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Lógica Matemática




Enviado por aleidahy



    Introducción.

    Aprender
    matemáticas, física y química “es muy difícil”; así se expresan la mayoría de
    estudiantes de todos los niveles, sin embargo pocas veces se busca una explicación
    del porqué no aprenden las ciencias
    exactas los alumnos. Nuestra teoría es la siguiente: “Los alumnos no aprenden
    ciencias
    exactas, porque no saben relacionar las conocimientos que se proporcionan en
    la escuela
    (leyes,
    teoremas, formulas) con los problemas
    que se le presentan en la vida real
    ”. Otro problema grave es que el
    aprendizaje no es significativo. El presente trabajo pretende motivar a
    los estudiantes para que con ayuda de la “lógica matemática”, él sea capaz de
    encontrar estos relacionamientos entre los diferentes esquemas de aprendizaje,
    para que de esta manera tenga una buena estructura
    cognitiva. Consideramos que si el alumno sabe lógica matemática puede relacionar
    estos conocimientos, con los de otras áreas para de esta manera crear conocimiento.

     

    La
    lógica estudia la forma del razonamiento, es una disciplina
    que por medio de reglas y técnicas determina si un argumento es válido. La lógica
    es ampliamente aplicada en la filosofía, matemáticas, computación, física. En
    la filosofía para determinar si un razonamiento es válido o no, ya que una frase
    puede tener diferentes interpretaciones, sin embargo la lógica permite saber
    el significado correcto. En las matemáticos para demostrar teoremas e inferir
    resultados matemáticas que puedan ser aplicados en investigaciones.
    En la computación para revisar programas.
    En general la lógica se aplica en la tarea diaria, ya que cualquier trabajo
    que se realiza tiene un procedimiento
    lógico, por el ejemplo; para ir de compras
    al supermercado una ama de casa tiene que realizar cierto procedimiento
    lógico que permita realizar dicha tarea. Si una persona
    desea pintar una pared, este trabajo tiene un procedimiento lógico, ya que no
    puede pintar si antes no prepara la pintura,
    o no debe pintar la parte baja de la pared si antes no pintó la parte alta porque
    se mancharía lo que ya tiene pintado, también dependiendo si es zurdo o derecho,
    él puede pintar de izquierda a derecha o de derecha a izquierda según el caso,
    todo esto es la aplicación de la lógica.

     

    La
    lógica es pues muy importante; ya que permite resolver incluso problemas
    a los que nunca se ha enfrentado el ser humano utilizando solamente su inteligencia
    y apoyándose de algunos conocimientos acumulados, se pueden obtener nuevos inventos
    innovaciones a los ya existentes o simplemente utilización de los mismos.

     

    El
    orden en que se presenta el documento es el siguiente: Primeramente se establece
    la importancia de la lógica matemática, después definimos el concepto
    de proposición. Se establece el significado y utilidad
    de conectivos lógicos para formar proposiciones compuestas. Más tarde abordamos
    las proposiciones condicionales y bicondicionales. Definimos tautología, contradicción
    y contingente,  y proporcionamos
    una lista de las tautologías más importantes, así mismo explicamos a que se
    le llama proposiciones lógicamente equivalente apoyándonos de tablas de verdad.
    Para finalizar; abordamos los métodos de demostración: directo y por contradicción,
    en donde incluye reglas de inferencia.

     

    En
    este trabajo se trata además de presentar las explicaciones con ejemplos que
    le sean familiares. Nuestro objetivo
    es que el alumno aprenda a realizar demostraciones formales por el método directo
    y el método por contradicción. Ya que la mayoría de los libros
    comerciales únicamente se quedan en explicación y demostración de reglas de
    inferencia. Consideramos que sí el alumno aprende lógica matemática no tendrá
    problemas para aprender ciencias exacta y será capaz de programar computadoras,
    ya que un programa
    de computadora
    no es otra cosa que una secuencia de pasos lógicos, que la persona
    establece para resolver n problema determinado.

     

    Es
    importante mencionar que en las demostraciones no hay un solo camino para llegar
    al resultado. El camino puede ser mas largo o más corto dependiendo de las reglas
    de inferencia y tautologías que el alumno seleccione, pero definitivamente deberá
    llegar al resultado. Puede haber tantas soluciones
    como alumnos se tenga en clase y todas estar bien. Esto permite que el estudiante
    tenga confianza en la aplicación de reglas y fórmulas. De tal manera que cuando
    llegue a poner en practica esto, el sea capaz de inventar su propia solución,
    porque en la vida cada quien resuelve sus problemas aplicando las reglas de
    inferencia para relacionar los conocimientos y obtener el resultado.

    Desarrollo.

     

    La
    lógica matemática es la disciplina
    que trata de métodos de razonamiento. En un nivel elemental, la lógica proporciona
    reglas y técnicas para determinar si es o no valido un argumento dado. El razonamiento
    lógico se emplea en matemáticas para demostrar teoremas; en ciencias de la computación
    para verificar si son o no correctos los programas;
    en las ciencias  física 
    y  naturales, para sacar
    conclusiones de experimentos;
    y en las ciencias sociales y en la vida cotidiana, para resolver una multitud
    de problemas. Ciertamente se usa en forma constante el razonamiento lógico para
    realizar cualquier actividad.

     

     

    Proposiciones
    y operaciones
    lógicas.

     

    Una
    proposición o enunciado es una oración que puede ser falsa o verdadera pero
    no ambas a la vez. La proposición es un elemento fundamental de la lógica matemática.

     

    A
    continuación se tienen algunos ejemplos de proposiciones válidas y no válidas,
    y se explica el porqué algunos enunciados no son proposiciones. Las proposiciones
    se indican por medio de una letra minúscula, dos puntos y la proposición propiamente
    dicha. Ejemplo.

     

    p:
            La tierra
    es plana.

    q:
            -17 + 38 = 21

    r:
             x > y-9

    s:
            El Morelia será campeón en
    la presente temporada de Fut-Bol.

    t:
             Hola ¿como estas?

    w:
            Lava el coche por favor.

     

    Los
    incisos p y q sabemos que pueden tomar un valor
    de falso o verdadero; por lo tanto son proposiciones validas. El 
    inciso r también es una proposición
    valida, aunque el valor
    de falso o verdadero depende del valor asignado a las variables
    x y y en determinado momento. La proposición del inciso s
    también esta perfectamente expresada aunque para decir si es falsa o verdadera
    se tendría que esperar a que terminara la temporada de fut-boll. Sin embargo
    los enunciados t y w no son válidos, ya que no pueden tomar un valor de falso o verdadero,
    uno de ellos es un saludo y el otro es una orden.

     

     

    Conectivos
    lógicos y proposiciones compuestas.

     

    Existen
    conectores u operadores lógicas que permiten formar proposiciones compuestas
    (formadas por varias proposiciones). Los operadores o conectores básicos son:

     

    Operador
    and (y)

    Se
    utiliza para conectar dos proposiciones que se deben cumplir para que se pueda
    obtener un resultado verdadero. Si símbolo es: {Ù,
    un punto (.), un paréntesis}. Se le conoce como la multiplicación lógica:

     

     

    Ejemplo.

    Sea
    el siguiente enunciado “El coche enciende cuando tiene gasolina en el tanque
    y tiene corriente la batería”

     

    Sean:

    p:
    El coche enciende.

    q:
    Tiene gasolina el tanque.

    r:
    Tiene corriente la batería.

     

    De
    tal manera que la representación del enunciado anterior usando simbología lógica
    es como sigue:

     

                           
    p =  q Ù
    r

     

    Su
    tabla de verdad es como sigue:

     

    q

    r

    p
    = q Ù
    r

    1

    1

    1

    1

    0

    0

    0

    1

    0

    0

    0

    0

     

     

     

     

     Donde.

     1 =  verdadero

     0 =  falso

    En
    la tabla anterior el valor de q=1 significa que el tanque tiene gasolina, r=1
    significa que la batería tiene corriente y p
    = q Ù
    r=1 significa que el coche puede encender. Se puede notar que si q o r valen
    cero implica que el auto no tiene gasolina y que por lo tanto no puede encender.

     
    Operador
    Or (o)

    Con
    este operador se obtiene un resultado verdadero cuando alguna de las proposiciones
    es verdadera. Se eindica por medio de los siguientes símbolos: {Ú,+,È}.
    Se conoce como las suma lógica. Ejemplo.

     

    Sea
    el siguiente enunciado “Una persona puede entrar al cine
    si compra su boleto u obtiene un pase”. Donde.

     

    p:
    Entra al cine.

    q:
    Compra su boleto.

    r:
    Obtiene un pase.

    q

    r

    p
    = q Ù
    r

    1

    1

    1

    1

    0

    0

    0

    1

    0

    0

    0

    0

     

     

    q

    r

    La
    única manera en la que no puede ingresar al cine (p=0),
    es que no compre su boleto (q=0) 
    y que no obtenga un pase (r=0). 

     

    p
    =q
    Ú
    r

    1

    1

    1

    1

    0

    1

    0

    1

    1

    0

    0

    0

     

     

     

    Operador
    Not (no)

     

    Su
    función es negar la proposición. Esto significa que sí alguna proposición es
    verdadera y se le aplica el operador not se obtendrá su complemento o negación
    (falso). Este operador se indica por medio de los siguientes símbolos: {‘, Ø,-}.
    Ejemplo.

     

    La
    negación de está lloviendo en este momento (p=1), es no está lloviendo
    en este momento (p’=0)

     

     

    p

    p’

    1

    0

    0

    1

     

     

    Además
    de los operadores básicos (and, or y not) existe el operador xor, cuyo funcionamiento
    es semejante al operador or con la diferencia en que su resultado es verdadero
    solamente si una de las proposiciones es cierta, cuando ambas con verdad el
    resultado es falso.

     

    En
    este momento ya se pueden representar con notación lógica enunciados más complejos.
    Ejemplo

     

    Sean
    las proposiciones:

     

    p:
    Hoy es domingo.

    q:
    Tengo que estudiar teorías del aprendizaje.

    r:
    Aprobaré el curso.

     

    El
    enunciado: “Hoy es domingo y tengo que estudiar teorías de aprendizaje o no
    aprobaré el curso”. Se puede representar simbólicamente de la siguiente manera:

     

    p
    Ù

    r

    Por
    otro lado con ayuda de estos operadores básicos se pueden formar los operadores
    compuestos Nand (combinación de los operadores Not y And), Nor (combina operadores
    Not y Or) y Xnor (resultado de Xor y Not).

     

     

     

     

     

    Proposiciones
    condicionales.

     

    Una
    proposición condicional, es aquella que está formada por dos proposiciones simples
    (o compuesta) p y q. La cual se indica de la siguiente manera:

     

    p
    ®
    q               
    Se lee “Si p entonces q”

     

    Ejemplo.

    El
    candidato del PRI dice “Si salgo electo presidente de la República 
    recibirán un 50% de aumento en su sueldo el próximo año”. Una declaración
    como esta se conoce como condicional. Su tabla de verdad es la siguiente:

     

    Sean

    p:
    Salió electo Presidente de la República.

    q:
    Recibirán un 50% de aumento en su sueldo el próximo año.

     

    De
    tal manera que el enunciado se puede expresar de las siguiente manera.

     

    p
    ®
    q

     

    Su
    tabla de verdad queda de la siguiente manera:

     

     

    p

    q

    p
    ®
    q

    1

    1

    1

    1

    0

    0

    0

    1

    1

    0

    0

    1

     

     

    La
    interpretación de los resultados de la tabla es la siguiente:

    Considere
    que se desea analizar si el candidato presidencial mintió con la afirmación
    del enunciado anterior. Cuando p=1; significa que salió electo, 
    q=1 y  recibieron un aumento
    de 50% en su sueldo, por lo tanto p
    ®
    q =1; significa que
    el candidato dijo la verdad en su campaña. Cuando p=1 y q=0 significa que 
    p ®
    q =0; el candidato
    mintió, ya que salió electo y no se incrementaron los salarios.
    Cuando p=0 y q=1 significa que aunque no salió electo hubo un aumento del 50%
    en su salario,
    que posiblemente fue ajeno al candidato presidencial y por lo tanto; tampoco
    mintió  de tal forma que  p ®
    q =1.

     

     

    Proposición
    bicondicional.

     

    Sean
    p y q dos proposiciones entonces se puede indicar la proposición bicondicinal
    de la siguiente manera:

     

    p
    «
    q               
    Se lee “p si solo si q”

     

    Esto
    significa que p es verdadera si y solo si q es también verdadera. O bien p es
    falsa si y solo si q también lo es. Ejemplo; el enunciado siguiente es una proposición
    bicondicional

     

    “Es
    buen estudiante, si y solo si; tiene promedio de diez”

     

    Donde:

    p:
    Es buen estudiante.

    q:
    Tiene promedio de diez.

     

    por
    lo tanto su tabla de verdad es.

     

     

    p

    q

    p
    «
    q

    1

    1

    1

    1

    0

    0

    0

    1

    0

    0

    0

    1

     

    La
    proposición condicional solamente es verdadera si tanto p como
    q son falsas o bien ambas verdaderas

     

     

     

     

     

     

     

     

    A
    partir de este momento, ya se está en condiciones de representar cualquier enunciado
    con conectores lógicos.

     

    Ejemplo.

    Sea
    el siguiente enunciado “Si  no pago
    la luz,
    entonces me cortarán la corriente eléctrica. Y 
    Si pago la luz,
    entonces me quedaré sin dinero
    o pediré prestado.  Y Si me quedo sin dinero
    y pido prestado, entonces no podré pagar la deuda, si solo si soy desorganizado”

     

    Donde:

    p:
    Pago la luz.

    q:
    Me cortarán la corriente eléctrica.

    r:
    Me quedaré sin dinero.

    s:
    Pediré prestado.

    t:
    Pagar la deuda.

    w:
    soy desorganizado.

     

    (p’
    ®
    q) Ù
    [p
    ®
    (rÚs)
    ]
    Ù
    [(rÙ
    s) ®
    t’ ]
    «
    w

     

    Tablas
    de verdad.

     

    En
    estos momentos ya se está en condiciones de elaborar cualquier tabla de verdad.
    A continuación se presenta un ejemplo para la proposición [(p®q)Ú
    (q’Ùr)

    (r®q).

     

     

     

    p

    q

    r

    q’

    p®q

    (q’Ùr)

    (p®q)Ú
    (q’Ùr)

    r®q

    [(p®q)Ú
    (q’Ùr)

    (r®q)

    0

    0

    0

    1

    1

    0

    1

    1

    1

    0

    0

    1

    1

    1

    1

    1

    0

    0

    0

    1

    0

    0

    1

    0

    1

    1

    1

    0

    1

    1

    0

    1

    0

    1

    1

    1

    1

    0

    0

    1

    0

    0

    0

    1

    0

    1

    0

    1

    1

    0

    1

    1

    0

    0

    1

    1

    0

    0

    1

    0

    1

    1

    1

    1

    1

    1

    0

    1

    0

    1

    1

    1

     

     

    El
    número de líneas de la tabla de verdad depende del número de variables
    de la expresión y se puede calcular por medio de la siguiente formula.

     

    No
    de líneas = 2n           
    Donde n = número de variables distintas.

     

    Es
    importante destacar a medida que se avanza en el contenido del material el alumno
    deberá participar activamente. Estos significa que cuando se esta definiendo
    proposiciones y características propias de ellas, además de los ejemplos que
    el maestro explique, el alumno deberá citar proposiciones diferentes, deberá
    entender el porque un enunciado no es válido. Cuando se ven conectores lógicos,
    los alumnos deberán saber emplearlos en la representación de proposiciones más
    complejas. Pero algo muy importante, es que los ejemplo que el maestro y los
    alumnos encuentren en la clase, deben ser de interés para el estudiante. Cuando
    se ven tablas de verdad el alumno deberá saber perfectamente bien el porque
    de cada uno de los resultados. En pocas palabras el conocimiento
    deberá ser significativo.

     

     

    Tautología
    y contradicción.

     

    Tautología,
    es aquella proposición (compuesta) que es cierta para todos los
    valores de verdad  de sus variables.
    Un ejemplo típico es la contrapositiva cuya tabla de verdad se indica a continuación.

     

     

    p

    q

    p’

    q’

    p®q

    q’®p’

    (p®q)«(q’®p’)

    0

    0

    1

    1

    1

    1

    1

    0

    1

    1

    0

    1

    1

    1

    1

    0

    0

    1

    0

    0

    1

    1

    1

    0

    0

    1

    1

    1

     

    Note
    que en las tautologías para todos los valores
    de verdad el resultado de la proposición es siempre 1. Las tautologías son muy
    importantes en lógica matemática ya que se consideran leyes
    en las cuales nos podemos apoyar para realizar demostraciones.

     

    A
    continuación me permito citar una lista de las tautologías más conocidas y reglas
    de inferencia de mayor uso en las demostraciones formales que obviamente el
    autor no consideró..

     

     

     

               
    1.- Doble negación.

                           
    a).       
    p''Ûp

               

               
    2.- Leyes conmutativas.

                           
    a).       
    (pÚq)Û(qÚp)

                           
    b).       
    (pÙq)Û(qÙp)

                           
    c).       
    (p«q)Û(q«p)

     

               
    3.- Leyes asociativas.

                           
    a).       
    [(pÚq)Úr]Û[pÚ(qÚr)]

                           
    b.        
    [(pÙq)Ùr]Û[pÙ(qÙr)]

     

               
    4.- Leyes distributivas.

                           
    a).       
    [pÚ(qÙr)]Û[(pÚq)Ù(pÚr)]

                           
    b.        
    [pÙ(qÚr)]Û[(pÙq)Ú(pÙr)]

     

               
    5.- Leyes de idempotencia.

                           
    a).       
    (pÚp)Ûp

                           
    b).       
    (pÙp)Ûp

     

               
    6.- Leyes de Morgan

                           
    a).       
    (pÚq)'Û(p'Ùq')

                           
    b).       
    (pÙq)'Û(p'Úq')

                           
    c).       
    (pÚq)Û(p'Ùq')'

                           
    b).       
    (pÙq)Û(p'Úq')'

     

               
    7.- Contrapositiva.

                           
    a).       
    (p®q)Û(q'®p')

     

               
    8.- Implicación.

                           
    a).       
    (p®q)Û(p'Úq)

                           
    b).       
    (p®q)Û(pÙq')'

                           
    c).       
    (pÚq)Û(p'®q)

                           
    d).       
    (pÙq)Û(p®q')'

                           
    e).       
    [(p®r)Ù(q®r)]Û[(pÙq)®r]

                           
    f).        
    [(p®q)Ù(p®r)]Û[p®(qÙr)]

     

     

               
    9.- Equivalencia

                           
    a).       
    (p«q)Û[(p®q)Ù(q®p)]

     

               
    10.- Adición.

                           
    a).       
    pÞ(pÚq)

     

               
    11.- Simplificación.

                           
    a).       
    (pÙq)Þp

     

               
    12.- Absurdo

                           
    a).       
    (p®0)Þp'

     

     

               
    13.-
    Modus ponens.

                           
    a).       
    [pÙ(p®q)]Þq

     

               
    14.- Modus tollens.

                           
    a).       
    [(p®q)Ùq']Þp'

     

               
    15.-
    Transitividad del «

                           
    a).       
    [(p«q)Ù(q«r)]Þ(p«r)

     

               
    16.- Transitividad del ®

                           
    a).       
    [(p®q)Ù(q®r)]Þ(p®r)

     

               
    17.- Mas implicaciones lógicas.

                           
    a).       
    (p®q)Þ[(pÚr)®(qÚs)]

                           
    b).       
    (p®q)Þ[(pÙr)®(qÙs)]

                           
    c).       
    (p®q)Þ[(q®r)®(p®r)]

     

               
    18.- Dilemas constructivos.

                           
    a).       
    [(p®q)Ù(r®s)]Þ[(pÚr)®(qÚs)]

                           
    b).       
    [(p®q)Ù(r®s)]Þ[(pÙr)®(qÙs)]

     

     

     

    Contradicción
    es aquella proposición que siempre es falsa para todos los
    valores de verdad, una de las mas usadas y mas sencilla es pÙp’
    . Como lo muestra
    su correspondiente tabla de verdad.

     

     

    p

    p’

    pÙp’

    0

    1

    0

    1

    0

    0

     

     

    Si
    en el ejemplo anterior

    p:
    La puerta es verde.

     

     La proposición pÙp’
    equivale a decir que “La puerta es verde y la puerta no es verde”. Por lo tanto
    se esta contradiciendo o se dice que es una falacia.

     

    Una
    proposición compuesta cuyos resultados en sus deferentes líneas de la tabla
    de verdad, dan como resultado 1s y 0s se le llama contingente.

     

     

    Equivalencia
    lógica.

    Se
    dice que dos proposiciones son lógicamente equivalentes, o simplemente equivalentes. Si coinciden sus resultados para los mismo valores
    de verdad. Se indican como p º
    q.

     

    Considero
    que un buen ejemplo es el que se estableció para ilustrar la tautología en donde
    se puede observar que las columnas de (p®q) 
    y  (q’®p’)
    para los mismo valores de verdad, por lo tanto se puede establecer que (p®q) 
    º
    (q’®p’)

     

     

    Reglas
    de inferencia

     

    Los
    argumentos basados en tautologías representan métodos de razonamiento universalmente
    correctos. Su validez depende solamente de la forma de las proposiciones que
    intervienen y no de los valores de verdad de las variables que contienen. A
    esos argumentos se les llama reglas de
    inferencia.
    Las reglas de inferencia permiten relacionar dos o más tautologías
    o hipótesis en una demostración.

     

    Ejemplo
    1

    ¿Es
    valido el siguiente argumento?.

     

                  
    Si usted invierte en el mercado
    de valores, entonces se hará rico.

                  
    Si se hace usted rico, entonces será feliz.

                  
    ____________________________________________________

               
    Si
    usted invierte en el mercado
    de valores, entonces será feliz.

     

    Sea:

    p:
    Usted invierte en el mercado
    de valores.

    q:
    Se hará rico.

    r:
    Será feliz

     

    De
    tal manera que el enunciado anterior se puede representar con notación lógica
    de la siguiente manera:

     

                  
    p ®
    q

                  
    q ®
    r

                  
    ______

               

    p ®
    r

     

    Ejemplo
    2.

     

    ¿Es
    valido el siguiente argumento?.

     

                  
    Si bajan los impuestos,
    entonces se eleva el ingreso

                  
    El ingreso se eleva.

                  
    _________________________________________

               
    Los
    impuestos
    bajan

     

    Solución:

    Sea

    p:
    Los impuestos bajan.

    q:
    El ingreso se eleva.

     

                  
    p ®
    q

                  
    q

                  
    _____

               
    p

     

    El
    aplicar la regla de inferencia es lo que le cuesta más al alumno y se deberá
    poner mucha atención para que el alumno aprenda a aplicar dicha regla.

     

    En
    una demostración no solamente hay tautologías e hipótesis, también existen reglas
    de inferencia que permiten obtener nuevas líneas válidas, esta es la parte en
    donde la mayoría de alumnos tienen problemas y en donde no sabe que regla aplicar
    para resolver un determinado problema. A continuación se cita una lista de las
    principales reglas de inferencia que se pueden aplicar en una demostración.

     

     

    19.- 
         Adición                                                
    23.-      
    Conjunción

               
             
    p                                                                       
                       
    p

               
    _______                                                                       
           
    q

               
    pÚq                                                                           
    _________

                                                                                                   
     
    p Ùq

     

    20.-      
    Simplificación                                       
    24.- Modus pones

               
           
    p Ùq                                                        
          
    p

               
    ____________                                                  
          
    p®q

               
        
    p                                                              
    _________

                                                                                       
      
    q

     

    21.-
          Silogismo
    disyuntivo                              
    25.- Modus tollens

               
             
    pÚq                                                       
           
    p®q

               
             
    p’                                                           
           
    q’

               
       _________                                                    
       ___________

               
          
    q                                                
         
    p’

     

     

     

     

    22.-
    Silogismo hipotético

               
              
    p®q

               
              
    q®r

               
          ________

               
              
    p®r

     

     

    Métodos
    de demostración
    .

     

    Demostración
    por el método directo.

     

    Supóngase
    que p®q
    es una tautología, en donde p y q pueden ser proposiciones compuestas, en las
    que intervengan cualquier número de variables propositvas, se dice que q se
    desprende lógicamente de p. Supóngase una implicación de la forma.

     

    (p1
    Ù
    p2 Ù…….Ù
    pn) Þ
    q

     

    Es
    una tautología. Entonces está implicación es verdadera sin importar los valores
    de verdad de cualquiera de sus componentes. En este caso, se dice que q se desprende
    lógicamente de p1,p2,……,pn. Se escribe.

     

               
       p1

                           
       p2

                           
       .

                           
       .

                           
       .

                           
       pn

                           
       ___

                           

    q

     

    Realmente
    el camino que se debe seguir para llevar a cabo una demostración formal usando
    el método directo. Significa que sí se sabe que p1 es verdadera, p2 es verdadera,……
    y pn también es verdadera, entonces se sabe que q es verdadera.

     

    Prácticamente
    todos los teoremas matemáticos están compuestos por implicaciones de este tipo.

     

                                       
    (p1
    Ù
    p2 Ù…….Ù
    pn) Þ
    q

     

    Donde
    la pi son llamadas hipótesis o premisas, y q es llamada conclusión. “Demostrar
    el teorema”, es demostrar que la implicación es una tautología. Note que no
    estamos tratando de demostrar que q (la conclusión) es verdadera, sino solamente
    que q es verdadera si todas las pi son verdaderas.

     

    Toda
    demostración debe comenzar con las hipótesis, seguidas de las tautologías y
    reglas de inferencia necesarias, hasta llegar a la conclusión.

     

    A
    continuación se prueba un enunciado en donde se puede apreciar el uso tanto
    de las tautologías como de las reglas de inferencia.

     

               
    Sean

     

               
    p: Trabajo.

               
    q: Ahorro.

               
    r: Compraré una casa.

               
    s: Podré guardar el coche en mi casa.

               
     

    Analizar
    el siguiente argumento:

    "Si
    trabajo o ahorro,
    entonces compraré una casa. Si compro una casa, entonces podré guardar el coche
    en mi casa. Por consiguiente, si no puedo guardar el coche en mi casa, entonces
    no ahorro".

     

               
    El enunciado anterior se puede representar como:

     

               
    p Ú q ® r;         
    y          r ® s;   
    entonces          
    s' ® q'

     

               
    Equivale también a probar el siguiente teorema:

     

               
    [(p
    Ú
    q) ®
    r] Ù
    [r ®
    s] Þ
    [s' ®
    q']

     

               
    Como
    se trata de probar un teorema de la forma general:

     

               
    p1 Ù p2 Ù……Ù pn Þ q

     

               
    Se aplica el procedimiento general para demostración de enunciados válidos.
    A continuación se demuestra el teorema respaldando cada uno de sus pasos en
    tautologías o reglas de inferencia ya conocidas.

     

               
    1.-       
    (p Ù q) ® r                    
    Hipótesis

               
    2.-       
    r ® s                            
    Hipótesis

               
    3.-       
    q ® (q Ù p)                   
    Adición tautología 10

               
    4.-       
    q ® (p Ú q)                   
    3; ley
    conmutativa, regla 2

               
    5.-       
    q ® r                            
    4,1; silogismo hipotético, regla 22

               
    6.-       
    q ® s                           
    5,2; regla 22

               
    7.-       
    s' ® q'                          
    6; contrapositiva, regla 7.

     

               
    El enunciado es válido aunque la conclusión puede ser falsa o verdadera.

     

    Es
    recomendable numerar cada uno de los pasos. Se puede notar que las primeras
    líneas son hipótesis, la línea 3 es una tautología conocida y de la línea 4
    a 7 se obtuvieron aplicando reglas de inferencia. Se indica la regla de inferencia
    aplicada por medio del número de la derecha, y las líneas a las cuales se les
    aplicó dicha  regla de inferencia
    por medio de los números de la izquierda.

     El
    ejemplo anterior es una demostración sencilla, pero puede ser tan complicada
    como sea necesario y el método debe funcionar.

    Demostración
    por contradicción. 

    El
    procedimiento de la demostración por contradicción es semejante a la que se
    realizó por el método directo con la diferencia de que las líneas iniciales
    de dicha demostración no son únicamente las hipótesis, sino además se incluye
    en la demostración una línea con la negación de la conclusión. Por otro lado
    el objetivo
    de la demostración es llegar a una contradicción.

     

    La
    demostración del siguiente teorema por el método de contradicción es como se
    indica

     

    [p 
    ®
    (p Ù
    r) ]
    Ù
    [(q
    Ú
    s) ®
    t ]Ù
    (p Ú
    s) Þ
    t

     

    Demostración

     

               
    1.-       
    p  ® (p Ù r)                   
    Hipótesis

               
    2.-       
    (q Ú s) ® t                    
    Hipótesis

               
    3.-       
    p Ú s                           
    Hipótesis

               
    4.-       
    t’                                 
    Negación de la conclusión

               
    5.-       
    (qÚ
    s)’                         
    2,4; Modus tollens, regla 25

               
    6.-       
    q’ Ù s’                          
    5; Ley
    de Morgan, 6ª

               
    7.-       
    q’                                 
    6; Simplificación, regla 20

               
    8.-       
    s’ Ù q’                          
    6; Ley conmutativa, 2b

               
    9.-       
    s’                                 
    8; Simplificación, regla 20

               
    10.-      
    sÚ p                            
    3; Ley conmutativa, 2ª

               
    11.-      
    p                                 
    10,9; Silogismo disyuntivo, regla 21

               
    12.-      
    q Ù r                            
    11,1; Modus ponens, regla 24

               
    13.-      
    q                                 
    12; Simplificación, regla 29

               
    14.-      
    q Ù q’                           
    13,7; Conjunción, regla 23

               
    15.-      
    Contradicción.

     

    Note
    que juntamente con las premisas se debe incluir la negación de la conclusión.
    En este momento el alumno ya tiene los elementos para llevar a cabo demostraciones
    con el apoyo del maestro. Es conveniente plantear varios enunciados, para que
    el alumno los represente con simbología lógica en forma de teorema. Que ese
    mismo teorema lo represente con su tabla de verdad y haga la correspondiente
    demostración por los dos métodos antes mencionados
    La
    forma en que el aprende a aplicar reglas de inferencia es semejante a la manera
    en que deberá realizar una factorización o una aplicación de una fórmula en
    cálculo diferencial o integral o la formula que debe aplicar para resolver un
    problema en física. Lo que debe aprender es a relacionar los distintos conocimientos
    para poder
    llegar a la solución. Es importante mencionar que el camino que debe seguir
    el alumno no es el mismo que el maestro siguió sino uno distinto pero que ambos
    llegan al resultado.

     

     

    Conclusiones.

     

    La
    idea principal de este trabajo es que el alumno aprenda el concepto
    de proposición, la forma en que se pueden formar proposiciones compuestas usando
    los conectores lógicos, representar enunciados por medio de simbología lógica,
    conocer los conceptos de tautología, equivalencia lógica, regla de inferencia.
    Realizar demostraciones de teoremas por medio del método directo y contradicción.
    Pero con problemas que le sean familiares e interesantes. Se trata de que en
    cada uno de los subtemas participe proponiendo sus propios ejemplo y que sobre
    todo al final de la unidad él tenga la habilidad, confianza e iniciativa para
    inferir posibles soluciones.

     

    Todo
    enunciado puede ser planteado en términos de teoremas. Un teorema por lo general
    es resultado de un planteamiento de un problema, este planteamiento debe tener
    el siguiente formato.

     

    (p1
    Ù
    p2 Ù…….Ù
    pn) Þ
    q

     

    Como
    se establece  p1, p2 ,……,pn
    son hipótesis (o premisas) derivadas
    del mismo problema y que se consideran válidas. Pero además deberán conectarse
    con el operador  And (Ù),
    lo cual implica que p1 es cierta y (Ù)
    p2 es verdad y (Ù)……
    y pn también es cierta entonces (Þ)
    la conclusión (q) es cierta. Para realizar la demostración formal del teorema
    se deberá partir de las hipótesis, y después obtener una serie de pasos que
    también deben ser válidos, ya que son producto
    de reglas de inferencia. Sin embargo no solamente las hipótesis y reglas de
    inferencia pueden aparecer en una demostración formal, sino también tautologías
    conocidas. En el teorema anterior cada uno de los pasos p1, p2,…pn son escalones
    que deberán alcanzarse hasta llegar a la solución.

     

    Lo
    mismo ocurre con todo tipo de problemas que se nos presentan en la vida, antes
    de llegar a la solución debemos alcanzar ciertas metas (p1,p2,….pn) hasta
    llegar al objetivo o conclusión (q). Pero una vez que logramos el objetivo debemos
    plantearnos nuevos objetivos
    que nos permitirán superarnos.

     

    Dependiendo
    del área de interés al estudiante puede transportad dichos conocimientos, de
    tal manera que le auxilien para entender y resolver otro tipo de problemas.
    En el caso de computación cada línea de un programa
    se obtiene inconcientemente aplicando una regla de inferencia y por lo tanto
    cada instrucción tiene su orden en que debe de ir colocada, si se cambia esa
    línea seguramente el resultado ya no será igual. Pero hay tantas formas de resolver
    un problema por medio de un programa como alumnos distintos tenga un maestro.

     

     

    Una
    demostración formal equivale a relacionar esquemas para formar estructuras
    cognitivas. Sí el alumno sabe inferir soluciones lógicas, estará en condiciones
    de resolver todo tipo de problemas.

    Uno
    de los objetivos
    principales del constructivismo,
    es la construcción del conocimiento. El tema de “lógica matemática”, se presta
    para que el alumno pueda realizar los relacionamientos entre las distintas proposiciones,
    esto permite crear nuevas formas de resolver problemas en distintas ramas: matemáticas,
    física, química pero también en las ciencias
    sociales y por su puesto cualquier problema de la vida real. Porque cada
    vez que nos enfrentamos a un problema, manipulamos la información por medio
    de reglas de inferencia que aunque no estén escritas debemos respetar. Cada
    vez que realizamos una actividad empleamos la lógica para realizarla, quizá
    algunos realicen dicha actividad por caminos más corto, otros realizan recorridos
    más largos, pero al fin de cuentas
    lo que importa es llegar al resultado. Si se le da la confianza al alumno para
    que cree e innove, su estructura
    cognitiva seguramente va a crecer.

     

    Bibliografía.

     

    Libro

    Autor

    Editorial

    Estructuras
    de Matemáticas Discretas

    Bernard
    Kolman, Robert C. Bisby, Sharon Ross

    Prentice
    Hall

    Elements
    of Discrete Mathematics

    C.L.Liu

    Mc
    graw Hill

    Matemáticas
    Discreta y Combinatoria

    Ralph
    P. Grimaldi

    Addiso
    Wesley

    Matemáticas
    Discretas con aplicación a las ciencias de la computación

    Jean
    Paul Tremblay, Ram
    Manohar

    CECSA

    Matemáticas
    Discretas

    Kenneth
    A. Ross, Charles R.B. Wright

    Prentice
    Hall

    Matemática
    Discreta y Lógica

    Winfried
    Karl, Jean Paul Tremblay

    Prentice
    Hall

    Matemáticas
    Discretas

    Richard
    Johnsonbaugh

    Gpo.
    Editorial Iberoamerica

     

    Resumen:

    Trabajo
    que contiene los aspectos importantes en la lógica matemática, desde la definición
    de proposición, tipos de operadores lógicos, tautología, contradicción, proposiciones
    condicionales y bicondicionales, demostración formal.

     

    Palabras
    clave:

    Lógica
    matemática, proposición, tautología, contradicción, operadores lógicos, unión,
    intersección, complementación, proposición condicional, proposición bicondicional,
    teoremas, hipótesis, demostración formal.

     

    Trabajo
    enviado por:
    José Alfredo Jiménez Murillo.
    e-mail:
    ppalf[arroba]yahoo.com

    Ma.
    Aleida Hernández Yánez
    e-mail:
    aleidahy[arroba]yahoo.com

    Alumnos
    del Centro Interdisciplinario
    De Investigación y Docencia en
    Educación Técnica (CIIDET)
    Querétaro Qro. México.

     

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