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Los Principios de Pascal, Arquímedes y teorema de Bernoulli




Enviado por mnavas42 mnavas42



    1. Introducción
    2. Principio
      de Pascal
    3. Vida y obras
    4. Estudios
      realizados
    5. Principio
      de Arquímedes
    6. Porción de fluido en
      equilibrio con el resto del fluido
    7. Energía
      potencial de un cuerpo en el seno de un
      fluido
    8. Teorema de
      Bernoulli
    9. Aplicaciones
    10. Conclusión

    INTRODUCCION

    En el presente trabajo se
    trata de representar Los Principios: de Blaise Pascal
    (1623-1662), filósofo, matemático y físico
    francés, considerado una de las mentes privilegiadas de la
    historia
    intelectual de Occidente, el estudio de su principio se basa en
    la prensa hidraulica
    .

    En el Principio de Arquímedes se dice que
    nació en el 212 a.C.), notable matemático e
    inventor griego, que escribió importantes obras sobre
    geometría plana y del espacio,
    aritmética y mecánica y su estudio es basado en las
    fuerzas sobre una porción de fluido en equilibrio con
    el resto del fluido.

    Por último el teorema de Bernoulli se
    refiere a la circulación de fluidos incompresibles, de
    manera que podremos explicar fenómenos tan distintos como
    el vuelo de un avión o la circulación del humo por
    una chimenea.

    El estudio de la dinámica de los fluidos fue bautizado
    hidrodinámica por el físico suizo
    Daniel Bernoulli, quien en 1738 encontró la
    relación fundamental entre la presión,
    la altura y la velocidad de
    un fluido ideal. El teorema de Bernoulli demuestra que estas
    variables no
    pueden modificarse independientemente una de la otra, sino que
    están determinadas por la energía mecánica del sistema

    Principio de
    Pascal

    Pascal, Blaise

    Blaise Pascal (1623-1662), filósofo,
    matemático y físico francés, considerado una
    de las mentes privilegiadas de la historia intelectual de
    Occidente.

    Blaise Pascal Blaise Pascal, conocido como
    matemático, científico y autor, abrazó la
    religión
    hacia el final de su corta vida. Pascal argumentaba que es
    razonable tener fe, aunque nadie pueda demostrar la existencia o
    inexistencia de Dios; los beneficios de creer en Dios, si
    efectivamente existe, superan con mucho las desventajas de dicha
    creencia en caso de que sea falsa.Hulton Deutsch

    Calculadora de Pascal En 1642, Blaise Pascal
    desarrolló una calculadora mecánica para
    facilitarle el trabajo a
    su padre, un funcionario fiscal. Los
    números se introducen en las ruedas metálicas
    delanteras y las soluciones
    aparecen en las ventanas superiores.Dorling Kindersley

    Nació en Clermont-Ferrand el 19 de junio de 1623,
    y su familia se
    estableció en París en 1629. Bajo la tutela de su
    padre, Pascal pronto se manifestó como un prodigio en
    matemáticas, y a la edad de 16 años
    formuló uno de los teoremas básicos de la geometría
    proyectiva, conocido como el teorema de Pascal y descrito en su
    Ensayo sobre
    las cónicas (1639).

    En 1642 inventó la primera máquina de
    calcular mecánica. Pascal demostró mediante un
    experimento en 1648 que el nivel de la columna de mercurio de un
    barómetro lo determina el aumento o disminución de
    la presión atmosférica circundante. Este
    descubrimiento verificó la hipótesis del físico italiano
    Evangelista Torricelli respecto al efecto de la presión
    atmosférica sobre el equilibrio de los líquidos.
    Seis años más tarde, junto con el matemático
    francés Pierre de Fermat, Pascal formuló la
    teoría
    matemática
    de la probabilidad, que
    ha llegado a ser de gran importancia en estadísticas actuariales,
    matemáticas y sociales, así como un elemento
    fundamental en los cálculos de la física teórica
    moderna.

    Otras de las contribuciones científicas
    importantes de Pascal son la deducción del llamado ‘principio de
    Pascal’, que establece que los líquidos transmiten
    presiones con la misma intensidad en todas las direcciones
    (véase Mecánica de fluidos), y sus investigaciones
    sobre las cantidades infinitesimales. Pascal creía que el
    progreso humano se estimulaba con la acumulación de los
    descubrimientos científicos.

    2 VIDA Y
    OBRAS

    Pascal abrazó el jansenismo y en 1654
    entró en la comunidad
    jansenista de Port Royal, donde llevó una vida
    rigurosamente ascética hasta su muerte, ocho
    años más tarde. En 1656 escribió sus 18
    Provinciales, en las que ataca a los jesuitas por
    sus intentos de reconciliar el naturalismo del siglo XVI con el
    catolicismo ortodoxo. Su declaración religiosa más
    destacada apareció después de su muerte acaecida el
    19 de agosto de 1662; se publicó en forma fragmentaria en
    1670 en la Apología de la religión cristiana. En
    estos escritos (que más tarde se incorporaron a su obra
    principal) propone las alternativas de la posible
    salvación y condenación eterna, sugiriendo que
    sólo se puede lograr la salvación mediante la
    conversión al jansenismo. Pascal sostenía que se
    lograra o no la salvación, el último destino de la
    humanidad es pertenecer después de la muerte a un
    reino sobrenatural que puede conocerse solamente de forma
    intuitiva. La última obra importante de Pascal fue
    Pensamientos sobre la religión y sobre otros temas,
    publicada también en 1670. En esta obra intentó
    explicar y justificar las dificultades de la vida humana por el
    dogma del pecado original, y sostenía que la
    revelación puede ser entendida sólo por la fe, que
    a su vez se justifica por la revelación. En los escritos
    de Pascal, que defienden la aceptación de un modo de vida
    cristiano, se aplica frecuentemente el cálculo de
    probabilidades; argumentaba que el valor de la
    felicidad eterna es infinito y que, aunque la probabilidad de
    obtener dicha felicidad por la religión pueda ser
    pequeña, es infinitamente mayor que siguiendo cualquier
    otra conducta o
    creencia humana. Una reclasificación de su obra
    Pensamientos (un cuidadoso trabajo comenzado en 1935 y que
    continuaron varios eruditos) no reconstruye su Apología,
    pero permite al lector seguir el camino reflexivo que el mismo
    Pascal habría seguido.

    3
    EVALUACIÓN

    Pascal fue uno de los más eminentes
    matemáticos y físicos de su época y uno de
    los más grandes escritores místicos de la literatura cristiana. Sus
    trabajos religiosos se caracterizan por su especulación
    sobre materias que sobrepasan la comprensión humana. Se le
    clasifica, generalmente, entre los más finos polemistas
    franceses, especialmente en Provinciales, un clásico de la
    literatura de la ironía. El estilo de la prosa de Pascal
    es famoso por su originalidad y, en particular, por su total
    falta de artificio. Sus lectores pueden comprobar el uso de la
    lógica
    y la apasionada fuerza de su
    dialéctica.

    4. ESTUDIOS
    REALIZADOS

    Para sumergir totalmente en agua una
    colchoneta inflable necesitamos empujarla hacia abajo. Es
    más fácil sostener un objeto pesado dentro del agua
    que fuera de ella. Cuando buceamos pareciera que nos apretaran
    los tímpanos. Éstos y muchos otros ejemplos nos
    indican que un líquido en equilibrio ejerce una fuerza
    sobre un cuerpo sumergido. Pero, ¿qué origina esa
    fuerza?, ¿en qué dirección actúa?,
    ¿también el aire en reposo
    ejerce fuerza sobre los cuerpos?, ¿qué determina
    que un cuerpo flote o no? Éstas son algunas de las
    cuestiones que aborda la estática
    de fluidos: el estudio del equilibrio en líquidos y
    gases.

    Un fluido en reposo en contacto con la superficie de un
    sólido ejerce fuerza sobre todos los puntos de dicha
    superficie. Si llenamos de agua una botella de plástico
    con orificios en sus paredes observamos que los chorritos de agua
    salen en dirección perpendicular a las paredes. Esto
    muestra que la
    dirección de la fuerza que el líquido ejerce en
    cada punto de la pared es siempre perpendicular a la superficie
    de contacto.

    En el estudio de los fluidos, resulta necesario conocer
    cómo es la fuerza que se ejerce en cada punto de las
    superficies, más que la fuerza en sí misma. Una
    persona
    acostada o parada sobre una colchoneta aplica la misma fuerza en
    ambos casos (su peso). Sin embargo, la colchoneta se hunde
    más cuando se concentra la fuerza sobre la pequeña
    superficie de los pies. El peso de la persona se reparte entre
    los puntos de la superficie de contacto: cuanto menor sea esta
    superficie, más fuerza corresponderá a cada
    punto.

    Se define la presión como el cociente
    entre el módulo de la fuerza ejercida perpendicularmente a
    una superficie (F perpendicular)  y el área
    (A) de ésta:

    En fórmulas es: p=F/A 


    La persona parada ejerce una presión
    mayor sobre la colchoneta que cuando está acostada sobre
    ella. La fuerza por unidad de área, en cada caso, es
    distinta. Cuando buceamos, la molestia que sentimos en los
    oídos a una cierta profundidad no depende de cómo
    orientemos la cabeza: el líquido ejerce presión
    sobre nuestros tímpanos independientemente de la
    inclinación de los mismos. La presión se
    manifiesta como una fuerza perpendicular a la superficie,
    cualquiera sea la orientación de
    ésta.

     Densidad y peso
    específico

    La densidad es una magnitud que mide la compactibilidad de
    los materiales, es
    decir, la cantidad de materia
    ¡contenida en un cierto volumen. Si un
    cuerpo está hecho de determinado material, podemos
    calcular su densidad como el
    cociente entre la masa del cuerpo y su volumen: d =
    m/V

     Análogamente, se define el peso
    específico como el peso de un determinado volumen del
    material. Por lo tanto:    p=P/V
      
    (peso dividido el volumen, pero el peso
    es la masa (m) por la aceleracion de la gravedad (g)) Se puede
    entonces escribir: p=(m.g)/V.

    Como vimos antes, m/V es la densidad d, entonces
    p=d.g

    Las unidades de presión que se utilizan
    normalmente son:

    Sistema

    Unidad

    Nombre

    M.K.S.

    N/m²

    Pascal (Pa)

    TECNICO

    Kg/m²

    C.G.S.

    dina/cm²

    Baría

     La característica estructural de los
    fluidos hace que en ellos se transmitan presiones, a diferencia
    de lo que ocurre en los sólidos, que transmiten fuerzas.
    Este comportamiento
    fue descubierto por el físico francés
    Blaise
    Pascal (1623-1662)
    , quien
    estableció el siguiente principio:

    Un cambio de
    presión aplicado a un fluido en reposo dentro de un
    recipiente se transmite sin alteración a través de
    todo el fluido. Es igual en todas las direcciones y actúa
    mediante fuerzas perpendiculares a las paredes que lo
    contienen.

    El principio de Pascal fundamenta el funcionamiento de
    las genéricamente llamadas máquinas
    hidráulicas: la prensa, el gato, el freno, el ascensor y
    la grúa, entre otras.

    Cuando apretamos una chinche, la fuerza que el pulgar
    hace sobre la cabeza es igual a la que la punta de la chinche
    ejerce sobre la pared. La gran superficie de la cabeza alivia la
    presión sobre el pulgar; la punta afilada permite que la
    presión sobre la pared alcance para perforarla.

    Cuando caminamos sobre un terreno blando debemos usar
    zapatos que cubran una mayor superficie de apoyo de tal manera
    que la presión sobre el piso sea la mas pequeña
    posible. Seria casi imposible para una mujer, inclusive
    las mas liviana, camina con tacos altos sobre la arena, porque se
    hundiría inexorablemente.

    El peso de las estructuras
    como las casas y edificios se asientan sobre el terreno a
    través de zapatas de hormigón o cimientos para
    conseguir repartir todo el peso en la mayor cantidad de
    área para que de este modo la tierra
    pueda soportarlo, por ejemplo un terreno normal, la
    presión admisible es de 1,5 Kg/cm².

    La Presa Hidráulica

    El principio de Pascal fundamenta el funcionamiento de
    las genéricamente llamadas máquinas
    hidráulicas: la prensa, el gato, el freno, el ascensor y
    la grúa, entre otras.

    Este dispositivo, llamado prensa hidráulica, nos
    permite prensar, levantar pesos o estampar metales
    ejerciendo fuerzas muy pequeñas. Veamos cómo lo
    hace.

    El recipiente lleno de líquido de la figura
    consta de dos cuellos de diferente sección cerrados con
    sendos tapones ajustados y capaces de res-balar libremente dentro
    de los tubos (pistones). Si se ejerce una fuerza (F1) sobre el
    pistón pequeño, la presión ejercida se
    transmite, tal como lo observó Pascal, a todos los puntos
    del fluido dentro del recinto y produce fuerzas perpendiculares a
    las paredes. En particular, la porción de pared
    representada por el pistón grande (A2) siente una fuerza
    (F2) de manera que mientras el pistón chico baja, el
    grande sube. La presión sobre los pistones es la misma, No
    así la fuerza!

    Como p1=p2 (porque la presión interna es
    la misma para todos lo puntos)

    Entonces: F1/A1 es igual F2/A2 por lo que despejando un
    termino se tiene que: F2=F1.(A2/A1)

    Si, por ejemplo, la superficie del pistón grande
    es el cuádruple de la del chico, entonces el módulo
    de la fuerza obtenida en él será el
    cuádruple de la fuerza ejercida en el
    pequeño.

    La prensa hidráulica, al igual que las palancas
    mecánicas, no multiplica la energía. El volumen de
    líquido desplazado por el pistón pequeño se
    distribuye en una capa delgada en el pistón grande, de
    modo que el producto de la
    fuerza por el desplazamiento (el trabajo) es igual en ambas
    ramas. ¡El dentista debe accionar muchas veces el pedal del
    sillón para lograr levantar lo suficiente al
    paciente!

    Principio de
    Arquímedes

    212 a.C.), notable matemático e inventor griego,
    que escribió importantes obras sobre geometría
    plana y del espacio, aritmética y
    mecánica.

    Nació en Siracusa, Sicilia, y se educó en
    Alejandría, Egipto. En el
    campo de las matemáticas puras, se anticipó a
    muchos de los descubrimientos de la ciencia
    moderna, como el cálculo integral, con sus estudios de
    áreas y volúmenes de figuras sólidas
    curvadas y de áreas de figuras planas. Demostró
    también que el volumen de una esfera es dos tercios del
    volumen del cilindro que la circunscribe.

    En mecánica, Arquímedes definió la
    ley de la
    palanca y se le reconoce como el inventor de la polea compuesta.
    Durante su estancia en Egipto inventó el ‘tornillo
    sin fin’ para elevar el agua de
    nivel. Arquímedes es conocido sobre todo por el
    descubrimiento de la ley de la hidrostática, el llamado principio de
    Arquímedes, que establece que todo cuerpo sumergido en un
    fluido experimenta una pérdida de peso igual al peso del
    volumen del fluido que desaloja (véase Mecánica de
    fluidos). Se dice que este descubrimiento lo hizo mientras se
    bañaba, al comprobar cómo el agua se desplazaba y
    se desbordaba.

    Arquímedes pasó la mayor parte de su vida
    en Sicilia, en Siracusa y sus alrededores, dedicado a la investigación y los experimentos.
    Aunque no tuvo ningún cargo público, durante la
    conquista de Sicilia por los romanos se puso a disposición
    de las autoridades de la ciudad y muchos de sus instrumentos
    mecánicos se utilizaron en la defensa de Siracusa. Entre
    la maquinaria de guerra cuya
    invención se le atribuye está la catapulta y un
    sistema de
    espejos —quizá legendario— que incendiaba las
    embarcaciones enemigas al enfocarlas con los rayos del
    sol.

    Al ser conquistada Siracusa, durante la segunda Guerra
    Púnica, fue asesinado por un soldado romano que le
    encontró dibujando un diagrama
    matemático en la arena. Se cuenta que Arquímedes
    estaba tan absorto en las operaciones que
    ofendió al intruso al decirle: "No desordenes mis diagramas".
    Todavía subsisten muchas de sus obras sobre
    matemáticas y mecánica, como el Tratado de los
    cuerpos flotantes, El arenario y Sobre la esfera y el cilindro.
    Todas ellas muestran el rigor y la imaginación de su
    pensamiento
    matemático.

    El principio de Arquímedes afirma que todo cuerpo
    sumergido en un fluido experimenta un empuje vertical y hacia
    arriba igual al peso de fluido desalojado.

    La explicación del principio de Arquímedes
    consta de dos partes como se indica en la figuras:

    1. El estudio de las fuerzas sobre una porción de
      fluido en equilibrio con el resto del fluido.
    2. La sustitución de dicha porción de
      fluido por un cuerpo sólido de la misma forma y
      dimensiones.

    Porción de
    fluido en equilibrio con el resto del fluido.

    Consideremos, en primer lugar, las fuerzas sobre una
    porción de fluido en equilibrio con el resto de fluido. La
    fuerza que ejerce la
    presión
    del fluido sobre la
    superficie de separación es igual a p·dS,
    donde p solamente depende de la profundidad y dS es
    un elemento de superficie.

    Puesto que la porción de
    fluido se encuentra en equilibrio
    ,
    la resultante de las fuerzas debidas a la presión se debe
    anular con el peso de dicha porción de fluido. A esta
    resultante la denominamos empuje y su punto de aplicación
    es el centro de masa de la porción de fluido, denominado
    centro de empuje.

    De este modo, para una porción de fluido en
    equilibrio con el resto se cumple

    Empuje=peso=rf·gV

    El peso de la porción de fluido es igual al
    producto de la densidad del fluido rf  por
    la aceleración de la gravedad g y por el volumen de
    dicha porción V.

    Se sustituye la porción de fluido por un
    cuerpo sólido de la misma forma y
    dimensiones.

    Si sustituimos la porción de fluido por un cuerpo
    sólido de la misma forma y dimensiones. Las fuerzas
    debidas a la presión no cambian, por tanto, su resultante
    que hemos denominado empuje es el mismo, y actúa sobre el
    mismo punto, es decir, sobre el centro de empuje.

    Lo que cambia es el peso del cuerpo y su punto de
    acción
    que es su propio centro de masa que puede o no coincidir con el
    centro de empuje.

    Por tanto, sobre el cuerpo actúan dos
    fuerzas: el empuje y el peso del cuerpo, que no tienen en
    principio el mismo valor ni están aplicadas en el
    mismo punto.

    En los casos más simples, supondremos que
    el sólido y el fluido son homogéneos y por
    tanto, coinciden el centro de masa del cuerpo con el centro
    de empuje.

    Ejemplo:

    Supongamos un cuerpo sumergido de densidad
    ρ rodeado por un fluido de
    densidad
    ρf. El
    área de la base del cuerpo es A y su altura
    h.

    La presión debida al fluido sobre la base
    superior es p1=
    ρfgx,
    y la presión debida al fluido en la base inferior es
    p2=
    ρfg(x+h).
    La presión sobre la superficie lateral es variable y
    depende de la altura, está comprendida entre
    p1 y p2.

    Las fuerzas debidas a la presión del fluido sobre
    la superficie lateral se anulan. Las otras fuerzas sobre el
    cuerpo son las siguientes:

    • Peso del cuerpo, mg
    • Fuerza debida a la presión sobre la base
      superior, p1·A
    • Fuerza debida a la presión sobre la base
      inferior, p2·A

    En el equilibrio tendremos que

    mg+p1·A=
    p2·A
    mg
    +
    ρfgx·A=
    ρfg
    (x+hA

    o bien,

    mg=ρfh·Ag

    El peso del cuerpo mg es igual a la fuerza de
    empuje
    ρfh·Ag

    Como vemos, la fuerza de empuje tiene su origen en la
    diferencia de presión entre la parte superior y la parte
    inferior del cuerpo sumergido en el fluido. El principio de
    Arquímedes se enuncia en muchos textos de Física
    del siguiente modo:

    Cuando un cuerpo está parcialmente o
    totalmente sumergido en el fluido que le rodea, una fuerza
    de empuje actúa sobre el cuerpo. Dicha fuerza tiene
    dirección hacia arriba y su magnitud es igual al
    peso del fluido que ha sido desalojado por el
    cuerpo.

     

    Energía
    potencial de un cuerpo en el seno de un fluido

    Cuando un globo de helio asciende en el aire
    actúan sobre el globo las siguientes
    fuerzas:

    • El peso del globo
      Fg=mgj
      .
    • El empuje Fe=
      rfVgj, siendo
      rf  la densidad del fluido
      (aire).
    • La fuerza de rozamiento Fr
      debida a la resistencia del aire

    Dada la
    fuerza conservativa
    podemos
    determinar la fórmula de la energía potencial
    asociada

    • La fuerza conservativa peso
      Fg=mgj está
      asociada con la energía potencial
      Eg=mg·y.
    • Por la misma razón, la fuerza conservativa
      empuje Fe= rVg j está
      asociada a la energía potencial
      Ee=-rfVg·y.

    Dada la energía potencial podemos obtener la
    fuerza conservativa

    La energía potencial asociada con las dos fuerzas
    conservativas es

    Ep=(mg
    rfVg)y

    A medida que el globo asciende en el aire con velocidad
    constante experimenta una fuerza de rozamiento
    Fr debida a la resistencia del aire. La
    resultante de las fuerzas que actúan sobre el globo debe
    ser cero.

    rf Vg-
    mg
    Fr=0

    Como rfVg> mg a medida que el globo
    asciende su energía potencial  Ep
    disminuye.

    Empleando el
    balance de energía
    obtenemos
    la misma conclusión

    El trabajo de las fuerzas no conservativas
    Fnc modifica la energía total
    (cinética más potencial) de la partícula.
    Como el trabajo de la fuerza de rozamiento es negativo y la
    energía cinética Ek no cambia
    (velocidad constante), concluimos que la energía potencial
    final EpB es menor que la energía
    potencia inicial
    EpA.

    En la página titulada "movimiento
    de un cuerpo en el seno de un fluido ideal
    ",
    estudiaremos la dinámica del cuerpo y aplicaremos el
    principio de conservación de la energía.

    Teorema
    de Bernoulli

    A continuación estudiaremos la circulación
    de fluidos incompresibles, de manera que podremos explicar
    fenómenos tan distintos como el vuelo de un avión o
    la circulación del humo por una chimenea. El estudio de la
    dinámica de los fluidos fue bautizada hidrodinámica
    por el físico suizo Daniel Bernoulli, quien en 1738
    encontró la relación fundamental entre la
    presión, la altura y la velocidad de un fluido ideal. El
    teorema de Bernoulli demuestra que estas variables no pueden
    modificarse independientemente una de la otra, sino que
    están determinadas por la energía mecánica
    del sistema.

    Supongamos que un fluido ideal circula por una
    cañería como la que muestra la figura. Concentremos
    nuestra atención en una pequeña
    porción de fluido V (coloreada con celeste): al cabo de
    cierto intervalo de tiempo Dt
    (delta t) , el fluido ocupará una nueva posición
    (coloreada con rojo) dentro de la Al cañería.
    ¿Cuál es la fuerza "exterior" a la 
    porción V que la impulsa por la
    cañería?

    Sobre el extremo inferior de esa porción, el
    fluido "que viene de atrás" ejerce una fuerza que, en
    términos de la presiónp1, puede expresarse corno p1
    . A1, y está aplicada en el sentido del flujo.
    Análogamente, en el extremo superior, el fluido "que
    está adelante" ejerce una fuerza sobre la porción V
    que puede expresarse como P2 . A2, y está aplicada en
    sentido contrario al flujo.

    Es decir que el trabajo (T) de las fuerzas no
    conservativas que están actuando sobre la porción
    de fluido puede expresarse en la forma:

    T=F1 . Dx1- F2. Dx2 = p1. A1.
    Dx1-p2. A2. Ax2

    Si tenemos en cuenta que el fluido es ideal, el volumen
    que pasa por el punto 1 en un tiempo Dt (delta t) es el mismo que
    pasa por el punto 2 en el mismo intervalo de tiempo
    (conservación de caudal). Por lo tanto:

    V=A1 . Dx1= A2. Dx2 entonces
    T= p1 . V – p2. V

    El trabajo del fluido sobre esta porción
    particular se "invierte" en cambiar la velocidad del fluido y en
    levantar el agua en contra de la fuerza gravitatoria. En otras
    palabras, el trabajo de las fuerzas no conservativas que
    actúan sobre la porción del fluido es igual a la
    variación de su energía mecánica Tenemos
    entonces que:

    T = DEcinética +
    AEpotencial = (Ec2 —
    Ec1) + (Ep2 —
    Ep1)

    p1 . V — P2 . V = (1/2 .m . V2² —
    1/2 . m. V1²) + (m . g . h2 — m . g .
    h1)

    Considerando que la densidad del fluido está dada
    por d=m/V podemos acomodar la expresión anterior para
    demostrar que:

    P1 + 1/2 . d.  V1² + d . g. h1= P2 + 1/2
    . d. V2² + d . g . h2

    Noten que, como los puntos 1 y 2 son puntos cualesquiera
    dentro de la tubería, Bernoulli pudo demostrar que la
    presión, la velocidad y la altura de un fluido que circula
    varian siempre manteniendo una cierta cantidad constante, dada
    por:

    p + 1/2. d . V² + d. g. h =
    constante

    Veremos la cantidad de aplicaciones que pueden
    explicarse gracias a este teorema.

    Fluido humano. Una multitud de espectadores
    pretende salir de una gran sala de proyecciones al término
    de la función de
    cine. El
    salón es muy ancho, pero tiene abierta al fondo
    sólo una pequeña puerta que franquea el paso a una
    galería estrecha que conduce hasta la calle. La gente,
    impaciente dentro de la sala, se agIomera contra la puerta,
    abriéndose paso a empujones y codazos. La velocidad con
    que avanza este "fluido humano" antes de cruzar la puerta es
    pequeña y la presión es grande. Cuando las personas
    acceden a la galería, el tránsito se hace
    más rápido y la presión se alivia.  Si
    bien este fluido no es ideal, puesto que es compresible y viscoso
    (incluso podría ser turbulento), constituye un buen
    modelo de
    circulación dentro de un tubo que se estrecha. Observamos
    que en la zona angosta la velocidad de la corriente es mayor y la
    presión es menor.

    APLICACIONES:

    EL TEOREMA DE TORRICELLI

    Consideremos un depósito ancho con un tubo de
    desagote angosto como el de la figura. Si destapamos el
    caño, el agua circula. ¿Con qué velocidad?
    ¿Cuál será el caudal? En A y en B la
    presión es la atmosférica PA=PB=Patm.
    Como el diámetro del depósito es muy grande
    respecto del diámetro del caño, la velocidad con
    que desciende la superficie libre del agua del depósito es
    muy lenta comparada con la velocidad de salida, por lo tanto
    podemos considerarla igual a cero, VA = 0

    La ecuación de Bernoulli queda
    entonces:

    d. g. hA + pA= 1/2 . d.
    hB + pB

    entonces es:

    g .  hA = 1/2 . vB² + g.
    hB de donde VB²= 2. .g .
    (hA-hB)

    de donde se deduce que:

    VB² = 2. g(hA –
    hB)

    Este resultado que se puede deducir de la
    ecuación de Bernoulli, se conoce como el teorema de
    Torricelli, quien lo enunció casi un siglo antes de que
    Bernoulli realizara sus estudios hidrodinámicos. La
    velocidad con que sale el agua por el desagote es la misma que
    hubiera adquirido en caída
    libre desde una altura hA, lo que no
    debería sorprendernos, ya que ejemplifica la
    transformación de la energía potencial del
    líquido en energía cinética.

    CONCLUSION

    En trabajo presentado anteriormente se llega a la
    conclusión de que estos principios son muy importantes ya
    que nos facilitan nuestras vidas como por ejemplo en el principio
    de pascal, la superficie del pistón grande es el
    cuádruple de la del chico, entonces el módulo de la
    fuerza obtenida en él será el cuádruple de
    la fuerza ejercida en el pequeño.

     

    Mario E. Navas

    http://www.humano.ya.com/mnavas42

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