Introducción
El presente trabajo
está íntegramente orientado al análisis de secuencias cuya
expresión funcional corresponden a sumatorias finitas de
funciones
senoidales asincrónicas, distribuidas regularmente en los
reales.
Su origen es una investigación
algorítmica.
Como tantos hallazgos científicos, partió
de una intuición, combinada con una casualidad, evidente
en un pequeño campo de aplicación, pero cuya
generalización es el fruto de 3 años consecutivos
de labor.
Las funciones de esta forma tienen propiedades cuyo
estudio se reivindica novedoso en el presente trabajo, se
analizan las mismas y su relación con los conjuntos
generadores.
Se analizan también las relaciones internas de
los vectores
componentes para ciertas dimensiones, y las formas
canónica y compuesta de las matrices
asociadas a las funciones objeto de este estudio en
múltiples dimensiones.
A juicio del autor, las conclusiones aquí
vertidas son consideradas de utilidad para la
investigación de muchos fenómenos naturales
acotados de composición a – cíclica
compleja
2)
Notación
A mor de sencillez, se establece una notación
generalizada de términos y / o funciones cuya
aparición recurrente justifica la misma:
2.1) Sea:
A la que se llamará función
asincrónica suma (fa+), de orden
n.
Los expresiones k y C son constantes, es
decir, no varían en la evolución de la secuencia.
Para todos los casos:
2.2) Sea:
la matriz de
2n x 2n generada por la secuencia de fa+ de orden
n.
Se define pues una matriz asincrónica suma de
2n x 2n aquella cuyos vectores columna son generados por
la secuencia de la función asincrónica suma tal
como fue definida en 2.1.
Su forma general es:
Como puede apreciarse, a cierta secuencia
asincrónica suma de orden n se la distribuye –
columna a columna – en una matriz de 2n x 2n,
ordenadamente.
Ejemplo de matrices asincrónicas suma:
fa+ orden 1:
fa+ orden 2:
A los coeficientes 
que multiplican cada coseno en fa+ (los que
preceden a la función coseno) se los llamará
coeficientes multiplicadores, y a los
coeficientes 
que
están incluidos como argumento de cada función
coseno, se los llamará coeficientes
generadores. El vector n-dimensional cuyos
términos son los se denomina vector
multiplicador 
, el vector equidimensional cuyos términos son
se denomina
vector generador 
.
3) Funciones
Senoidales Asincrónicas
3.1) Planteamiento del problema
Como puede apreciarse, en general (con excepción
para n=1) fa+,es no
periódica, y su
‘irregularidad’ es
linealmente dependiente de su orden.
(Presuponemos que se cumplen <Co.1>, es
decir, las frecuencias k no son armónicas entre
sí)
La funcion es continua en todo su dominio de
definición (los reales) y acotada superior e
inferiormente.
Interesa considerar el siguiente problema:
Sea una secuencia numérica
originaria en x, acotada superior e
inferiormente, expresión discreta de una sumatoria de
ondas senoidales,
es decir, equiparable a una forma de fa+ de orden
n.
La cardinalidad de la secuencia es por lo menos el
cuadrado del doble del orden de fa+:
Por tanto, se tienen términos suficientes
como para conformar la matriz:
Definida en
2.2.
Se trata de hallar a partir de tal muestreo,
condiciones de los generadores y de ser posible, la
composición de los vectores y
, es decir descomponer en frecuencias y
multiplicadores asociados a las mismas esta
secuencia.
Se abordará de aquí en más
este problema. Se establecerán propiedades que
sucesivamente irán acotando el mismo.
La primera formulación corresponde a cierta
propiedad de
invariancia del volumen de una
n-caja en el espacio n- dimensional, cuyos vectores son las
columnas de una matriz asincrónica suma de orden
n.
En ese caso es posible acotar el producto de
los cosenos de los coeficientes generadores (expresados
como 
en los términos),
independientemente de los valores
del paso x, y de los coeficientes multiplicadores
asociados a cada coseno.
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