Una aproximación euclidiana a la rectificación de la circunferencia

Me propongo mostrar un método de
construcción geométrica, con
compás y regla no graduada de un solo borde y longitud
indefinida, que permite, al menos teóricamente, encontrar
una cota inferior a la rectificación de la circunferencia
con el error que se desee. Este error decrece con el aumento del
número de pasos constructivos y con la disminución
de la abertura de un ángulo central de la circunferencia,
cosas que suceden paralelamente.

El método se basa en una construcción
notable por su exactitud, sencillez y belleza, debida a la mente
del físico holandés Willebrord Snell Van Roijen
(1591 – 1626), quien firmaba sus trabajos con el nombre
latinizado de Snellius, por el que es más conocido.
(Snellius de Roijen)

El método consiste en tomar uno de los lados de
un ángulo central de una circunferencia y dibujar el
diámetro que se superpone a él. Luego se prolonga
el diámetro alejándolo del vértice del
ángulo en una medida igual al radio de la
circunferencia. Se traza un segmento de la tangente a la
circunferencia en el punto que corresponde a la
intersección del diámetro, del lado correspondiente
al arco del ángulo. Desde el extremo más alejado a
la circunferencia se traza un segmento de recta que pase por el
punto de intersección del otro lado del ángulo con
la circunferencia, hasta llegar a cortar la tangente. El segmento
de la tangente que está entre este corte y el
diámetro es la aproximación de Snell al arco del
ángulo. Para un ángulo de 90º sexagesimales,
equivale a un número igual a 3, pero la precisión crece a medida
que el ángulo se achica. Cuando éste tiende a cero,
la aproximación difiere del valor
verdadero del arco en un infinitésimo de quinto orden.
Para un ángulo de 1º 30’ da seis decimales
exactos para el valor de . Las funciones
trigonométricas de un ángulo de 1º
30’ son algebraicas explícitas y lo mismo todas las
mediaciones sucesivas de este ángulo y cualquier
ángulo que resulte ser múltiplo del mismo.
Involucran solamente raíces cuadradas, por lo que son
construibles con regla y compás.La aproximación de
Snell, para un ángulo cualquiera, vale: . Si elegimos un ángulo que divida un
número entero de veces la circunferencia, podemos
aproximar la rectificación de la circunferencia
multiplicando la aproximación de Snell por la cantidad de
veces que el ángulo en cuestión cabe en ella.Para
hacer las cosas "a la antigua" tomaremos ángulos en grados
sexagesimales y procederemos a "mediar" sucesivamente a la
circunferencia, o sea, a dividir sucesivamente por dos cada
ángulo.

La fórmula para la aproximación de la
rectificación de la circunferencia es:

Para calcular los valores de
coseno y seno de la mitad de un ángulo usaremos,
respectivamente:.Partimos de cos 45º = sen 45º = cos 22º 30’ =

…………………..

cos 0º 21’ 5,625" =

sen 0º 21’ 5,625" =

Luego, para , la aproximación a la rectificación de la
circunferencia es:

Mientras que …, tenemos diez decimales exactos para la
aproximación, en cambio, la
aproximación de Ramanuján tiene ocho decimales
exactos . Pero
Ramanuján logró una construcción más
rápida y elegante.