Matemáticas en movimiento (página 2)

Partes: 1,
2, , 4

El límite de una potencia

A continuación calcularemos valores de
f(x)=xn para n entero positivo conforme
xa. En la
tabla, a=2 y n=3.
 

  El resultado anterior
sugiere el siguiente teorema:
 

 
    Los teoremas 4 y 5 tienen como consecuencia
los siguientes dos teoremas:
 

Límite de una función
que contiene un radical

A continuación calcularemos valores de la
raíz-n de x, es decir,
x(1/n) conforme xa. Si a>0 entoces n
puede ser cualquier entero positivo, pero si a<0,
n debe ser un entero impar. En la tabla, a=3 y
n=2.
 

Lo anterior sugiere el próximo
teorema.

El
límite de una función compuesta

La inmensa mayoría de las funciones pueden
ser vistas como composiciones de funciones más simples.
Los teoremas que hemos "descubierto" se refieren a un
pequeño grupo de
funciones importantes.

    Trataremos de intuir las
propiedades del límite de una función compuesta
(fog )(x) = f[g(x)].

    En la próxima tabla,
calcularemos valores de g(x) conforme xa, y los
compararás con el número f(L), donde
L=Lim g(x). En este ejemplo, f(x) = x1/2,
g(x) = x2 + 4, y a = 3.
 

  La tabla anterior pretende ilustrar
que Lim f(g(x))=f(Lim g(x))=f(L). Lo anterior sugiere el
siguiente teorema:

1.4.4 La definición formal de
límite

En esta sección trataremos de ilustrar
gráficamente el concepto de
límite y su definición formal. Analiza la siguiente
animación y observa que sucede con los valores
f(x) cuando x se acerca a un número
a.

    Observa en la
animación anterior que cuanto más cerca está
x del número a=1, los valores de la
función están más cerca del número
L=2. De manera equivalente, para que los valores de la
función estén cada vez más cerca del
número L=2, es necesario que los valores de
x estén suficientemente cerca del
número a=1.
   

Límites que no
existen

A continuación damos dos ejemplos de un
límite que no existe.

Distinto comportamiento por la izquierda y por la
derecha

El primer ejemplo se trata de una función
discontinua definida por secciones. Investigaremos el valor de
Lim f(x) cuando x1. Observa la siguiente animación.
 

    Como viste, cuando
x se acerca a 1, los valores de la
función NO se
acercan a un número. Cuando x se acerca a
1 por la izquierda, f(x)2, y cuando x se acerca a
1 por la derecha,
f(x)3.
Por eso decimos que:
 

Comportamiento no
acotado

Investigaremos el límite de la función
f(x)=1/x2 con la siguiente
animación.

Como habrás observado, conforme x se
acerca a cero por ambos lados, los valores de la función
crecen sin límite. Por lo tanto los valores de la
función no se acercan a ningún número.
Entonces, el límite no
existe.

    Esperamos que las
gráficas generadas anteriormente hayan
ayudado a que comprendas el concepto importantísimo del
límite de una función, y la definición
formal de límite. Es muy importante que comprendas este
concepto, por lo que te sugerimos que estudies este cuaderno
por el tiempo que
sea necesario.

1.4.5 Ejercicios

1) Trace la gráfica
para encontrar el límite dado, si es que
existe:

    a) 

    b)(|x| / x)

2) Encuentre el
límite dado si es que existe:

    a) 

    b) 

3) Identifique las
asíntotas verticales y las horizontales:

    a) 

    b) 

CONTINUIDAD

1.5.1
Introducción

Se ha mencionado anteriormente la idea intuitiva de que
una función continua es aquella cuya gráfica se
puede trazar sin despegar "el lápiz". Es decir, si la
gráfica es una sola línea "continua". En este
cuaderno daremos una definición precisa de lo que es una
"función continua".

    A continuación daremos
ejemplos de funciones discontinuas en un punto y
analizaremos qué es lo que causa la discontinuidad. Esto
nos llevará de una manera directa a la definición
de continuidad en un número y posteriormente a la
definición de continuidad en un intervalo.

1.5.2 Ejemplos

Observa cuidadosamente las siguientes gráficas de
funciones que son discontinuas en un número
x=a.
   

    Ahora observa la
siguiente gráfica.
   

    Observa que en este caso la discontinuidad ocurre
porque los límites
unilaterales no son iguales (la función no tiende al mismo
número por la derecha que por la izquierda), es
decir, la función es
discontinua por que el límite no existe.

    Veamos otro ejemplo:
   

    Por último,
observa la siguiente gráfica:
 
 

1.5.3 Definición de
continuidad

Enseguida se da la definición de continuidad en
un número.
 

1.5.4 Continuidad en un
intervalo

    Veamos un
ejemplo:

    Veamos un
ejemplo más:
 

1.5.5 Teoremas sobre
continuidad

Los siguientes teoremas nos facilitarán la tarea
de determinar la continuidad de una función.

    La definición de
continuidad implica que f(x)=x es continua en todo
número x, y el teorema anterior nos dice que
entonces x2, x3, … , xn
(n entero positivo) son funciones continuas en todo
número x (xn es un producto de
n funciones continuas y=x ).

    El teorema anterior también
nos dice que una función
polinomial es continua en (–,). 

    Consecuentemente,
una función racional
P(x)/Q(x) es continua en todo número real donde
Q(x) no sea cero.

  En otras palabras, la
composición de dos funciones continuas es también
continua.
 

    Veamos un ejemplo de este
teorema:

f(x)=1+Cos(x) es continua en todo x y
g(x)=Sen(x) también es continua en todo x.
Por lo tanto, f[g(x)]=1+Cos[Sen(x)] es continua, y
 

1.5.6
Ejercicios

1) Determine, si los hay,
los números en los que la función dada es
discontinua:

    a) f(x) =
(x2 – 9x + 18)-1

    b) 

2) Determine si la
función dada es continua en los intervalos
indicados:

    a)  ,  (0, 4],  [1,
9]

    b) f(x) = tan x
,  [0, ],  [-, ]

LA RECTA
TANGENTE

1.6.1
Introducción

El concepto de la derivada se originó, en parte
por el problema geométrico de encontrar la recta tangente
a una curva dada en un punto cualquiera, y también en
parte para describir el movimiento de
una partícula.

    En este cuaderno estudiaremos el
problema de la recta tangente.

1.6.2 La recta tangente a una
curva

Como debes saber, para determinar la ecuación de
una línea recta se necesita conocer dos puntos por los que
pasa, o un punto y la pendiente.

    Aquí nos encontramos con un
problema. Conocemos solo el punto de tangencia y la
ecuación de la curva a la queremos encontrar la
tangente.

    El problema parece no tener
solución. Sin embargo, en lugar de darnos por vencidos,
podemos por lo menos aproximar el valor de la pendiente de la
siguiente manera:

1. Escogemos un segundo punto sobre la curva (no muy
   lejos del punto de tangencia), y calculamos la pendiente de la
   recta secante que pasa por esos dos puntos.
2. Si el punto de tangencia tiene abcisa a,
   entonces su ordenada es f(a), donde f(x) es la
   función que define a la curva.
3. Entonces escogemos el segundo punto sobre la curva
   con abcisa a+h y ordenada f(a+h), donde h
   es un número que nosotros escogemos.

    Resumiendo: Dada la
curva y=f(x) y el punto (a,f(a)), escogemos un
segundo punto sobre la curva con coordenadas (a+h, f(a+h))
y calculamos la pendiente de la recta que pasa por ellos.
 

    A continuación se
ejemplificará lo anterior para una función dada, un
punto de tangencia dado y varios valores del número
h.

1.6.3 Cálculos y
gráficas

Observa la siguiente gráfica.
 
 

  A continuación, se muestra una
animación que contiene una serie de gráficas
mostrando la curva y las rectas secantes (por la izquierda y por
la derecha) para valores de h cada vez mas
pequeños. Se mostrarán dos rectas secantes: una para h y
otra para -h.

    Observa el comportamiento de las
rectas secantes conforme h0.

    ¿Qué
observaste acerca de las rectas secantes cuando h0?

    A continuación se
presentan tablas de valores de las pendientes de las rectas
secantes como función del número h. Observa
el valor de las pendientes conforme h se acerca a
cero.
 

  Observa el valor de las
pendientes de las rectas secantes (por la derecha y por la
izquierda) conforme h0. ¿Qué observas? ¿Se
acercan a un mismo número o no?

    En caso afirmativo, decimos que las
secantes tienden al mismo límite.

    Esta observación es la base para definir la
pendiente de la recta tangente a la curva y=f(x) en el
punto (a,f(a)). Si las secantes no tienden al mismo límite,
entonces la curva no tiene
tangente en ese punto.

Nota: La idea de que la recta tangente a una curva es
aquella que la toca en un solo punto es errónea. La recta
tangente puede tocar o cortar a la curva en mas de un punto. La
definición anterior es la correcta.
 

Ejemplo de una curva que no tiene tangente en un
punto

  Observa el valor de las
pendientes de las rectas secantes (por la derecha y por la
izquierda) conforme h0. ¿Qué observas? ¿Se
acercan a un mismo número o no? En caso afirmativo, la
curva tiene tangente en ese punto. En caso negativo, decimos que
la curva no tiene tangente en ese punto.

Caso especial: tangentes
verticales

Como debes saber, una recta vertical no tiene una
pendiente definida. Es decir, su pendiente no es un número
real. (A veces se dice incorrectamente que su pendiente es
infinita). Observa el siguiente ejemplo.
 

  Debe ser evidente que las dos rectas
secantes se acercan a una recta vertical. En estos casos decimos
que la curva tiene una tangente vertical en ese punto.

1.6.4 Cálculo de
la pendiente de la recta tangente

Ahora calcularemos la pendiente de la recta tangente de
una función en un punto dado, de acuerdo a la
definición anterior.

    Sea f(x)=x2,
entonces:
 

    La expresión
anterior es la pendiente de la recta secante para un valor dado
de h.

    ¿Qué valores crees que
vaya tomando la pendiente de la recta secante conforme
h0?

    El límite de la
expresión anterior cuando h0 es 4, por lo tanto:

La pendiente por la
izquierda es: 4

La pendiente por la
derecha es: 4

    Si los valores de las
pendientes por la izquierda y por la derecha son iguales, este
valor es, de acuerdo a la definición de recta tangente, la
pendiente de la recta tangente a la curva dada en el punto
dado.  Enseguida graficaremos la curva y la recta que tiene
la pendiente anterior.

    Observa que en realidad
es la recta tangente.

1.6.5 Ejercicios

1) Trace la gráfica
de la función y de la recta tangente en el punto
dado.  Obtenga la pendiente
    de la recta secante que
pasa por los puntos que correpondan a los valores de x
indicados: 

    a) f(x) =
x3,  (-2, -8); x = -2, x = -1

    b) f(x) = sen
x,  (,1);  x = ,  x = 

2) Determine la pendiente
de la recta tangente a la gráfica de la función
dada, en el punto indicado:

    a) f(x) =
x2;  (3, 9)

    b) f(x) =
x3;  (1, f(1))

3) Encuentre la
ecuación de la recta tangente a la gráfica de la
función dada, en el valor de x indicado:

       
a) f(x) = 1 – x2;  x = 5

MOVIMIENTO
RECTILÍNEO

1.7.1
Introducción

El concepto de la derivada se originó en parte
por el problema geométrico de encontrar la
recta tangente a una
curva dada en un punto cualquiera, y también en parte para
describir el movimiento de una partícula.

    Acabamos de discutir cómo
encontrar la recta tangente a una curva. En este cuaderno
estudiaremos el movimiento rectilíneo.

1.7.2 Movimiento
rectilíneo

Ahora estudiaremos el movimiento de una partícula
que se mueve a lo largo de alguna línea recta. Escogemos
un punto de referencia (llamado origen) para medir, a partir de
este punto, la posición de la partícula.

    Supongamos que la
posición de la partícula, que es una función
del tiempo, la denotamos con la letra s(t). Entonces, sea
s(t)=3 sen t una función que describe el
movimiento de la partícula, la siguiente gráfica
muestra la relación entre la posición y el tiempo
en un intervalo de 0 a 5/2.

Nota
importante: la
partícula no viaja a lo largo de la curva anterior. La
partícula viaja en línea recta. La gráfica
anterior describe como varía la posición como
función del tiempo a lo largo de esa línea recta.
La siguiente animación ilustra la relación entre el
movimiento de la partícula y la gráfica de s(t).
(El punto rojo es la partícula).

    Ahora, observa la
siguiente animación para ver por sí solo el
movimiento de la partícula.

    La posición de la
partícula se calculará en intervalos de tiempo:
 

    Enseguida se calcula el
cambio en la
posición de la partícula en cada subintervalo de
tiempo t (subintervalos iguales). Observa el cambio en la
posición para cada subintervalo. ¿Varía esta
cantidad de subintervalo a subintervalo? ¿Por
qué?

Interpretación de la
tabla: El cambio en la
posición que aparece en el renglón de un tiempo
t es el cambio que ocurre entre ese tiempo y el
próximo (t+t).

  El hecho de que en algunos
intervalos de tiempo el cambio en la posición es mayor que
en otros nos dá la idea intuitiva de que la
partícula se está moviendo "más
rápido" que en otros intervalos. Para poder
cuantificar esa idea de "moverse mas rápido" definimos la
siguiente cantidad:
 

    La próxima tabla
nos muestra la velocidad
promedio para cada intervalo de tiempo del ejemplo presente. La
interpretación de la tabla es la misma que
la anterior. Recuerda el mensaje dado arriba.

  Observa que en algunos intervalos de
tiempo la velocidad promedio es positiva y en otros es negativa.
¿Qué interpretación le puedes dar al signo
algebráico de la velocidad promedio?