Teoría de números aplicado a la Educación Secundaria

1. Breve historia de la
   teoría de números
2. Teoría de
   números
3. Teoría de los
   números en la educación secundaria y
   propuestas
5. El proceso
   de resolución de un problema
6. Propuesta:
   Resolución de problemas
7. Conclusiones

1.
Breve historia de la
teoría
de números

1.1 Prehistoria

Podemos decir que la teoría de números
empezó con el matemático griego Diofanto de
Alejandría en el siglo III d.c. Diofanto escribió
trece libros (siete
de los cuales se han perdido) dedicados a la resolución de
ecuaciones
algebraicas, intentando dar métodos
para encontrar sus soluciones
enteras o racionales. Algunos ejemplos de los problemas que
trataba en su libro son:
¿Qué números son suma de dos números
al cuadrado? ¿Qué números son suma de tres
números al cubo?

Pero la contribución (indirecta) más
importante de Diofanto fue a partir de la traducción al latín de los seis
primeros libros con el nombre de Aritmética en 1621 por
C.G. Bachet. Esta traducción fue la que inspiró al
verdadero padre de la teoría de números, Pierre de
Fermat.

1.2 Fermat (1601-1665)

Pierre de Fermat es uno de los matemáticos
más importantes de la historia. Aunque de hecho no era
matemático "profesional" sino juez. Vivió durante
la mayor parte de su vida en Toulouse, dedicándose en las
horas libres a las matemáticas. Entre los resultados
más importantes que obtuvo podemos destacar la
invención (junto con Descartes) de
las ahora llamadas coordenadas cartesianas, que permiten
"traducir" los problemas geométricos a problemas
algebraicos.

Pero los resultados que le han hecho más famoso
fueron sin duda los que obtuvo trabajando inspirado en el libro
de Diofanto, que dieron origen a la teoría de
números. Aunque debido a la forma de trabajar de Fermat,
que no publico sus resultados en vida y solo divulgaba a
través de cartas a sus
amigos y colegas, tenemos pocas indicaciones de cuales eran sus
métodos para resolver los problemas.

Entre los resultados más conocidos que obtuvo (o
anunció) hay:

El llamado "Pequeño teorema de Fermat": Para todo
número primo "p" y para todo número natural "a" no
divisible por p tenemos que p divide a ap-1-1.

El resultado más famoso de Fermat en la
actualidad no es de hecho un resultado suyo, aunque se le
denomina el "ultimo teorema de Fermat".

Parte de su fama es debida a la manera como
formuló el resultado y también porque se han
tardado más de 350 años para darle la razón.
La historia empieza después de su muerte en que
su hijo publico la edición
que tenia Fermat del libro de Diofanto junto con las anotaciones
originales de Fermat. En una de ellas, concretamente al margen de
la parte en que Diofanto habla de las

ternas pitagóricas, Fermat dejo escrito el
siguiente enunciado (traducido al lenguaje
moderno):

Para cualquier numero natural n mayor o igual que 3, la
ecuación:

A + B = C

No tiene soluciones (naturales) salvo que A, B o C sean
cero.

Y añade:

Tengo una demostración maravillosa de este
resultado pero este margen es demasiado estrecho para
contenerla.

A partir de ese momento muchos de los matemáticos
más importantes de la historia intentaron demostrarlo sin
éxito
has que recientemente, en 1994, Andrew Wiles consiguió
demostrar este resultado; aunque no con los métodos que
podía conocer Fermat. Queda aún la duda si Fermat
tenía o no la demostración de este
Teorema.

Fuente: http://usuarios.lycos.es/teoriadenumeros/historia.html

2.
TEORÍA DE NÚMEROS

La teoría de números es una parte del
álgebra
en la que se estudian las operaciones en el
conjunto de los números enteros (Z), que no arrojan
resultados fuera de dicho conjunto. Esta condición hace
que por ejemplo las operaciones división y raíz
queden fuera, ya que pueden producir resultados no
enteros.

la teoría de números es la rama de
matemáticas puras que estudia las propiedades y de las
relaciones de los números Según esta amplia
definición, la teoría de números incluye
gran parte de las matemáticas, en particular del análisis
matemático. Sin embargo, normalmente se limita al
estudio de los números enteros y, en ocasiones, a otros
conjuntos de
números con propiedades similares al conjunto de los
enteros.

La teoria de números contiene una cantidad
considerable de problemas que son "fácilmente comprendidos
por los no matemáticos". De forma más general, este
campo estudia los problemas que surgen con el estudio de los
enteros. Según los métodos empleados y las
preguntas que se intentan contestar, la teoría de
números se subdivide en varias ramas.

En la teoría elemental de números,
se estudian los números enteros sin emplear técnicas
procedentes de otros campos de las matemáticas. Pertenecen
a la teoría elemental de números la
divisibilidad, el
algoritmo de Euclides para calcular
el
máximo común divisor,
la
factorización de los enteros como
producto
de
números primos, la búsqueda
de los
números perfectos y las

congruencias.

Son enunciados típicos

El Teorema de Fermat

El
teorema de Euler

El
teorema chino del resto

La ley de la

reciprocidad cuadrática.

En esta rama se investigan las propiedades de las

funciones multiplicativas como:

La
función de Möbius

La
función φ de Euler

Las sucesiones de
números enteros (los factoriales)

Los
números de Fibonacci.

Conjeturas y teoremas relacionados con la
teoría de números:

Conjetura de Goldbach sobre si todos los
números pares (a partir de 4) son la suma de dos
números primos.

Conjetura de los números primos gemelos
sobre la infinitud de los llamados números primos
gemelos

Último teorema de Fermat
(demostrado en 1995)

Hipótesis de Riemann sobre la
distribución de los ceros de la función
zeta de Riemann, íntimamente conectada con el problema de
la distribución de los números primos.

2.1.-Divisibilidad

Decimos que un número entero b es
divisible por otro entero a (distinto de cero) si
existe un tercer entero c tal que b =
a·c. Se suele expresar de la forma a|b, que se lee
a divide a b (o a es divisor
de b, o también b es
múltiplo de a. Por ejemplo, 6
es divisible por 3, ya que 6 = 3·2; pero no es divisible
por 4, pues no existe un entero c tal que 6 = 4·c.
Es decir, el resto de la división euclídea (entera)
de 6 entre 4 no es cero.

Todo número entero mayor que 1 es divisible por 1
y por sí mismo. Los números que no admiten
más que estos dos divisores se denominan números
primos. Los que admiten más de dos divisores se llaman
números compuestos

Propiedades

Sean a, b, c pertenecen
Z:

• 1. 1|a, a|0,
  a|a.
• 2. Si a|b y b|a,
  entonces a = ±b.
• 3. Si a|b y b|c,
  entonces a|c.
• 4. Si a|b, entonces
  a|bx, para todo x perteneciente
  Z.
• 5. Si a|b y a|c,
  entonces a|(bx + cy
• 6. Si a|b·c y mcd(a,b)=1,
  entonces a|c

2.2.-El Máximo Común
Divisor

Ejemplo 4.

Veremos un algoritmo que
permite hallar el máximo común divisor de una
manera más rápida

2.3Algoritmo de Euclides

El algoritmo de Euclides es un método
eficaz para calcular el máximo común divisor
(mcd) entre dos números enteros.
El algoritmo consiste en varias divisiones euclidianas sucesivas.
En la primera división, se toma como dividendo el mayor de
los números y como divisor el otro (se ahorra así
un paso). Luego, el divisor y el resto sirven respectivamente de
dividendo y divisor de la siguiente división. El proceso
termina cuando se obtiene un resto nulo. El mcd es
entonces el penúltimo resto del algoritmo.

Definición

Formalmente, si llamemos a, b los enteros
iniciales, r1, rn … rn-1 y
rn = 0 los restos sucesivos, entonces:

mcd (a, b) = mcd (b, r1), con
r1 = a – b·q (q es el cociente de
a por b)

En efecto los divisores comunes de a y b
son los de a – b·q y b:  

porque si q divide a y b,
obviamente divide a – b·q que es una
combinación lineal de ambos, y recíprocamente a
= (a – b·q) + b·q es una combinación
lineal de b y a – b·q. Luego el menor de los
divisores comunes es el mismo, y repitiendo la
operación:

mcd (b, r1) = mcd
(r1, r2) = mcd (r2,
r3) = … = mcd (rn-1,
rn) = mcd (rn-1, 0) =
rn-1.

Esto permite detallar el algoritmo efectivo:

Este algoritmo da como resultado 0 si a y b son nulos,
mientras que en matemáticas, el mayor divisor de cero no
existe.

2.4 El Mínimo Común
Múltiplo

Ejemplo 6.

Determine el mínimo común múltiplo
de

Solución.

Note que calcular un mínimo común
múltiplo utilizando la definición no es un
algoritmo muy eficiente, más adelante se brinda una manera
más eficiente de calcularlo.

2.5Teorema de Euler

La expresión

significa que a y b se encuentran en la misma
"clase
de congruencia" módulo n, esto es,
que ambos dejan el mismo resto si los dividimos por n, o,
equivalentemente, a − b es un múltiplo
de n.

Ahora bien, un hecho importante sobre módulos de
números primos es el
pequeño teorema de Fermat: si
p es un número primo y a es cualquier
entero, entonces

Esto fue generalizado por Euler:

Para todo entero positivo n y todo entero
a relativamente primo a n, entonces: , donde
φ(n) denota
función fi de Euler que cuenta el
número de enteros entre 1 y n que sean
coprimos
con respecto a n.

Es necesario señalar que el teorema de Euler es
una consecuencia del
teorema de Lagrange, aplicado al caso del
grupo de
las
unidades del anillo .

2.6.-Teorema chino del resto

2.7.-Función multiplicativa

En
teoría de números, una
función aritmética (es decir, definida para
n entero) se dice multiplicativa si:

f(1) = 1

f(m·n) =
f(m)·f(n) cuando m y
n son enteros coprimos
(no tienen factores comunes).

Ejemplos

Algunos ejemplos de funciones
multiplicativas que son relevantes en la teoría de
números son:

φ(n): la
función φ de Euler, que cuenta los enteros positivos
coprimos con n.

μ(n): la
función de Möbius, relacionada con el número
de factores primos de los números no divisibles por un
cuadrado perfecto.

d(n): el número de divisores
positivos de n.

σ(n): la suma de
todos los divisores positivos de n.