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Teoría básica y problemas propuestos de Cinemática y Dinámica




Enviado por George Castle



Partes: 1, 2

    1. Objetivo
    2. Contenidos- Conocimientos
      previos
    3. Desarrollo
      teórico
    4. Problemas propuestos con
      respuestas
    5. Preguntas de
      razonamiento
    6. Problemas
      propuestos sin respuestas
    7. Bibliografía
      recomendada

    INTRODUCCIÓN

    El fenómeno más obvio y fundamental que
    observamos a nuestro alrededor es el de movimiento. El
    viento, las olas, los pájaros que vuelan, los animales que
    corren, las hojas que caen. Prácticamente todos los
    procesos
    inimaginables pueden describirse como el movimiento de ciertos
    objetos. Para analizar y predecir la naturaleza de
    los movimientos que resultan de las diferentes clases de
    interacciones, se han inventado algunos conceptos importantes
    tales como los de momentum, fuerza y
    energía. Si el momentum, la fuerza, y la energía se
    conocen y se expresan en un modo cuantitativo es posible
    establecer reglas mediante las cuales pueden predecirse los
    movimientos resultantes.

    La mecánica, es la ciencia del
    movimiento, es también la ciencia del
    momentum, la fuerza y la energía; de ella se derivan: la
    cinemática, que estudia el movimiento sin
    tomar en consideración las fuerzas que lo producen, y la
    dinámica, que a diferencia de la cinemática,
    fundamenta el estudio del movimiento en las leyes del
    movimiento propuestas por Newton.

    En este material instruccional se introducirá en
    forma sucinta los movimientos clásicos que se asocian a la
    cinemática: movimiento rectilíneo acelerado y no
    acelerado, movimiento curvilíneo, movimiento
    parabólico y caída
    libre. Se presentará los conceptos de
    aceleración tangencial, aceleración radial y
    radio de
    curvatura; todos ellos de manifiesto en los movimientos
    circulares. Un apartado será dedicado a la
    cinemática vectorial; aquí, el álgebra
    con vectores se
    empleará en la caracterización de los movimientos.
    Se expondrá las leyes del movimiento de Newton, y la
    manera como éstas se aplican al análisis de una amplia variedad de
    movimientos. En determinadas situaciones se incluirá en el
    análisis, fuerzas de rozamiento, en sus dos variantes:
    fuerzas de rozamiento estático y fuerza de rozamiento
    dinámico. Al final, se ofrecerá una
    recopilación de algunos problemas que han formado parte de
    las evaluaciones de cohortes precedentes.

    OBJETIVO
    GENERAL

    Al término de éste módulo, el
    estudiante tendrá la habilidad y pericia necesaria para
    aplicar los conceptos básicos de cinemática y
    dinámica en la resolución de problemas
    prácticos que involucren movimientos tanto en el plano
    como en el espacio.

    CONTENIDOS

    1. Movimiento uniforme acelerado y no
      acelerado.
    2. Características cinemáticas de cuerpos
      en caída libre.
    3. Características cinemáticas de cuerpos
      en movimiento parabólico.
    4. Características cinemáticas de cuerpos
      en movimiento circular.
    5. Leyes del movimiento de Newton.
    6. Fuerzas de rozamiento: estático y
      dinámico.
    7. Cinemática vectorial: vector posición,
      vector velocidad y
      vector aceleración.
    8. Cinemática vectorial: radio de curvatura en
      movimientos circulares.

    CONOCIMIENTOS PREVIOS

    1. Multiplicación de vectores: escalar y
      vectorial.
    2. Álgebra matricial: matriz
      adjunta y teorema del cofactor.
    3. Cálculo infinitesimal: límite y
      derivación de funciones
      matemáticas.
    4. Cálculo integral: integrales
      definidas con límites
      de integración.
    5. Trigonometría plana.
    6. Descomposición rectangular de vectores:
      Diagrama de
      Cuerpo Libre (DCL).

    DESARROLLO
    TEÓRICO

    1.1 Diferencia entre cinemática y
    dinámica.

    La cinemática, es un área de estudio de la
    mecánica que describe el movimiento en
    función
    del espacio y el tiempo, sin
    tomar en cuenta los agentes presentes que lo producen. Por su
    parte, la dinámica es un área de estudio de la
    mecánica que describe el movimiento en cuanto al espacio y
    el tiempo, considerando los agentes presentes que lo
    producen.

    En cinemática es de gran importancia definir un
    referencial, el cual es un marco de referencia, cuya
    característica principal es la de no estar acelerado.
    Cualquier marco de referencia que se mueve con velocidad
    constante respecto de un marco inercial es por sí mismo un
    marco inercial.

    1.2 Velocidad y aceleración: ecuaciones
    básicas.

    La velocidad media de una partícula durante un
    intervalo de tiempo t, está definida como la
    razón entre el desplazamiento y el intervalo de tiempo
    (Figura 1).


    (1)

    Donde:

    :
    Velocidad media del móvil, m/s

    :
    Magnitud del desplazamiento del móvil, m


    Intervalo de tiempo, s

    Como el desplazamiento es una cantidad vectorial y el
    intervalo de tiempo es una cantidad escalar, concluimos que la
    velocidad promedio es una cantidad vectorial dirigida a lo largo
    de .

    Figura 1. Una partícula que se
    mueve en el plano x-y se localiza a través del vector
    posición dibujado desde el origen del sistema
    referencial inercial. El desplazamiento de la partícula
    cuando se mueve de P a Q en el intervalo = tf – ti, es igual
    al vector =
    .

    Un concepto derivado
    de la velocidad media, es la velocidad instantánea, la
    cual se define como el límite de la velocidad promedio,
    , conforme
    tiende a
    cero.


    (2)

    La velocidad instantánea es igual a la derivada
    del vector de posición respecto del tiempo. La dirección del vector velocidad
    instantánea en cualquier punto en una trayectoria de la
    partícula está a lo largo de la línea que es
    tangente a la trayectoria en ese punto y en la dirección
    del movimiento. A la magnitud del vector de velocidad
    instantánea recibe el nombre de "rapidez".

    La velocidad media al igual que la velocidad
    instantánea se expresa m/s en el sistema internacional;
    Ft/s en el sistema británico (se lee pies por segundo), y
    cm/s en el sistema c.g.s.

    Dado que la velocidad de un móvil puede variar en
    el tiempo, nació un concepto denominado
    aceleración, la cual se define como la razón de
    cambio del
    vector velocidad, , en un tiempo transcurrido .


    (3)

    Donde:

    Vf: velocidad final del movimiento,
    m/s

    Vi: velocidad inicial del movimiento,
    m/s

    tf – ti: intervalo de tiempo
    trascurrido para que el móvil pase de Vi a
    Vf.

    Puesto que la aceleración promedio es la
    razón entre una cantidad vectorial, , y una cantidad escalar,
    , se concluye
    que, , es una
    cantidad vectorial dirigida a lo largo de .

    Un concepto derivado de la aceleración promedio,
    es la aceleración instantánea, la cual se define
    como el valor
    límite de la razón , cuando, , tiende a cero.


    (4)

    En otras palabras, la aceleración
    instantánea es igual a la razón de cambio del
    vector velocidad respecto al tiempo.

    Es importante tener en cuenta tres situaciones donde un
    móvil tiene una aceleración asociada: cuando la
    magnitud del vector (la rapidez) cambia con el tiempo; como en un
    movimiento acelerado en línea recta; cuando sólo la
    dirección del vector velocidad cambia con el tiempo sin
    que su magnitud varíe, como en un movimiento
    curvilíneo; y por último, cuando tanto la magnitud
    como la dirección del vector velocidad se modifican
    continuamente.

    La aceleración media, así como la
    aceleración instantánea se expresan en
    m/s2 en el sistema internacional, en Ft/s2
    en el sistema británico (se lee pies por segundo
    cuadrado), y cm/s2 en el sistema c.g.s.

    El hecho de que un cuerpo se desplace con una
    aceleración de 15 m/s2, implica que cada
    segundo su velocidad aumenta 15 m/s. También pudiese darse
    el caso de que un móvil ostente una aceleración
    negativa, por ejemplo de – 8 m/s2, lo cual
    indica que cada segundo su velocidad decae 8 m/s. Por
    último, si un móvil tiene una aceleración
    igual a cero, puede inferirse que: posee una velocidad constante,
    o se encuentra en reposo.

    1.3 Movimiento rectilíneo
    uniforme.

    Haciendo uso del cálculo
    integral, se deducirán las ecuaciones cinemáticas
    que gobiernan el movimiento unidimensional (significa que se da a
    lo largo de una línea recta).

    Como la aceleración de un móvil
    está dada por: despejando dv, queda…

    dv = a.dt la cual por integración,
    resulta…


    (5)

    Asumiendo que la aceleración es constante a lo
    largo del tiempo (movimiento con aceleración constante),
    nos queda:

    v = a.t + C1 (6)

    Donde:

    a: aceleración del móvil,
    m/s2

    t: tiempo, s

    C1: constante de
    integración,m/s

    El valor C1 depende de las condiciones
    iniciales del movimiento. Si se toma v = v0 cuando t =
    t0 y sustituimos estos valores en la
    ecuación 6, se tendrá…

    v = a [0] + C1 despejando
    C1…

    C1 = v0 (7)

    Por tanto, se obtiene la primera ecuación
    cinemática (Ecuación 8), la cual relaciona la
    velocidad del móvil con su aceleración.

    v = vo + a.t (8)

    Ahora considerando la ecuación que define la
    velocidad instantánea: y despejando dx, nos queda:

    dx = v.dt (9)

    Integrando la Ecuación 9,
    resulta…


    (10)

    No obstante, dado que según la Ecuación 8:
    v = v0 + a.t, nos queda…


    integrando…

    (11)

    Donde:

    x: distancia recorrida, m

    vo: velocidad inicial del móvil,
    m/s

    t: tiempo, s

    a: aceleración del móvil,
    m/s2

    C2: constante de integración,
    m

    Para encontrar C2, se toma en cuenta la
    siguiente condición inicial x = x0, cuando t =
    0. Esto produce C2 = x0. En consecuencia,
    se obtiene:


    (12)

    La Ecuación 12 relaciona: la velocidad inicial,
    el tiempo y la aceleración del móvil con la
    distancia por él recorrida.

    Figura 2. Gráfica velocidad –
    tiempo. Una partícula que se mueve a lo largo del eje x
    con aceleración constante, a. La aceleración
    matemáticamente equivale a la pendiente de la
    gráfica superior, el punto de corte con el eje de
    velocidades, es la velocidad inicial del móvil.

    La Figura 2, revela que la aceleración puede
    calcularse aplicando la definición de pendiente, o
    sea:

    (13)

    Cuando el movimiento es unidimensional, la velocidad
    promedio en cualquier intervalo de tiempo es calculada como la
    media aritmética de la velocidad inicial, v0, y
    la velocidad final, v.

    (14)

    Donde:

    :
    velocidad media del móvil, m/s

    vo: velocidad inicial del móvil,
    m/s

    v: velocidad inicial del móvil en cualquier
    tiempo t, m/s

    Según la Ecuación 8, v = v0 +
    a.t; despejamos t…


    (15)

    Dado que la Ecuación 12 establece que:; se introduce la
    Ecuación 15 en la Ecuación 12…

    desarrollando, queda…


    (16)

    Donde:

    v: velocidad final del móvil, m/s

    vo: velocidad inicial del móvil,
    m/s

    a: aceleración del móvil,
    m/s2

    x – xo: distancia que recorre el
    móvil al pasar de vo a vf,
    m

    Esta última fórmula establece la velocidad
    como una función del desplazamiento.

    1.4 Lanzamiento horizontal: ecuaciones
    asociadas.

    En éste tipo de lanzamiento el cuerpo está
    sometido simultáneamente a la acción
    de dos movimientos:

    • Uno horizontal, con velocidad constante.
    • Otro vertical, el cual es uniformemente
      acelerado.

    Estos dos movimientos hacen que el desplazamiento
    resultante sea de una trayectoria parabólica,
    además, ambos son completamente independiente uno del
    otro, tal como lo demostró Galileo, mediante experimentos que
    lo llevaron a enunciar su "Principio de la independencia
    de los movimientos".

    Figura 3. En este caso el disparo se hace
    desde una altura "Y" como lo indica la figura con una velocidad
    inicial , al
    iniciar su caída estará sometido el proyectil a la
    acción de dos movimientos: uno horizontal con velocidad
    constante y otro vertical uniformemente acelerado hacia abajo
    debido a la fuerza de gravedad.

    En este movimiento, la componente horizontal de la
    velocidad es de magnitud constante a través de todo el
    recorrido e igual a, .

    =
    (17)

    La componente vertical de la velocidad, , en un instante de tiempo
    cualquiera viene dada por:

    =

    .t (18)

    Donde:

    vy: velocidad vertical del móvil,
    m/s

    :
    constante de gravedad = 9,81 m/s2.

    t: tiempo recorrido, s

    Aplicando el Teorema de Pitágoras, es posible
    determinar el módulo del vector velocidad en cualquier
    instante, pues las componentes de la velocidad son ortogonales
    entre si, en todo momento.


    (19)

    Donde:

    vx: componente horizontal de la velocidad del
    móvil, m/s

    vy: componente vertical de la velocidad del
    móvil, m/s

    La dirección del vector velocidad queda definida
    por la función tangente del ángulo
    .


    (20)

    La ecuación de posición horizontal es la
    misma del movimiento rectilíneo no acelerado, puesto que
    la rapidez en este sentido es constante, escribiéndose
    como:

    x = v0.t (21)

    La posición vertical se calcula como si el cuerpo
    se moviese en caída libre;

    (22)

    Donde:

    y: distancia vertical que el móvil se ha
    desplazado, m

    :
    constante de gravedad = 9,81 m/s2.

    t: tiempo recorrido, s

    El signo negativo en la Ecuación 22, se debe al
    vector gravedad, el cual esta dirigido verticalmente hacia el
    centro de la
    Tierra.

    El desplazamiento total se obtiene aplicando el Teorema
    de Pitágoras, pues el desplazamiento vertical y horizontal
    son ortogonales entre si.


    (23)

    Donde:

    x: componente horizontal del desplazamiento,
    m

    y: componente vertical del desplazamiento, m

    La dirección del desplazamiento se obtiene
    aplicando la definición de tangente.

    (24)

    Un término ampliamente usado en movimientos que
    se dan bajo un campo gravitatorio, es el tiempo de vuelo, el cual
    es el tiempo transcurrido desde el momento del lanzamiento hasta
    tocar el suelo. Al tocar
    el suelo el móvil ha recorrido todo la distancia vertical
    "Y" (Figura 3), pudiéndose escribir de acuerdo a la
    Ecuación 22:


    despejando tv…


    (25)

    El alcance horizontal, es el desplazamiento total
    horizontal que el móvil posee al cumplirse el tiempo de
    vuelo. La ecuación para calcular el alcance horizontal es
    la misma del desplazamiento horizontal, pero con t =
    tv

    R = v0. tv(26)

    A continuación se demuestra que la trayectoria
    del proyectil es parabólica. En efecto, el desplazamiento
    horizontal para cierto tiempo "t" viene dado por:

    x = v0 . t despejando " t " nos
    queda…


    (27)

    Por otra parte el desplazamiento vertical al mismo
    tiempo "t" esta dada por la Ecuación 22…; como el tiempo para
    ambos desplazamientos es el mismo, podemos sustituir "t" de la
    Ecuación 27 en "t" de la Ecuación 22,
    quedando…

    (28)

    Como v0 (velocidad inicial) y g
    (aceleración de gravedad) son constantes se tendrá
    que:

    y = k.x2 (29)

    En donde (término constante)

    Como puede notarse, la Ecuación 29 corresponde a
    la ecuación de una parábola, con lo que se concluye
    que la trayectoria del movimiento es esencialmente
    parabólica.

    1.5 Lanzamiento inclinado: ecuaciones
    asociadas.

    Al igual que el lanzamiento horizontal, el proyectil
    estará sometido a la acción de dos movimientos
    (Figura 4):

    • Uno horizontal con velocidad constante, es decir, la
      componente horizontal de la aceleración es
      cero.
    • Otro vertical con aceleración constante,
      dirigida hacia abajo.

    Figura 4. Al lanzarse un proyectil inclinados un
    ángulo , con una velocidad inicial "vo", se
    produce un movimiento en el cual se superponen dos movimientos
    independientes: uno horizontal no acelerado, y otro influido por
    la fuerza de gravedad, precisamente éste último
    ocasiona que la trayectoria seguida por el móvil sea
    parabólica.

    Cuando el proyectil ocupa la posición P de la
    Figura 4, un instante "t" después de haber sido lanzado,
    la velocidad,,
    tendrá una componente horizontal,, y otra vertical,. La magnitud de la componente horizontal
    de la velocidad se mantiene constante a través de todo el
    recorrido y está dada por:

    (30)

    Donde:

    vx: componente horizontal de la velocidad,
    m/s

    vox: componente horizontal de la velocidad
    inicial, m/s

    : ángulo de disparo, grados

    La magnitud de la componente vertical de la velocidad en
    cualquier instante está dada por:

    (31)

    Donde:

    vy: componente vertical de la velocidad,
    m/s

    vox: componente vertical de la velocidad
    inicial, m/s

    g: aceleración de gravedad = 9,81
    m/s2

    t: tiempo, s

    Dado que las componentes de la velocidad son ortogonales
    entre si, la magnitud de la velocidad en cualquier instante viene
    dada por:

    (32)

    El ángulo que el vector velocidad total forma con
    el eje horizontal permite definir la dirección del
    referido vector:

    (33)

    El movimiento horizontal lo realiza el proyectil con
    velocidad constante, por lo que el desplazamiento horizontal (x)
    viene dado por:

    (34)

    El movimiento vertical lo realiza con aceleración
    constante, ,
    dirigida hacia abajo, por lo que la ecuación de
    desplazamiento vertical, queda definida por:


    (35)

    El tiempo empleado por el proyectil en alcanzar la
    altura máxima [ymáx], es denominado
    tiempo máximo. Observando la Figura 4, puede notarse que,
    a medida que el proyectil asciende va disminuyendo su velocidad a
    lo largo del eje y [ ] hasta hacerse cero en el vértice de la
    parábola descrita.

    Según la Ecuación 31 y sabiendo que la
    velocidad vertical en el punto de máxima altura es
    cero.

    despejando tmáx…

    (36)

    Por otra parte, la altura máxima la obtenemos
    haciendo t = tmáx en la Ecuación 35,
    quedandonos…


    ahora, sustituimos de acuerdo a la Ecuación
    36…

    Nos queda desarrollando…


    (37)

    Donde:

    ymáx: máxima altura que alcanza
    el proyectil, m

    vox: componente vertical de la velocidad
    inicial, m/s

    g: aceleración de gravedad = 9,81
    m/s2

    El tiempo de vuelo es el tiempo que trascurre para que
    el proyectil vaya desde A hasta B (refiérase a la Figura
    4).

    (38)

    Las fórmulas desarrolladas tanto para el
    lanzamiento horizontal como vertical, no consideran el efecto
    resistivo del aire, la
    curvatura de la superficie terrestre, ni la variación
    gravitacional.

    1.6 Movimiento circular: ecuaciones
    asociadas.

    Ante de iniciar este apartado, se debe hablar del
    desplazamiento angular; el cual se refiere a los grados, vueltas,
    revoluciones ó radianes que el cuerpo se desplaza a lo
    largo de la trayectoria circunferencial. Una revolución
    es equivalente a 360º ó 2
    radianes.

    Cuando se habla de la velocidad angular de un cuerpo, se
    refiere a la variación del desplazamiento angular que
    experimenta por unidad de tiempo. Se expresa en radianes/s o
    bien, grados/s, revolución/s, o revolución/min
    [conocida como RPM]. Si un cuerpo se desplaza un ángulo
    "" radianes en un tiempo de "t" segundos, su
    velocidad angular media [rad/s] se define por la relación:

    (39)

    Donde;

    : velocidad angular promedia, rad/s

    : desplazamiento angular,
    radianes

    t: tiempo, s

    La frecuencia angular, expresa el número de
    radianes que el cuerpo se desplaza en un segundo. La unidad de la
    frecuencia en el Sistema Internacional de unidades es el Hertz o
    s-1.

    (40)

    La aceleración angular [] de un cuerpo en
    movimiento de rotación en torno a un eje es
    la variación que experimenta su velocidad angular en la
    unidad de tiempo. Se expresa en radianes por segundo cuadrado. Si
    la velocidad angular de un cuerpo varía de "wo"
    a "wt" en rad/s en "t" segundos, resulta:


    (41)

    Donde:

    aceleración angular,
    rad/s2

    t: velocidad angular final,
    rad/s

    o: velocidad angular inicial,
    rad/s

    t: tiempo, s

    Las relaciones entre las magnitudes lineales y angulares
    en el movimiento circular son:

    S = .R (42)

    Donde:

    desplazamiento angular,
    rad

    R: radio de la circunferencia trazada, m

    S: arco de circunferencia, m

    v = w . R (43)

    Donde:

    v velocidad tangencial, m/s

    R: radio de la circunferencia trazada, m

    : velocidad angular, rad/s

    a = . R (44)

    Donde:

    a aceleración tangencial,
    m/s2

    R: radio de la circunferencia trazada, m

    : aceleración angular,
    rad/s2

    Las ecuaciones del movimiento de rotación
    uniformemente acelerado son análogas a las del movimiento
    lineal. Sean vo y wo las velocidades
    iniciales lineal y angular, respectivamente y, vt y
    wt las correspondientes finales. En estas
    condiciones:

    wt = wo +
    t (45)

    s = wot + 1/2 t2
    (46)

    wt2 = wo2 +
    2. (47)

    Figura 5. Partícula que se traslada a lo
    largo de una trayectoria circular.

    Cuando un cuerpo está dotado de un movimiento de
    rotación uniforme, aunque el módulo de la velocidad
    es constante, la dirección varía constantemente.
    Como la velocidad es una magnitud vectorial y, por tanto,
    además de módulo posee dirección y sentido,
    resulta evidente que en cualquier movimiento de rotación
    uniforme existe una aceleración provocada por el cambio
    continuo de dirección, dicha aceleración es
    conocida como aceleración normal, central o radial (Figura
    5). La dirección del vector aceleración es
    perpendicular a la dirección de la velocidad y su sentido
    es hacia el centro de la circunferencia (si no fuera así,
    habría una componente de aceleración en la
    dirección de la velocidad y el módulo de la
    velocidad no se mantendría constante).

    El módulo de esta aceleración central
    aN que se denomina aceleración
    centrípeta (también denominada: normal, radial o
    central) es:


    (48)

    Donde:

    an aceleración
    centrípeta, m/s2

    v: velocidad tangencial, m/s

    R: Radio de curvatura, m

    Otras expresiones equivalentes, a la Ecuación 48,
    son:

    (49)


    (50)

    Donde:

    f frecuencia angular, Hertz

    : velocidad angular, rad/s

    R: Radio de curvatura, m

    La Figura 5 muestra que
    conforme la partícula se mueve a lo largo de la
    trayectoria circular curva la dirección del vector
    aceleración total, , cambia de un punto a otro. Este vector puede
    descomponerse en dos componentes ortogonales; un vector
    componente radial, , [el cual se explicó con detalle anteriormente], y
    un vector componente tangencial, . Es decir, el vector aceleración total
    puede escribirse como la suma vectorial de estos vectores
    componentes:


    (51)

    La aceleración tangencial proviene del cambio en
    la velocidad de la partícula. Su dirección es la
    misma del vector velocidad lineal, y se define como:

    (52)

    O sea, la aceleración tangencial es equivalente a
    la razón de cambio del vector velocidad tangencial. De la
    Ecuación 48 y Ecuación 52, se infiere que un
    móvil que describa un trayectoria circular siempre
    poseerá una aceleración asociada, inclusive si la
    velocidad tangencial fuese constante.

    1.7 Cantidad de movimiento y las leyes de
    Newton del movimiento.

    En el campo de la ingeniería, cantidad de movimiento se
    vincula con momento lineal. La cantidad de movimiento, se define
    como el producto de la
    masa de una partícula y su velocidad.

    El momento lineal es una cantidad vectorial, pues es
    igual al producto de una unidad escalar: masa, y un
    vector,
    (velocidad). Su dirección está a lo largo de,
    , y tiene por
    dimensión kg.m/s en el Sistema Internacional.

    Si una partícula se mueve en una dirección
    arbitraria, el momento lineal tendrá tres componentes a lo
    largo de los ejes x, y, z.

    (53)

    (54)


    (55)

    Con la segunda Ley del
    movimiento de Newton (las cuales se explicarán más
    adelante) se puede relacionar el momento lineal de una
    partícula con la fuerza resultante que actúa sobre
    ella: "la tasa de cambio en el tiempo del momento lineal de
    una partícula es igual a la fuerza resultante que
    actúa sobre la partícula
    ." Es decir:


    (56)

    Una de las leyes más importantes de la
    mecánica, la constituye "La ley de conservación del
    momento lineal", la cual establece:

    "El momento total de un sistema aislado es igual en
    todo momento a su momento inicial
    "

    La ley de conservación del momento lineal, tiene
    un sin número de aplicaciones, siendo una de la más
    conocida el estudio de las colisiones (en el ámbito
    físico engloba, los choques elásticos e
    inelásticos).

    En los párrafos anteriores se hizo mención
    a las leyes del movimiento de Newton, éstas son los
    pilares de la dinámica, pues a partir de ellas se generan
    las ecuaciones dinámicas del movimiento de cualquier
    sistema. A continuación se presentan dichas
    leyes:

    Principio de inercia

    "Todo cuerpo permanece en estado de
    reposo o de movimiento rectilíneo y uniforme, a menos que
    actúe sobre él una fuerza resultante no nula. Dicho
    en otras palabras: para que un cuerpo posea una
    aceleración debe actuar sobre él una fuerza no
    equilibrada"

    Principio de la fuerza

    "Una fuerza no equilibrada aplicada a un cuerpo le
    comunica una aceleración, de la misma dirección y
    sentido que la fuerza, directamente proporcional a ella e
    inversamente proporcional a la masa, m, del
    cuerpo"

    Principio de acción y
    reacción

    "A toda fuerza [acción] se le opone otra
    [reacción] igual y opuesta. Es decir, si un cuerpo ejerce
    una acción sobre otro, este último ejerce
    también una acción, del mismo módulo y
    dirección, pero de sentido contrario, sobre el primero.
    Estas dos fuerzas, aunque opuesta, no se equilibran mutuamente,
    ya que no están aplicadas sobre el mismo cuerpo. Las
    fuerzas de acción y reacción siempre están
    aplicadas a cuerpos distintos"

    1.8 Estrategia a
    seguir en la resolución de problemas usando las leyes de
    Newton.

    El siguiente procedimiento se
    recomienda para abordar problemas que requieren la
    aplicación de las leyes de Newton
    (dinámica):

    • Dibuje un diagrama sencillo y claro del
      sistema.
    • Aísle el objeto cuyo movimiento se analiza.
      Dibuje un diagrama de cuerpo libre para este objeto, es decir,
      un diagrama que muestre todas las fuerzas externas que
      actúan sobre él. Para sistemas que
      contienen más de un objeto, dibuje diagramas de
      cuerpo libre independientes para cada uno. No incluya en el
      diagrama de cuerpo libre las fuerzas que el cuerpo ejerce sobre
      sus alrededores.
    • Establezca ejes de coordenadas convenientes para cada
      objeto y determine las componentes de las fuerzas a lo largo de
      estos ejes. Aplique la segunda Ley de Newton,
      F = m.a, en la forma de
      componentes. Verifique sus dimensiones para asegurar que todos
      los términos tengan unidades de fuerza.
    • Resuelva las ecuaciones de componentes para las
      incógnitas. Recuerde que se deben tener tantas
      ecuaciones independientes como incógnitas para poder
      obtener una solución completa.
    • Verifique las predicciones de sus soluciones
      para valores extremos de las variables.
      Es posible que al hacerlo detecte errores en sus
      resultados.

    1.9 Fuerza de fricción.

    La fuerza de fricción, es una fuerza tangencial
    que actúa en la superficie de contacto entre dos cuerpos y
    que se opone al movimiento relativo de uno de ellos con respecto
    al otro. Las fuerzas tangenciales son paralelas a las superficies
    que están en contacto.

    La fuerza de fricción se calcula:


    (57)

    De la ecuación 57 se desprende que la fuerza de
    fricción es igual al coeficiente de rozamiento entre las
    superficies involucradas multiplicada por el módulo del
    vector normal. El coeficiente de rozamiento es un
    parámetro adimensional que depende de la naturaleza de los
    materiales que
    friccionan entre si. El coeficiente de fricción toma
    valores que se encuentran acotados entre cero (superficie
    perfectamente rugosa) y uno (superficies perfectamente
    lisa).

    Existen dos tipos de fuerzas de
    fricción:

    Fuerza de rozamiento cinético: es la
    fuerza tangencial entre dos superficies cuando una de ellas se
    desplaza sobre, y con respecto de, la otra.

    Fuerza de rozamiento estático: es la
    fuerza tangencial entre dos superficies cuando no existe
    movimiento relativo entre ellas. La fuerza tangencial entre dos
    superficies inmediatamente antes de que una de ellas comience a
    desplazarse sobre la otra recibe el nombre de "fuerza
    máxima de rozamiento estático".

    1.10 Análisis cinemático –
    vectorial del movimiento.

    Conocido el vector posición del
    móvil:

    (58)

    Para obtener el vector velocidad, se deriva con respecto
    al tiempo el vector posición:

    (59)

    El vector aceleración se obtiene derivando el
    vector velocidad respecto del tiempo:

    (60)

    El vector aceleración posee dos componentes
    ortogonales entre si; la aceleración tangencial y la
    aceleración normal:

    (61)

    O sea, el módulo del vector aceleración
    normal, es equivalente al módulo del vector velocidad
    elevado al cuadrado sobre el radio de curvatura en un tiempo
    "t".

    Otra manera de calcular la aceleración normal
    es:


    (62)

    O sea, el vector aceleración normal es igual al
    producto vectorial del vector aceleración y el vector
    velocidad dividido entre el modulo del vector
    velocidad.

    La aceleración tangencial, siempre será un
    vector tangente a la trayectoria descrita por la partícula
    y se cuantifica por medio de:


    (63)

    O sea, la aceleración tangencial es igual al
    producto escalar del vector aceleración y el vector
    velocidad dividido entre el modulo del vector
    velocidad

    La aceleración normal y tangencial se relaciona
    por medio del Teorema de Pitágoras, pues son de naturaleza
    vectorial:


    (64)

    El radio de curvatura, el cual es la distancia que
    existe desde el móvil hasta el centro instantáneo
    de rotación se calcula de la siguiente manera:


    (65)

    Cuando el vector posición no es una
    función del tiempo, sino una función de otra
    función la cual a subes es una función del tiempo
    se usa la Regla de la Cadena para resolver las ecuaciones
    cinemáticas.

    1.11 Nociones del movimiento relativo.

    Un movimiento relativo, es el cambio de posición
    que experimenta un móvil respecto de un sistema de
    referencia que a su vez se mueve respecto a otro sistema de
    referencia. No se puede hablar de un sistema de referencia
    absoluto ya que no se conoce un punto fijo en el espacio que
    pueda ser elegido como origen de dicho sistema. Por tanto, el
    movimiento tiene carácter relativo.

    En la Figura 6 se muestran dos sistemas de referencia, S
    y S’, que poseen un movimiento relativo de
    traslación uniforme. Se trata de describir desde ambos
    sistemas el movimiento de un punto P que se desplaza hasta
    P’.

    Figura 6. Partícula que se traslada a lo
    largo de una trayectoria arbitraria y cuyo movimiento está
    siendo descrito con relación a dos sistemas de referencias
    con ejes paralelos.

    Sea rPO el vector de posición
    del punto P respecto al origen del sistema S;
    rPO’ el vector de posición de este
    mismo punto respecto al origen del sistema S’;
    rP’O el vector de posición del
    punto en P’ respecto al origen O;
    rP’O’ el vector de posición
    de ese mismo punto respecto al origen O’, y
    rO’O el vector de posición de
    O’ respecto a O. La relación que existe entre estos
    vectores, tal y como se observa en la figura es:

    rO’O + rPO’ =
    rPO
    (66)

    rO’O + rP’O’
    = rP’O
    (67)

    Por tanto;

    rPO’ –
    rP’O’ = rPO –
    rP’O = r
    (68)

    De acuerdo a la Ecuación 68, el vector
    desplazamiento respecto al sistema de referencia S es el mismo
    que el vector desplazamiento respecto al sistema de referencia
    S’.

    La relación entre la velocidad del punto respecto
    al sistema S’, vPO’, la velocidad del
    punto respecto del sistema S, vPO, y la velocidad
    relativa de ambos sistemas, vOO’, es:

    vPO’ = vPO –
    vOO’
    (69)

    Como vOO’ es constante, si se deriva la
    expresión anterior se obtiene:

    aPO’ = aPO
    (70)

    La aceleración del punto es la misma en los dos
    sistemas de referencia. Esto es lo que se conoce como principio
    de relatividad de Galileo, según el cual todo sistema de
    referencia que se mueva con velocidad constante es equivalente a
    cualquier otro cuando se estudian las variaciones que tienen
    lugar en el movimiento de un cuerpo.

    Partes: 1, 2

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