianza elegido; siempre se opera con valor zeta 2, luego Z
= 2.

E = Margen de error permitido (determinado por el
responsable del estudio).

Cuando el valor de P y de Q sean desconocidos o cuando
la encuesta
abarque diferentes aspectos en los que estos valores pueden ser
desiguales, es conveniente tomar el caso más adecuado, es
decir, aquel que necesite el máximo tamaño de la
muestra, lo cual ocurre para P = Q = 50,
luego, P = 50 y Q = 50.

Ejercicio 11
(Cálculo de la muestra de una
población infinita)

Para un trabajo de
investigación de mercados en el Perú
(población infinita 24’000,000 de habitantes), entre
otras cosas, queremos saber cuántas personas
viajarán a trabajar al extranjero, con la decisión
de radicar definitivamente en el país de destino.
¿Cuál debe ser el tamaño de la muestra para
un nivel de confianza de la encuesta del 95.5% y un margen
posible de error de 4%?

Solución

Z = 2; P = 50; Q = 50; E = 4; n =
?

Respuesta:

El tamaño necesario de la muestra para un nivel
de confianza de 4% es 625 personas.

Ejercicio 12
(Cálculo de la muestra de una
población finita)

Para el mismo trabajo de
investigación de mercados en Oyón Perú
(población finita 10’000 habitantes), entre otras
cosas, queremos saber cuántas personas viajarán a
trabajar al extranjero, con la decisión de radicar
definitivamente en el país de destino. ¿Cuál
debe ser el tamaño de la muestra para un nivel de
confianza de la encuesta del 95.5% y un margen posible de error
de 4%?

Solución

Z = 2; P = 50; Q = 50; E = 4; N =
20,000; n = ?

Respuesta:

El tamaño necesario de la muestra
para un nivel de confianza de 4% es 606 personas.

Ejercicio 13
(Caso integral de población y
muestra con Excel)

Tenemos las ventas mensuales de cinco
años de la empresa BURAN S.A.C., conforme lo ilustramos en
el cuadro 14/01, expresado en unidades monetarias
(UM):

CUADRO 14/01

I. Vamos efectuar los
cálculos estadísticos con muestras aplicando
las funciones VAR y DESVEST.

1º Calculamos la media con la
función PROMEDIO, en el cuadro 14/01, seleccionamos las
celdas B3:F14 y obtenemos la media aritmética:

= 68,650

2º Confeccionamos el Cuadro 14/02,
restando a cada valor de venta (X) la media de UM
68,650:

CUADRO 14/02

3º Calculamos las funciones VAR y
DESVEST, para ello, en el cuadro 14/02, seleccionamos las celdas
B18:E29, que representan solo una parte de la
población:

Las funciones VAR y DESVEST operan con
las siguientes fórmulas:

Los resultados de las funciones
PROMEDIO, VAR y DESVEST están expresadas en el cuadro
siguiente:

Interpretando los resultados y asumiendo
que el valor de las ventas de la empresa BURAN S.A.C.,
están distribuidas normalmente, deducimos que
aproximadamente el 68% de las ventas son de:

68,650 – 3,708 = UM 64,942
y

68,650 + 3,708 = UM
72,358

I. Ahora, vamos efectuar los
cálculos estadísticos con el total de la
población aplicando las funciones VARP y DESVESTP.
Asumimos que las celdas B18:E29 del Cuadro 14/02 representan el
total de la población, calculamos la varianza y la
desviación estándar de la población.
Operamos con el promedio, calculado con el total de las
ventas.

Las funciones VARP y DESVETP operan con
las siguientes fórmulas:

Como es lógico, los resultados de
las funciones aplicables a muestras son mayores que los obtenidos
con las funciones aplicables a la población total, esto,
debido a que el total de sucesos (n) en el primer caso es (n – 1)
y en el segundo es simplemente (n). Cuanto mayor sea el
denominador (n) menor será el resultado obtenido. Ver
aplicación de funciones Estadística en el CD, que
acompaña la obra.

6. El Punto de Equilibrio
(Pe)

El análisis de equilibrio es un importante
elemento de planeación a corto plazo; permite calcular la
cuota inferior o mínima de unidades a producir y vender
para que un negocio no incurra en pérdidas. «Esta
herramienta es empleada en la mayor parte de las empresas y es
sumamente útil para cuantificar el volumen mínimo a
lograr (ventas y producción), para alcanzar un nivel de
rentabilidad
(utilidad) deseado. El punto de equilibrio es el punto o
nivel de producción y ventas en el que cesan las
pérdidas y empiezan las utilidades o viceversa.

Para la determinación del punto de equilibrio
debemos definir y clasificar algunos costos:

Costos fijos: Son aquellos que no varían
con cualquier nivel de producción o ventas.

Costo variable total (CVT). Son los que
cambian proporcionalmente con el nivel de producción o
ventas de una empresa. El costo variable unitario (CVU),
es el valor asociado unitariamente a cada producto o servicio de
la empresa.

Para el cálculo del PE debemos tener en cuenta
las siguientes variables
cantidad producida, precio unitario, costos fijos y costos
variables unitarios. Los ingresos estarán determinados por
la cantidad vendida y el precio de venta unitario, los costos los
determinan la cantidad producida y vendida, los costos fijos y
los costos variables por unidad.

6.1. Punto de equilibrio
en dinero y en unidades

El punto de equilibrio lo podemos calcular en unidades
monetarias o en unidades físicas, conforme veremos en la
solución de los diferentes ejercicios. El cálculo
en unidades monetarias es la recomendada cuando la actividad no
es reconocible en unidades o cuando hay varios bienes o
productos. Aquí interviene mucho la "mezcla de producto",
es decir, la proporción en que son vendidos los diferentes
productos y esta mezcla debe mantenerse constante en la realidad,
para que el punto de equilibrio calculado coincida con lo real.
En los ejercicios que preceden calcularemos puntos de equilibrio
individuales, cuando existen varios productos.

En caso de calcular el punto de equilibrio en dinero,
tenemos la siguiente expresión:

Ingresos totales = Costos fijos + costos variables
totales

Asumimos que los costos variables unitarios son
proporcionales al precio de venta, luego, así
también lo serán los costos variables totales y los
ingresos totales. En otras palabras, debemos mantener esa
proporción, por lo tanto, podemos escribir la
última expresión de la siguiente forma:

Ingresos totales = costos fijos + A x (Ingresos
totales)

Donde A es la fracción que representa la
relación entre el costo variable y el precio de venta
(llamado APORTACION).

A = W – CV

Relación de aportación

La relación de aportación o
BV puede expresarse de diferentes
formas:

La aportación (A) es la diferencia en unidades
monetarias entre el precio de venta y los costos variables o
efectivos. La relación de aportación (BV) es el
porcentaje que representa la aportación con respecto al
precio de venta.

El margen de contribución es el mismo margen
bruto (utilidad bruta expresada como un porcentaje de las
ventas), que estudiamos en la parte concerniente a los ratios
financieros.

Fórmula para calcular el punto de
equilibrio:

A partir de esta fórmula calcularemos el punto de
equilibrio en unidades monetarias, sea con datos totales o
unitarios de los costos variables y ventas. El punto de
equilibrio en unidades físicas lo obtenemos a
través de una simple división del resultado
proporcionada por la fórmula (35) entre el precio
unitario.

Otras nomenclaturas utilizadas

PV = Precio de venta del bien o servicio

Q = Cantidad vendida o producida

A = Aportación

BV = Relación de aportación

La fórmula supone que todo lo producido es
vendido, es decir, no va a inventarios. Los productos que
están en inventario tienen costos fijos asignados, que no
se están recuperando (no vendidos) en el momento del
análisis.

Para operar correctamente la fórmula es necesario
que todas las variables estén expresados en la misma
unidad, bien valores monetarios o bien en unidades.

El punto de equilibrio también sirve para
calcular el volumen de las ventas que debe realizar una empresa
para obtener un porcentaje de utilidad determinado. La
fórmula es la siguiente:

EJERCICIO 14
(Calculando el Pe de ventas)

Un pequeño empresario en el
ejercicio 2004, vendió UM 60,000, en el mismo
período sus costos fijos fueron de UM 18,001.29 y los
costos variables de UM 32,000. Calcular el volumen de ventas
necesario en punto de equilibrio.

Solución:

W = 60,000; CF = 18,001.29; CV = 32,000;
Pe = ?

Respuesta:

El nivel necesario de ventas para no
ganar, ni perder es de UM 38,571.44, este es el punto de
equilibrio para la empresa.

Comentario:

El costo fijo permanece invariable,
independientemente del volumen de ventas, mientras que el costo
variable está relacionado directamente con el volumen de
ingresos o ventas.

El porcentaje del costo variable en el
punto de equilibrio está dado por la relación
existente entre los costos variables y el nivel de ventas,
así:

Los costos variables en el punto de
equilibrio son:

UM 38,571.43*53.33% = UM
20,570.14

EJERCICIO 15
(Volumen de ventas necesarios para una
utilidad del 30%)

Con los datos del ejercicio anterior
determinar el volumen de ventas necesario para obtener un 30% de
utilidad sobre las ventas en punto de equilibrio.

Solución:

Pe = 38,571; CV = 0.5333; MU = 0.30; W =
?

[42] W = 38,571.43 +
30%(38,571.43) + 53.33%(38,571.43) = UM 70,713.00

Respuesta:

El volumen necesario de venta para
obtener un 30% de utilidad sobre las ventas en punto de
equilibrio es UM 70,713.00.

EJERCICIO 16
(Punto de equilibrio en
unidades)

Una empresa con unos costos fijos
mensuales de UM 180,000, manufactura un
producto cuyo costo variable de producción es de UM 50 por
unidad y su precio al consumidor es de
UM 200.

Solución:

CF = 180,000; CVU = 50; PV = 250; PE =
?; Q = ?

1º Calculamos el PE en valores
monetarios:

2º Calculamos la cantidad mensual a
producir:

Q = 225,000/250 = 900 unidades
mensuales

Esto quiere decir que si fabricamos y
vendemos más de 900 unidades, el producto generará
utilidades, si fabricamos y vendemos menos de 900 unidades
producirá pérdidas.

Así tenemos, si producimos 1,000
unidades, tenemos utilidades de:

Utilidad = Ingresos –
Costos

UTILIDAD = (250*1000) –
(180,000 – (50*1000)) = UM 20,000

Asimismo, si producimos 800 unidades,
tenemos pérdidas por:

PERDIDA = (250*800) –
(180,000 – (50*800)) = – UM 20,000

Ejercicio 17
(PE producción y
ventas)

Un pequeño industrial, produce
maletines con un costo de
producción por unidad de UM 10.50 y los vende al por
mayor a UM 15.00, por su local paga la suma de UM 350 más
sus gastos fijos de UM 1,200 mensuales. Determinar cuántos
maletines tiene que producir y vender anualmente para no ganar ni
perder.

Solución:

CF = 1,550; CV = 10.50; W = 15; PV = 15;
PE = ?; Q= ?

Para determinar la cantidad mensual de
maletines a producir, simplemente dividimos el monto obtenido
entre el precio de venta de cada uno:

Q = 5,166.67/15 = 344 maletines de
producción mensual

Calculamos el porcentaje de los costos
variables:

Comprobando
tenemos:

Respuesta:

El pequeño industrial debe
producir y vender 344 maletines mensualmente, para no ganar ni
perder. Es decir, cuando produce y vende más de 344
maletines comienzan sus utilidades.

EJERCICIO 18
(Calculando el Punto de
Equilibrio)

Un pequeño fabricante de gorros
cuyo precio unitario de venta es UM 5, sus costos fijos mensuales
son de UM 1,800 y el costo variable unitario es UM 2.80, desea
saber el nivel de producción y ventas que debe tener para
no ganar ni perder.

Solución:

CF = 1,800; CV = 2.80; W = 5; PE = ? Q =
?

1º Calculamos el PE en valores
monetarios:

2º Calculamos la cantidad mensual a
producir:

Q = 4,000/5 = 800 gorros
mensuales

3º Calculamos el porcentaje de los
costos variables:

Comprobando
tenemos:

Respuesta:

La producción y venta necesaria
en punto de equilibrio son 800 gorros equivalentes a UM 4,000
mensuales.

6.2. Punto de equilibrio
para varios productos o servicios

Hasta ahora la técnica de punto de equilibrio lo
utilizamos para determinar a qué nivel de actividad
comienzan las utilidades. Para ello, asumimos que existe un solo
producto, por lo tanto, al calcular la cantidad a producir en el
punto de equilibrio, automáticamente podemos conocer el
valor total de las ventas. Pero en la realidad tenemos más
de un producto o servicio, en este caso no es tan fácil
determinar el punto de equilibrio para la empresa como un todo.
Aquí, cobra preponderancia la "mezcla de producto", o sea
la proporción en que vendemos los diferentes productos. Si
esta proporción no se mantiene, el punto de equilibrio
real se diferenciará con el proyectado.

EJERCICIO 19
(Punto de equilibrio para varios productos
y servicios)

Un pequeño empresario industrial
tiene 2 productos A y B con los siguientes datos:

1º Con esta información
estamos en condiciones de calcular el precio ponderado (PVP) de
las ventas totales y costo Variable unitario (CVUP), de la forma
siguiente:

PVP = (2,350*0.40) + (3,125*0.60) =
UM 2,815.00

CVUP = (630 x 0.40) + (1,180 x 0.60)
= UM 960.00

2º Con estos resultados ya podemos
calcular el punto de equilibrio total:

CF = 2’900,000; CVU = 960; PVP =
2,815; PE = ?

3º El cálculo del
número de unidades físicas a producir ya no es tan
sencillo como cuando tratamos con un solo producto; una forma
sería el distribuir proporcionalmente los costos fijos a
cada producto en la proporción de la mezcla (A=40% y
B=60%). Es así como calculamos los puntos de equilibrio
por producto:

CFA = 0.40 x 2’900,000 = UM
1’160,000

CFB = 0.60 x 2’900,000 = UM
1’740,000

Producto (A)

CF = 1’160,000; CV = 630; PV =
2,350; PE = ?

Producto (B)

CF = 1’740,000; CV = 1,180; PV =
3,125; PE = ?

Finalmente, el punto de equilibrio de la
empresa es:(PEA + PEB)

674 + 895 = 1,569 unidades

Ejercicio 20
(Punto de equilibrio para varios productos
y servicios)

El precio de venta y el costo variable
ponderados, es válido siempre que mantengamos en la misma
proporción la mezcal de productos en las ventas
totales.

Si la proporción fuera a la
inversa en el ejercicio 20, esto es A=60% y B=40%, entonces los
valores ponderados de precio de venta y costo variable
serían los siguientes:

PVP = (2,350 * 0.60) + (3,125 * 0.40)
= UM 2,660

CVUP = (630 * 0.60) + (1,180 * 0.40) =
UM 850

El nuevo punto de equilibrio será
entonces:

PVP = 2,660; CVUP = 850; CF =
2’900,000; PE = ?

Calculando el punto de equilibrio en
unidades tenemos:

CFA = 0.60 x 2’900,000 = UM
1’740,000

CFB = 0.40 x 2’900,000 = UM
1’160,000

Producto (A)

CF = 1’740,000; CV = 630; PV =
2,350; PE = ?

Producto (B)

CF = 1’740,000; CV = 1,180; PV =
3,125; PE = ?

Finalmente, el punto de equilibrio de la
empresa es:(PEA + PEB)

674 + 895 = 1,569 unidades

6.3. Eliminación de
productos o servicios

Existen casos, en el que algunos productos a primera
vista nos dan la impresión de estar produciendo
pérdida, en consecuencia la decisión debe ser
descontinuar su producción.

Esto es cierto, al descontinuar un producto es
reemplazado por otro que absorbe igual o mayor cantidad de costos
fijos.

Tenemos casos en los cuales, al descontinuar un producto
no rentable, su salida afecta el rendimiento de los demás
productos.

Caso 21 (Eliminación de productos y
sevicios)

El dueño de una empresa al ver el
cuadro de producción de su negocio y saber que no era
posible aumentar las ventas del producto B para que produjera
utilidades, comentó que sería prudente
descontinuaran la producción de este producto, pero
antes era necesario analizar la repercusión de esta
decisión.

Procedieron a analizar los efectos de
anular la producción de la línea de productos B y
detectaron lo siguiente:

Al observar los resultados de la tabla
anterior concluimos que el producto B absorbía una buena
parte de los costos fijos, que ahora lo absorben los otros
productos. La decisión no es recomendable.

Ahora, veamos que pasa si descontinuamos
la producción de C:

Ante estos resultados, nos preguntamos:
¿Cuándo debemos eliminar la producción de un
producto?

Esta pregunta es respondida a través de una
adecuada clasificación de los costos fijos:

a) Costos fijos puros o generales y

b) Costos fijos específicos del producto u
operación.

Los costos fijos puros, son aquellos que cambian,
como consecuencia del volumen de la producción,
independientemente de que un determinado producto exista o no. La
depreciación de los equipos y el sueldo del gerente
general, son ejemplos de ello. Los costos fijos
específicos, son aquellos que permanecen constantes
dentro de un rango de operación y son además,
costos fijos asociados de manera específica al producto o
actividad analizados, de manera que si esos productos o servicios
desaparecen, los costos fijos asociados también
desaparecen. Este tipo de costos los constituyen los gastos de
publicidad de un producto en particular, si desaparece el
producto, obviamente desaparece la utilidad. Aplicando lo
expuesto a nuestro caso, tendríamos:

Bibliografía

Alcaide, Inchausti Angel. 1976. Estadística
Aplicada a las Ciencias
Sociales. Ediciones Pirámide S.A. –
Madrid
Glosario. (2005). Disponible en http://www.worldbank.org – Glosario
Koosis J., Donald. 1974. Introducción a la Inferencia
Estadística para Administración y Negocios.
Editorial Limusa – México
Kotler, Philip. 1989. Mercadotecnia. Tercera Edición. Prentice-Hall Hispanoamericana
S.A. – México
Leissler Joachim. 1975. Estadística para
Directores Comerciales. Ediciones Pirámide, S.A. –
Madrid
Moya Calderón, Rufino. 1991. Estadística
Descriptiva Conceptos y Aplicaciones. Editorial San Marcos
– Perú
Ruiz Muñoz, David. 2005. Manual de
Estadística. Disponible en http://eumed.net
Spiegel, Murray R. 1970. Serie de Compendio Schaum,
Teoría y Problemas de
Estadística. Libros
McGraw-Hill – México
Tucker A., Sperncer. 1976. El Sistema del Equilibrio.
Instrumento para la planificación de utilidades. Herrera
Hermanos Sucs. S.A. – México
Wonnacott, Thomas H., Wonnaccott Ronal J. 1979.
Fundamentos de Estadística para Administración y
Economía. Editorial Limusa –
México

Por: César Aching
Guzmán

Página personal: http://cesaraching.blogspot.com/

http://es.geocities.com/cesaraching/

El presente trabajo corresponde al Capítulo II
del libro de mi autoría: GUIA RAPIDA "RATIOS
FINANCIEROS Y MATEMATICAS DE LA MERCADOTECNIA"
Serie MYPES. Esta obra –como todas mis producciones-
estará difundiéndose gratuitamente en Internet en archivos Word y en
impresión digital PDF, en portales tan importantes
como
gestiopolis.com,
monografías.com, y El
Prisma.com,.

La revisión técnica de la obra estuvo a
cargo del Ing. Jorge L.
Aching Samatelo, conforman el equipo de
edición:

COORDINACION GENERAL MARLENE SAMATELO
VALDIVIA

DISEÑO CARATULA ANGELA BONINO
VELAOCHAGA

DISEÑO Y DIAGRAMACION MARIA VICTORIA ANGULO
JOHNSON

PROCESO DIGITAL CESAR ACHING
SAMATELO

PAULA ENITH ACHING DIAZ