Actualización del álgebra lineal

1. Resumen
3. El arreglo
4. El único sub-índice
   de un arreglo
5. El
   producto de dos arreglos
6. La
   inversa generalizada
7. Tipos de
   inversa generalizada
8. Desigualdad de F.
   Schur
9. Enunciado de
   Gershgorin
10. Bibliografía

RESUMEN

El Álgebra Lineal es la Rama de las Matemáticas que concierne al estudio de los
vectores,
espacios vectoriales, transformaciones lineales y sistemas de
ecuaciones
lineales. A pesar de que encasi todas las Universidades, en sus
ramas técnicas y
científicas se estudia el Álgebra Lineal, se
observa la ausencia del tratamiento de tópicos que hoy son
fundamentales. A pesar de que el Álgebra Lineal Moderna se
inició en el año 1843 con William Rowan Hamilton,
el creador de los cuaterniones, y en 1844 con el libro DIE
LINEARE AUSDEHNUNGSLEHRE de Hermann Grassmann, han surgido desde
esa época una serie de nuevos conceptos y enfoques, que no
se presentan ni se comentan en los llamados cursos modernos de
Álgebra Lineal. Por eso en este trabajo se
presentan algunos tópicos que se consideran básicos
dentro de un cursos de Álgebra Lineal moderna, esperando
contribuir con la divulgación de esos tópicos y
esperando se incluyan en dichos cursos.

1.-
INTRODUCCIÓN

Existe una gran cantidad de libros y
textos sobre el Álgebra Lineal, que omiten la
presentación de tópicos importantes que se han
desarrollado en dicha área y que tienen actualmente mucha
relevancia. Incluso en los cursos universitarios de
Álgebra Lineal esos tópicos ni se presentan y ni se
mencionan.

Entre esos tópicos podemos mencionar el
único subíndice de los arreglos, el Álgebra
Cracoviana, los Productos
Kronecker Directo e Inverso, el Álgebra de Arreglos, el
Producto
Khatri-Rao Completo y Reducido, el Producto Hadamard, la matriz inversa
generalizada, etc. Sólo exponen, por ejemplo, las matrices y su
álgebra, que es el Álgebra
Matricial, como si ésta fuera la única que
existiera en ese campo del Álgebra Lineal, asunto que
consideramos lamentable.

Así mismo cabe señalar el desprecio que se
hace sobre datos
históricos de los tópicos que se enseñan en
esos cursos o que contienen los libros y textos de Álgebra
Lineal; a manera de ejemplo, no mencionan que ya los Chinos
usaban los determinantes y matrices siglos antes de Cristo, para
resolver sistemas de ecuaciones lineales. Consideramos que la
información histórica debe ser parte
de la formación cultural del estudiante, además de
su formación Técnica.

2.- EL ARREGLO.-

Un arreglo es aquel que está conformado por
elementos A(i,j), en la cual la posición del elemento se
disponen en filas y columnas, con dos subíndices, donde la
"i" indica la fila y la "j" indica la columna.

Ejemplo :

Es decir que en el arreglo A el elemento A(3,2)
representa el elemento que está ubicado en la fila 3 y en
la columna 2.

3.- EL ÚNICO
SUB-ÍNDICE DE UN ARREGLO.-

Un arreglo con sub-índice doble puede ser
transformado en un arreglo con un sólo sub-índice,
de acuerdo a una secuencia previamente seleccionada.

Consideremos un arreglo rectangular de orden n x m ; es
decir que ese arreglo tiene "n" filas y "m" columnas :

Asumiendo, por ejemplo, el siguiente arreglo de 5 filas
y 3 columnas :

Se nos presentan varias alternativas para convertilo en
un arreglo de un solo sub-índice, como por ejemplo
:

Bastaría con desarrollar el algoritmo que
nos permita pasar de un arreglo de doble sub-índice a un
arreglo de un único sub-índice y
viceversa.

A manera de ejemplo se presenta el algoritmo para el
Tipo 1 y Tipo 2

TIPO 1 :

Único sub-índice h = ( i – 1 ) x
m + j

Dado el único sub-índice "h" se
determinan i,j usando lo siguiente :

h -1

i = E [ —— ] + 1

m

Donde E significa la parte entera del
cociente.

j = h – ( I – 1 ) x m

TIPO 2 :

Unico sub-índice : h = ( j – 1 ) x n +
1

Dado "h" se hallan i,j empleando lo siguiente
:

h – 1

j = E [ ——- ] + 1

n

siendo E la parte entera.

i = h – ( j – 1 )x n

En el desarrollo de
este trabajo se empleará el TIPO 2 cuando se exponga lo
relativo a la solución de ecuaciones normales usando el
álgebra cracoviana y el único sub-índice,
por las grandes ventajas computacionales que ofrece. En la
Universidad del
Zulia, Venezuela,
Facultad de Ingeniería, Escuela de
Ingeniería Geodésica se aplica el Álgebra
Cracoviana de manera cotidiana, ya que forma parte fundamental
del programa de
estudio y de aplicación rutinaria, lo cual no excluye al
Álgebra Matricial.