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Cómo graficar el número Pi (Con una aproximación "racional")




Enviado por julio gutierrez



    1. Resumen
    2. Pi, es un número
      trascendente
    3. Buscando una
      aproximación racional para Pi
    4. Referencias

    RESUMEN.

    En este trabajo el
    autor muestra un
    método
    para graficar el número trascendente Pi,
    aproximándolo a un número racional de seis
    decimales, que puede graficarse con regla y compás en una
    hoja de papel A-4

    1.- PI, ES UN NÚMERO TRASCENDENTE

    Para resolver el famoso problema de "La Cuadratura del
    Círculo" con regla y compás era necesario conseguir
    una suficiente aproximación gráfica del
    número Pi y más propiamente de la raíz de
    Pi. Pero, como no se intentó tal aproximación el
    problema quedó sin solución, por lo menos
    aproximada. En un trabajo próximo presentaré la
    aplicación de estos alcances a la "Cuadratura".

    El número p es un
    número irracional, es decir, un número fraccionario
    cuyos decimales no tienen regularidad ni periodicidad conocida,
    sino que van cambiando hasta el infinito.

    Este número tan especial es el resultado de
    dividir la longitud de una circunferencia entre su
    diámetro.

    En el acápite referente al número
    p , el "Diccionario de
    la Ciencia y
    Tecnología" Ed. Planeta, España,
    2001.dice: "Pi, (p ), Número
    irracional trascendente definido como la razón entre la
    longitud de la circunferencia y su diámetro (o entre el
    área del círculo y el cuadrado de su radio). El
    valor de
    p es
    3,141592653589793238…"

    En el libro
    "Matemáticas" de D. Bergamini (Libros Time.
    USA, 1969) se lee que "La cantidad que representa (p ) ha sido calculada con más de cien mil
    decimales, y sabemos que nunca resultará
    exacta".

    En la "Geometría" de J. E. Thompson, Uteha,
    México
    1961, también se lee que: "En un tiempo se
    creyó que se podría determinar exactamente el valor
    de p , mediante un número
    finito de operaciones con
    regla y compás, y los calculadores antiguos obtuvieron
    valores
    intentando la "cuadratura del círculo". Sin embargo, una
    vez que se comprendió bien la verdadera naturaleza de
    los límites y
    de los inconmensurables, se vio en seguida que p no tiene valor decimal exacto y que, por lo
    tanto, la cuadratura del círculo es
    imposible".

    Igualmente, en el libro "Las grandes corrientes del
    pensamiento
    matemático" de Francois Le Lionnais (Eudeba,
    Argentina 1965) nos hablan de la insolubilidad del mencionado
    problema de la Cuadratura del Círculo. Según el
    matemático Émile Borel, miembro de la
    Academia de Ciencias de
    Francia
    – en un artículo de ese libro- Dados dos
    números irracionales a, b no podemos estar seguros que son
    iguales si no se puede demostrar por un método
    analítico, después de un número finito de
    operaciones

    Ejemplo

    Borel, concluye que es imposible la cuadratura del
    círculo "puesto que p no
    puede ser raíz de ninguna ecuación algebraica de
    coeficientes enteros"
    .

    El sabio peruano Dr. Federico Villareal, al
    comentar el trabajo del
    Dr. Eusebio Corazao en 1906, dice casi lo mismo respecto
    al número … "Está demostrado que es un número
    irracional de segundo orden; es decir, que no es la raíz
    de ninguna ecuación numérica de coeficientes
    enteros, como sucede para la razón de la diagonal de un
    cuadrado a su lado, o de los lados del cuadrado y
    triángulo inscriptos. Respecto del número , solamente se le ha
    expresado por series verdaderamente notables, pero nunca por una
    fórmula finita real, sino usando las imaginarias, como la
    debida a Euler, en que la unidad imaginaria elevada a la
    unidad imaginaria es igual al número e elevado a
    menos medio Pi". Es decir:

    En su interesante página
    web, el Dr. Juan Saba nos ilustra que: Legendre
    (1794)… y I. Niven habían demostrado la
    irracionalidad de Pi. "Liouville en 1844,
    demostró la existencia de números trascendentes, o
    sea de números reales que no son raíces de ninguna
    ecuación algebraica de coeficientes racionales. Finalmente
    en 1862. F. Lindemann demostró que Pi es un
    número trascendente".

    Con estas conclusiones, cualquier búsqueda para
    acercarse a la solución del problema de antigua data, de
    la Cuadratura, parecería absurda y condenada al fracaso.
    Pero, también, son irracionales y transcendentes, no
    importa de qué orden, los números ,, , e, (Nº de oro), y no por
    ello dejamos de calcular las diagonales de los cuadrados o de los
    rectángulos, y usamos, sin remilgos, los logaritmos
    naturales. Pues, lo que hacemos, en la práctica, es pactar
    una "aproximación racional" de esos números
    limitando sus decimales a un número finito de cifras. Con
    esta idea es que he desarrollado los métodos
    gráficos que siguen; el primero con una
    aproximación de un par de decimales, y el segundo con una
    aproximación de seis decimales.

    2.- BUSCANDO UNA
    APROXIMACIÓN RACIONAL PARA PI

    2.1.- OBTENCIÓN GRÁFICA DE
    p

    (Primera aproximación con dos
    decimales)

    Para este efecto se sigue los pasos
    siguientes:

    1. Trazar el plano cartesiano con la recta horizontal
      (eje X) y otra perpendicular (eje Y) con origen en el punto
      (0,0). (Fig. 1.1).
    2. Tomar un valor unitario arbitrario (un
      centímetro, por ejemplo) y con él, dividir la
      recta X, en once partes. Dividir con el compás y la
      regla los segmentos comprendidos entre (0,0) y (7,0); y (0,0)
      y (11,0), para hallar los puntos (3.5, 0) y (5.5,
      0)
    3. Trazar las rectas auxiliares perpendiculares a X en
      los puntos (2,0) y (4,0).
    4. Con el compás en el origen, trazar arcos con
      radios (3.5, 0) y (7, 0), hasta cortar las rectas
      perpendiculares auxiliares en los punto b y
      b’.
    5. Unir b, b’ con el origen O y prolongar esta
      recta oblicua.
    6. Desde el origen con radios (1,0); (5.5, 0) y (11,0)
      trazar los arcos que corten a la recta oblicua en los puntos
      a, c y c’.
    7. Desde estos puntos a, c y c’, trazar las
      perpendiculares al eje X. Los puntos hallados serán,
      od, ~p y ~2p . (Haciendo, paralelamente, el control
      por el método analítico se encontró que
      se trata de una aproximación de 1.2 milésimas
      de centímetro)
    8. Dividir con el compás y regla el segmento
      ~2p para encontrar los
      valores gráficos aproximados de los
      números p y
      p /2 (Fig 1.2).

    ANALISIS DE LA OBTENCIÓN GRÁFICA
    APROXIMADA DE p

    De acuerdo con el procedimiento
    gráfico planteado:

    ; es igual a

    Analíticamente, el segmento od, representa la
    fracción:

    ; od= 0.571428571;

    Valor que multiplicado por once será igual a:
    6.285714286, o sea ~ 2 p .

    Igualmente, de donde .

    , donde

    El valor gráfico de p
    resulta siendo aproximadamente igual a 3.142857143.

    Cifra a la que podemos sustraer el valor de p = 3.141592654, tomado de una calculadora
    personal de
    once dígitos, del modo siguiente:

    ~3.142857143 – 3.141592654 =
    0.001264489

    Esto nos muestra un error gráfico, por exceso, de
    1.2 milésimas de centímetro.

    Obviamente, para los alcances de la vista humana y
    trabajando sobre una hoja de papel A4, con un juego de
    reglas de escolar y un compás sencillo, esta primera
    aproximación hallada es bastante cercana. La segunda
    aproximación lo es aún más.

     

    Otras proporciones encontradas por el autor para obtener
    ~ p son las siguientes:


    2.2.- OBTENCIÓN GRÁFICA DE
    p

    (segunda aproximación con seis
    decimales)

    Para este efecto se sigue los pasos
    siguientes:

    1. Trazar el plano cartesiano con la recta horizontal
    (eje X) y otra perpendicular (eje Y) con origen en el punto
    (0,0). (Fig. 1.2).

    2. Tomar un valor unitario arbitrario (un
    centímetro, por ejemplo) y con él, dividir la
    recta X, en doce partes.

    3. Ubicar por paralelismo los puntos (3.55, 0) y
    (11.3, 0)

    4.-Trazar la recta auxiliar perpendicular a X en el
    punto (10, 0)

    1. Con el compás en el origen, trazar un arco
      con radio 11.3, hasta cortar la recta perpendicular (10,
      0)
    2. Unir el punto encontrado con el origen (O) y
      prolongar esta recta oblicua.

    7. Desde el origen, con radio 3.55, trazar un arco que
    corte a la recta oblicua

    8. Desde este punto, trazar la perpendicular al eje X.
    El punto hallado será, aproximadamente el valor de Pi,
    ~p = 3.141592920 (Haciendo,
    paralelamente, el control por el método analítico
    se encontró que se trata de una aproximación de
    2.68 * 10-7 de centímetro).

     


    ; Graficando esta proporción tenemos:

    En la Fig. 1.2. La aproximación alcanzada para
    p es hasta la sexta cifra decimal y su
    exactitud en el papel dependerá de la precisión
    gráfica de las cifras de la proporción, usando
    sólo compás y la regla, como se ve en el
    procedimiento gráfico para dividir la unidad en fracciones
    (el error por exceso o resto será 3.141592920 –
    3.141592652 de 0.000000268, es decir 2.6 diezmillonésimas
    de centímetro ó 2.68 * 10-7).

    Este procedimiento deriva del método del
    holandés Metius que, con la
    fracción:

    355/113 = 3.1415929, alcanzó una
    aproximación de 6 cifras decimales para p , aproximación que según la
    monografía del profesor
    venezolano Juan Saba Salas

    (http://www.monografias.com/trabajos14/letrapi/letrapi),
    lo había logrado calculando la media aritmética de
    los numeradores y denominadores de las fracciones 377/120 y
    333/106, valores aproximados encontrados con el método de
    Arquímedes. Mi alcance es haber planteado esa
    fracción (355/113 ) como proporción, para hacer
    asequible su graficación en una hoja de papel
    A4.

    3.-
    REFERENCIAS.

    BIBLIOGRAFIA Y DOCUMENTACION

    1.-"La Cuadratura del Círculo.
    ¡Sí, es posible!", Ing. Julio Antonio
    Gutiérrez Samanez, Cusco –Perú, 2005,
    (ISBN: 9972-33.239.X)

    2.-
    http://www.monografias.com/trabajos14/letrapi/letrapi)

    del Dr. Juan Saba Salas.

    4.- "Matemáticas" de D. Bergamini (Libros Time.
    USA, 1969)

    5.- "Geometría" de J. E. Thompson, Uteha,
    México 1961,

    6.- "Las grandes corrientes del pensamiento
    matemático" de Francois Le Lionnais (Eudeba, Argentina
    1965).
    7.- "Diccionario de la Ciencia y
    Tecnología" Ed. Planeta, España,
    2001.

    Nota.- El Dr. Eusebio Corazao Quintanilla,
    publicó en 1905 el teorema siguiente:

    "Todo polígono regular en medio proporcional
    entre el círculo inscrito en él y su círculo
    isoperímetro", con lo que facilitó la
    solución del problema de la Rectificación de la
    Circunferencia.

    AGRADECIMIENTOS

    -Al Diseñador Gráfico Rigoberto
    Condori.

     

     

     

    Autor:

    Julio Antonio Gutiérrez Samanez

    (Ingeniero Químico, nacido en Cusco, 1955,
    escritor, investigador, ceramista y consultor en diseño
    de productos
    aetesanales. Es, también, dibujante técnico y
    artista plástico
    profesional)

    Cusco, Perú

    Abril 2006

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