- Resumen
- Proceso de construcción
de modelos - Tecnología en problemas
lineales "El SOLVER" - Tecnología en
problemas complejos - Los Datos y la
Metodología - Conclusiones
- Bibliografía
El siguiente artículo versa sobre el uso de las
herramientas
tecnológicas más poderosas existentes, y su
discusión se emplea en modelos cuantitativos complejos. En
este contexto se asume que el lector tiene habilidades y/o
conocimientos en dicha tecnología. Se evalúan dos
modelos que tienen un impacto sobre las sociedades y
su entorno, por lo cual en respuesta a la didáctica educacional se espera que sea de
uso para la gerencia,
especialistas en al área de ciencias
administrativa y que finalmente de apoyo a la toma de
decisiones.
Palabras Claves:
Tecnología, Solver, Modelo,
Atractor, Caos, Acciones,
Rendimiento, Fractal
Abstract:
The following article turns on the use of one of the
existing most powerful tools in the electronic spreadsheets, and
its discussion is used in complex quantitative models. In this
context it is assumed that the reader has abilities and/or
knowledge in these leaves. Two models are evaluated that have an
impact on the societies and their surroundings, thus in answer to
the educational Didactics it hopes that it is of use for the
specialists in a the administrative area and that finally of
support to the decision making.
Key words:
Tecnologhy, Solver, Model, Atractor, Chaos, Actions,
Yield, Fractal.
En estos tiempos donde se habla de la tecnología,
información, sociedad de la
información y del conocimiento,
etc., aprovecho la oportunidad para plantear una discusión
sobre lo poderosa que es la tecnología en los modelos
cuantitativos, hoy gracias a ella pueden ser resueltos desde los
softwares más complejos hasta los más simples, pero
voy a referirme a dos modelos en particular los lineales y los
complejos dinámicos no lineales. Es de hacer notar que
estos problemas se
presentan en las ciencias administrativas y es requisito
indispensable en casi todas las áreas de ciencias
sociales, ingeniería, y en cualquiera de las carreras
universitarias como Ciencias Estadísticas, Economía, Administración, entre otras.
Para resolver estos tipos de problemas se construyen
modelos para el análisis y la toma de decisiones
administrativas, los cuales en tiempos remotos se utilizaban
algoritmos muy
complejos entre ellos el del método
simplex y el dual, estas técnicas
manualmente son complejas, pero con la tecnología
aparecieron softwares para resolver sendos problemas entre ellos
se encuentra el más conocido que es el "LINDO", pero hoy
tenemos la oportunidad de resolverlos muy fácilmente
mediante la hoja de
cálculo de excel y el
paquete agregado llamado "SOLVER", que optimiza los modelos
sujetos a restricciones, como los modelos de programación
lineal y no lineales, la cual permite obtener las soluciones
óptimas para un modelo determinado, a su vez, para los
problemas complejos dinámicos y no lineales existe otra
tecnología de punta para resolverlos, como es el caso de
los paquetes estadísticos SAS y SPSS, y que los cuales
dependiendo de los niveles de dificultad de la
organización estos aporten información para que
se tomen las mejores decisiones para resolver los conflictos de
una empresa,
por lo tanto es de esperar que debe haber una combinación
óptima entre la tecnología y los modelos
cuantitativos.
PROCESO DE
CONSTRUCCIÓN DE MODELOS
Para comenzar debemos plantearnos como es el proceso de
construcción de los modelos, para ello las
consideraciones matemáticas pueden expresarse en
términos generales, de la siguiente manera:
Xj = j-ésima variable de
decisión
Cj = Coeficiente de ganancia (o costo) de la
j-ésima variable
Z = Función
que debe maximizarse (o minimizarse)
Por lo tanto, para n variables de
decisión, el objetivo que
debe maximizarse o minimizarse se convierte en:
Z = C1X1 + C2X2 + ……..+CjXj +
….. + CnXn
Las restricciones requieren la definición de dos
términos generales
aij = Coeficiente de la j-ésima variable en la
i-ésima restricción
bi = Limitación de capacidad de la i-ésima
restricción
estos es, sujeto a: aij Xij <=
bi
y todas las Xij >= 0
Un modelo matemático:
"es un conjunto de ecuaciones
que describen un sistema o
problema. La descripción de un sistema mediante un
modelo hace posible analizar el sistema y ensayar diferentes
alternativas sin interrumpir el sistema real"
Tecnología en
problemas lineales "El SOLVER"
La tecnología representa dominio de los
conocimientos propios de un arte u oficio,
con ella se espera resolver de una manera fácil y
sencillas múltiples problemas, Habermas (1990) para
referirse a tecnología plantea lo siguiente: "con la
palabra técnica nos referimos, en efecto, en primer lugar
un conjunto de medios que
permiten una eficaz realización de fines con un ahorro de
trabajo, o
sea, instrumentos, máquinas,
autómatas.
Pero con esa palabra aludimos también a un
sistema de reglas que determinan la acción
racionalmente adecuada, a fines; aludimos, pues, a estrategias y
tecnologías." Un modelo lineal se puede explicar mediante
un ejemplo bien sencillo sobre la optimización de un
cartera de inversión, para ello suponga que
Andrés Z. Es presidente de una microempresa de
inversiones
que se dedica a administrar las carteras de acciones de varios
clientes.
Un nuevo cliente ha
solicitado que la compañía se haga cargo de
administrar para él una cartera de 100.000$. A ese cliente
le agradaría restringir la cartera a una mezcla de tres
tipos de acciones únicamente, como podemos apreciar en la
siguiente tabla.
Al formular un modelo de Programación Lineal para mostrar
cuántas acciones de cada tipo tendría que comprar
Andrés se consigue de maximizar el rendimiento anual total
estimado de esa cartera.
Acciones | Precio ($) | Rendimiento Anual Estimado por | Inversión Posible |
Navesa | 60 | 7 | 60.000 |
Telectricidad | 25 | 3 | 25.000 |
Rampa | 20 | 3 | 30.000 |
Para solucionar este problema debemos seguir los pasos
para la construcción de modelos de programación
lineal (PL):
1.- Definir la variable de decisión.
2.- Definir la función objetivo.
3.- Definir las restricciones.
Luego construimos el modelo:
MAX Z = 7X1 + 3X2 + 3X3
S.A.:
60X1 +25X2 + 20X3 <= 100.000
60X1 <= 60.000
25X2 <= 25.000
20X3 <= 30.000
Xi >= 0
A continuación se construye el modelo en una hoja
de cálculo
de excel de la siguiente manera:
En la fila 2 se coloca la variable de decisión la
cual es el número de acciones y sus valores desde
la B2 hasta la D2.
En la fila 3 el rendimiento anual y sus valores desde B3
hasta D3.
En la celda E3 colocaremos una formula la cual nos va
indicar el rendimiento anual total,
=sumaproducto($B$2:$D$2;B3:D3).
Desde la fila B5 hasta la D8 colocaremos los
coeficientes que acompañan a las variables de
decisión que componen las restricciones.
Desde la E5 hasta la E8 se encuentra la función
de restricción (LI) y no es mas que utilizar la siguiente
formula =sumaproducto($B$2:$D$2;B5:D5) la cual se alojaría
en la celda E5, luego daríamos un copy hasta la
E8.
Desde la F5 hasta F8 se encuentran los valores de
las restricciones.
Desde la G5 hasta G8 se encuentra la holgura o
excedente.
Una vez completada la hoja de cálculo con el
modelo respectivo ¡GRABE SU HOJA!, y seleccione
"Solver…" en el menú de "Herramientas", ahí
tendrá que especificar dentro del cuadro de dialogo de
Solver:
- La celda que va a optimizar
- Las celdas cambiantes
- Las restricciones
Así tendremos la siguiente pantalla:
Como se puede observar en la celda objetivo se coloca la
celda que se quiere optimizar, en las celdas cambiantes las
variables de decisión y por último se debe de
complementar con las restricciones. Una vez realizado estos pasos
deben pulsar el icono de "Opciones" y debe hacer clic en "Asumir
modelo lineal" y enseguida el botón de "Aceptar". Luego
haga clic en el botón de "Resolver" para realizar la
optimización, lea detenidamente el mensaje de
terminación de Solver y ahí observará si se
encontró una solución o hay que modificar el
modelo, en caso de haber encontrado una solución
óptima usted podrá aceptar o no dicha
solución, luego tendrá oportunidad de analizar un
informe de
análisis de sensibilidad para luego tomar la mejor
decisión.
En nuestro ejemplo el máximo rendimiento anual
fue de 12750$, y la cantidad de acciones a comprar serían
750, 1000 y 1500 para Navesa, Telectricidad y Rampa
respectivamente.
Como se observa la tecnología logra para
problemas básico soluciones muy rápidas para la
toma de decisiones
Tecnología en problemas
complejos
Igualmente existe tecnología para resolver
problemas muy complejo, y tenemos hoy paquetes
estadísticos como el SAS y el SPSS, que son muy
útiles en muchas áreas como es en el caso de la
teoría
del caos, la cual evidentemente que en los últimos
años ha obtenido un desarrollo
atómico de las tecnologías emergentes de computación, gracias a la
tecnología, hoy en día puede tomar pocos minutos
resolver lo que a personajes como Gauss, Ludwing Philipp,
Laplacce, Newton o
Einsten le habrían de tomar toda sus vidas.
Dicha teoría trata de explicar todos aquellos
fenómenos que, por su complejidad, resultan ser
extremadamente interesantes para las ciencias y el cual su
esencia es el orden, Andrés Reyes (2001) plantea que "para
detectar si un sistema dinámico es caótico o
aleatorio se puede emplear diferentes métodos
entre ellos el basado en el mayor exponente de Lyapunov y el de
Rangos Reescalados", para esto se presenta un ejemplo que intenta
dilucidar este aspecto.
Suponga que tiene la mayor cantidad de datos
correspondientes a las Tasas de
Interés nominales anuales promedio ponderadas de uno
de los Bancos
Comerciales y Universales del país y, utilizando algunas
técnicas, demostraremos si el sistema es realmente
aleatorio o sigue una búsqueda sesgada al gráficar
los datos de la serie y obtener los puntos donde se concentran y
comprobar que el atractor es bidimensional, luego calcularemos el
exponente de Hurst, el cual tiene el propósito de
normalizar las mediciones de la serie a estudiar respecto al
tiempo, este
término se conoce como Análisis de Rango
Reescalado, pero para calcular el exponente de Hurts debemos
asumir que la tasa de
interés ofrecida por la institución financiera
es:
- una variable aleatoria independiente y
- con igual varianza cada día, entonces podemos
escribir la varianza semanal simplemente como la suma de las
varianzas diarias, es decir:
2(lu+ma+mi+ju+vi) =
52(lu)
donde, lu,ma…,vi está referido a los
días lunes, martes,…viernes y 2 es la
varianza diaria. Esto es así dado que asumida independencia,
todas las covarianzas correspondientes serán nulas, y
además dado que los rendimientos de las tasas son iguales,
podemos factorizar por la varianza del día
lunes.
la expresión matemática
para calcular el rango reescalado es la siguiente:
R/S = (aN)H
donde:
R/S = Rango Reescalado
R = máx(XtN) – min(XtN) = Rango entre el
valor
máximo y el mínimo.
S = Desviación estándar de las
desviaciones.
a = una constante.
N = Número de observaciones.
H = Exponente de Hurst.
Para la estimación econométrica de esta
ecuación, solo basta linealizar aplicando logaritmos y
proceder al ajuste vía mínimos cuadrados para
obtener un proxy del
coeficiente de Hurst (H), que corresponderá a la pendiente
de recta estimada. El modelo a estimar es:
LN(R/S) = LN(a) + H*LN(N) +
Donde = los residuos del modelo
Así, de acuerdo a las investigaciones,
existen tres clasificaciones posibles para el exponente de
Hurst:
Si H=0,5 entonces la serie es una búsqueda
aleatoria en el que una observación tiene una correlación
nula con cualquiera de los instantes anteriores o
posteriores.
Sí H > 0,5 entonces la serie es
antipersistente, es decir que un período bajo
tendrá mayores probabilidades de producir un
período alto a continuación, y viceversa, es decir,
existirá un porcentaje de probabilidad de
que el segundo evento no sea igual al primero
Si H < 0,5 entonces la serie es persistente que
refuerza la tendencia original es decir, existirá mayor
probabilidad de que si un período es bajo el siguiente sea
bajo, y viceversa.
Usamos la serie de las tasas de interés de
una institución financieras del país para el
período 2002 – 2004 (N = 1876 datos para el banco). El
procedimiento
seguido es descrito a continuación:
Paso 1: Se particiona la muestra total en
submuestras de similar tamaño, n =1876/i, donde i=1
(inincialmente trabajamos con la muestra total, es decir, para
i=1 tenemos n=N). Para cada partición de tamaño n
se cálculo la media y la desviación
estándar.
Paso2: Calculamos las diferencias y las diferencias
acumuladas de cada observación con respecto a la media del
grupo
respectivo. Identificamos la máxima y la mínima
diferencia acumulada de cada grupo. La diferencia (resta) de
estos valores extremos es llamada el rengo de cada
partición.
Paso 3: Dividimos el rango por la desviación
estandar para obtener el rango reescalado (R/S) de cada
partición. El promedio de tales rangos será el
valor de (R/S) a usar, y que junto con el tamaño de las
particiones (n), constituye un par de datos para la
regresión.
Paso 4: Hacemos i=2 y volvemos al Paso 1. Repetimos este
ciclo para i=3,4,6,8,12,18,30,40,54,80 y 160, para obtener 13
pares de datos como los descritos en el paso 3.
Como se observa, el procedimiento es muy complejo y
engorroso por lo tanto sí no existiera este tipo de
tecnología, pasaríamos horas calculando estos
coeficientes y no fuera oportuna la información para la
toma de decisiones gerenciales.
Los Resultados son los siguientes
La tabla 1 muestra los resultados obtenidos al utilizar
los paquetes estadísticos SAS y SPSSS los cuales realizan
el algoritmo del
procedimiento anteriormente descrito de una manera muy
rápida.
Tabla 1: Análisis R/S para las Tasas de
Interés Diarias
2002 – 2004
Luego se aplica por medio del SAS y/o SSPS una regresión
lineal simple para las dos últimas columnas de datos
de la tabla anterior. Los resultados se muestran en la tabla
2
Tabla 2: Resultados de
Regresión
El resultado de un H=0,367152 explica que la serie es
persistente y que refuerza la tendencia original es decir,
existirá mayor probabilidad de que si un período es
bajo el siguiente sea bajo, y viceversa.
Además se observa que este procedimiento ha
servido para ilustrar como se puede reconstruir el espacio de
fases de un sistema dinámico y se establece que un
determinado objeto de dimensionalidad n conservará sus
características inherentes en una dimensión m
siempre y cuando m sea mayor a n más uno.
Mediante la técnica de desfasamiento se
generarán los datos que permitirá graficar los
valores de la serie de las tasas de interés en un plano.
Al aumentarle una dimensión a la serie de tiempo
observaremos el atractor y analizaremos el agrupamiento de los
puntos dentro de los limites.
El exponente de Hurst esta relacionado con dos conceptos
que son importantes, los cuales son: la correlación y la
dimensión fractal. La correlación según
Reyes Polanco (2001) se define como:
C(r) = lim(1/n2){números pares (i,j)
tales que la distancia [xi – xj] es menor que r} n ® ¥ y la cual
se relaciona con el coeficiente de Hurst con la siguiente
ecuación
C(r ) = 2(2H-1) – 1
Sí el valor de H=0.5, se obtiene
correlación nula, sí H<0.5 la correlación
es negativa y sí H>0.5 la correlación es
positiva, siendo perfecta cuando H es igual a la
unidad.
La relación entre H y la dimensión fractal
esta dad por D = 1/H
En nuestro caso en particular C(r ) = 0,07945 y D=2,7384
este resultado se interpreta de la siguiente manera como ambos
resultados son bajos se puede inferir que la serie puede provenir
a lo sumo de un sistema caótico, el cual es predecible a
muy corto plazo.
Así con estos ejemplos se demuestra que frente a
estos cambios tecnológicos, el
conocimiento no puede ser pasivo, hay que tratar de hacer ver
los aportes que nos da la tecnología, y como plantea
Clarke (1990) "que cualquier tecnología suficientemente
desarrollada se torna indiscernible de la magia.
Esta apreciación cuadra perfectamente bien con
las actitudes y
expectativas, de esa mayoría de personas, los hombres de
letras incluidos, que desconocen los principios en que
se funda el funcionamiento de la práctica totalidad de las
máquinas, aparatos y servicios que
nos envuelven y controlan en la sociedad tecnológica de
nuestros días", y para este autor la tecnología es
casi mágica ya que gracias a ella y a su adaptabilidad en
la sociedad se convierte en universal y a través del
tiempo se convertirá en la forma de vida de los seres
humanos y de ahí dependerá la calidad de
vida de cada quién.
De está forma podemos observar la potencia que
tiene la tecnología en los modelos cuantitativos, es muy
útil y fácil de manejar, además que nos da
la oportunidad de realizar análisis de sensibilidad, esto
aunado a que en muchas áreas es de mucha importancia para
el gerente y/o
administrador,
como es el caso de los pronósticos cuantitativos.
Se puede señalar que el uso de la
tecnología es hoy de uso común y masivo de la
población, y además nos da la
oportunidad de utilizar técnicas y herramientas muy
complejas que de manera sencilla nos sirven para resolver
problemas lineales y también complejos con la finalidad de
poder tomar decisiones y así disminuir el grado de
incertidumbre en cualquier investigación.
Para el gerente de hoy es necesario conocer las
diferentes tecnologías existentes en la sociedad, para
poder observar y analizar los diferentes entornos en que vivimos
y así poder aportar conocimiento a la sociedad como tal,
la cual necesita del aporte de todos para una educación y un
país mejor.
Sametband, José (1995). Entre el orden y el caos:
la complejidad. Fondo de Cultura
Económica. México.
Eppen, M. (2000). Investigación
de Operaciones en las Ciencias Administrativas. Prentice
Hall.
Reyes P, A.E. (1996). Predicción y Caos. Temas de
Fronteras en el Campo de la Gerencia. Cuadernos de postgrado No.
11, pp.143-155.
Reyes P, A.E. (2001). Estadísticas y Modelos
Financieros. Tecnologías de Información. Cuadernos
de Postgrado No.15, pp. 41-62.
Monroy, Cesar.(1998). Teoría del Caos. Computec.
Colombia.
Pindyck, Robert. (1998) Econometría. Modelos y
Pronósticos. Mc Graw Hill.
Fredy A. Zavarce C.
Estadístico