EJEMPLOS
Problema B-7-1.
En el sistema de la
Fig. 7-91 el interruptor se cierra en t=0. Encuentre el voltaje
e0(t). Suponga al capacitor descargado
inicialmente.
(1)
(2)
Usando transformada de Laplace:
(3)
(4)
Despejando I(s) de (4):
Sustituyendo I(s) en (3):
Descomposición en fracciones
parciales:
Usando transformada inversa de Laplace:
Problema B-7-2.
En relación con la Fig. 7-92 la fuente de voltaje
E se conecta súbitamente por medio del interruptor S en el
instante t = 0. Suponga al capacitor C descargado inicialmente y
que la inductancia L no lleva corriente inicial.
¿Cuál es la corriente i (t)?
Problema B-7-3.
La masa m (m = 1 kg) esta vibrando inicialmente en el
sistema mecánico mostrado en la Fig. 7-93. En t=0
golpeamos la masa con una fuerza
impulsiva p(t) cuya magnitud es de 10 N. Suponiendo que la
constante del resorte k es de 100 N/m y que x(0-) = 0.1 m y
x´(0-) = 1 m/s, x(t) se mide desde la posición de
equilibrio en
ausencia de la fuerza de excitación.
Sustituyendo valores:
Problema B-7-4.
Una vibración libre del sistema mecánico
de la Fig 7-94(a) indica que la amplitud de la vibración
decrece a 25% de su valor en
t=t0 después de cuatro ciclos
consecutivos de movimiento,
como se muestra en la Fig
7-94(b). Determine el coeficiente de fricción viscosa
b del sistema si m = 1 kg y k =500
N/m.
mx"+ kx + bx’=0
S2+bS+500=0
S(S+b)=-500
b=-(500/S)-S
b=-[(500/S)+S
Problema B-7-5.
Una masa de 20 k esta soportada por un resorte y un
amortiguador como se muestra en la Fig. 7-95(a). Cuando se agrega
una masa de 2 kg a los 10 kg masa, el sistema vibra como se
encuentra en la Fig. 7-95(b). Determine la constante del resorte
k y el coeficiente de fricción viscosa b.
[Note que (0.02/0.08) x 100 = 25% de la diferencia máxima
que corresponde a ς = 0.4]
La solución particular es:
Problema B-7-6.
Considere el sistema mecánico mostrado en la
figura siguiente. El péndulo m2 está
soportado por la masa m1, la cual vibra a causa de una
conexión elástica. Obtenga las ecuaciones de
movimiento del sistema.
Solución:
fk= kx
fm1=mx"
fm2=lθ"+ g sen
θ
kx + mx"+ lθ"+ g senθ + kx
=O
mx"+ lθ"+ g sen θ + 2 kx
=O
Problema B-7-7.
El sistema de la siguiente figura está
inicialmente en reposo. En t=0 una masa m se pone en movimiento
por una fuerza impulsiva cuya magnitud es la unidad.
¿Puede la masa detenerse por otra fuerza impulsiva
semejante?
fk= kx
fm1=mx"
δ(t)=1
mx" + kx = δ(t)
x"+(k/m)x=1/m
£{x"}+(k/m)£{x}=1/m
s2X(s)+(K/M)X(s)= 1/M
X(s) [s2+(K/M)]=1/M
El sistema lleva un movimiento vibratorio hasta que una
fuerza externa actúa en el sistema para detenerlo, puesto
que la fuerza del amortiguador no existe.
Problema B-7-8.
La siguiente figura muestra un sistema que consiste en
una masa y un amortiguador. El sistema está inicialmente
en reposo. Cuando se pone en movimiento mediante una fuerza
impulsiva cuya magnitud es la unidad, encuentre la respuesta
x(t). Determine la velocidad
inicial de la masa m
fb=bx’
fm=mx"
δ(t)=1
mx"+ bx’= δ(t)
x"+(b/m)x’=1/m
£{x"}+(b/m)£{x’}=1/m
Problema B-7-9.
Encuentre las funciones de
transferencia X0(s)/X1(s) y
E0(s)/E1(s) de los sistemas
mecánicos y el eléctrico mostrados en la figura
siguiente respectivamente.
a) b)
Sistema eléctrico
análogo
Problema B-7-10.
Obtenga las funciones de transferencia
X0(s)/X1(s) y
E0(s)/E1(s) de los siguientes sistemas y
muestre que son análogos
a) b)
b1 (x’i –
x’o) + k1 (xi –
xo) = b2 x’o
b1 x’i – b1
x’o + k1xi –
k1xo = b2
x’o
sb1 Xi(s) – sB1
Xo(s) + k1Xi (s) –
k1Xo(s) = sB2
Xo(s)
sb1 Xi(s) +
K1Xi (s) = sb1 Xo(s) +
k1Xo(s) + sB2
Xo(s)
Xi(s) [sb1 + k1] = Xo(s)
[sb1 + k1 + sb2]
Circuito eléctrico análogo:
Problema B-7-11.
Después de encontrar la función de
transferencia Xo(s)/X1(s) del sistema
mecánico mostrado en la Fig. 7-101, obtenga un sistema
eléctrico análogo
Sistema eléctrico análogo
Problema B-7-12.
Encuentre la función de transferencia
E0(s)/E1(s) del sistema eléctrico
mostrado en la Fig 7-102. Además, encuentre un sistema
mecánico análogo
Problema B-7-13.
Obtenga tanto la función de transferencia
E0(s)/E1(s) del sistema mecánico
mostrado en la Fig. 7-103, como también un sistema
eléctrico análogo.
Sistema eléctrico análogo:
Problema B-7-14.
En el sistema térmico mostrado en la Fig 7-104(a) se
supone que el tanque esta aislado para evitar perdidas de
calor hacia el
aire del medio
ambiente, que no hay almacenamiento de
calor en el aislamiento y que el liquido en el tanque esta
perfectamente mezclado de modo que se le done a una temperatura
uniforme. Así que puede usarse una sola temperatura para
denotar la temperatura del líquido en el tanque y la del
liquido que sale. Posteriormente se supone que la rabón
del flujo de liquido hacia el tanque y saliendo del tanque es
constante e igual a o iK. Para t<0 el sistema se encuentra en
estado
permanente y el calentador suministra calor a razón de H
J/s. En t=0 la razón de entrada de calor se cambia de H a
H +h J/s. Este cambio causa
que la temperatura del liquido que sale cambie de Oo aOo + teta
k. Suponga que el cambio en temperatura teta k es la salida y que
el cambio en la entrada de calor h J/s, es la entrada al sistema
. Determine la función de transferencia térmico es
análogo al sistema eléctrico mostrado en la figura
7-104b, donde el voltaje e0 es la salida y la corriente i es la
entrada.
Problema B-7-15.
Una piedra con masa de 0.1 kg esta unida al extremo de una
cuerda de 1m y gira a una velocidad angular de 1 Hz. Encuentre la
tensión en la cuerda. Si la máxima tensión
que la cuerda permite es de 40N, ¿Cuál es la
velocidad angular máxima en hz que puede obtenerse sin
romper la cuerda?
Problema B-7-16.
En el regulador de velocidad de la fig. 7-105,
¿Cuál es la frecuencia w necesaria para mantener la
configuración mostrada en el diagrama?
Problema B-7-17.
El sistema masa resorte mostrado en la Fig. 7-106 esta
inicialmente en reposo. Si se excita la masa mediante una fuerza
senoidal p(t) =P sen wt, ¿Cuál es la respuesta
x(t)? suponga que m= 1 kg, K =100 N/m, P =5N, y w = 2 rad/s
Sustituyendo valores:
Problema B-7-18.
Una máquina rotatoria de masa Ma=.0 kg a una
distancia r = 0.5m del centro de rotación. (La masa M
incluye a la masa m)). La velocidad de operación es de
10hz. Suponga que la maquina esta montada sobre un aislador que
consta de de un resorte y un amortiguador como se muestra en la
Fig. 7-107. Si se desea tener a símbolo raro =0.2,
especifique la constante del resorte k tal que solamente 10% de
la fuerza de excitación se transmita a la
cimentación. Determine la amplitud de la fuerza
transmitida.
Problema B-7-19.
En la Fig 7-108 un instrumento esta sujeto a una base cuyo
movimiento se va a medir. El movimiento relativo entre la masa m
y la base, registrado en un tamborrotatotio indicara el
movimiento de la base z=x y es el movimiento de la pluma relavio
a la base. Si el movimiento de la base es y =Y sea wt
¿Cuál relación de amplitudes de z con
respecto a y en estado estable? Muestre que si w
>>wn, este puede usarse para medir la
aceleración de la base.
Problema B-7-20.
La figura 7-109 muestra una maquina m montada sobre un
aislador en el cual el resorte k1 es el resorte que soporta a la
cara y el amortiguador viscoso b2 esta en serie con el resorte
k2. Determine la transmisibilidad de la fuerza cuando la masa m
este sometida a una fuerza de excitación p(t)=P sen wt.
Determine también la amplitud de la fuerza transmitida a
la cimentación.
Problema B-7-21.
Una máquina m esta montada sobre un aislador en la Fig.
7-110. Si la cimentación está vibrando de acuerdo
con y = Y sen ωt, donde y es el desplazamiento de la
cimentación, encuentre la amplitud de vibración de
la maquina. Determine la transmisibilidad del movimiento.
si 
Problema B-7-22.
La figura 7-111 muestra una máquina con un
absorbedor de vibración dinámica. La frecuencia natural no
amortiguada del sistema en ausencia del absorbedor de
vibración dinámica es 
. Suponga que
la frecuencia de operación 
está
próxima a 
. Si el absorbedor de vibración
dinámica se sintoniza de modo que 
,
¿Cuál es la amplitud de la masa
del absorbedor de vibración?
Fuerza transmitida a la cimentación:
La amplitud de esa fuerza transmitida es
, donde 
está dada, 
Si 
y 
están dadas de modo
que 
o 
, entonces 
y la fuerza
transmitida a la cimentación es cero. De modo que si la
frecuencia natural , es posible eliminar la fuerza
transmitida a la cimentación.
Si y se escogen de modo
irazu rivadeneyra