Interés Simple e Interés Compuesto

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El interés
simple, es pagado sobre el capital
primitivo que permanece invariable. En consecuencia, el
interés obtenido en cada intervalo unitario de tiempo es el
mismo. Es decir, la retribución económica causada y
pagada no es reinvertida, por cuanto, el monto del
interés es calculado sobre la misma base.

Interés simple, es también la ganancia
sólo del Capital (principal, stock inicial de efectivo) a
la tasa de
interés por unidad de tiempo, durante todo el
período de transacción comercial.

La fórmula de la capitalización simple
permite calcular el equivalente de un capital en un momento
posterior. Generalmente, el interés simple es utilizado en
el corto plazo (períodos menores de 1 año). Ver en
éste Capítulo, numeral 2.3.

Al calcularse el interés simple sobre el importe
inicial es indiferente la frecuencia en la que éstos son
cobrados o pagados. El interés simple, NO
capitaliza.

Fórmula general del interés
simple:

1.1. Valor
actual

La longitud de una escalera es la misma contada de
arriba abajo como de abajo arriba. El valor futuro VF
puede considerarse como la cima vista desde abajo y el valor
actual VA como el fondo visto desde arriba.

El valor actual de una cantidad con vencimiento
en el futuro, es el capital que a un tipo de interés dado,
en períodos también dados, ascenderá a la
suma debida.

Si conocemos el monto para tiempo y tasa dados, el
problema será entonces hallar el capital, en realidad no
es otra cosa que el valor actual del monto. Derivamos el VA de la
fórmula general:

Siendo ésta la fórmula para el valor
actual a interés simple, sirve no sólo para
períodos de año, sino para cualquier
fracción del año.

El descuento es la inversa de la capitalización.
Con ésta fórmula calculamos el capital equivalente
en un momento anterior de importe futuro.

Otras fórmulas derivadas de la
fórmula general:

Si llamamos I a los intereses percibidos en el
período considerado, convendremos:

La diferencia entre VF y VA es el interés
(I) generado por VA.

Y también, dada la fórmula general,
obtenemos la fórmula del importe de los
intereses:

I = VA(1+n*i) – VA = VA + VA*n* i – VA

I = (principal)*(tasa de
interés)*(número de períodos)

(Inversiones)
I = monto total hoy – inversión original

(Préstamos) I = saldo de
deuda – préstamo inicial

Con la fórmula [8] igual calculamos el
interés (I) de una inversión o
préstamo.

Sí sumamos el interés I al principal VA,
el monto VF o valor futuro será.

o VF = VA(1+i*n)

Despejando éstas fórmulas obtenemos el
tipo de interés y el plazo:

El tipo de interés (i) y el plazo
(n) deben referirse a la misma unidad de tiempo (si
el tipo de interés es anual, el plazo debe ser anual, si
el tipo de interés es mensual, el plazo irá en
meses, etc.). Siendo indiferente adecuar la tasa al tiempo o
viceversa.

Al utilizar tasas de
interés mensual, el resultado de n
estará expresado en meses. En estas fórmulas la
tasa de interés (i) está indicada en
forma decimal.

Nomenclatura:

I = Interés expresado en valores
monetarios

VA = Valor actual, expresado en unidades
monetarias

VF = Valor futuro, expresado en unidades
monetarias

n = Periodo de capitalización,
unidad de tiempo, años, meses, diario,…

i = Tasa de interés, porcentaje
anual, mensual, diario, llamado también tasa de
interés real.

Ejercicio 11 (VA a interés
simple)

Encontrar el valor actual, al 5% de interés
simple, de UM 1,800 con vencimiento en 9 meses.

Solución:

VF= 1,800; i = 0.05; n = 9/4; VA = ?

Ejercicio 12 (Interés simple –
Inversión inicial)

¿Cuál fue nuestra inversión
inicial, si hemos obtenido utilidades de UM 300, después
de 8 meses, a interés simple y con el 48% de tasa
anual?

Solución:

I = 300; n = 8 i = 0.04 (0.48/12); VA =?

[8] 300 = VA(0.04*8), de donde:

Ejercicio 13 (VF a interés
simple)

Si tenemos UM 10,000 y lo invertimos por un año
con el 28% de interés anual. ¿Cuánto
dinero
tendremos al finalizar el año?

Como es normal exigiremos la devolución del monto
inicial incrementado algo más mensual, que compense la
pérdida del valor de la moneda, el riesgo corrido y
el interés del dinero. Generalmente es preferible utilizar
el dinero en
el presente y no en el futuro.

El incremento es el interés y es consecuencia de
la capacidad que tiene el dinero de «producir más
dinero". El interés como todo precio,
depende del mercado y de las
condiciones de cada negociación, fundamentalmente del plazo y
del riesgo.

Solución:

VA = 10,000; i = 0.28; n = 1; VF =?

[5] VF = 10,000 (1+ 0.28%*1) = UM
12,800

Con este sencillo ejemplo demostramos que es indiferente
recibir hoy UM 10,000 ó UM 12,800 dentro de un
año.

Ejercicio 14 (VF a interés
simple)

Necesitamos saber el monto que retiraríamos
dentro de 4 años, sí hoy invertimos UM 2,000 al 8%
para el primer año con incrementos del 1% para los
próximos tres años.

En estos casos no aplicamos directamente la
fórmula general del interés simple, por cuanto el
tipo de interés en cada período es diferente.
Debemos sumar al principal los intereses de cada período,
calculado siempre sobre el capital inicial pero a la tasa vigente
en cada momento.

Solución:

VA = 2,000; n = 4; i1…4 = 0.08, 09, 0.10 y 0.11; VF
=?

Al ejemplo corresponde la relación
siguiente:

Respuesta:

El monto a retirar es UM 2,760.00

Ejercicio 15 (Interés simple:
interés y tasa de interés)

El día de hoy obtenemos un préstamo por UM
5,000 y después de un año pagamos UM 5,900.
Determinar el interés y la tasa de
interés.

Solución:

VA = 5,000; n = 1; VF = 5,900; I =? i =?;

[7] I = 5,900 – 5,000 = UM 900

Respuesta:

El interés es UM 900 y la tasa de interés
18%.

Ejercicio 16 (Interés simple ordinario
y comercial)

Calcular el interés simple ordinario o comercial
y exacto de un préstamo por UM 600 con una tasa de
interés del 15% durante un año.

Solución: (operamos en base anual)

VA = 600; nCOMERCIAL= 1; nEXACTO (30/365)*12 = 0.9863; i
= 0.15; I =?

[8] I (ORDINARIO) =
600*0.15*1 = UM 90.00

[8] I (EXACTO) =
600*0.15*0.9863 = UM 88.77

Con el interés simple ordinario pagamos
mayores cantidades de dinero que con el exacto, en casos
como éste, de sumas pequeñas, la diferencia es
mínima; en montos mayores ésta puede convertirse en
fuente de pagos mayores. Por lo general los bancos y empresas de
venta al crédito
operan aplicando el interés ordinario.

Ejercicio 17 (Interés y VF a
interés simple)

Determinar los intereses y el capital final producido
por UM 10,000 con una tasa del 18% en un año.

Solución:

VA = 10,000; i = 0.18; n = 1; I =?

[5] I = 10,000*1*0.18 = UM
1,800

Calculado el importe de los intereses, es posible
determinar el importe del capital final:

[7] VF = 10,000 + 1,800 = UM
11,800

Respuesta: Los intereses producidos son UM
1,800 y el capital final UM 11,800.

Ejercicio 18 (Interés simple,
tasa de interés, tasa periódica y tasa
global)

En la fecha obtenemos un préstamo por UM 5,000
para ser pagado después de 3 años a UM 9,800.
Deseamos saber: 1º El interés y 2º la tasa de
interés periódica y global del
préstamo.

Solución:

VA = 5,000; VF = 9,800; n = 3; I =?; i =?

1º Encontramos el interés con la
fórmula [7]:

[7] I = 9,800 – 5,000 = UM 4,800

2º Con la fórmula [11] obtenemos la tasa
periódica anual y global del préstamo:

Aplicando la fórmula del rédito calculamos
la tasa global:

Tasa
global del préstamo

Respuesta:

El interés es UM 4,800, la tasa anual 32% y la
tasa global 96%.

1.2. Tasas
equivalentes

Generalmente las tasas de interés vienen
expresadas en términos anuales; en la realidad no siempre
se presentan así, en la mayoría de veces, la
acumulación de los intereses al capital inicial es en
períodos más pequeños (meses, trimestres,
semestres, semanas, días, etc.).

Modificar la frecuencia de cálculo de
intereses, ¿significa beneficio o perjuicio? A este
respecto, cualquiera sea el número de veces que los
intereses son calculados, al final el importe total es el mismo,
es decir, los resultados finales de la negociación no
varían.

Si cambiamos la frecuencia (m) de cálculo de los
intereses debe cambiarse también el importe de la tasa de
interés aplicado en cada caso. Es así como surge el
concepto de
tasas equivalentes, que significa: dos tasas expresadas en
distintas unidades de tiempo, son equivalentes cuando aplicadas a
un capital inicial durante un período producen el mismo
interés o capital final.

Ejercicio 19 (Tasa
equivalentes)

Calcular el monto resultante de invertir UM 1,000
durante 4 años en las siguientes condiciones:

Solución: (m = número de
períodos de capitalización)

VA = 1,000; iA…B = 0.15, 0.075 y 0.0125; n = 4; mA…B
= 1, 2 y 12; VFA…B =?

a) Interés anual del 15%

[5] VFA = 1,000 x (1 +
(4 x 0.15) ) = UM
1,600

b) Interés semestral del 7.5%

[5] VFB = 1,000 x (1 + 4
x 0.075 x 2) = UM
1,600

c) Interés mensual del 1.25%

[5] VFC = 1,000 x (1 +
4 x 0,0125 x 12) = UM
1,600

Ejercicio 20 (Tasa
equivalentes)

Tipos equivalentes a tasas del 18% anual.

El resultado obtenido es independiente del tipo de base
temporal tomado. Sí expresamos el interés en base
semestral, el plazo irá en semestres, etc.

1.3.
Valor actual de deudas que devengan interés

En los casos de cálculo del importe futuro, es
necesario conocer primero el monto total de la cantidad a
pagar. Cuando calculemos el valor actual de deudas que
no devengan interés, el monto total a pagar es el
valor nominal de la deuda. Si por el contrario, buscamos el
valor actual de deudas que devengan interés,
el monto total a pagar es igual al valor nominal de la deuda
más el interés acumulado.

Visto así, las deudas pueden clasificarse como:
a) sin interés; y b) con interés. En el primer
caso, el valor futuro (VF) es el valor nominal de la deuda; en el
segundo caso, el VF es igual al valor nominal de la deuda
más el interés acumulado durante la vigencia de la
misma.

Ejercicio 21 (Pagaré)

Un empresario
entregó su pagaré para pagar UM 5,000 dentro de un
año con 8% de interés. A simple vista la cantidad a
abonar es:

5,000 + (0.08 * 5,000)= UM 5,400

El valor actual de UM 5,400 es:

Retornamos al inicio, esto es, el valor nominal de la
deuda.

Cuando el tipo de interés para obtener el valor
actual es diferente al de la deuda, el valor actual será
diferente del valor nominal de la deuda. En estos casos,
efectuaremos dos operaciones
separadas y distintas:

Calcular el VF, la cantidad total al vencimiento,
utilizando la fórmula [5]; y
Calculando el VA de esta cantidad VF al tipo
designado de interés, por medio de la fórmula
[6].

Ejercicio 22 (VA de un
pagaré)

Un pequeño empresario tiene un pagaré por
UM 2,000 con vencimiento a los 90 días, devenga el 6% de
interés. Calcular el valor actual a la tasa del
8%.

Solución:

VA = 2,000; n = (3/12) 0.25; i = 0.06; VF =?

La solución de este caso es posible hacerlo en
dos partes separadas:

1º Calculamos el monto a pagar a los 90
días, con la fórmula [5]:

[5] VF = 2,000 (1 + 0.25*0.06] = UM
2,030

Luego, el librador del pagaré pagará al
vencimiento la suma de UM 2,030.

2º Calculamos el VA al 8% a pagar dentro de 90
días:

Así, el valor actual al 8% del pagaré por
UM 2,000, devenga el 6% de interés y vence a los 90
días es UM 1,880.

Ejercicio 23 (VA de un pagaré con
diferente tasa de interés)

Calcular el valor actual del mismo pagaré, si el
precio del dinero es el 5%.

Solución:

VF = 2,030; n = 0.25; i = 0.05; VA =?

Así, el valor actual del pagaré al 5% es
UM 1,933.

1.4. Descuento

La tasa de descuento fijada por los bancos
centrales por realizar el redescuento resulta de
suma importancia para la economía, pues
ellas inciden sobre el conjunto de tasas de descuento y de
interés cobradas en un país durante
períodos determinados.

La tasa de descuento es la razón del pago
por el uso del dinero devuelto al liquidar la
operación.

Descuento, es el proceso de
deducir la tasa de interés a un capital determinado para
encontrar el valor presente de ese capital cuando el mismo es
pagable a futuro. Del mismo modo, aplicamos la palabra descuento
a la cantidad sustraída del valor nominal de la letra de
cambio u otra promesa de pago, cuando cobramos la misma antes
de su vencimiento. La proporción deducida, o tasa de
interés aplicada, es la tasa de
descuento.

La operación de descontar forma parte de las
actividades normales de los bancos. A estos acuden los clientes a cobrar
anticipadamente el monto de las obligaciones
de sus acreedores; los bancos entregan dichas cantidades a
cambio de
retener tasas de descuento, esto forma parte de sus ingresos. Los
bancos comerciales, a su vez, necesitan descontar documentos, en
este caso, son tomados por el banco central,
tal operación es denominada, redescuento.

1.4.1. Descuento Simple

Siendo el descuento un interés,
este puede ser simple o compuesto. La persona
(prestatario) puede pagar a un prestamista el costo (precio)
del préstamo al inicio del período o al
final del mismo. En el primer caso este precio recibe el
nombre de descuento; en el segundo interés
respectivamente.

Descuento simple, es la operación
financiera que tiene por objeto la representación de un
capital futuro por otro equivalente con vencimiento presente, a
través de la aplicación de la fórmula del
descuento simple. Es un procedimiento
inverso al de capitalización.

1.4.2. Particularidades de la
operación

Los intereses no capitalizan, es decir que:

Los intereses producidos no son restados del capital
inicial para generar (y restar) nuevos intereses en el futuro
y,
Por tanto a la tasa de interés vigente en cada
período, los intereses los genera el mismo capital a la
tasa vigente en cada período.

Los procedimientos de
descuento tienen un punto de partida que es el valor futuro
conocido (VF) cuyo vencimiento quisiéramos adelantar. Es
necesario conocer las condiciones de esta anticipación:
duración de la operación (tiempo y el capital
futuro) y la tasa de interés aplicada.

El capital resultante de la operación de
descuento (valor actual o presente VA) es de cuantía
menor, siendo la diferencia entre ambos capitales los intereses
que el capital futuro deja de tener por anticipar su vencimiento.
Concluyendo diremos, si trasladar un capital presente al futuro
implica incrementarle intereses, hacer la operación
inversa, anticipar su vencimiento, supondrá la
disminución de esa misma cantidad porcentual.

Nomenclatura:

D : Descuento o rebaja.

DR : Descuento racional

DC : Descuento comercial

VN(VF) : Valor final o nominal, es el conocido valor
futuro

VA : Valor actual, inicial o efectivo.

i ó d : Tasa de interés o
descuento

A partir de éste numeral, los intereses
serán "d" si éstos son cobrados por adelantado e
"i" si son cobrados a su vencimiento Considerar esta observación al usar las fórmulas
para calcular Tasas Equivalentes, tanto en operaciones a
interés simple como a interés
compuesto.

El valor actual (VA) es inferior al valor futuro (VF) y
la diferencia entre ambos es el descuento (D).
Cumpliéndose la siguiente expresión:

Como vimos, el descuento, es una disminución de
intereses que experimenta un capital futuro como
consecuencia de adelantar su vencimiento, es calculado como el
interés total de un intervalo de tiempo.
Cumpliéndose:

Dependiendo del capital considerado para el
cálculo de los intereses, existen dos modalidades de
descuento:

– Descuento racional o matemático

– Descuento comercial o bancario.

Cualquiera sea la modalidad de descuento utilizado, el
punto de partida siempre es un valor futuro VF conocido, que
debemos representar por un valor actual VA que tiene que ser
calculado, para lo cual es importante el ahorro de
intereses (descuento) que la operación supone.

1.4.3. Descuento racional o
matemático

La diferencia entre la cantidad a pagar y su valor
actual recibe el nombre de descuento racional o
matemático, no es lo mismo que el descuento
bancario. Designamos el descuento bancario simplemente
con la palabra descuento.

Calculamos el descuento racional, determinando el
valor actual de la suma a la tasa indicada y restando este VA de
dicha cantidad. El resultado es el descuento
racional.

El descuento racional es el interés
simple. La incógnita buscada es el valor actual
(capital inicial). Es decir, el descuento racional es
igual a la cantidad a pagar (VN) menos el valor actual [VA] del
capital. Luego:

I = D, fórmulas [7] y [8]

1.4.4. Descuento comercial

En este tipo de descuento, los intereses son calculados
sobre el valor nominal VN empleando un tipo de descuento d. Por
esta razón, debemos determinar primero el descuento Dc y
posteriormente el valor actual VA o capital inicial.

El capital inicial es obtenido por diferencia entre el
capital final (VN) y el descuento (Dc):

Ejercicio 24 (Descuento racional y
comercial)

Deseamos anticipar al día de hoy un capital de UM
5,000 con vencimiento dentro de 2 años a una tasa anual
del 15%. Determinar el valor actual y el descuento de la
operación financiera

Solución:

VN = 5,000; n = 2; i = 0.15; VA =?; DR =?

Primer tema:

Asumiendo que el capital sobre el que calculamos los
intereses es el capital inicial (descuento racional):

[14] DR = 5,000 – 3,846 = UM 1,153.85

Segundo tema:

Asumiendo que el capital sobre el que calculamos los
intereses es el nominal (descuento comercial):

[15] DC = 5,000*2*0.15 = UM
1,500

[15A] VA = 5,000 – 1,500 = UM
3,500

o también:

[16] VA = 5,000(1 – 2*0.15) = UM
3,500

1.4.5. Tasa de interés y de descuento
equivalentes

Si el tipo de interés (i) utilizado en el
descuento racional coincide en número con el tipo de
descuento (d) aplicado para el descuento comercial, el resultado
no es el mismo porque estamos trabajando sobre capitales
diferentes para el cálculo de intereses; razón por
la cual el descuento comercial será mayor al descuento
racional (DC > DR), como apreciamos en el
ejemplo 24.

Para hacer comparaciones, buscar una relación
entre tipos de interés y de descuento que nos resulte
indiferentes una modalidad u otra; es necesario, encontrar una
tasa de descuento equivalente a uno de interés, para lo
cual deberá cumplirse la igualdad entre
ambas:

DC = DR.

Las fórmulas que nos permiten cumplir con esta
condición son:

Fórmula que nos permite conocer d a partir
de i.

Fórmula que nos permite conocer i a partir
de d.

Estas fórmulas son de aplicación
sólo con tasas periódicas; aquellas tasas
utilizadas en determinado período para calcular el
interés. La relación de equivalencia entre tasas de
interés y descuento, en el interés simple, es una
función
temporal, esto quiere decir, que una tasa de descuento es
equivalente a tantas tasas de interés como valores tome
n de la operación y a la inversa (no hay una
relación de equivalencia única entre una i y un
d).

Ejercicio 25 (Calculando la tasa de
descuento)

Si consideramos en el ejemplo 24, que la tasa de
interés es del 15% anual.

Calcular la tasa de descuento anual que haga
equivalentes ambos tipos de descuento.

Solución:

i = 0.15; d =?

1º Calculamos la tasa de descuento anual
equivalente:

2º Luego calculamos el valor actual y el descuento
considerando como tasa de interés el 15% (descuento
racional):

[14] DR = 5,000 – 3,846 = UM 1,153.86

3º Calculamos el valor actual y el descuento
considerando la tasa de descuento encontrada del 11.54%
(descuento comercial):

[15] DC = 5,000*2*0.1154 = UM
1,153.86

[15A] VA = 5,000 – 1,154 = UM
3,846

o también:

[16] VA = 5,000(1 – 2*0.1154) = UM
3,846

1.4.6. Equivalencia financiera de
capitales

Cuando disponemos de diversos capitales de importes
diferentes, situados en distintos momentos puede resultar
conveniente saber cuál de ellos es más atractivo
desde el punto de vista financiero. Para definir esto, es
necesario compararlos, pero no basta fijarse solamente en los
montos, fundamentalmente debemos considerar, el instante donde
están ubicados los capitales.

Como vimos, para comparar dos capitales en distintos
instantes, hallaremos el equivalente de los mismos en un mismo
momento y ahí efectuamos la comparación.

Equivalencia financiera es el proceso de comparar
dos o más capitales situados en distintos momentos a una
tasa dada, observando si tienen el mismo valor en el momento en
que son medidos. Para ello utilizamos las fórmulas de las
matemáticas
financieras de capitalización o descuento.

Principio de equivalencia de capitales

Si el principio de equivalencia se cumple en un
momento concreto, no
tiene por qué cumplirse en otro (siendo lo normal que no
se cumpla en ningún otro momento). Afectando esta
condición la fecha en que se haga el estudio
comparativo, el mismo, que condicionará el
resultado.

Dos capitales, VA1 y VA2, que vencen en los
momentos n1 y n2 respectivamente, son equivalentes cuando,
comparados en un mismo momento n, tienen igual valor. Este
principio es de aplicación cualquiera sea el número
de capitales que intervengan en la operación. Si dos o
más capitales son equivalentes resultará
indiferente cualquiera de ellos, no existiendo preferencia por
ninguno en particular. Contrariamente, si no se cumple la
equivalencia habrá uno sobre el que tendremos preferencia
que nos llevará a elegirlo.

Aplicaciones del principio de
equivalencia

El canje de uno o varios capitales por otro u otros de
vencimiento y/o valores diferentes a los anteriores, sólo
puede llevarse a cabo si financieramente resultan ambas
alternativas equivalentes.

Para determinar si dos alternativas son financieramente
equivalentes tendremos que valorar en un mismo momento y precisar
que posean iguales montos. Al momento de la valoración se
le conoce como época o fecha focal o
simplemente como fecha de análisis. Para todo esto el acreedor y el
deudor deberán estar de acuerdo en las siguientes
condiciones fundamentales:

– Momento a partir del cual calculamos los
vencimientos.

– Momento en el cual realizamos la equivalencia,
sabiendo que al cambiar este dato varía el resultado del
problema.

– Tasa de valoración de la
operación.

– Establecer si utilizamos la capitalización o
el descuento.

Ocurrencias probables:

– Cálculo del capital común.

– Cálculo del vencimiento
común.

– Cálculo del vencimiento medio.

Cálculo del capital
común

Es el valor C de un capital único que vence en el
momento n, conocido y que sustituye a varios capitales C1, C2,
…, Cn, con vencimientos en n1, n2, … , nn,
respectivamente, todos ellos conocidos en cuantías y
tiempos.

Para calcularlo debemos valorarlos en un mismo momento a
la tasa acordada, por una parte, los capitales iniciales y, por
otra, el capital único desconocido que los va a
sustituir.

Ejercicio 26 (Cálculo del capital
común – Capitalización simple)

Un empresario tiene cuatro obligaciones pendientes de UM
1,000, 3,000, 3,800 y 4,600 con vencimiento a los 3, 6, 8 y 11
meses respectivamente. Para pagar estas deudas propone canjear
las cuatro obligaciones en una sola armada dentro de 10 meses.
Determinar el monto que tendría que abonar si la tasa de
interés simple fuera de 15% anual.

Solución:

(10 – 3 = 7), (10 – 6 = 4), (10 – 8 = 2) y (11 – 10 =
1); i = 0.15/12 = 0.0125

VA = 1,000, 3,000 y 3,800; VF = 4,600; n = 7, 4, 2, 1; i
= 0.0125; VF10 =?

Calculamos con la fecha focal en 10 meses, para ello
aplicamos en forma combinada las fórmulas [5] de
capitalización y [6] de actualización:

VF10 = 12,676

Respuesta:

El monto a pagar por las cuatro obligaciones dentro de
10 meses es UM 12,676.

Cálculo del
vencimiento común

Es el instante n en que vence un capital único C
conocido, que suple a varios capitales C1, C2, …, Cn, con
vencimientos en n1, n2 … nn, todos ellos conocidos en
valores y tiempos.

La condición a cumplir es:

Para determinar este vencimiento procedemos de la misma
forma que en el caso del capital común, siendo ahora la
incógnita el momento donde se sitúa ese capital
único.

Ejercicio 27 (Vencimiento común –
Interés simple)

Un empresario tiene cuatro obligaciones pendientes de UM
1,000, 3,000, 3,800 y 4,600 con vencimiento a los 3, 6, 8 y 11
meses respectivamente. De acuerdo con el acreedor deciden hoy
sustituir las cuatro obligaciones por una sola de UM 14,000.
Determinar el momento del abono con una tasa de interés
simple de 15% anual. La fecha de análisis es el momento
cero.

Solución:

VF1…4 = 1,000, 3,000, 3,800 y 4,600; n1 … 4 = 3, 6,
8 y 11; n =?

1º Hacemos la equivalencia en el momento cero,
aplicando sucesivamente la fórmula [6] de
actualización:

2º Otra forma de solución es actualizar
los valores
futuros a la tasa y momentos conocidos, sumarlos y con este valor
actual total aplicar la fórmula (13) y obtendremos el
momento buscado.

VFT = 14,000; i = 0.0125; VAT =?; n =?

Respuesta:

El momento de pago de las cuatros obligaciones en un
solo monto es a 11 meses con 8 días.

Cálculo del vencimiento medio

Es el instante n en que vence un capital único C,
conocido, que suple a varios capitales C1, C2, … , Cn, con
vencimientos en n1, n2, … ,nn, todos ellos
conocidos.

La condición a cumplir es:

El cálculo es semejante al vencimiento
común, lo único que varía es el valor del
capital único que suple al conjunto de capitales
iniciales, que ahora debe ser igual a la suma aritmética
de los montos a los que reemplaza.

El vencimiento es una media aritmética de los
vencimientos de los capitales iniciales, siendo el importe de
dichos capitales los factores de ponderación.

Ejercicio 28 (Vencimiento medio –
Interés simple)

Un empresario tiene cuatro obligaciones pendientes de UM
1,000, 3,000, 3,800 y 4,600 con vencimiento a los 3, 6, 8 y 11
meses respectivamente. De acuerdo con el acreedor deciden hoy
sustituir las cuatro obligaciones por una sola. Determinar el
monto y el momento de pago si la tasa de interés simple
fuera de 15% anual. La fecha de análisis es el momento
cero.

Solución:

VF1…3 = 1,000, 3,000, 3,800 y 4,600; n1 … 3 = 3, 6,
8 y 11; n0 =?

1º Calculamos la media aritmética de los
vencimientos de los capitales:

0.23*30 = 6.9 días

2º Calculamos el valor actual de los capitales,
actualizándolos al instante cero:

3º Calculamos el monto total a pagar en 8.23 meses,
aplicando la fórmula [5]:

VA = 11,253.05; n = 8.23; i = 0.0125; VF =?

8 meses, 0.23*30 = 7 días

Respuesta:

El monto y momento de pago de las cuatros obligaciones
en un solo monto es UM 12,410.71 en 8 meses y 7
días.

1.4.7. El descuento bancario

Es un procedimiento financiero que consiste en la
presentación de un título de crédito en una
entidad financiera para que ésta anticipe su monto y
efectué el cobro de la obligación. El tenedor cede
el título al banco y éste le abona su importe en
dinero, descontando los gastos por los
servicios
prestados.

Clasificación

Según el título de crédito
presentado a descuento, distinguimos:

Descuento bancario. Cuando el título es
una letra de cambio.

Descuento comercial. Cuando las letras proceden
de una venta o de una prestación de servicios que
constituyen la actividad habitual del cedente.

Descuento financiero. Cuando las letras son la
instrumentalización de un préstamo concedido por el
banco a su cliente.

Descuento no cambiario. Cuando tratamos con
cualquier otro derecho de cobro (pagarés, certificaciones
de obra, facturas, recibos, etc.).

1.4.8. Valoración financiera del
descuento

El efectivo líquido, es la cantidad
anticipada por el banco al cliente, el mismo que calculamos
restando del importe de la letra (valor nominal) los gastos
originados por la operación de descuento, compuesto por
intereses, comisiones y otros gastos.

Intereses.- Cantidad cobrada por la
anticipación del importe de la letra. Calculada en
función del valor nominal descontado, por el tiempo que
anticipa su vencimiento y el tipo de interés aplicado por
la entidad financiera.

Comisiones.- Llamado también
quebranto o daño,
es la cantidad cobrada por el banco por la cobranza de la
letra.

Obtenida tomando la mayor de las siguientes
cantidades:

– Un porcentaje sobre el nominal.

– Una cantidad fija (mínimo).

Otros gastos.- Son los denominados
suplidos, pueden incluir los portes y el correo,
según la tarifa postal.

Ejercicio 29 (Descuento de una
letra)

Debemos descontar una letra de UM 10,000 faltando 60
días para su vencimiento, la tasa de descuento anual es
del 48%, la comisión de cobranza es el 3.8% y otros gastos
UM 4.00. Determinar el importe efectivo recibido por el
cliente:

i = 0.48/12 = 0.04; n = 60/30 = 2

1.4.9. Descuento de deudas que devengan
interés

Para descontar pagarés o documentos que devengan
interés es necesario calcular primero el monto nominal, es
decir, el valor nominal más el interés y descontar
después la suma. Este tipo de cálculo es
recomendado, incluso cuando el tipo de descuento es igual a la
tasa de interés.

Ejercicio 30 (Descontando un
pagaré)

El Banco descontó el 5 de Mayo del 2004 un
pagaré por UM 10,000 que tenía esta misma fecha.
Devengaba el 6% de interés y vencía el 5 de junio
del mismo año. Si el tipo de descuento del Banco es
también del 6% mensual, ¿cuál es el
descuento retenido por el Banco?

Solución:

1º Aplicando Excel
calculamos la fecha exacta de la operación
financiera:

VA = 10,000; n = 1; i = 0.06; VF =?

[5] VF = 10,000[1+(0.06*1)] = UM
10,600

2º Calculamos el descuento, VF = VN:

VN = 10,600; n = 1; d = 0.06; DC =?

[15] DC = 10,600*1*0.06 = UM 636.00

Respuesta:

Luego el descuento sobre este pagaré es UM
636.00

Ejercicio 31 (Valor líquido de
un pagaré)

Calcular el valor líquido de un pagaré de
UM 3,800, que devenga el 6% de interés mensual y vence a
los 90 días, si el tipo de descuento es de 7.5%
también mensual.

Solución:

1º Calculamos el monto a pagar dentro de 3
meses:

VA = 3,800; n = (90/30) = 3; i = 0.06; VF =?

[5] VF = 3,800*(1 + (3*0.06)) = UM
4,484.00

2º Descontamos este monto al 7.5%:

VN = 4,484; n = 3; d = 0.075; VA =?

[16] VA = 4,484*(1 – (3*0.075)) = UM
3,475.10

Respuesta:

El valor líquido del pagaré es UM
3,475.10

En la práctica financiera, obtenemos el valor
líquido descontando por el número efectivo de
días en el período de tres meses.

Ejercicio 32 (Calculando la fecha de
vencimiento de un pagaré)

Un empresario tiene un pagaré de UM 4,500 que no
devenga interés y vence el 20 de diciembre. Negocia con su
banco el descuento al 6% mensual. Calcular la fecha a partir de
la cual el valor líquido del pagaré no será
inferior a UM 4,350.

Solución:

VF = 4,500; VA = 4,350; d = 0.06; n = t/360; t =?; VF
=?

Reemplazando n por t/360, obtenemos:

Es decir, si el empresario descuenta el pagaré
200 días antes del vencimiento recibirá por lo
menos UM 4,350. La fecha es el 20 de julio, fecha
buscada.

30 – 20 de dic. = 10 días

(200 + 10) = 210/30 = 7 meses

Ejercicio 33 (Tipo de descuento de un
pagaré)

Un pagaré de UM 2,800, no devenga interés
con vencimiento a los 5 meses, descontado en el Banco. El valor
líquido ascendía a UM 2,680. Calcular el tipo de
descuento utilizado.

Solución:

VA = 2,680; VN = 2,800; n = (5/12) = 0.4166; d
=?

1º Calculamos el tipo de interés de la
operación financiera:

2º Determinamos la tasa de descuento
utilizada:

Respuesta:

El tipo de descuento fue de 10.29%.

Ejercicio 34 (Tasa equivalente al tipo
de descuento dado)

El Gerente de una
compañía presenta al Banco para descuento, un
pagaré de UM 2,500, sin interés, con vencimiento
dentro de 90 días. El tipo de descuento del Banco es el
48% anual con capitalización trimestral.
¿Qué tasa de interés cobra el banco? En
otras palabras, ¿qué tasa de interés es
equivalente al tipo de descuento dado?

Solución:

1º Calculamos la tasa periódica trimestral
que cobra el banco:

0.48/4 = 0.12 trimestral

2º Calculamos la cantidad cobrada por el banco por
concepto de descuento:

VN = 2,500; d = 0.12; n = 1; DC = ?

[15] DC = 2,500*1*0.12 = UM 300

3º Calculamos el valor líquido del
pagaré:

VN = 2,500; DC = 300; VA =?

[15A] VA = 2,500 – 300 = UM 2,200

4º Calculamos la tasa de interés equivalente
al descuento de 12% trimestral:

d = 0.12; n = 1; i =?

Descuento: 0.1364*4*100 = 54.56% equivalente al 48%
anual

5º Calculamos el valor actual y el descuento
considerando como tasa de interés el 0.13636 trimestral
aplicando el descuento racional, para compararlo con el descuento
comercial calculado:

[14] DR = 2,500 – 2,200 = UM 300

En ambos casos los resultados son idénticos, con
lo que queda demostrada la equivalencia de la tasa con el
descuento.

Respuesta:

La tasa de interés equivalente al descuento de
12% es 13.64% trimestral, tasa que nos proporciona el mismo
descuento comercial y racional.

Ejercicio 35 (Tipo de descuento
equivalente a la tasa dada)

El señor Rojas presenta en su Banco un
pagaré por UM 4,000, que devenga el 5% de interés
semestral con vencimiento dentro de 6 meses. Calcular el tipo de
descuento que debe cargar el Banco para que el dinero recibido
como descuento sea igual al interés sobre el pagaré
y el señor Rojas reciba UM 4,000 como valor
líquido. ¿Qué tipo de descuento es
equivalente a la tasa de interés del 5%
semestral?

Solución:

1º Calculamos el descuento equivalente a la tasa
del 5% semestral:

i = 0.05; n = 1; i =?