Utilización de las álgebras geométricas de Clifford en fenómenos físicos

1. Estudio geométrico de
   los términos de la ecuación de
   Schroedinger
3. Deformaciones
4. Rotaciones
5. Tras las pistas de un fotón
   semi-clásico con las G.A.
6. Referencias
   
   

Las algebras geométricas se han mostrado muy
interesantes herramientas
para trabajar en volúmenes en lugar del plano. Los
números complejos son muy útiles para representar
puntos y vectores en el
plano.

Esto intrigó a Hamilton, quien estuvo pensando un
sistema que
sirviera igualmente para la representación en el espacio
3D. Estuvo pensándolo mucho tiempo, pero
no lo lograba, y el error se encontraba en que pensaba que
debían ser 3 componentes, cuando son 4 los que tienen el
algebra de los cuaterniones, que hace posible la
representación de puntos, vectores y rotaciones en
3D.

Si el centro es O, la línea verde es OM, la línea
azul es MP y la línea roja es OP.

Con esta simple representación se obtiene la
relación que aplicamos siempre a espacio o tiempo en
función
del observador:

No existe ningún inconveniente en utilizar la
notación compleja para hacer los cálculos.
Así, podemos asignarle a uno de ellos el valor
imaginario de esta forma:

Como se cuenta respecto a un segundo, aunque hablamos de
distancias, nada nos impide utilizar velocidades (arbitrariamente
asigno el eje X a los valores
imaginarios):

Como c es constante, podemos tomar la
componente compleja como la virtual Vx, componente virtual de la
velocidad, y lo mismo podríamos hacer respecto a un
supuesto eje virtual Vy, o Vz. Hay un problema. Solo tenemos un
módulo real, y una velocidad virtual. Una vez
más podemos probar a utilizar los números
cuaterniones (yastaquí el pesao de turno otraves
con los cuenterninesss ) para crear una esfera con un "eje
real" en el que se proyectan los valores de
"tres ejes imaginarios, x, y, z". Sencillamente tenemos que en el
plano se da esta expresión:

… la cual nos interesaría tener una abstracción,
copiando el procedimiento de
Russell, si fuese o fuera posible: bien, Bertrand Russell dijo
que podía dibujar el espaciotiempo en 2D, pero podemos
dibujarla en 3D (+1). Para dibujar el espaciotiempo en 3D (+1)
tenemos los citados números que tienen un valor real y 3
imaginarios.
Procedemos así: damos un valor imaginario a las
componentes x, y, z de la velocidad, un valor Real al que
efectivamente medimos desde el pto de vista del observador y una
velocidad constante c que es la de la velocidad de la luz
en el vacío.

Que deberá cumplir el algebra de Hamilton:

En módulo no puede ser superior a "c" en el vacío,
pero nunca hemos tenido en cuenta los cambios de dirección. Buscando el valor de la variable
"real":

Si no hay cambio en la
dirección, la velocidad REAL, ES C, pero si hay cambios en
la dirección Vr es siempre menor que c, lo cual
intuitivamente parece lógico.

Un vector (o para nombrarlo mejor, un paravector) como
este, tiene un módulo:

Pero además, si en lugar de poner x -> x' pones el
vector r, obtienes el escorzo en las tres dimensiones… de
entrada, interesante, ¿no?
Como estás hablando de cantidad de movimiento, esta enlaza
con la ecuación de cantidad de movimiento que se obtiene
en el electromagnetísimo y con la mecánica
cuántica, si bien en esta última, de momento,
con la velocidad estoy operando como "pure quaternions" o
vectores.
(Extractos no literales del libro "De
Natura Visibilium Et Invisibilium" Cap. "Sobre la constancia
de la velocidad de la luz", de R. Aparicio, y de "Siglo XXI: La
física que
nos espera")

ESTUDIO
GEOMÉTRICO DE LOS TÉRMINOS DE LA ECUACIÓN DE
SCHROEDINGER
La importancia de los números
complejos a la hora de representar puntos o vectores en el plano,
reside en que pueden ser escritos del siguiente modo:

a = b·x+c·y

Escogemos un eje, el de los números reales, como X, y el
de los números imaginarios como Y:

a = b + c·i

Pero también podría tomarse la siguiente
convención, haciéndo el eje de las abcisas, el de
los números imaginarios:

a = b·i + c

Así, en el plano, nos es indiferente si estamos tratando
con un número complejo o un número real. Lo que es
importante es que respresentan una realidad "en el plano"
aunque los números no sean reales.
Del mismo modo, en la expresión que indicas, cuando se
remarca que es el valor "real", habría que comprender
exactamente si nos referimos a algo "real" o a un "número
real". Más si tratamos del espacio 3D.
De este modo, se puede llegar a una convención
según la cual la tríada i, j, k, son los
números correspondientes a un espacio real
compuesto por números (hiper)complejos,
pertenecientes a las algebras de Clifford, y la parte "real"
podemos tomarla como la correspondiente al "tiempo". Realmente,
reales serían los dos (valga la redundancia), si bien uno
representaría una parte de la realidad, y otro, la
otra.

Así, si cogemos un elemento de
volumen (de
momento de area) e intentemos interpretar geométricamente
qué es eso.

Si tomamos un volumen en un tiempo posterior tenemos que:

La dilatación de volumen puede relacionarse directamente
con la estructura
espacial de los gradientes de velocidad.
Un elemento de volumen (en el dibujo
representada un area) puede sufrir

TRASLACIONES:


DEFORMACIONES:

ROTACIONES

o ESFUERZOS CORTANTES

Y

De donde podemos observar que la velocidad angular del paquete
alrededor del eje Z en el ejemplo, sería:

Pero… ¿hacia donde nos dirigimos? Hacia la interpretación del término existente
en la fórmula de Schrödinger.

Bueno, si ahora tenemos en cuenta este término de la
citada ecuación:

Si tenemos en cuenta que los cuaterniones son magníficos
para coger un vector, aplicarle el quaternion y su conjugado y
con ello generar una rotación, es lógico que la
rotación contraria se realice cambiando los
operadores.
Así la rotación inversa sería:

Así, la identidad es
una rotación utilizando p, que es la rotación
inversa.

Por lo tanto, la ecuación anterior nos indica una
rotación, y su inversa negativa, es decir, dos rotaciones
en la misma dirección, luego es UNA ROTACIÓN. En
ese caso, no existirían esfuerzos, y por ello, cuando se
utiliza la ecuación de Schrödinger para el caso de
una partícula libre en la que no existen esfuerzos, se
está realmente redundando en una redundancia, puesto que
si se intenta aplicar a una partícula con esfuerzos, la
citada ecuación no dispone de términos que
identifiquen estas.
Para ello, necesitaríamos de un término con estas
características:

… y aún así faltaría el
desplazamiento.

¿Hay alguna formulación que permita estos
términos?

Es evidente que sí.

Si tenemos la siguiente fórmula:

Necesitamos una parte simétrica y una parte
antisimétrica… esto puede ser desarrollado
así:

Y ¿esto que és? Pues ni más ni menos, que
una parte de la ecuación de corriente de probabilidad,
teniendo en cuenta que la anterior definición de esta
estaba "incompleta", "amputada".
R. Aparicio.

TRAS LAS
PISTAS DE UN FOTÓN SEMI-CLASICO CON LAS
G.A.

Es evidente que como estamos en el resbaladizo terreno
de la física teórica pura, tenemos que tener en
cuenta que si existe ese "elemento", debe de tener algunas
características que se adecúen fielmente a la
realidad observada. Una de ellas, es que mantiene una velocidad
constante.

El unico elemento que en el seno de un fluido no ofrece
teóricamente resistencia, ante
la existencia de un flujo laminar (y sino mal recuerdo, por la
paradoja D'alemberg), es la esfera. El problema es como
generar una esfera en ese fluido, de entrada y como supuesto,
laminar.
La forma más sencilla es el doblete.
La velocidad constante del doblete, puede ser descompuesta en un
flujo a velocidad constante y un doblete. Dicho doblete
está formado por una fuente y un sumidero, unidas en un
mismo punto.
La expresión del flujo de un doblete puntual 3D en el
origen es:

Expresado en potencial complejo tiene esta forma:

… generalizable , en el espacio 3D con la
utilización de las GA, siendo el flujo y la corriente
representables del siguiente modo:

Estos potenciales complejos se utilizan en
forma compleja por ser una interesante forma de representarlos en
el plano. Se puede utilizar el doblete 2D a modo
pedagógico, y de hecho, no he encontrado mucha información sobre el doblete 3D (la poca
que tengo es la que copio bajo). Hay que tener en cuenta que el
uso de las Even Clifford Algebras (¿even = "par"?) o
cuaterniones no es por un "enamoramiento" con respecto a estos,
sino porque son una generalización de la
representación tal como lo es, los números
complejos, al plano, los cuaterniones al espacio 3D, y nos provee
de una interesante herramienta "visualizable".
Utilizando un cuaternion normalizado y existiendo un
ángulo que cumpla la relación explicada unos posts
antes sobre el algebra de los quaterniones, tenemos que

Si buscamos una expresión de mecánica de fluidos que se acerque a la
esfera en el seno de un fluido, y dado que se pueden sumar por
ser lineales las expresiones, tenemos que una esfera en el seno
de un flujo constante es la suma de un flujo constante y un
doblete, así tenemos que con el citado flujo, tenemos una
distribución de velocidades como sigue:

¿Alguna observación?

(Nota: cuando escribía "filosofía", llenaba
páginas, y ahora que escribo fórmulas, no hay nada.
No sé si es porque son unas soberanas estupideces o porque
es más interesante la dialéctica que estas… )

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References:
–

http://denaturavisibiliumetinvisibilium.blogspot.com/

– Quaternion and Rotation Sequences, Jack B. Kuipers
– Vectors, tensors and the Basic Equations of Fluid Mechanics,
Rutherford Aris.
– Lectures On Clifford (Geometric) Algebras. Rafal Ablamowicz et.
al.
– Mecánica de Fluidos. Victor L. Streeter et.
al.
– De Natura Visibilium et Invisibilium. R. Aparicio. Ed.
Elaleph.
– Siglo XXI: La Física que nos espera. R. Aparicio. Ed.
Elaleph.

Rafael Aparicio Sánchez