La Transformada de Laplace (página 2)

Enviado por Blue J

Partes: 1, 2, 3

Partes: 1, , 3

Función escalón

En ingeniería es común encontrar
funciones que
corresponden a estados de sí o no, o bien
activo o inactivo. Por ejemplo, una fuerza externa
que actúa sobre un sistema
mecánico o una tensión eléctrica aplicada a
un circuito, puede tener que suspenderse después de cierto
tiempo. Para
tratar de forma efectiva con estas funciones discontinuas
conviene introducir una función
especial llamada función escalón
unitario.

Función
de Heaviside

La función escalón unitario o
función de Heaviside se define como

Observación: la
función de heaviside se definio sobre el intervalo
, pues esto es suficiente para la
transformada de Laplace. En un
sentido más general para .

Ejemplo
Trazar la gráfica de la función .

Solución
La función está dada por

y su gráfica se muestra en la
figura
1.5

Figura 1.5

Cuando la función de Heaviside se multilplica por una función
, definida para , ésta función se
desactiva en el intervalo , como muestra en siguiente
ejemplo.

Ejemplo
Trazar la gráfica de la función .

Solución
La función está dada por

Figura
1.6

La función de Heaviside puede utilizarse para
expresar funciones continuas a trozos de una manera compacta,
como se muestra en el siguiente ejemplo.

Ejemplo
Use la función de Heaviside para reescribir la
función

Solución
Para reescribir la función basta usar la definición
de la función Heaveside

Observación: la función

se escribe usando la función de Heaviside
como

Transformada de la función
Heaviside

La transformada de la función de Heaviside
es

Demostración

Usando la definición de transformada

Función
Gamma

Obtener la función gamma de 1: sustituir
x=1

Resultado.

Obtener la función gamma de ( x+1) :

Integrando por partes:

Resultado.

Generalizando tenemos que:

Esta es la propiedad
más importante de la función
gamma.

Aplicando la función gamma obtener la
transformada de Laplace de f(t) = ;siendo n un entero no negativo y, t
;

L { } =

si sustituimos

tenemos que L{}=
Resultado

La
transformada inversa de Laplace

Al aplicar la transformada de Laplace a una
ecuación diferencial la convertimos en una ecuación
algebraica, la cual podemos resolver para , es decir, . Ahora, como si pudiéramos devolvernos
obtendríamos la solución que buscamos. Es decir, necesitamos de la
transformada inversa , para hallar la función

Entonces definamos la transformada inversa.

Transformada inversa de Laplace

Si es la transformada de Laplace de una
función continua , es decir, , entonces la transformada inversa de
Laplace de , escrita es , es decir,

Ejemplo
Calcule

Solución
Puesto que

tenemos que

Observación existe un
problema potencial al trabajar con la transformada inversa, puede
no ser única. En efecto, es posible que , siendo . Para nuestro propósito esto no es
tan malo como parece, pues, si y son continuas y de orden exponencial en
y , entonces ; pero, si y son continuas y de orden exponencial en
y , entonces se puede demostrar que las
funciones y son casi iguales; esto quiere
decir, que pueden diferir sólo en puntos de
discontinuidad.

Ejemplo
Calcule , donde esta dada por

¿Qué se puede concluir ?

Solución

Usando la definición de transformada

Pero, anteriormente hemos comprobado que

con lo cual las funciones y tienen la misma transformada, de este
modo, la transformada inversa de

no es
única.

El siguiente resultado establece el comportamiento
de en infinito. Comportamiento de
en infinito

Sea una función continua a trozos y de
orden exponencial en , entonces

Demostración

Puesto que es continua a trozos en necesariamente es acotada en este
intervalo; o sea, para todo . De donde

y así cuando , de modo que cuando .

Observación: el resultado anterior es
válido independientemente de que sea continua a trozos o de orden
exponencial, basta con que existe.

Ejemplo
¿ Por qué no existe una función tal que ?

Solución
Suponga que existe, entonces por el teorema anterior

lo cual es falso; por lo tanto no existe tal
función.

Observación: con un argumento similar
podemos concluir que no existen una función tal que , , , , es decir, estas funciones no tienen
transformada inversa. Por otro lado, una función racional
es la transformada de alguna
función si el grado del numerador es menor que la del denominador .

Los siguientes resultados son útiles en análisis de
sistemas de control
automático, especialmente cuando se trazan gráficas.

Teorema Del
valor
inicial

Si y existe y es igual a , entonces

Demostración:
Como

siempre y cuando sea continua a trozos y de orden
exponencial. Tenemos que

siempre y cuando sea continua por la derecha en .

Ejemplo
Si , calcule .

Solución
Usando el teorema del valor inicial

Note que no fue necesario calcular .

Teorema Del valor final

Si y el límite existe, entonces

Demostración:
Análoga a la anterior.

El siguiente teorema establece la linealidad de la
transformada inversa.

Teorema Linealidad de la transformada
inversa

Sean y funciones continuas a trozos y de orden
exponencial en el intervalo tales que y , entonces

Ejemplo
Calcule

Solución

Para usar la propiedad de linealidad de la transformada
inversa de Laplace primero debemos expandir

en fraciones
parciales

ahora sí

Observación: está
ecuación diferencial puede resolverse como una
ecuación lineal con factor integrante . .

Teorema
Forma inversa del primer teorema de
traslación:

Demostración

La prueba es inmediata apartir de la
definción

Observación: si consideramos
a como una variable real, entonces la
gráfica de es la misma de trasladada unidades sobre el eje . Si , la gráfica de se desplaza unidades a la derecha, miéntras
que, si , la gráfica se traslada unidades a la izquierda. Para enfatizar en
la traslación se acostumbra escribir

donde significa que se sustituye por en .

Ejemplo

Use la forma inversa del primer teorema de
traslación para calcular

Solución

Ejemplo

Calcule

Solución
Para usar la forma inversa del primer teorema de
traslación debemos completar el cuadrado en el
denominador

Forma inversa del
segundo teorema de traslación:

Observación: podemos usar el segundo
teorema de traslación para calcular la transformada de
Laplace de la función haciendo :

Los siguientes ejemplos muestran el uso del segundo
teorema de traslación en su forma inversa.

Ejemplo
Calcule

Solución

En este caso y

con lo cual

Ejemplo
Calcule

Solución
Primero hallemos la descomposición en fraciones
parciales

con lo cual

Ejemplo
Calcule

Solución
Como el discriminante de es negativo, no es factorizable en
y debemos completar el
cuadrado.

En este punto debemos usar el primer teorema de traslación
para calcular cada una de las transformadas inversas de la
siguiente forma:

Y de aquí

Solución de ecuaciones
diferenciales

La transformada de Laplace es útil para resolver
ecuaciones
diferenciales que involucran funciones , periódicas, funciones
discontinuas a trozos o deltas de Dirac, como lo muestran los
siguientes ejemplos.

Ejemplo
Resuelva el siguiente problema de valor inicial

Solución
Tomando la transformada a ambos lados, tenemos que

Y al aplicar la transformada inversa

La gráfica de la solución se muestra en la figura
1.10

Figura 1.10

Ejemplo
Resuelva el siguiente problema de
valor inicial

donde está dada por

Solución

La función puede interpretarse como una fuerza
externa que actúa en un sistema mecánico
sólo por un tiempo corto, siendo desactivada
posteriormente. Aunque este problema puede resolverse de la forma
convencional no es conveniente.

Primero usemos la función de Heaviside para
reescribir :