- Resumen
- Desarrollo
- Surgimiento de las primeras teorías generales
- Importancia y algunas ideas
fundamentales - Las raíces históricas del
Análisis
Armónico - El Problema de la cuerda musical y la teoría de las ondas.
- El problema de la propagación del
calor y
las series de Fourier - Creación del aparato analítico –
fenómenos electromagnéticos - Sobre el aparato matemático de la
mecánica - Breve comentario sobre algunos valiosos
aportes de una mujer
sorprendente
- Aspectos
Biográficos - Conclusiones y
Recomendaciones - Bibliografía
"Las ecuaciones
diferenciales se convirtieron y permanecen
en el corazón de
las matemáticas".
Morris Kline
La teoría de las ecuaciones
diferenciales e integrales es
con toda seguridad la
disciplina de
las matemáticas con una más clara motivación
aplicada. Tengamos en cuenta que la inmensa mayoría de
estas ecuaciones deben sus nombres a personalidades
científicas de la ciencia
tecnológica aplicada y surgen como modelos
matemáticos asociados a diferentes fenómenos de la
Física (movimiento
vibratorio, difusión del calor, …), Química (procesos de
reacción-combustión), Biología (estudio de
especies biológicas), Óptica (procesos de
difusión de la luz), Estadística (procesos estocásticos),
Economía
(optimización del rendimiento), Ingeniería (diseño
óptimo de vigas) por citar algunos ejemplos de la
interminable lista. Por todo ello, el estudio de estas ecuaciones
es muy importante y resulta de indudable interés.
Siendo ese el propósito del presente trabajo,
concentraré la labor en abordar con mayor profundidad los
s. XVIII y XIX vitales para el desarrollo de
esta singular disciplina, invitándolos a dar un paseo
científico que espero y deseo sea de su agrado.
A partir de la segunda mitad del s. XVII con el
surgimiento del análisis infinitesimal por Newton y
Leibniz como principales exponentes, se comienza a desarrollar el
concepto de
función, de diferencial así como las
operaciones
con éstos, surgiendo de esta forma ciertas ecuaciones las
cuales fueron llamadas diferenciales, sobre las cuales se
desarrolló toda una teoría para su solución.
En un comienzo estas ecuaciones modelaban problemas de
la Mecánica, la Hidromecánica y la
Astronomía.
Particularmente en esta rama del análisis
matemático se revelaba fuertemente la influencia
determinante de los problemas de las ciencias
exactas, en primer lugar la Mecánica y la Física Matemática
y la estrecha interrelación de las investigaciones
teóricas y prácticas. Sumamente necesario e
importante resulta destacar el papel de las Ecuaciones en
Derivadas
Parciales (EDP) en los problemas de la física
matemática, las cuales se desarrollaron notablemente en el
s. XVIII a partir de la Teoría de la Mecánica de
los Medios
Continuos, así como la conducción del calor,
Mecánica de los Fluidos, electromagnetismo, mecánica
cuántica, la Física Relativista y otras partes
de la Física. No existe un método
general de resolver las EDP, pero desde finales del s. XVIII
varios tipos de ecuaciones han hallado su propia solución
general.
Durante el s. XIX, los problemas de valores
iniciales y de límite (frontera)
ensombrecieron la búsqueda de soluciones
generales mientras que los teoremas de existencia han dominado
gran parte de la investigación de la Matemática Pura
en las EDP durante el s. XX.
Los objetivos
esenciales que persigo lograr con esta investigación,
consisten en destacar la importancia así como el
surgimiento de algunos problemas de la Física
Matemática y de como se fueron desarrollando las ideas en
cuanto a la resolución de éstos por parte de
algunos de los matemáticos más notables de la
época.
II.1. Surgimiento de las primeras teorías
generales
En los primeros años del s. XVIII los problemas
físicos de vibraciones o de tipo oscilatorio, que
conducían a funciones
trigonométricas, exponenciales o logarítmicas,
se resolvían frecuentemente en términos
geométricos. El seno o el coseno eran considerados como
líneas en un círculo de radio dado, el
logaritmo como el área bajo la hipérbola, a ninguna
de ellas se les asignaba la categoría de funciones. Esta
situación limitaba grandemente la clase de
funciones que podían ser consideradas y por tanto las
posibilidades para resolver ecuaciones diferenciales.
Por esta razón uno de los primeros métodos
utilizados en la solución de ecuaciones diferenciales va a
ser el encontrar un desarrollo en serie de la solución
buscada. Varios geómetras del s. XVII ya
utilizarían este método en casos particulares
elementales, en particular lo harían
sistemáticamente Newton y Leibniz. La aplicación de
este procedimiento va
a permitir a los científicos del siglo XVIII trabajar con
representaciones en forma de series infinitas de potencias de
ciertas funciones no polinomiales, algunas que hoy clasificamos
como elementales y otras que consideramos especiales, pero que
ellos trataban en igualdad de
condiciones.
I.2. Importancia y algunas ideas
fundamentales
El análisis matemático en el s. XVIII se
enriqueció con el potente y variado aparato del desarrollo
de funciones en series de diferentes tipos. Este aparato fue
creado bajo la influencia directa de los problemas de la
física matemática. La construcción de una teoría de series
lo suficientemente general y rigurosa se convirtió hacia
finales de siglo en un problema de primera línea, de cuya
solución dependían los éxitos
prácticos del análisis
matemático.
Las reglas de diferenciación en su gran
mayoría fueron elaboradas ya en los trabajos de Leibniz y
los hermanos Bernoulli. La
ampliación de estas reglas en relación con la
ampliación de la clase de funciones investigadas no
presentaba dificultades importantes. Así, tras la
expresión analítica de las funciones
trigonométricas, exponenciales y otras clases de
funciones, fueron inmediatamente obtenidas las expresiones
analíticas de sus derivadas.
La acumulación de resultados del cálculo
diferencial transcurrió rápidamente. En el
Cálculo diferencial (1755) de Euler, este cálculo se
presenta ya en forma muy completa. Por ejemplo, el teorema sobre
la independencia
de los valores de
las derivadas parciales del orden de diferenciación era ya
conocido a comienzos de siglo. Euler le dio su
demostración, extendiéndola a las derivadas
parciales de orden superior. En la teoría de la
diferencial total, Euler demostró que en 
las derivadas parciales
deben satisfacer la condición 
Es válido aclarar los símbolos 
fueron introducidos más tarde, alrededor
del año 1786 por Legendre. La necesidad y, después,
la suficiencia de la condición dada para que la
expresión 
sea una diferencial total fue demostrada por Euler. El
también, considerando las funciones de tres variables
y sus
diferenciales totales de la forma 
introdujo las condiciones 
.
Con el nombre de Euler se denominan además las
fórmulas de la diferenciación de funciones
compuestas, el teorema sobre las funciones homogéneas y
otros muchos resultados.
Las investigaciones en la rama de la creación de
la teoría de las ecuaciones diferenciales en derivadas
parciales, a pesar de su multiplicidad, no daba aún la
posibilidad de separar claramente las direcciones fundamentales.
El problema era todavía demasiado complicado. Y aunque un
gran número de problemas de física, de
mecánica y de la teoría de superficies era reducido
a ecuaciones diferenciales en derivadas parciales, la
resolución de ellas progresaba lentamente.
El trabajo sistemático en esta dirección comenzó a desarrollarse
solo en los años 60.
A Euler pertenece la primera monografía, donde se hace un intento de
construcción de la teoría de las ecuaciones
diferenciales en derivadas parciales. Se trata del tercer tomo
del Cálculo Integral, (1770). Junto a Euler
trabajaron en la teoría de las ecuaciones en derivadas
parciales D’Alembert, Lagrange, Laplace, Monge
y otros muchos científicos.
Una de las ideas principales, relativamente, con
bastante rapidez reafirmada, en la teoría de las
ecuaciones de primer orden, fue la idea de la reducción de
su integración a la integración de
ecuaciones ordinarias o sus sistemas. Esto
fue utilizado por D’Alembert (1768) en la resolución
de ecuaciones diferenciales lineales con coeficientes
constantes.
Métodos análogos fueron desarrollados por
Euler. Un poco más tarde (en los años 1781, 1787)
cuando Lagrange extiende el método de reducción a
las ecuaciones lineales con un número arbitrario de
variables, expresó abiertamente que la resolución
de las ecuaciones en derivadas parciales depende del arte de su
reducción a las ecuaciones diferenciales
ordinarias.
II.3. Las raíces
históricas del Análisis
Armónico
Frecuentemente cuando se desea la modelación
matemática de un proceso
natural, este se representa como un flujo de modo
fundamentalmente periódico.
Una de las formas de racionalizar matemáticamente el flujo
de las cosas es mediante una función o a través de
su imagen
geométrica, una curva. El intento de entender
cuantitativamente las periodicidades que pueda presentar esta
función o curva, condujo a los matemáticos del
siglo XVIII a la descomposición de la función en
una suma de funciones periódicas más simples o
armónicos fundamentales.
El análisis armónico, tal como lo
entendemos hoy, consiste en una metodología matemática para explorar
los fenómenos complejos a través de su
descomposición en elementos más sencillos. Veremos
que uno de los primeros en asumir esta metodología fue
Daniel Bernoulli en sus estudios sobre la cuerda vibrante o
musical. Pero ni Daniel Bernoulli, ni sus contemporáneos
ilustrados, consiguieron hacer asequible sus ideas, demasiado
físicas, al tratamiento matemático más
general. Sería Joseph Fourier quién algunas
décadas después, extendería este enfoque al
estudio de otros procesos físicos, como la
propagación del calor. De tal forma se plantaron las
raíces del análisis armónico clásico
o teoría de las series de Fourier como suele
llamarse.
II.3 .1. El Problema de la
cuerda musical y la teoría de las
ondas.
Una cuerda vibrando genera oscilaciones del aire, que se
captan por el oído del
hombre en
forma de sonido, dado por
la cuerda. La fuerza del
sonido se caracteriza por la energía o amplitud de las
oscilaciones, el tono, por el período de las oscilaciones,
y el timbre, por la relación entre la energía del
tono principal y de los armónicos (sobretonos).
El hallazgo de relaciones entre la matemática y
los sonidos musicales comenzó, según se sabe, con
los pitagóricos. Ya en el s. IV antes de Cristo, el
pitagórico Aristoxeno de Tarento construyó una
teoría musical muy desarrollada del ritmo y de la
armonía. En los trabajos de Platón,
la Matemática consistía de cinco partes:
aritmética, geometría plana, estereometría,
astronomía y música o
teoría de la armonía. Aún así, no se
conocen obras que profundicen en lo que podríamos llamar
una teoría matemática de la
música.
Tales estudios matemáticos sobre la música
adquirieron relevancia en el período barroco,
cuándo la música salió de los salones de los
palacios y de las catedrales, para frecuentar las casas de los
burgueses acomodados. Galileo, Descartes y
Huygens, para citar sólo los sabios más conocidos,
se destacaron en esta búsqueda de relaciones
armónico-matemáticas, pero hasta el s. XVIII no
hubo nuevos resultados de significación
matemática.
El primer análisis matemático de las ondas
lo realizó el gran matemático Isaac Newton
en sus Principia (1687). Pero Newton no se arriesgó
demasiado en la utilización de su teoría de
fluxiones para entender la matemática de los procesos
naturales.
Uno de los brillantes admiradores de Newton fue Brook
Taylor. Entre
los problemas propuestos por Taylor en su obra más
conocida Methodus incrementorum directa et inversa (1715)
figura el siguiente: Problema 17. Determinar el movimiento de
una cuerda tensa. Para Taylor este problema tenía el
atractivo de su asociación con su afición
predilecta, la música.
Taylor obtiene en el lenguaje
propio de las fluxiones, que el movimiento de un punto arbitrario
de la cuerda es como el de un péndulo simple. Asimismo
estableció que la forma de la curva que toma la cuerda en
un instante dado es sinusoidal y determinó el
período de oscilación de la cuerda. Sin embargo, no
consideró el problema de la ecuación diferencial
del movimiento.
En 1727, doce años después de la
publicación de Taylor, Johann Bernoulli en dos cartas enviadas a
San Petersburgo, llama la atención de su hijo Daniel sobre los
resultados de Taylor y lo desafía para que se ocupe del
problema de la cuerda. Pero no puede esperar para hacer
públicas sus propias ideas sobre el asunto y en 1728
publica sus Meditaciones sobre cuerdas vibrantes con pesos
pequeños a distancias iguales, donde trata, con
métodos muy diferentes, el mismo problema. Pero sus
resultados no van mucho más lejos que los de
Taylor.
A partir de las ideas de Taylor y apoyándose en
las investigaciones de su padre sobre un sistema finito de
puntos, infirió que cualquier movimiento general se puede
obtener como combinación de todas las oscilaciones
fundamentales.
Daniel había llegado a la convicción de
que la superposición de soluciones sinusoidales daba la
solución más general del problema, lo que implicaba
la posibilidad de expresar una función arbitraria como
suma de senos. Aparentemente ni Johann Bernoulli ni Taylor se
preocuparon por demostrar que esta era la solución
más general, pero tampoco mostraron que no lo era. En
cambio Daniel
Bernoulli en su artículo Teoremas sobre oscilaciones de
cuerpos conectados por un hilo flexible y de una cadena
verticalmente suspendida (San Petersburgo, 1738), va mucho
más lejos que Taylor y su padre al identificar los
armónicos superiores de una cuerda musical.
Los trabajos que en la primera mitad del s. XVIII se
dedicaron al asunto, como los de Brook Taylor (1715), Johann
Bernoulli (1728) y Daniel Bernoulli (1738), consideraban por
separado los desplazamientos de la cuerda musical como
función del tiempo
t y como función de la distancia x de un
punto de la cuerda a uno de su extremos, lo que los llevaba a
considerar sólo ecuaciones diferenciales ordinarias y a
soluciones de tipo sinusoidal 
donde l es la longitud de la cuerda, t el tiempo y
x la distancia de un punto genérico de la cuerda a
un punto fijo tomado como origen del sistema de referencia. Pero
se sabía también, por experiencias de laboratorio,
que la forma que toma la cuerda no siempre es sinusoidal y que
junto al sonido fundamental se distinguen sus
armónicos, en el sonido complejo emitido por una
cuerda musical vibrante.
El tema de la cuerda musical, va a adquirir una nueva y
polémica connotación con la incorporación de
un joven geómetra Jean le Rond D’Alembert,
quien pronto fue considerado entre los más prestigiosos
geómetras de Francia en el
siglo de las luces.
D’Alembert en su artículo de 1746 titulado
Investigaciones sobre la curva que forma una cuerda tensa que
se hace vibrar, afirma que se propone demostrar que existen
infinitas curvas, además de la curva seno, que son modos
de vibración. En estas investigaciones de D’Alembert
aparece por primera vez la ecuación en derivadas parciales
que hoy se conoce como ecuación de ondas en una
dimensión espacial.
donde 
,
T es la tensión de la cuerda (que se supone
constante mientras la cuerda oscila) y s la
masa por unidad de longitud.
Como la cuerda se fija en los extremos x = 0 y
x = l, la solución ha de satisfacer las hoy
llamadas condiciones de contorno:
y(t, 0) = 0, y(t, l)
= 0.
Además, en el instante t = 0 se fuerza a
que la cuerda adopte un perfil dado por la función y =
f(x) y a continuación se suelta, lo que
significa entonces que cada partícula comienza a moverse
con una velocidad
inicial nula; estas condiciones iniciales se expresan
matemáticamente en la forma:
que también han de ser satisfechas por la
solución.
Este problema fue resuelto por D'Alembert de una manera
tan ingeniosa que se reproduce con frecuencia en los textos
modernos de ecuaciones diferenciales.
La solución encontrada por él y que tiene
la forma siguiente:
donde f es una función
arbitraria, pero que ha de ser periódica, impar y
además 
debe coincidir en el intervalo 0 £ x £ l con la función
f(x) que describe la forma inicial de la
cuerda.
Pocos meses después de ver los artículos
de D’Alembert, Euler escribió por su parte el
artículo Sobre la oscilación de cuerdas.
Aunque en el método de solución siguió a
D’Alembert, Euler tenía por ese tiempo una idea
completamente distinta en cuanto a qué funciones se
podían admitir como curvas iniciales y, en consecuencia,
como soluciones de una ecuación en derivadas parciales.
Fueron, al parecer, argumentos de naturaleza
física en relación con el problema de la cuerda
musical los que le impulsaron a anteponer su nuevo concepto de
función.
Cuando Daniel Bernoulli leyó los
primeros artículos de D’Alembert y de Euler sobre la
cuerda vibrante, se apresuró a recordarle a Euler los
estudios que habían realizado juntos, durante su estancia
en San Petersburgo.
También envió a las Academias de San
Petersburgo y de Berlín varios trabajos enfatizando su
prioridad y las características más generales de
sus resultados.
Daniel Bernoulli, en un artículo publicado en
1753, subraya un aparente conflicto
entre las consideraciones de Taylor, por una parte, con sus
soluciones sinusoidales, y la infinita variedad de soluciones,
distintas de las sinusoidales, por parte de D'Alembert y Euler.
Después de criticar el carácter abstracto de los trabajos de
D’Alembert y Euler, reitera que pueden existir
simultáneamente muchos modos de oscilación en la
cuerda vibrante (ésta responde entonces a la
superposición de todos los armónicos). Insiste en
que todas las posibles curvas iniciales se pueden representar en
la forma:
porque existen suficientes constantes an
como para que la serie se ajuste a cualquier curva. En
consecuencia, afirma, que todos los correspondientes movimientos
vendrán dados por la serie infinita:
Así pues, cualquier movimiento, correspondiente a
una curva inicial, no es más que una suma de
armónicos periódicos sinusoidales, y la
combinación tiene la frecuencia del armónico
fundamental. Sin embargo, Bernoulli no dio argumentos
matemáticos para apoyar sus afirmaciones; se apoyó
solamente en argumentos físicos.
Euler y D’Alembert dieron sus soluciones de la
ecuación de ondas en forma cerrada, utilizando un par de
funciones arbitrarias, mientras que Daniel Bernoulli había
encontrado una solución en términos de una suma
infinita de funciones trigonométricas. Y como esta
última solución parecía implicar claramente
el carácter periódico de la función,
mientras que las funciones arbitrarias de D’Alembert y
Euler no eran periódicas necesariamente, parecía
que la solución de Bernoulli era menos general. Lo que no
podía comprenderse entonces era que una
superposición de "funciones tan buenas" y tan elementales
como las trigonométricas pudieran representar una
función arbitraria. Los medios técnicos del
análisis matemático en esta época eran
insuficientes para abordar la problemática general de las
ecuaciones en derivadas parciales y tampoco estaban fundamentados
como para abordar con rigor conceptos básicos como el de
función.
Euler, D’Alembert y D. Bernoulli, hablaban usando
la misma palabra "función", pero entendían
diferentes cosas por esta denominación. Las opiniones de
los tres eran también diferentes en la comprensión
de solución admisible, sin embargo la historia posterior ha
mostrado que los tres tenían razón desde cada uno
de sus puntos de vista.
Resumiendo: el debate sobre
la ecuación de la cuerda sometida a una vibración
en un mismo plano, es importante desde el punto de vista
matemático, no sólo porque representa el primer
análisis de la solución de una ecuación
diferencial en derivadas parciales, sino además porque la
discusión llevó al cuestionamiento de las nociones
establecidas de función y de representación de
funciones por medio de series infinitas de funciones
trigonométricas. En particular en las ideas de Daniel
estaba el germen del análisis armónico que se
estableció en el s. XIX y que comenzara con los trabajos
de Fourier sobre la conducción del calor.
II.3. 2. El problema de la
propagación del calor y las series de
Fourier
Las investigaciones matemáticas de la
conductibilidad térmica antecedieron la creación de
una ciencia
más general sobre el calor, la termodinámica. La causa motriz de este
proceso fue la invención de las máquinas
de vapor y su creciente uso en los procesos industriales,
especialmente en Inglaterra y
Francia. Pero su interés práctico era mejor
expresado en las industrias
textiles escocesas, así como la modelación
matemática que era particularmente perseguida por los
parisinos. Ya, alrededor de 1800 muchos físicos e
ingenieros se interesaron por el problema de la
propagación del calor en cuerpos
sólidos.
En 1784 Laplace y Lavoisier publicaron un
artículo conjunto conteniendo los resultados de sus
experimentos
que los condujeron a determinar el calor específico de
varias sustancias. Un poco de tiempo después, en 1804, un
alumno de Laplace, publicó sus Memorias sobre la
propagación del calor. Todo parecía indicar que
no faltaba mucho para que algún galo encontrara la
teoría matemática soñada. Entonces, Joseph
Fourier comienza a ocuparse del problema, pero en una forma
completamente original.
En 1807 presenta Fourier, por primera vez, su Memoria sobre la
propagación del calor que es recibida con una inesperada
aceptación, pero que debido a su falta de rigor
matemático no es publicada. La Academia de Ciencias de
París, con el objetivo de
estimular a Fourier a perfeccionar su Memoria, anuncia que su
premio al mejor trabajo científico de 1812 será al
que trate el tema sobre la teoría matemática de la
conducción del calor. A fines de 1811 Fourier presenta de
nuevo su Memoria en calidad de
trabajo concursante.
Este trabajo es entregado a los mayores geómetras
de aquel tiempo: Lagrange, Laplace y Legendre, entre otros
jueces. Después de muchos análisis se
decidió entregar el premio a Fourier, aunque de nuevo con
objeciones (sobre todo de parte de Lagrange) desde el punto de
vista del rigor matemático.
Esta es probablemente la razón por la cual el
artículo ganador, contrario a la costumbre, no fue
publicado inmediatamente, y sólo se editó en 1822
cuando el mismo Fourier era el Secretario Permanente de la
Academia.
Debe señalarse que después del conocimiento
de los detalles de su obra, los matemáticos de la
época consideraron a Fourier como precursor de la
teoría de las series trigonométricas y
además como original introductor de nuevos métodos
en el tratamiento de los problemas de la física
matemática.
En la obra Théorie analytique de la
chaleur (1822) de Fourier, los dos primeros capítulos
tratan problemas sobre difusión de calor entre cuerpos
disjuntos en cantidad finita, es decir el problema
discreto.
Aquí se deduce además la ecuación
en derivadas parciales que rige el fenómeno:
,
donde V=V(x, y, z, t) designa la
temperatura
del cuerpo en el punto (x, y, z) en el momento t;
k el coeficiente de difusión del calor, C la
constante de capacidad calórica del cuerpo y D la
densidad.
En el capítulo III Difusión del calor
en un cuerpo rectangular infinito es donde Fourier introduce
su método original de trabajo con series
trigonométricas.
La Théorie de la chaleur de Fourier es
extraordinariamente rica en problemas, métodos e ideas
tanto físicas como puramente matemáticas que dieron
lugar a múltiples y disímiles teorías. El
papel que se le asigna a Fourier en la conformación del
análisis armónico, al punto de llamarlo
análisis de Fourier está justificado en base a las
siguientes cuestiones principales:
- En más de 50 páginas de su tratado
Fourier se concentra en el desarrollo de una función
arbitraria en serie trigonométrica (como
superposición de los armónicos fundamentales).
Observa que su análisis puede ser aplicado al problema
de la cuerda vibrante y justifica el punto de vista de Daniel
Bernoulli. - Fourier dio un método original para hallar los
coeficientes resolviendo por primera vez un sistema infinito de
ecuaciones algebraicas con un número infinito de
incógnitas. Aunque no expuso un fundamento
teórico para su método, dio uno de los primeros
pasos de lo finito a lo infinito, que trascenderá al
Análisis Funcional. Llamó la atención del
estudio de las propiedades de los coeficientes. Aunque no hizo
una demostración rigurosa, ni le dio demasiada
importancia, apuntó hacia la demostración de la
convergencia a cero de los coeficientes que ha sido una idea
que ha desarrollado el estudio general de los
armónicos. - Formuló en forma no rigurosa el principio de
localización que establece el hecho de que la
convergencia de la serie trigonométrica asociada a la
función f en un punto x, depende
sólo del comportamiento de f en una vecindad (tan
pequeña como se quiera) del punto x. Esto fue
demostrado posteriormente por Bernhardt Riemann
(1853). - Fourier estaba convencido de que toda función
podía ser desarrollada en una serie
trigonométrica convergente. Esto se debía, entre
otras cosas, a la simpleza de la determinación de los
coeficientes por la integración término a
término de la serie. El problema de la convergencia de
la serie de
Fourier resultó ser sumamente complejo. Las primeras
condiciones suficientes de convergencia fueron obtenidas por
Lejeune Dirichlet (1829). La condición de convergencia
uniforme se introduce con el objetivo de asegurar la
integración término a término de la
serie. - A partir de su representación en serie, con un
audaz paso al límite obtuvo la primera
representación integral y el operador integral
después conocido como transformación de Fourier,
base y motivación para el análisis
armónico abstracto del siglo XX.
La justificación rigurosa de la solución y
la metodología introducida por Fourier en sus trabajos
sobre la propagación del calor estimuló la introducción y precisión de muchos
conceptos matemáticos.
II.4. Creación del
aparato analítico para la investigación de los
fenómenos
Uno de los primeros problemas resueltos exitosamente fue
el problema de la construcción de la teoría de los
fenómenos electromagnéticos. Hacia el s. XIX el
estudio sobre la electricidad y el
magnetismo se
separó de la física como una rama independiente. En
el año 1820 se llegó a conocer sobre el
descubrimiento hecho por Oersted de la acción
de la corriente sobre una aguja magnética, el cual
establecía lo común de los fenómenos, al
parecer, heterogéneos. Hacia esta misma época Biot,
Savart, Laplace, Arago, Ampere, Coloumb y otros introdujeron los
conceptos fundamentales necesarios: carga, cantidad de
electricidad, densidad de electricidad, leyes de interacción de cargas inmóviles,
etc. Los problemas del electromagnetismo trajeron consigo, en el
plano matemático un conjunto de trabajos de
investigación sobre la atracción de puntos
según la Ley de Newton y los campos
electrostáticos.
Los métodos de resolución de problemas de
la mecánica celeste, en particular los problemas sobre la
atracción de los cuerpos celestes según la ley de
Newton obtuvieron un nuevo campo de aplicación. Fue
introducido el concepto de potencial de un campo y definida su
expresión para un campo simple formado por el punto
cargado 
de masa
m: 
(donde 
,
es la constante
de atracción 
es el punto atraído).
Enseguida fueron encontradas las expresiones del
potencial para un sistema de puntos de atracción y
después para el campo con distribución continua de masa de
atracción en un volumen 
: 
(
es la densidad de la
distribución).
Ya en el año l787 Laplace mostró que en el
espacio fuera del cuerpo la función potencial satisface la
ecuación 
A propósito, esta ecuación ya se encontraba en los
trabajos de Euler y el concepto de función de fuerzas,
cuya diferenciación según una dirección
daría las fuerzas de atracción newtonianas, lo
introdujo en 1773 Lagrange, conformando así mismo la idea
de función de fuerza la cual fue enunciada ya por D.
Bernoulli, Euler y Clairaut.
La teoría matemática del potencial
eléctrico se formó de una forma rápida. Una
serie de problemas sobre distribución de la electricidad
en la superficie de los conductores los resolvió Poisson,
el cual elaboró a fondo muchas partes de la física
– matemática contemporánea a él:
capilaridad, flexión de láminas, conducción
del calor, etc. Alrededor del año 1813 Poisson
extendió la ecuación de Laplace al espacio situado
en el interior del cuerpo que atrae e introdujo la
ecuación actualmente de amplio conocimiento:
Poisson resolvió muchos problemas de
magnetostática. Para esto se apoyó, de hecho, en el
concepto de potencial, sin embargo, no fue él quien
introdujo este importante concepto.
El planteamiento general de la teoría del
potencial surgió de los trabajos de Green y
Gauss.
Green expuso su teoría en la obra
Investigación sobre la teoría matemática
de la electricidad y el magnetismo (1828). En ella
investigó el problema central de la electrostática de aquella época. En
la base de los razonamientos de Green yacía la idea de las
fuerzas eléctricas y magnéticas pueden ser
definidas a través de una función de coordenadas.
La función potencial (como la llamó aquí por
primera vez Green) se determina por la distribución de
cargas. Green dedujo mas adelante el teorema integral conocido
actualmente como fórmula de Green, mostró que el
valor del
potencial dentro o fuera de cualquier superficie se expresa a
través del valor de la función potencial y su
derivada normal sobre esta superficie.
En una forma más general y al parecer
independientemente de Green, Gauss construyó una
teoría general del potencial. Esto lo realizó en
el trabajo
Teoremas generales relativos a las fuerzas de atracción
y repulsión… actuando inversamente proporcional al
cuadrado de la distancia (1840). A la función
donde m
puede representar tanto unas masas comunes como también
cargas eléctricas o magnéticas, Gauss las
denominó potencial. Investigó
sistemáticamente las propiedades de la función
potencial y su aplicación a los fenómenos
físicos. No deja de ser interesante señalar la
aparición en este trabajo del teorema 
Este teorema lo demostró M.V. Ostrogradski (1828)
y lo trató como una fórmula de balance
hidrodinámico. Once años después, Gauss
utilizó esta fórmula para relacionar la magnitud
del flujo de la intensidad de las fuerzas del campo potencial
dado con masa o carga común situada dentro de la
superficie. En nuestra época esta fórmula la
denominan fórmula de Gauss – Ostrogradski (lo que
evidentemente es injusto).
En la historia de la física se advierte que al
concepto de potencial, los físicos, durante mucho tiempo
no le atribuyeron un significado de principio, tratando al
potencial o a la función potencial solo como un concepto
matemático cómodo. Su significado físico fue
descubierto posteriormente, después del establecimiento de
los conceptos de trabajo, energía y la ley de
conservación de la energía.
Otra era la situación de ese importante concepto
en las matemáticas. Su introducción
posibilitó la ampliación del campo de aplicaciones
del análisis matemático. Junto a la óptica
y las oscilaciones, surgía la teoría
matemática de los fenómenos
electromagnéticos. El planteamiento del
problema sobre el potencial insitó a la
ampliación del concepto de integral, a la extensión
de la integración sobre objetos complejos. En el
análisis fue comenzada la elaboración de las
funciones armónicas como soluciones de la ecuación
diferencial de Laplace 
.
Las funciones armónicas obtuvieron
ampliación en una amplia clase de problemas de contorno.
Así es el problema de Dirichlet sobre la búsqueda
de los valores de una función armónica en un
dominio, dados
sus valores sobre el límite (por ejemplo,
determinación de la temperatura dentro de un cuerpo por la
temperatura sobre su superficie, determinación de la forma
de la membrana por la forma de su contorno).
Con este géneros de problemas se relaciona
además el problema de Neumann en el cual la función
armónica debe ser buscada por la magnitud de la derivada
normal sobre el límite del dominio (búsqueda de la
temperatura dentro de un cuerpo dado el gradiente de temperatura
en su superficie, determinación del potencial del
movimiento de un líquido incompresible que rodea a un
cuerpo sólido de la condición de que las
componentes normales de las velocidades de las partículas
colindantes con la superficie del cuerpo, coincide con las
componentes normales dadas de las velocidades de los puntos de la
superficie del cuerpo).
Para la resolución de los problemas de contorno
de la teoría de las funciones armónicas fueron
elaborados métodos, que tienen gran significado tanto
práctico como teórico.
Por ejemplo, para la resolución del problema de
Dirichlet, H. A. Schwarz y C.G. Neumann idearon alrededor del
año 1870 el método alternante, Poincaré, el
método de los barridos (alrededor del año 1880),
Fredholm, el método de las soluciones fundamentales,
relacionado con las ecuaciones integrales, Perron, el
método de las funciones superiores e
inferiores.
Aún debe mencionarse el método de redes como un método
fundamental en la resolución aproximada de problemas de
contorno. Estos métodos daban la posibilidad de librarse
de una u otra limitación, la cual era necesario imponer a
la frontera del dominio.
Pero en cualquier planteamiento general de un problema
de contorno surgieron los problemas de las condiciones de
existencia de las soluciones y su estabilidad.
Gran significación en la historia de la
teoría del potencial tienen las investigaciones del
académico ruso A.M. Liapunov realizada a finales del s.
XIX – comienzos del XX que entre otras cosas abordó
el comportamiento de las derivadas de las soluciones del problema
de Dirichlet.
Los problemas de la física matemática,
surgidos de los primeros trabajos sobre teoría del
potencial, adquirieron, como vimos, hacia fines del s. XIX gran
generalidad. La solución de problemas teóricos tan
generales y después el desarrollo tempestuoso de los
métodos de resolución numérica de problemas
de contorno (los que resultaron posible en relación con el
surgimiento de los dispositivos electrónicos de
cálculo) se relacionan enteramente con el siglo siguiente,
el siglo XX.
II.5. Sobre el aparato matemático de la
mecánica
Hemos citado ejemplos de aplicación del
análisis matemático en la rama de los
fenómenos eléctricos y magnéticos al igual
que en las teorías del calor y de las ondas. Con estos
ejemplos, el problema, naturalmente, no se agota. Los
métodos analíticos penetraron en muchas ramas de
las ciencias
naturales, adquiriendo en ellas el significado de medios
operativos resolutivos. Casi en primer lugar penetraron en la
mecánica, determinando su contenido. La mecánica
analítica adquirió su aspecto clásico
precisamente como un estudio sobre las ecuaciones diferenciales
que expresan las propiedades de las trayectorias de cualquier
sistema mecánico. La investigación de las
propiedades de estas ecuaciones y sus interpretaciones para casos
particulares adquirieron significado de problema principal de la
mecánica analítica. El papel decisivo de la
construcción del sistema de esta ciencia lo comenzaron a
jugar los postulados generales, o como se ha convenido en
denominarlos, principios o
leyes de la mecánica.
Supongamos dado un sistema, cuya posición para
cada momento de tiempo t dado está definida por los
valores de n parámetros independientes 
esto es, un sistema con
n grados de libertad. Para
la descripción de un movimiento se introducen
dos conceptos: energía cinética T y energía
potencial U. Los conceptos de energía cinética y
potencial se contraponen, por esto se considera la
ecuación de Lagrange (lagrangiano):
(
).
Las ecuaciones del movimiento del sistema
mecánico son en esencia las ecuaciones diferenciales de
Lagrange (introducidas por él a finales del
s.XVIII):
().
(donde L es elHamilton hizo de estas ecuaciones la base de sus
investigaciones sobre mecánica. La aportación de
Hamilton representó la culminación de una serie de
esfuerzos encaminados a hallar un principio amplio a partir del
cual podían ser derivadas las leyes del movimiento de
varios problemas de la mecánica. Inspiró la lucha
por obtener principios variacionales similares en otras ramas de
la física, tales como la elasticidad, el
electromagnetismo, y en las más modernas, teoría de
la relatividad y mecánica cuántica. Desde el punto
de vista de la historia de las matemáticas el trabajo de
Hamilton y quienes lo siguieron es significativo no solo para el
desarrollo del cálculo de variaciones, sino también
para la teoría de las ecuaciones diferenciales.
II.6. Breve comentario sobre
algunos valiosos aportes de una mujer
sorprendente
Como es conocido, a lo largo de la historia de las
matemáticas, hasta el s.XIX fueron pocas las mujeres que
se dedicaron de una forma u otra a la profundización del
conocimiento
científico, pues no se les era permitido por el simple
hecho de ser mujer. A mediados del propio s. XIX justamente en el
año 1850 nació en Moscú Sofía
Vasilievna Kovalevskaya quien además de ser la primera
mujer en el mundo profesor de
matemáticas, brindó una gran ayuda para el
desarrollo de la teoría de las ecuaciones en derivadas
parciales.
Según se conoce, los teoremas de existencia
tuvieron en la historia de las ecuaciones diferenciales un doble
significado. Resolvían la cuestión sobre el rigor y
la validez de su aplicación y al mismo tiempo, los
métodos brindaban la base para la elaboración de
los métodos de integración numérica de las
ecuaciones diferenciales.
El trabajo de Cauchy sobre sistemas de ecuaciones
diferenciales lo mejoró la propia Kovalevskaya,
quién en 1874 en su primera obra Sobre la teoría
de las ecuaciones en derivadas parciales,
demostró la existencia de una solución
analítica única del problema de Cauchy bajo la
condición de analiticidad de los datos. Un notable
descubrimiento de Kovalevskaya es sobre la ecuación
con condiciones
iniciales 
analítica en una vecindad de 
Para esta ecuación el problema de Cauchy no tiene
solución analítica, ya que la serie de potencias
que satisface
formalmente las condiciones del problema, converge sólo
con condiciones iniciales muy especiales.
Kovalevskaya extendió sus resultados a sistemas
normales de EDP, dándoles una forma próxima a la
actual. El caso en que los datos no son analíticos ha sido
muy estudiado posteriormente, así como otras
generalizaciones del teorema de Kovalevskaya.
A continuación: biografías
(según fecha de nacimiento) de algunas de las
personalidades, tratadas en el presente trabajo, que
enriquecieron el basto campo que abarcan los problemas de la
física matemática.
Johann-Bernoulli (1667-1748). Nació y
estudió en Basilea. Recibió su doctorado en
Medicina. Su
hermano mayor Jacob lo adentró en los misterios del nuevo
cálculo. Desde 1695 fue profesor de matemáticas en
la universidad de
Groninga en Holanda. En 1705 regresó a Basilea donde se
hizo cargo de la cátedra de matemáticas vacante a
la muerte de
su hermano Jacob. Con su entusiasmo por el nuevo cálculo
convenció a muchos para que se dedicaran a su desarrollo,
particularmente a Leonhard Euler, al marqués de
L’Hospital y a tres de sus cuatro hijos varones. Fueron
tantos sus partidarios como sus adversarios en los
múltiples desafíos en que se vio envuelto, la
mayoría retos que el mismo lanzó a la comunidad
científica. Gracias a estos desafíos se
abrió una de las ramas más fructíferas de
las matemáticas: el cálculo de variaciones. Su
temperamento, su fanfarronería y su arrogancia le
propiciaron la enemistad con varios de sus colegas. Su hermano
Jacob y su hijo Daniel también sufrieron su humor
colérico. Su producción matemática es extensa,
pero se destaca su correspondencia científica que consiste
en unas 2 500 cartas.
Brook Taylor (1685-1731) Terminó la
Universidad de Cambridge en 1709. Sus principales investigaciones
fueron en la teoría newtoniana de fluxiones y sus
aplicaciones. Estudió los problemas de pequeñas
oscilaciones y el vuelo de los proyectiles; los problemas de la
hidromecánica, la óptica, la astronomía y
otros problemas de la filosofía natural. Desde 1712 fue
miembro de la Royal Society of London y de 1714 a 1718 su
Secretario permanente.
Daniel Bernoulli (1700-1782) Nació en
Groninga donde su padre Johann I Bernoulli era catedrático
de matemáticas. Estudió en la universidad de
Basilea donde obtuvo el doctorado en Medicina. Fue uno de los
primeros contratados para fundar la Academia de Ciencias de San
Petersburgo, donde estuvo de 1725 a 1733. A su regreso a Basilea
obtuvo la cátedra de fisiología y en 1750 la cátedra de
mecánica. Fue el más multifacético de los
geómetras Bernoulli. Destacó en matemáticas
puras en campos como la teoría de ecuaciones
diferenciales, el cálculo de probabilidades y la
sumación de series infinitas, pero sobre todo se
apasionó por las matemáticas mixtas en temas tales
como la náutica, la mecánica racional, la
teoría de la elasticidad y la teoría de la
música. Su obra principal es la
Hidrodinámica, publicada en 1738. Fue dos veces
rector de la universidad de Basilea y siempre se sintió
comprometido con su desarrollo. Ganó 10 premios de la
Academia de Ciencias de París sobre temas de gran
importancia, siendo superado sólo por su amigo Leonhard
Euler que ganó 13.
Leonhard Euler (1707-1783) nace en Basilea. Su
padre Paul era un teólogo calvinista que escuchó
las conferencias de Jacob Bernoulli. Estudió
matemática elemental con su padre y otros profesores
particulares como Johann Bernoulli. Su vida la podemos dividir en
cuatro etapas: 1ª. Formación general en Basilea
(hasta 1727). 2ª. Experiencia profesional en Rusia
(1727-1741) 3ª. Madurez científica en Berlín
(1741-1766) y 4ª. Vejez
productiva en San Petersburgo (1766-1783). Escribe a los 19
años su primer artículo científico sobre
curvas isócronas, bajo la tutoría de Johann
Bernoulli.
Es el más productivo de todos los
matemáticos. Su Opera Omnia tendrá 87 vols.
con cerca de 900 trabajos, más la correspondencia y
manuscritos, un promedio de unas 800 Págs. al año.
Son 4 series: series prima (29 vols.)Matematica Pura, series
secunda (31 Vols.) Mecánica y Astronomía, series
tertia (12 vols.) Física y Miscelánea, series
quarta (15 Vols.) Correspondencia, manuscritos, trabajos conjuntos de
la última etapa. La distribución temática de
los trabajos de Matemática Pura de Euler publicados es en
% la siguiente: Análisis 60% (cálculo integral 33%,
ecs.diff. 25%, series 22%, cálculo de variaciones 11%,
cálculo diferencial 9%), Geometría
17%, Teoría de Números 13%, Álgebra 7%,
Probabilidades 3%.
En este libro se
encontrará muchas veces el nombre de Euler y es muy
difícil enmarcar en este cuadro todos sus méritos
científicos.
Tuvo 13 hijos (solo sobrevivieron la infancia 5) y
26 nietos a quienes les leía la Biblia y les hacía
juguetes
mecánicos y títeres para su entretenimiento. Fue
quien ganó más premios de la Academia de Ciencias
de París con 13, siendo su contendiente más
próximo Daniel Bernoulli con 10 premios.
Poco después de su llegada a San Petersburgo, con
poco más de 60 años, queda completamente ciego,
pero en este período produce casi la mitad de toda su
monumental obra con la ayuda de sus hijos Johann Albrecht, quien
ocupaba la cátedra de Física en la Academia desde
1766, y Christoph, quien era militar de carrera. También
recibió la ayuda de otros miembros de la academia.
Paradójicamente una de las obras que culmina estando ciego
es su Dióptrica en tres tomos. Fue miembro de casi
todas las Academias de Ciencia y sociedades
científicas de su época.
Jean le Rond D'Alembert (1717-1783)
geómetra y filósofo francés. Cursó
Derecho en el colegio Mazarino. De forma autodidacta
estudió las ciencias matemáticas. Se destacó
por su trabajo en la Enciclopedia Francesa como uno de sus
principales redactores. Su Tratado de Dinámica
(1743) fue el primer trabajo donde se formularon las ecuaciones
diferenciales del movimiento de un sistema material arbitrario.
En 1744 se publicó su Tratado sobre el equilibrio y
el movimiento de los líquidos que fue una de las
primeras obras sobre Hidromecánica.
Las principales investigaciones matemáticas las
realizó en la teoría de las ecuaciones
diferenciales. Sus trabajos junto a los de Daniel Bernoulli y de
Euler fueron seminales en la fundación de la física
matemática. Se preocupó por fundamentar el
Cálculo Infinitesimal con la idea de límite.
También se interesó por el álgebra y
la teoría de series infinitas. Fue miembro de las
principales academias de ciencias.
Joseph Louis Lagrange (1736-1813) Nació en
Turín de una familia de
ascendencia gala. Estudió en la Universidad y desde los 17
años fue profesor en la Escuela de
artillería de Turín. Federico El Grande lo
invitó a ocupar la plaza de Euler cuando este
regresó a San Petersburgo. A la muerte de
Federico, fue invitado por Louis XVI a París donde
permaneció de 1787 hasta su muerte. Fue profesor de la
École Normale primero y desde 1797 de la École
Polytechnique.
Tenía una amplísima cultura
matemática y sus obras tocan temas disímiles de la
mecánica, la geometría, la teoría de
ecuaciones diferenciales, el cálculo de variaciones, la
teoría de funciones analíticas, el algebra, la
teoría de números, la astronomía y de otros
dominios del saber. Junto a sus alumnos en Turín
creó una sociedad
científica que pronto se convirtió en una Academia
de Ciencias. Los primeros tomos de la Miscellanea
Turinensia están repletos de trabajos de Lagrange. Fue
presidente de la Academia de Ciencias de Berlín de 1766 a
1787. Ganó varios premios de la Academia de Ciencias de
París por sus trabajos de Mecánica Celeste; en
particular, en 1766 sobre el problema de los tres cuerpos, que
más tarde se aplicó a la teoría del
movimiento de los satélites
de Júpiter, conocidos como los Troyanos.
Tenía un carácter introvertido y severo.
Pero a los 56 años se casó con una joven de 17 que
le dio un nuevo brío a su vida. Tuvo un papel importante
en el perfeccionamiento de la educación en el
período revolucionario, sobre todo en época de
Napoleón que lo premió por toda su
labor científica en Francia.
Jean Batiste Joseph Fourier (1768-1830) Fue hijo
de un pobre sastre que lo dejó huérfano a los 8
años. Quiso estudiar en una academia militar de su
provincia natal, pero al no ser noble no pudo matricular pese a
la insistencia de Legendre. Se tuvo que contentar con entrar en
una abadía benedictina como novicio y maestro de
matemáticas. En 1789 la Asamblea General ordenó la
suspensión de los votos religiosos y los privilegios de
nobleza, por lo que pudo pasar a la academia militar de su pueblo
natal. Allí impartió clases de retórica,
historia y filosofía.
Participó activamente en las tareas
revolucionarias. En 1795 fue enviado a la École Normale de
París como alumno, pero pronto se destacó y
pasó a ser profesor de la École
Polytéchnique. Tomó parte en la campaña de
Napoleón a Egipto. Fue
Secretario del Instituto Egipcio donde desarrolló una
actividad considerable de carácter organizativo y
científico.
Al regresar a París, en 1801, trabajó en
las reformas del sistema
educativo en Francia. Enseguida Napoleón lo
nombró Prefecto del Departamento de Isère. Tuvo la
perspicacia de separarse de la línea de Napoleón
justo antes de que este fuera derrotado. En 1816 fue electo
miembro de la Academia, pero el Rey no lo confirmó. Por
segunda vez, al siguiente año, fue electo y confirmado en
la sección de Física General. En 1822 fue nombrado
Secretario Permanente de la Sección de Matemática
del Instituto de Francia. Además de los problemas de la
propagación del calor y las series trigonométricas
se interesó en el estudio de las ecuaciones algebraicas,
sobre todo su solución numérica.
Publicó varias memorias sobre
temas de la estadística matemática y la teoría de
probabilidades. Hizo varias biografías sobre sabios
franceses. Realizó importantes contribuciones a la
egiptología. Fue miembro honorario de las Academias de San
Petersburgo y de Londres.
Simeon Dennis Poisson (1781-1840) Uno de los
primeros alumnos que terminó la Escuela Politécnica
de París. Desde 1802 trabajó en la misma Escuela
Politécnica, primero como examinador y más tarde
como Profesor. Es uno de los más prolíferos sabios,
con publicaciones en disímiles campos como la
teoría de series de Fourier, el cálculo de
variaciones, la teoría de probabilidades y la
mecánica racional. Se considera uno de los creadores de la
Física Matemática Desarrolló la
teoría de la electrostática y del magnetismo,
generalizó los estudios de hidrodinámica a los líquidos
viscosos y con la consideración de intercambio de calor,
resolvió varios problemas abiertos de la teoría de
la elasticidad, introdujo el coeficiente que mide la cantidad de
material de un cuerpo elástico.
En Mecánica Celeste hizo aportes importantes.
Independientemente de Bessel investigó las funciones
especiales llamadas de Bessel y dio su desarrrollo en series.
Escribió un Curso de Mecánica (1811) que fue
reeditado varias veces. Desde 1820 fue inspector de la enseñanza de la matemática en todos
los colegios de Francia.
George Green (1793-1841) estudió de forma
autodidacta las matemáticas y después
terminó la universidad de Cambridge (1828) Sus principales
trabajos son sobre Física Matemática. Además
de la teoría del potencial relacionada con la electricidad
y el magnetismo, introdujo ecuaciones fundamentales en el estudio
de la elasticidad, partiendo de la ley de conservación de
la energía. Se considera fue uno de los primeros que dio a
conocer en Inglaterra el Análisis Matemático como
era desarrollado en el continente. Fundador de la escuela de
Física Matemática de Cambridge.
Mijail Vasilievich Ostrogradsky (1801-1862) lo
había presentado a la Academia de San Petersburgo en 1828
sin conocer de las investigaciones de Green. Ostrogradsky
después de terminar la universidad de Jarkov en Rusia,
estudió de 1822 a 1827 en Paría con Cauchy y otros
geómetras franceses. Trabajó en San Petersburgo
como Profesor de diferentes escuelas militares y
pedagógicas. Sus investigaciones más importantes
son la hidromecánica, la teoría de elasticidad y en
otras ramas de la mecánica teórica. Se
interesó además por los problemas de la educación
matemática tanto a nivel secundario como
universitario.
Lejeune Dirichlet (1805-1859). La familia era
del pueblo belga de Richelet, lo que explica su nombre Lejeune de
Richelet, el joven de Richelet. Después de vencer
fácilmente a los 16 años el Gymnasium de Bonn y
dado el bajo nivel matemático en Alemania
pasó a París. En París tuvo profesores como
Fourier, Laplace, Legendre, Poisson y otros. Su primer
artículo fue sobre el teorema de Fermat para n = 5.
Más adelante probaría el caso n = 14. En 1825
regresó a Alemania, pero no tenía doctorado, ni
sabía latín, algo imprescindible entonces para
ejercer como profesor La Universidad de Cologne le dio un
doctorado honorario y pudo comenzar como Profesor en la
Universidad de Breslau.
En l828 a petición de Alexander von
Humboldt pasó a Berlín. En 1831 se casó
con una de las dos hijas del compositor Félix Mendelsohn.
A la muerte de Gauss, en 1855, le ofrecieron la cátedra de
Gotinga. En 1858 dando una conferencia en
Montreaux, Suiza, le dio un ataque al corazón.
Retornó a Gotinga donde recibió la noticia de la
muerte de su esposa por una apoplejía. No se
recuperó y murió algo después con solo 54
años. Se considera el iniciador de la teoría
analítica de los números.
En 1837 en sus investigaciones sobre series de Fourier,
introdujo la definición moderna de función. Se
interesó en varios problemas de la mecánica,
además de la teoría del potencial, la
hidromecánica y la estabilidad del sistema solar.
Riemann, que fue su alumno, dijo que Dirichlet escribió el
primer artículo profundo sobre la teoría de series
trigonométricas. Fue un excelente expositor. Era modesto y
muy reservado. En sus últimos años, ya muy famoso,
se negaba a hacer apariciones públicas. Se considera el
iniciador de la edad de oro en
Berlín y en toda Alemania.
William Rowan Hamilton (1805-1865) Nació y
estudió en Dublín, donde pronto fue detectado su
talento extraordinario. Se dice que a los 13 años dominaba
13 idiomas y a los 16 encontró un error en la
Mecánica Celeste de Laplace. Fue profesor en la
Universidad de Dublín desde los 22 años. Sus
principales trabajos fueron en Óptica, Mecánica y
Cálculo de Variaciones, pero también se
interesó por el Algebra, la Geometría y las
ecuaciones diferenciales. Estudió los números
complejos desde el punto de vista algebraico introduciendo la
representación en pares ordenados y trató de
generalizar sus leyes operatorias a tríadas.
Imposibilitado en su proyecto
encontró las leyes de los cuaterniones en 1943 y
dedicó los últimos 22 años de su vida a
promover sus virtudes. Introdujo muchos de los conceptos del
cálculo vectorial a través de su teoría de
cuaterniones. Fue miembro de varias academias de
Ciencia.
Sofía Vasilievna Kovalevskaya (1850-1891)
Nació en Moscú, pero tuvo que estudiar en las
universidades alemanas de Heidelberg y de Berlín, dada la
imposibilidad de hacerlo en Rusia por el simple hecho de ser
mujer. Estudió en Weierstrass de 1870 a 1874, pero su
doctorado lo recibió en Gotinga. Al regresar a Rusia solo
encontró trabajo como maestra de niveles secundarios. En
1884 su amigo Gosta Mittag-Leffler le tramitó una plaza de
profesor en la Universidad de Estocolmo. Sus principales
investigaciones fueron en la teoría matemática de
la rotación de los cuerpos sólidos alrededor de un
punto fijo, con lo que en 1888 recibió el Premio anual de
la Academia de Ciencias de París y en 1889 el Premio de la
Academia de Ciencias de Estocolmo. También resolvió
un problema abierto en la teoría de las integrales
abelianas. Sus investigaciones abarcan además diversos
temas de la física matemática, la mecánica
celeste y la teoría del potencial.
Le
gustaba escribir obras literarias y, en especial, sus Memorias
de la infancia (1890) alcanzaron popularidad. Escribió
numerosos artículos para la prensa con
diferentes seudónimos. Participó junto a su esposo
en las luchas a favor de la Comuna en Paría.
Compartía las ideas de los socialistas
utópicos.
Henri Poincaré (1854-1912) Nació en
Lorena, en el seno de una familia de clase media superior. La
habilidad matemática se hizo evidente desde la
enseñanza secundaria. Ganó varios premios del
concours général de todos los liceos de
Francia e ingresó en la Ecole Polytechnique de
París que terminó en 1875. Después
estudió ingeniería en las Escuelas de Minas.
Trabajó como ingeniero mientras que escribía su
tesis de
doctorado de Matemáticas, aprobada en 1879. Fue designado
a Caen y seguidamente pasó a la Universidad de
Paría en la cual fue profesor desde 1881 hasta su muerte
prematura. La cantidad, calidad y variedad temática de los
trabajos publicados por Poincaré es superada sólo
por matemáticos de la talla de Euler o Cauchy.
Geometría Algebraica, Teoría de los números,
Algebra, Topología Algebraica, Fundamentos de la
Matemática, Teoría de funciones, Teoría de
Ecuaciones Diferenciales, Física Matemática y
Mecánica Celeste, son algunos de los campos donde
alcanzó resultados trascendentes. La obra más
extraordinaria de Henri Poincaré que fue realizada en su
temprano, pero prodigioso, período de actividad
matemática (1880-86) es la teoría cualitativa de
las ecuaciones diferenciales. En sus últimos
años de vida se preocupó por la Filosofía de
la Matemática. Recibió innumerables premios y
honores, tanto en Francia como en el extranjero. Fue miembro de
más de 35 Academias de Ciencia.
IV. CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES
Espero que este pequeño paseo científico
– histórico – cultural sobre las ecuaciones de
la Física – Matemática (s. XVIII y s. XIX) le
haya resultado interesante y de su agrado. Me consideraría
en extremo afortunado y con infinita satisfacción en caso
de que eso suceda.
Sería muy placentero corroborar que esta
investigación le resulte útil en la
asimilación de esta vital disciplina que llegó para
permanecer en el corazón de las
matemáticas.
Pretendo que el presente sea solo el inicio de una
investigación más profunda y abarcadora donde se
aborden otros siglos. Cualquier sugerencia en ese sentido
será muy agradecida.
Permitirnos acercarnos aun más a esta singular
disciplina a través de las personalidades que se
encargaron de enriquecerla es una oportunidad inolvidable que no
debemos dejar de experimentar.
[1] Lützen, J. Partial differential
equations in Grattan Guinness (ed.) Enciclopedia
de Historia y Filosofía de la
Matemática
[2] Ríbnikov, K. A. (1987) Historia de
las matemáticas. Ed. Mir.
Moscú
[3] Samarsky, A. A.; Tijonov, A. N. (1980)
Ecuaciones de la Fisica Matemática. Ed. Mir.
Moscú
[4] Sánchez, C; Valdés, C. (2004)
De los Bernoulli a los Bourbakí. Una historia del
arte y la ciencia del cálculo. Ed. Nivola.
Madrid
[5] Sánchez, C; Valdés, C. (2001)
Los Bernoulli. Geómetras y Viajeros. Ed.
Nivola. Madrid
Autor:
Yoisell Rodríguez
Núñez
Lic. Matemática; Prof.
Instructor
;
Ciudad de la Habana
Noviembre 2005