Curiosidad científica acerca de como ajustar la duración real de un año a la vida civil
Introducción.
Es bien conocido, de la mayoría de las personas,
que cada cuatro años se añade un día a la
duración de este y se le denomina bisiesto. Es
también divulgado, la causa por la que se necesita
considerar tal año; aunque no así de bien, se sabe
que una solución adecuada de este problema requiere,
más que de simples cálculos aritméticos, el
auxilio de una herramienta matemática, que permita escoger una mejor
alternación para los años de 366 días; pues
no es el del cálculo
simple de considerar que un año dura 6 horas más y
por tanto al cuarto, se añade un día.
La inexactitud o la falta de precisión en la
solución de este problema, traería como
consecuencias, entre otras, desplazamiento en las estaciones del
año y por tanto en la vida de los hombres.
La cuestión concreta consiste, en que el
año real dura 365dias, 5 horas, 48 minutos y 46 segundos,
que resulta muy incómodo para la vida civil; pero
considerar una aproximación de 365 días y 6 horas,
generaría un retraso cada año de 11 minutos y 14
segundos, que en el tiempo de 400
años, alcanzaría algo más de 3
días.
La solución dada en estos términos
ocurrió en la época de Julio Cesar, (Siglo I
a.n.e.) que encomendó esta tarea a Sosígenes de
Alejandría, acumulándose hasta 1582, en que se hizo
una nueva reforma, un retrazo de 10 días, que fue
corregido el 4 de Octubre de 1582.
Esta nueva reforma, fue dada a conocer por el Papa
Gregorius XIII, y consistía en adicionar la regla
siguiente: Si el número del año finaliza en dos
ceros y el número de las centenas no se divide por 4,
entonces este año resulta ordinario. (De 365
días).
La comisión encargada por Gregorius, no
conocía con la precisión actual la duración
real del año, utilizaban unas tablas astronómicas
en las que se excedía en 26 segundos, de los datos
auténticos. No obstante su precisión era
satisfactoria. La solución precisa a este problema, se
ofrece utilizando las fracciones decimales introducidas en
Europa en el
siglo XVI por Simón Stevin, sabio Belga y las fracciones
continuas.
Para exponer brevemente, una solución
matemática de este problema, detengámonos en el
siguiente dato. El tiempo de duración real del año
excede los 365 días solo en 5 horas, 48 minutos y 46
segundos, que representa casi la sexta parte de un día.
Averigüemos con mayor precisión el valor de la
fracción decimal dada; para esto calculemos el tiempo en
segundos de este período y dividámoslo por el
tiempo en segundos de un día. Esta simple operación
nos brinda un resultado igual a 0,2421990740741; por tanto el
año real dura 365,2421990740741 que es muy incomodo para
usarlo en la vida civil.
Pretendemos abordar, como es posible hacer una selección
adecuada de alternancia de los años bisiestos y
ordinarios, de forma que la duración media del año
sea suficientemente próxima a la real, utilizando las
fracciones continuas. Esta solución es más actual,
pues problemas
similares fueron resueltos desde la antigüedad (Por ejemplo
el cálculo aproximado de p por
Arquímedes) con suficiente
precisión.
Desarrollo:
Convengamos en llamar a la expresión
donde a1, a2
……….as son números naturales no nulos y
a0 natural, fracción continua. Los
números a0, a1,…….,as
son sus elementos.
Para el cálculo de una fracción continua
utilicemos el algoritmo de
la división Euclidiana en los naturales. Dada la
fracción decimal p/q, escribamos
p=q*a0 +r0
de donde dividiendo por "q" obtenemos
=
a0 +
si aplicamos este razonamiento a q/r0
obtenemos
=
a1 +
sustituyendo q/r0 en p/q queda
Teniendo en cuenta que los ri son los restos
sucesivos de la división de Euclides, podemos asegurar que
estos decrecen a cero, por tanto el proceso es
finito. Si continuamos este procedimiento,
llegamos a una expresión similar a (I). Hagamos algunas
precisiones acerca de las propiedades más importantes al
menos para nuestro fin.
Una fracción continua puede interrumpirse en el
n-ésimo elemento y desechar los restantes a partir del
(n+1)-ésimo. El valor obtenido se denomina n-ésima
fracción congruente y la denotaremos 
.
Mostremos un ejemplo con el número
365,2421990740741 que representa la duración aproximada
del año real, considerémoslo solo con 6 lugares
decimales.
Este se representa como fracción
decimal,
365242199 .
1000000
Siguiendo el esquema de Euclides esta puede escribirse
como,
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