Visualización de Ondas en 2D y el fenómeno de interferencia (página 2)

Partes: 1, 2

III. Interferencia
destructiva y constructiva

En la mecánica ondulatoria la interferencia es lo
que resulta de la superposición de dos o mas ondas, resultando
en la creación de un nuevo patrón de
ondas.

Aunque la acepción mas usual para interferencia
se refiere a la superposición de dos o mas ondas de
frecuencia idéntica o similares principio de
superposición de ondas establece que la magnitud del
desplazamiento

ondulatorio en cualquier punto del medio es igual a la
suma de los desplazamientos en ese mismo punto de todas las ondas
presentes. Esto es consecuencia de que la Ecuación de onda
es lineal, y por tanto si existen dos o mas soluciones,
cualquier combinación lineal de ellas será
también solución.

Codigo(3)

Imagen(3)

La visualización del fenómeno de
interferencia se encuentra en la imagen (3)
superior. El mismo efecto puede conseguirse dibujando una hoja de
líneas negras y blancas horizontalmente y hacer otra hoja
con igual patrón en forma vertical en Acetato, usando un
proyector de luz sobreponga
las hojas y observe el patrón que se forma.

Problemas

Usando el código(3) genera una interferencia entre
una onda con componente vertical y componente horizontal,
¿que sucede cuando la frecuencia de la onda vertical y
horizontal son aproximadamente iguales?
Usa el código(1) y genera ondas sin(x) de
diferente frecuencia f, ¿que sucede a frecuencias
altas por encima del numero de segmentaciones? ¿Que
sucede cuando la frecuencia es igual a 255 Hz? El numero de
segmentos es 1/(n-1) en donde n es la frecuencia
de adquisición fn = 255 Hz
La función
f(x)=ln(ax) en donde a es un escalar, edita el
código(2) y agrega la constante a
¿Qué sucede con la intensidad si a un
numero grande? ¿Qué sucede con la intensidad si
a es un numero pequeño?

IV. Ondas
Viajeras

Considera un pulso en una dimensión (1D) de forma
arbitraria descrito por Yo =f(Xo),
fijo en un sistema de
coordenadas Oo(Xo, Yo ),
ahora piensa que el pulso se mueve en dirección el eje x a velocidad
constante v, se asume que el pulso mantiene su forma
original. Cualquier punto P en el nuevo sistema de
coordenadas O(x, y) puede localizarse con la
relación x0 = x ± vt

(1)

La ecuación (1) muestra que con
una substitución en y=f(x’) por f(x ±
vt) genera una onda que se propaga a velocidad constante,
esto se puede comprobar sustituyendo la solución en la
ecuación de onda. El código a continuación
hecho en software Matematica y
muestra una onda viajera sin(x ± vt)

Código(4)

Imagen(4)

El siguiente código Grafica la animación
de una Onda en (3D) propagándose a una velocidad
constantante v

Código(5)

Imagen(5)

Problemas

Edita el código(4), Cambia el valor de
la velocidad v por v=-1, ¿En que
dirección del eje x se mueve la onda?
a) De las funciones superiores cuales son ondas y
cuales no
b) Si es una onda, menciona la dirección y
magnitud de la velocidad
Considera las siguientes funciones,
donde la distancia se mide en metros y el tiempo en
segundos
La siguiente expresión muestra una onda
viajera, determine la velocidad (magnitud y
dirección),donde la distancia es en metros
Un pulso de la forma

se forma al perturbar una cuerda, en donde a y
b son constantes y x es en centímetros.
Dibuja el pulso, Escribe la ecuación que representa al
pulso moviéndose a una velocidad de 10 cm/s en la
dirección negativa del eje x

V. Ecuación de
onda en 2D

La ecuación de onda en 2D en coordenadas
cartesianas se muestra a continuación en donde depende de la
posición y el tiempo

(5.1)

Nuestro objetivo es
resolver la ecuación de onda en coordenadas cartesianas
(1) para esto proponemos el método de
separación de variables

(5.2)

Sustituyendo la solución propuesta (5.2) en la
ecuación (5.1) desarrollamos y intentamos de separar las
variables
independientes

Dividiendo ambos lados por

Una función de x es igualada a una función
de y, t, pero x, y, t son variables
independientes. Esta independencia
significa que el comportamiento
de x no está determinado por las otras dos variables. Por
tanto igualamos ambos lados a una constante.

Observa que al introducir la constante tenemos 2
sistemas de
ecuaciones
diferenciales la ecuación (1) solo depende de x y por
tanto es ordinaria, la ecuación (2) solo depende de x e y
por tanto intentamos de separar las variables de nuevo para
obtener un sistema de ecuaciones
diferenciales ordinarias

Separando la ecuación (2) insertamos una nueva
constante y se obtiene (5.3)

(5.3)

En donde y ,
resolvemos las tres de ecuaciones diferenciales ordinarias en
(5.3) imponiendo las condiciones de frontera para
la siguiente geometría

Imagen(6)

Las condiciones de frontera impuestas para esto
problema, la funcion debe ser cero en las orillas de la membrana, y una amplitud
A en t = 0. Las cuales se describen matemáticamente como
sigue

(5.4)

Resolviendo las ecuaciones diferenciales en (5.3) con
las condiciones de frontera (5.4) se encuentra la siguiente
solución

(5.5)

Usando matemática se crea una
animación de la ecuación (5.5)

Código(6)

Imagen(7)

Problemas

Cambia los valores
de a ,b,k y n en el codigo (5) y
observa que hay varias combinaciones corresponder al mismo de
w. es decir varias vibraciones de la misma frecuencia pero
diferentes lineas nodales curvas de puntos en la membrana que
no se mueven