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Modelamiento industrial




Partes: 1, 2

  1. Máximos y mínimos de funciones de varias variables
  2. Método del Gradiente o descenso rápido
  3. Solución de un problema de Programación Cuadrática con SOLVER
  4. Comandos del MatLab para Máximos y Mínimos

Modelamiento industrial mediante programación cuadrñatica aplicando Excel-Solver incluyendo: Multiplicadores de Lagrange, Máximos y mínimos de funciones de varias variables y Método del Gradiente o descenso rápido.

1. Máximos y mínimos de funciones de varias variables

Ejemplos

Hallar los puntos críticos, los máximos, mínimos y puntos de silla de la función:

Como la función es un polinomio en dos variables, tiene derivadas parciales continuas de todos los órdenes en cada punto de . En consecuencia los puntos críticos son únicamente soluciones de la ecuación , esto es, del sistema no lineal:

[] [ ]

De aquí se tienen 4 sistemas de ecuaciones

()

Resolviendo cada sistema se obtienen los puntos críticos

CÁLCULO DE LA SOLUCIÓN CON MATLAB

>> ecua = '2*x*y+y^3-y=0, x^2+3*x*y^2-x=0'

ecua =

2*x*y+y^3-y=0, x^2+3*x*y^2-x=0

>> [x,y] = solve(ecua)

x =

0

0

0

1

2/5

2/5

y =

0

1

-1

0

1/5*5^(1/2)

-1/5*5^(1/2)

Análisis en los puntos críticos ayudado por el MatLab

1) punto critico p5

x=2/5; y=5^(0.5)/5;

Componentes de la Matriz Hessiana

a=2*y;

b=2*x+3*y^2-1;

c=6*x*y;

Menores principales

» H1=a

H1 = 0.8944

» H2=det([a b;b c])

H2 = 0.8000

El punto critico corresponde a un mínimo relativo.

f=x^(2)*y+x*y^(3)-x*y;

f = -0.0716 =mínimo relativo

2) punto crítico p6

x=2/5;

y= - 5^(0.5)/5;

a=2*y; b=2*x+3*y^2-1;c=6*x*y;

» H1=a

H1 = -0.8944

» H2=det([a b;b c])

H2 = 0.8000

El punto critico corresponde a un máximo relativo

» f=x^(2)*y+x*y^(3)-x*y

f = 0.0716 = máximo relativo

3) punto crítico p4

x=0;

y=-1;

a=2*y; b=2*x+3*y^2-1;c=6*x*y;

»H1=a

H1 = -2

» H2=det([a b;b c])

H2 = -4

El punto crítico corresponde a un Punto de Silla

» f=x^(2)*y+x*y^(3)-x*y

f = 0

(0,-1,0)= punto de silla


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