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El movimiento armónico simple




Enviado por vicma2009



    1. Movimiento Armónico
      Simple
    2. Elementos del Movimiento
      Armónico Simple
    3. Relación entre M A S y
      movimiento Circular Simple
    4. Ecuaciones del Movimiento
      Armónico Simple
    5. Péndulo
      Simple
    6. Periodo de un
      péndulo
    7. Aplicaciones del
      péndulo
    8. Conclusión
    9. Anexos
    10. Bibliografía

    INTRODUCCIÓN

    En la naturaleza hay
    muchos movimientos que se repiten a intervalos iguales de
    tiempo, estos
    son llamados movimientos periódicos. En Física se ha
    idealizado un tipo de movimiento oscilatorio, en el que se
    considera que sobre el sistema no existe
    la acción
    de las fuerzas de rozamiento, es decir, no existe
    disipación de energía y el movimiento se mantiene
    invariable, sin necesidad de comunicarle energía exterior
    a este. Este movimiento se llama MOVIMIENTO ARMÖNICO
    SIMPLE (MAS)

    El movimiento Armónico Simple, un movimiento que
    se explica en el movimiento armónico de una
    partícula tiene como aplicaciones a los péndulos,
    es así que podemos estudiar el movimiento de este tipo de
    sistemas tan
    especiales, además de estudiar las expresiones de la
    Energía dentro del Movimiento Armónico
    Simple.

    EL
    MOVIMIENTO ARMÓNICO SIMPLE

    Definición: es un movimiento
    vibratorio bajo la acción de una fuerza
    recuperadora elástica, proporcional al desplazamiento y en
    ausencia de todo rozamiento.

    Solemos decir que el sonido de una
    determinada nota musical se representa gráficamente por la
    función
    seno. Ésta representa un movimiento vibratorio llamado
    movimiento armónico simple, que es aquel que se obtiene
    cuando los desplazamientos del cuerpo vibrante son directamente
    proporcionales a las fuerzas causantes de este
    desplazamiento.

    Un ejemplo de este movimiento se puede encontrar a
    partir del desplazamiento de un punto cualquiera alrededor de
    toda la longitud de una circunferencia.

    Cuando un punto (P) recorre una circunferencia
    con velocidad
    uniforme, su proyección (Q) sobre cualquiera de los
    diámetros de esta, realiza un tipo de movimiento
    armónico simple. Cada vez que el punto se encuentre en uno
    de los cuatro cuadrantes de la circunferencia, se trazará
    una perpendicular desde el punto a un diámetro fijo de la
    circunferencia. A medida que el punto escogido se mueve a
    velocidad uniforme, el punto proyectado en el diámetro,
    realizará un
    movimiento oscilatorio

    rectilíneo.

    Para representar gráficamente (en una
    función) el movimiento armónico simple de un punto,
    se toman como abscisas los tiempos medidos como fracciones del
    período (T/12, T/6, T/4…) que es el tiempo que este
    punto tarda en dar una vuelta completa a la circunferencia; y
    como a ordenadas las sucesivas prolongaciones del mismo. La
    resultante es una sinusoide, ya que la variación del
    tiempo t, se traduce como una variación del sin
    x
    , donde x es el ángulo que forma el radio con el
    semi-eje positivo de abscisas (x es proporcional al
    tiempo).


    Elementos:

    1. Oscilación o vibración:
    es el movimiento realizado desde cualquier posición
    hasta regresar de nuevo a ella pasando por las posiciones
    intermedias.

    2. Elongación: es el desplazamiento de la
    partícula que oscila desde la posición de equilibrio
    hasta cualquier posición en un instante dado.

    3. Amplitud: es la máxima
    elongación, es decir, el desplazamiento máximo a
    partir de la posición de equilibrio.

    4. Periodo: es el tiempo requerido para realizar
    una oscilación o vibración completa. Se designa con
    la letra "t".

    5. Frecuencia: es el número de
    oscilación o vibración realizadas en la unidad de
    tiempo.

    6. Posición de equilibrio: es la
    posición en la cual no actúa ninguna fuerza neta
    sobre la partícula oscilante.

    Relación entre
    el M.A.S. y el Movimiento Circular Uniforme

    El M.A.S. de un cuerpo real se puede considerar como el
    movimiento de la "proyección" (sombra que proyecta) de un
    cuerpo auxiliar que describiese un movimiento circular uniforme
    (­M.C.U.) de radio igual a la amplitud A y velocidad
    angular ω, sobre el
    diαmetro vertical de la circunferencia que
    recorre.

    En lo siguiente podrás visualizar dicha
    relación.

    Vamos a
    establecer una relación entre un movimiento vobratorio
    armónico simple y el movimiento circular uniforme. Esto
    nos va a permitir dos cosas:

    – Hallar la ecuación del MAS sin tener
    que recurrir a cálculos matemáticos
    complejos.

    – Conocer de donde vienen algunos de los
    conceptos que usamos en el MAS, como frecuencia angular o el
    desfase.

    Observando el applet que viene a
    continuación. Tememos inicialmente el resorte azul, que
    oscila verticalmente. En la circunferencia tienes un punto negro
    que gira con movimiento circular uniforme, ocupando en cada
    instante una posición en la circunferencia. Traza
    mentalmente la proyección de esa posición sobre el
    diámetro vertical de la circunferencia. En cada momento,
    la masa que cuelga del resorte ocupa una posición
    determinada.  Observa que la posición de la masa del
    resorte coincide exactamente con la proyección de la
    posición del objeto sobre el diámetro, que
    verás en forma de línea azul en el diámetro
    vertical.

    Es decir, como resumen, cuando un objeto gira
    con movimiento circular uniforme en una trayectoria circular, el
    movimiento de la proyección del objeto sobre el
    diámetro es un movimiento armónico
    simple.


    Lo mismo
    podríamos decir del resorte amarillo y la
    proyección sobre el diámetro horizontal, que
    verás como un trazo amarillo sobre dicho
    diámetro.

    Los vectores azul
    y amarillo, que varían en el applet, corresponden al
    valor de la
    velocidad del resorte, azul para diámetro vertical y
    amarillo para el horizontal. Observa su variación y
    comprobarás que la velocidad es máxima en el centro
    de equilibrio del resorte y mínima en los extremos, en los
    puntos de mínima y máxima elongación.
    Observa también como el vector rojo de la gráfica
    de la derecha, la velocidad del MAS, coincide con el vector azul,
    la velocidad de la proyección sobre el diámetro
    vertical, lo que supone una prueba más de lo que hemos
    afirmado anteriormente.

    Ecuaciones del Movimiento
    Armónico Simple

    Fórmulas:

    x = A . cos . w . t

    x = elongación

    r = A = radio

    t = tiempo

    w = velocidad angular

    Vx = – V . sen Ø

    V = w . r

    h = w . t

    w . t = V = Vector representativo de la velocidad
    lineal.

    Vx = proyección de "Y" sobre el eje
    "X"

    h = ángulo

    Vx = -2 . F . A . sen (2 . )

    Vx = + w " A2 – x2

    Ax = – w2 . A . cos. w . t

    Ax = – Ac . cos Ø

    Ac = proyección de aceleración sobre el
    eje horizontal

    Ac = w2 . x

    Ac = aceleración centrípeta

    t = 2 " mk

    T = periodo

    Péndulo
    simple

    Definición: es llamado
    así porque consta de un cuerpo de masa m, suspendido de un
    hilo largo de longitud l, que cumple las condiciones
    siguientes:

    • el hilo es inextensible
    • su masa es despreciable comparada con la masa del
      cuerpo
    • el ángulo de desplazamiento que llamaremos 0
      debe ser pequeño

    Como funciona: con un hilo inextensible su masa
    es despreciada comparada con la masa del cuerpo el ángulo
    de desplazamiento debe ser pequeño.

    Hay ciertos sistemas que, si bien no son estrictamente
    sistemas sometidos a una fuerza tipo Hooke, si pueden, bajo
    ciertas condiciones, considerarse como tales. El péndulo
    simple, es decir, el movimiento de un grave atado a una cuerda y
    sometido a un campo gravitatorio constante, es uno de
    ellos.

    Al colocar un peso de un hilo colgado e inextensible y
    desplazar ligeramente el hilo se produce una oscilación
    periódica. Para estudiar esta oscilación es
    necesario proyectar las fuerzas que se ejercen sobre el peso en
    todo momento, y ver que componentes nos interesan y cuales no.
    Esto se puede observar en la figura
    13.1
    .

    Vemos pues que, considerando únicamente el
    desplazamiento tangente a la trayectoria, es decir, el arco que
    se está recorriendo, podemos poner

    Que a veces también se expresa como .

    Esta ecuación es absolutamente análoga a
    la de un movimiento armónico simple, y por tanto su
    solución también será (13.2)
    teniendo, únicamente, la precaución de sustituir el
    valor de antiguo por el que tiene ahora para un
    péndulo

    A
    partir de aquí se pueden extraer todas las demás
    relaciones para un péndulo simple, el periodo, frecuencia,
    etc.

    Período de
    un Péndulo

    Período: Se define como el
    tiempo que se demora en realizar una oscilación completa.
    Para determinar el período se utiliza la siguiente
    expresión T/ N° de Osc. ( tiempo empleado dividido por
    el número de oscilaciones).

    1) El periodo de un péndulo es independiente de
    su amplitud. Esto significa que si se tienen 2 pendulos iguales
    (longitud y masa), pero uno de ellos tiene una asmplitud de
    recorrido mayor que el otro, enambas condiciones la medida del
    periodo de estos péndulos es el mismo.

    2) El periodo de un péndulo es directamente
    proporcional a la raíz cuadrada de su longitud. Esto
    significa que el periodo de un péndulo puede aumentar o
    disminuir de acuerdo a la raíz cuadrada de la longitud de
    ese péndulo.

    Aplicaciones

    Algunas aplicaciones del péndulo son la medición del tiempo, el
    metrónomo y la
    plomada.

    Otra aplicación se conoce como
    Péndulo de Foucault, el cual se
    emplea para evidenciar la rotación de la Tierra.
    Se llama así en honor del físico francés

    Léon Foucault y está formado
    por una gran masa suspendida de un cable muy largo.

    También sirve, puesto que un péndulo
    oscila en un plano fijo, como prueba efectiva de la
    rotación de la Tierra,
    aunque estuviera siempre cubierta de nubes: En 1851 Jean Leon
    Foucault
    colgó un péndulo de 67 metros de largo de la
    cúpula de los Inválidos en Paris
    (latitud≅49º). Un recipiente
    que contenía arena estaba sujeto al extremo libre; el hilo
    de arena que caía del cubo mientras oscilaba el
    Péndulo señalaba la trayectoria: demostró
    experimentalmente que el plano de oscilación del
    péndulo giraba 11º 15’ cada hora y por tanto
    que la Tierra
    rotaba.

    CONCLUSIÓNES

    • El Movimiento Armónico Simple es un movimiento
      periódico en el que la posición
      varía según una ecuación de tipo senoidal
      o cosenoidal.
    • La velocidad del cuerpo cambia continuamente, siendo
      máxima en el centro de la trayectoria y nula en los
      extremos, donde el cuerpo cambia el sentido del
      movimiento.
    • El M.A.S. es un movimiento acelerado no
      uniformemente
      . Su aceleración es
      proporcional al desplazamiento
      y de signo opuesto a
      este. Toma su valor máximo en los extremos de la
      trayectoria, mientras que es mínimo en el
      centro.
    • Podemos imaginar un M.A.S. como una proyección
      de un Movimiento Circular Uniforme. El desfase nos indica la
      posición del cuerpo en el instante inicial.

    ANEXOS

    ENUNCIADOS DE PROBLEMAS DEL
    M.A.S.

    1.- Una masa de 400g unida
    a un resorte de k = 100 N/m realiza un M.A.S de amplitud 4 cm.
    a) Escribe la ecuación de su
    posición en función del tiempo, si empezamos a
    contarlo cuando la soltamos desde la posición extrema. b)
    Calcula el tiempo que tarda en pasar por primera vez por la
    posición de equilibrio. c)
    ¿Cuánto tarda en llegar desde la posición de
    equilibrio hasta una elongación de 2 cm? ¿Y desde 2
    cm al extremo?. d) ¿Cual es la velocidad
    media para el recorrido que va desde el centro hasta el extremo
    de la oscilación?. e) ¿Será
    cero la velocidad media de una oscilación
    completa?

    2.– Una partícula que oscila con
    M.A.S. describe un movimiento de amplitud de 10 cm y periodo 2 s.
    Cuando se encuentra 3 cm del origen tiene dos velocidades, Una
    mientras va hacia un extremo y otra cuando regresa.
    a) Calcula estas velocidades.
    b) Escribe la ecuación de la
    posición con un desfase, suponiendo que empezamos a contar
    el tiempo cuando está en ese punto (3cm).

    3.- Una partícula de 10 Kg se
    mueve sobre el eje X hacia el origen sometida a una fuerza igual
    a – 40x (N), estando x expresada en metros. Si inicialmente
    se encuentra a 5 m del origen, con una velocidad de 15 m/s
    dirigida hacia el centro, calcula: a) La
    amplitud del movimiento. b) El instante en que
    pasa por primera vez por el origen.

    4.- Un objeto realiza un movimiento
    armónico simple. Cuando se encuentra a 3 cm de la
    posición de equilibrio su velocidades es 6 m/s, mientras
    que si la distancia es de 5 cm, su velocidades es 2 m/s. Calcula
    la amplitud del movimiento.

    5.- Un resorte de acero tiene una
    longitud de 8 cm, pero al colgar de su extremo libre una masa de
    1 Kg, su longitud es de 14 cm. ¿Cuál será la
    frecuencia de oscilación de esa masa, cuando se desplaza
    verticalmente fuera de la posición de equilibrio? Nota:
    tomar g = 9’8 m/s2).

    6.- Un punto material de 25 g describe
    un M.A.S. de 10 cm de amplitud y período de 1 s. En el
    instante inicial la elongación es máxima. Calcula:
    a) La velocidad máxima que puede alcanzar
    la citada masa. b) El valor de la fuerza
    recuperadora al cabo de un tiempo igual a 0’125
    s.

    7-. La energía total de un
    cuerpo que realiza un M.A.S. es de 3·10- 4 y la
    fuerza máxima que actúa sobre el es
    1’5·10-2 N. Si el periodo de las
    vibraciones es 2 s y la fase inicial 60º, determinar:
    a) La ecuación del movimiento de este
    cuerpo. b) Su velocidad y aceleración
    para t = 0.

    BIBLIOGRAFÍA

    A. P. Maiztegui – J. A. Sabato

    "Introducción a la física"

    Editorial Kapelus

    Microsoft Corporation ®

    "Encarta 2000"

    http://www.xtec.es/centres/a8019411/caixa/movhar_es.htm


    http://html.rincondelvago.com/movimiento-armonico-simple_3.html

    http://perso.wanadoo.es/cpalacio/mas2.htm

    http://www.monografias.com/trabajos13/fiuni/fiuni

    http://perso.wanadoo.es/cpalacio/mcu2.htm


    http://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica/oscilaciones/circular/oscila1.htm

    http://usuarios.lycos.es/pefeco/mas2/mas2.htm

    http://es.wikipedia.org/wiki/P%C3%A9ndulo

    http://html.rincondelvago.com/movimiento-armonico-simple_3.html

     

    vicmary saa portillo

    Maracay Diciembre del 2005

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