Matemáticas en movimiento (página 4)

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2, , 4

RAZONES DE
CAMBIO
RELACIONADAS

1.10.1 Razones de cambio
relacionadas

¿Cuán rápido varía una
cantidad? En general, una razón de cambio con respecto al
tiempo es la
respuesta a esta pregunta. La derivada dy/dx de una
función
y=f(x) es una razón de cambio instantánea
con respecto a la variable x. Si la función
representa posición o distancia entonces la razón
de cambio con respecto al tiempo se interpreta como velocidad.

    Si dos cantidades están
relacionadas entre sí, entonces cuando una de ellas cambia
con el tiempo, la otra cambiará también. Por lo
tanto sus razones de cambio (con respecto al tiempo) están
relacionadas entre sí. Por ello a este tipo de situaciones
se les llama razones de cambio
relacionadas.

    En este cuaderno examinaremos un par
de ejemplos de este tipo de problemas.

1.10.2 Ejemplos

Ejemplo 1:

Una persona de 1.80
metros de altura se aleja de un poste de alumbrado de 6 metros de
altura con una velocidad de 1 m/s. ¿Con qué rapidez
crece la sombra de la persona?

    Observa la siguiente
animación. En ella observarás como cambia la sombra
que una persona proyecta sobre el piso, cuando esa persona se
aleja de la fuente luminosa.

    Como habrás
observado, la longitud de la sombra depende de la distancia de la
persona al poste. Puesto que la distancia x cambia con el
tiempo, también la longitud de la sombra s cambia con el
tiempo. La razón de cambio de la longitud de la sombra con
respecto al tiempo, depende de la velocidad con la que la persona
se aleja del poste. A esto le llamamos razones de cambio
relacionadas. Enseguida, se muestran los cálculos
necesarios para encontrar la razón de cambio de la sombra
del ejemplo anterior.
 

    Los pasos ilustrados en
el ejemplo anterior son típicos en la solución de
un problema de razones de cambio relacionadas. Este procedimiento se
resume en la siguiente lista.

    Te sugerimos seguir este
procedimiento en la solución de este tipo de
problemas.
 

Ejemplo 2:

Se inyecta aire a un globo
esférico a razón de 20 pies cúbicos / min.
¿A qué razón varía el radio cuando
éste mide 3 pies? La solución y una
animación que ilustra el problema se muestran a
continuación.

1.10.3    
Ejercicios de razones de cambio relacionadas

1) Una placa en forma de
triángulo equilátero se expande con el
tiempo.  Cada lado aumenta a razón constante de 2
cm/h.  ¿Con qué rapidez crece el área
cuando cada lado mide 8 cm?

2) Un insecto va a lo largo
de la gráfica de y = x2 + 4x + 1, en
donde x y y se miden en centímetros. 
Si la abscisa x varía a razón constante de
3cm/min, ¿Cuán rápido está variando
la ordenada en el punto (2, 13)?

3) Un abrevadero de 20 pie
de largo tiene sus extremos verticales en forma de triángulos equiláteros.  Si se
le bombea agua a
razón constante de 4 pie3 / min, ¿con
qué rapidez está subiendo el nivel de agua cuando
está a 1 pie de altura sobre el fondo?

EXTREMOS DE
FUNCIONES

1.11.1 Extremos
absolutos

En esta sección veremos el concepto
de extremos de una
función. Observa la gráfica de la
función f(x)=1+x2 en el dominio
[-3,5].
 

  Como observarás la
función f(x)=1+x2 en el dominio
[-3,5] tiene dos valores que
bien podríamos llamar extremos. Los puntos indican
claramente que para ese dominio el valor mínimo de la función es
1 y el valor
máximo es
26.

    ¿Existe un valor menor que
1 o uno mayor que 26 en el intervalo
mostrado?

    Esta gráfica sugiere la
posibilidad de que una función tenga un valor
máximo y un mínimo en un intervalo cerrado.
 

    Los extremos absolutos
también reciben el nombre de extremos globales.

  El teorema anterior nos asegura que
en un intervalo cerrado, una función continua siempre
tendrá un valor máximo y un valor mínimo. El
teorema no dice nada si el intervalo es abierto.

1.11.2 Extremos en la
frontera

Considera ahora la función f(x)=1+|cos(x)|
en el dominio [/4,],
la gráfica se muestra a
continuación.
 

    Como ya te habrás
dado cuenta, la función f(x)=1+|cos(x)| en el
intervalo [/4,],
tiene una máximo absoluto en x= y un mínimo absoluto en
x=/2.

    El mínimo absoluto es
y=1 y ocurre dentro del intervalo. El máximo
absoluto es y=2 y ocurre en una frontera del
intervalo.

    Cuando un extremo absoluto de una función
ocurre en una de las fronteras de un intervalo I, como en
el ejemplo anterior, se le da el nombre de
extremo en la
frontera. 

    Cuando I no es un intervalo
cerrado, como (-3,6], entonces aún cuando f
sea continua no hay garantía de que exista un extremo
absoluto.

1.11.3 Extremos
relativos

La función f(x)=x3 – x2
– 12x no tiene extremos absolutos en el intervalo abierto
(-4,5), ¿por qué? Fíjate en la
siguiente gráfica:
 

    Si prestamos atención a los valores de la función
para aquellas x's cercanas a (o en la vecindad de)
x=c1 y x=c2 (los puntos
azules de la gráfica), observarás que
f(c1) es el valor máximo de la
función en un intervalo
(a1,b1) que contenga a
c1 y f(c2) es el valor
mínimo de la función en un intervalo
(a2,b2) que contenga a
c2.

    Estos puntos reciben el nombre de
extremos relativos
o locales,
y se definen como sigue:
 

   Como consecuencia de esta
definición puede concluirse que todo extremo absoluto
(excepto extremo en la frontera) es también un extremo
relativo.

    Es muy importante que notes que los
puntos en azul de la gráfica anterior no fueron obtenidos
por medio de simple tabulación. (¿Cómo es la
tangente a la gráfica en los extremos
relativos?).

   Para
encontrar los extremos relativos no es suficiente el graficar la
función por medio de simple tabulación.
Observa los puntos que marcan los extremos relativos de la
siguiente gráfica.
 

  Examinando la gráfica
anterior observarás que los extremos relativos de la
función mostrada ocurren en valores de x en los que
la curva no tiene tangente
o en los que la tangente es
horizontal (o vertical).

    Por lo tanto los valores de x
en los que f'(x)=0 o f'(x) no existe, son
importantes.
 

  Es importante notar que f(c)
debe estar definida para que el número c sea un
valor crítico. Enunciamos en seguida dos importantes
teoremas.
 

Nota importante
: El teorema anterior NO dice que en
todos los valores críticos habrá un extremo
relativo.

    Observa la siguiente
gráfica.
 

  Como puedes observar, x=0 es
un número crítico, pero f(0) no es un
extremo relativo.
 

1.11.4 Obtención de los
extremos absolutos

El último teorema de la sección anterior
puede resumirse de la siguiente manera:
 

Observaciones:

    a) Una función
puede tomar sus valores máximo y mínimo más
de una vez en un intervalo, pero el máximo absoluto es un sólo
número y el mínimo absoluto es
también un solo
número.

    b) El recíproco del teorema 16
no es necesariamente cierto. Es decir un valor crítico de
una función no siempre corresponde a un extremo relativo.
(Como ya viste con f(x)=x3+1)

    Veamos otro ejemplo para ilustrar lo
anterior.
 

  Como observarás la derivada
de esta función muestra que x=1 es un valor
crítico sin embargo esta función al igual que la
anterior, no tiene extremo alguno.

1.11.5 Ejercicios de Extremos de
Funciones

1.- Encuentre los valores
críticos de la función dada:

    a) 

    b) f(x) = -x +
senx

2.- Encuentre los extremos
absolutosde la función dada en el intervalo
indicado:

    a) f(x)
=  ; [-1,
8]

    b) f(x) =
x3 – 6×2 + 2 ; [-3, 2]

3.- Encuentre todos los
valores críticos.  Distinga entre extremos absolutos,
absolutos en la frontera y relativos:

    f(x) = x2
– 2|x| ; [-2, 3]

TRAZO DE
GRÁFICAS Y LA PRIMERA DERIVADA

1.12.1
Introducción

Como ya has visto, si una función tiene
extremos relativos,
éstos deben ocurrir en un valor crítico. Pero
una función no necesariamente
tiene un extremo relativo en todos sus valores
críticos. El objetivo de
este cuaderno es encontrar un criterio que nos permita decidir en
qué valores críticos existen extremos
relativos.

    Recuerda que los valores
críticos de una función f(x) son
números en el dominio de f(x) para los
cuales f'(x)=0 o
f'(x) no está
definida. En esta sección encontraremos una forma de
determinar cuando la función tiene un extremo relativo en
un valor crítico c, a partir de la primera
derivada.

1.12.2 Criterio de la Primera
Derivada

Sea f(x) una función diferenciable en
(a,b) y c un valor crítico tal que
a<c<b. Sería conveniente poder
determinar si f(c) es un máximo o un mínimo
relativo de f(x), esto nos ayudaría a trazar la
gráfica de f(x).

Ejemplo: Gráfica de f(x) = x3 –
3×2 – 9x + 2

    Esta función es
continua en todo su dominio. Vamos a analizar su gráfica y
el comportamiento
de su derivada en el intervalo -5<x<5. El objetivo
es el de detectar los máximos y mínimos relativos y
determinar algún criterio para encontrarlos utilizando la
primera derivada. Observa la siguiente gráfica.
 

  Como verás los extremos
relativos de f(x) son f(-1) y f(3). En la
siguiente animación observa el comportamiento de las
rectas tangentes a la gráfica de f(x) al pasar por
los puntos extremos relativos.

    Observa que
en los intervalos en los que la
función crece, la pendiente de la recta tangente tiene
signo positivo, y cuando la función es decreciente, el
signo de la pendiente es negativo.

    Como ya te habrás dado cuenta
las pendientes cambian de signo en los valores
críticos.

    Para verificar esto a
continuación se muestra una tabla de valores de las
pendientes de las rectas tangentes a la gráfica de
f(x) para -5<x<5, observa el comportamiento
de las pendientes.
 

  ¿Qué observas?
¿Hay cambios de signo? ¿Detectaste el máximo
y mínimo relativos? ¿Cuándo se
presentan?

    De acuerdo a lo que se observa en el
ejemplo, parece razonable enunciar el siguiente teorema:
 
 

1.12.3 Otros ejemplos

Observemos otros ejemplos.
 

    Si el signo de la
derivada cambia al evaluarla sobre los intervalos (a,c) y
(c,b) entonces f(c) es un máximo o
mínimo relativo. ¿Cuáles son el
máximo y mínimo relativos?

    Si la derivada no cambia de signo en
el valor crítico c, entonces f(c) NO es un
extremo relativo.

    Practica el encontrar los extremos
relativos de varias funciones. Escoge
entre las funciones dadas en los ejercicios de tu libro de
texto hasta
que sientas que entiendes el criterio de la primera
derivada.

Recuerda:
La práctica hace al
maestro.

1.12.4 Ejercicios de Trazo de gráficas y la primera
derivada

1.- Utilice el criterio de
la primera derivada para encontrar los extremos relativos de la
función dada.  Trace la gráfica. 
Encuentre las intersecciones con los ejes cuando sea
posible:

    a) f(x) = x(x –
2)2

   
b) 

   
c) 

CONCAVIDAD
Y EL CRITERIO DE LA SEGUNDA DERIVADA

1.13.1
Introducción

Ya hemos visto que la localización de los
intervalos en los que una función f crece o decrece
es útil para hallar su gráfica.

    Recordemos que si f crece en
un intervalo, entonces f'>0 en ese intervalo,
y si f decrece entonces f'<0.

    En este cuaderno veremos que
localizando los intervalos en los que la derivada f' crece
o decrece, podemos determinar dónde la gráfica de
f se curva hacia arriba o hacia abajo.

    La noción que discutiremos es
la de concavidad.

1.13.2 Definición de
concavidad

Observemos las siguientes gráficas (todas son
acerca de la misma función, pero en diferentes
intervalos).
 

 
    Como debes haber observado, cuando la
función es cóncava hacia abajo, la derivada
f' es una
función decreciente
y cuando la curva es cóncava hacia arriba la
derivada es una función creciente.
 

    Por lo que sabemos de
funciones crecientes y decrecientes, si f' es creciente en un intervalo,
entonces su derivada f'' es positiva en ese intervalo y si
f' es decreciente
entonces su derivada f'' es negativa en ese intervalo. La
siguiente gráfica muestra este concepto.
 

 
    Las anteriores observaciones nos llevan a
postular el siguiente criterio
sobre concavidad:
 

1.13.3 Determinando la
concavidad

Para determinar la concavidad de la gráfica de
una función, debemos determinar los intervalos en los
que f''(x)<0 (concavidad
hacia abajo) y en los que f''(x)>0 (concavidad hacia arriba).
Se sugiere el siguiente procedimiento:
 

    A continuación se
muestran dos ejemplos para ilustrar este
procedimiento.

Ejemplo 1:
 

Ejemplo 2:
 

1.13.4 Puntos de
inflexión

Un punto de la gráfica de una función en
donde hay un cambio en la concavidad de la gráfica se
llama punto de
inflexión.
 

  Como consecuencia de las
definiciones de concavidad y de punto de inflexión ,
observamos que un punto de
inflexión (c,f(c)) ocurre en un número c para el
cual f''(c)=0 o bien f''(c) no
existe. 

    A continuación, se muestran
los puntos de inflexión de una función.

Ejemplo:
 

1.13.5 Ejercicios de Concavidad y el
criterio de la segunda derivada

1.- Utilice la segunda
derivada para determinar los intervalos en los que la
función dada es cóncava hacia arriba y en los que
es cóncava hacia abajo:

    a) 

    b) 

2.- Utilice la segunda
derivada para localizar todos los puntos de
inflexión:

    a) f(x) = x – sen
x

3.- Utilice el criterio de
la segunda derivada, cuando sea aplicable, para encontrar los
extremos relativos de la función dada.  Trace la
gráfica.  Encuentre los puntos de inflexión y
la intersecciones con los ejes, cuando sea posible:

   
a) 

CÁLCULO
INTEGRAL

2.1.2 El área bajo una
curva

Enseguida, graficaremos una función en un
intervalo [a,b] y se mostrará el área
contenida entre su gráfica y el eje x en el
intervalo dado. Observa la siguiente gráfica.
 

    Igual que con el
problema de la tangente, empezaremos por hacer aproximaciones.
Aproximaremos el área bajo la curva con el área de
ciertos rectángulos.

    Observa las siguientes
gráficas:
 

 
    Como pudiste ver en las gráficas
anteriores, con los primeros rectángulos estamos
sobreestimando el valor del área y con los segundos
rectángulos la estamos subestimando.

    A continuación calcularemos
aproximaciones cada vez mejores, tomando cada vez más y
más rectángulos.

    Observa las siguientes
animaciones.
 

    El valor exacto del
área es:
 

    Los
resultados anteriores parecen indicar que conforme el
número n de rectángulos crece,
(n), el valor del
área de los rectángulos tanto por la izquierda como
por la derecha se acercan a un mismo número. Vamos a
cuantificar y a formalizar las ideas expuestas anteriormente.
 
 

    Para ejemplificar lo
anterior, ahora se calculará la suma de Riemann como
función de n, el número de
rectángulos. También se calculará el
límite cuando n,
cuyo valor es, por definición, el área bajo la
curva.
 

Si escogemos el extremo derecho de los
subíntervalos, tendríamos
que  

2.1.3 La Integral
Definida

La noción del límite de una suma de
Riemann puede extenderse a cualquier función definida en
un intervalo [a,b]. Es decir, la función ya no
tiene que ser mayor que cero y ni siquiera tiene que ser
continua.
 

    Enseguida se calcula el
valor de la integral definida de una función en un
intervalo dado.
 

    Como habrás
observado, el valor de la integral definida no es igual al valor
del área bajo la curva. Esto se debe a que
f(x)<0 en una parte del intervalo. En el cuaderno
llamado área entre curvas se
definirá de manera definitiva el área bajo una
curva en términos de la Integral Definida.

Bibliografía

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Ecuaciones Diferenciales, Octava Edición, Prentice Hall, México
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Bradley Gerald L. y Smith Karl J., Cálculo de
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Diferenciales Elementales y problemas con condiciones en la
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Cálculo, Primera edición,
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Larson, Hostetler, Edwards,  Cálculo Volumen 1 y
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1995

Purcell Edwin J. y Varberg Dale, Cáculo con
geometría analítica, Sexta
Edición, Prentice Hall, México 1993

Zill Dennis G., Cálculo con geometría
analítica, Grupo Editorial Iberoamérica,
México 1992

Dr. Sergio Miguel Terrazas
Porras
Profesor de Física y Matemáticas en el Departamento de Ciencias
Básicas del Instituto de Ingeniería y Tecnología de la
Universidad
Autónoma de Ciudad Juárez,

http://sterraza.ne1.net