La enseñanza de las operaciones aritméticas: Aspectos fundamentales a priorizar (página 2)

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Analizando la
enseñanza: una propuesta
metodológica

Siguiendo el esquema planteado anteriormente pensar la
enseñanza de la aritmética desde el sentido de las
operaciones,
supone tres niveles de análisis: el del concepto como
objeto, el del problema como estrategia de
aprendizaje y el de la articulación de la
comprensión del problema y la elección del procedimiento
adecuado para su resolución.

Teoría de los Campos
Conceptuales

Esta teoría,
cuyo principal expositor es Gérard Vergnaud,
servirá de guía para desarrollar los niveles de
análisis planteados. Se analizarán los siguientes
elementos que componen la TCC: Conceptos; Esquemas;
Invariantes Operatorias; Campos Conceptuales;
Situaciones.

Conceptos

Analicemos la definición de concepto
(C) según Vergnaud:

Una terna de conjuntos,
C = (S, I, R) donde:

S es un conjunto de situaciones que dan sentido
al concepto;

I es un conjunto de invariantes (objetos,
propiedades y relaciones) sobre las cuales reposa la
operacionalidad del concepto, o un conjunto de invariantes que
pueden ser reconocidos y usados por los sujetos para analizar y
dominar las situaciones del primer conjunto;

R es un conjunto de representaciones
simbólicas (lenguaje
natural, gráficos y diagramas,
sentencias formales, etc.) que pueden ser usadas para indicar y
representar esos invariantes y, consecuentemente, representar
las situaciones y los procedimientos
para lidiar con ellas.

Esquemas

Para Vergnaud el concepto de esquema "(…) refiere
a la organización invariante de la conducta, para
una clase dada de
situaciones. Es en los esquemas donde se debe investigar los
elementos cognitivos que le permiten a la acción
del sujeto ser operatoria.", es decir, dar una respuesta eficaz a
un conjunto de problemas
determinado. Cuando la respuesta no es eficaz, surge la necesidad
de cambiar, sustituyendo o modificando el esquema
(asimilación y acomodación).

Es de destacar que los errores remiten, en general, a
conceptualizaciones insuficientes y/o equivocadas.

Invariantes operatorias

Cuando un individuo
puede aplicar un esquema referido a una situación a otras
situaciones de la misma clase, ha descubierto una invariante. Es
decir, la generalización del esquema en
cuestión.

El concepto de invariante operatorio reúne
a los conocimientos contenidos en los esquemas organizados en
conceptos y teoremas en acto

Campos Conceptuales

Tal como se viene sosteniendo desde las más
diversas corrientes de pensamiento,
los conceptos no se encuentran aislados unos de otros. Lo
novedoso del planteo de Vergnaud al definir los campos
conceptuales, es que organiza los conceptos según su
operatividad, relacionando las situaciones, los conceptos y los
teoremas en acción.

Un campo conceptual sería pues "un conjunto de
situaciones, lo que permite generar clasificaciones que se basan
en el análisis de de tareas cognitivas y de los
procedimientos que pueden ponerse en juego en cada
una de ellas".

Al analizar la enseñanza de las operaciones
aritméticas Vergnaud define dos campos conceptuales,
el de las estructuras aditivas y el de las estructuras
multiplicativas.

Cada uno de estos campos está constituido por el
conjunto de situaciones – en el sentido de tareas – que demandan
una adición, una sustracción o una
combinación de tales operaciones, en el primer caso; y una
multiplicación, una división o una
combinación de tales operaciones, en el
segundo.

Al respecto se recomienda profundizar en variada
bibliografía, entre
otros Mónica Pena (2002), Peltier 2003 y el propio autor
(Vergnaud, 1997).

Situaciones

Primeramente cabe señalar que el Vergnaud
conceptualiza con el mismo nombre que Brousseau hechos de
diferente naturaleza,
por lo cual no debe confundirse las situaciones didácticas
sobre las que teoriza este último, con el instrumento que
integra la TCC.

En el marco de esta teoría, las situaciones son
instrumentos de análisis de las dificultades conceptuales,
en tanto enfrenta a los sujetos a tareas/problemas cuya
resolución supone poner en juego determinados esquemas.
Básicamente señalan la relación entre los
datos
conocidos y no conocidos.

Existe una gran variedad de situaciones en un campo
conceptual que dejan ver qué conocimientos han sido
adquiridos y dominados por el sujeto. A esto se le denomina
historia personal del
aprendizaje.

El papel del lenguaje
y las representaciones simbólicas (Significados y
Significantes)

"Son los sistemas que una
situación o un significante evoca en el individuo lo que
constituye el sentido de la situación."

Una situación, en tal como fue definida, exige al
niño en primer término analizar y comprender el
enunciado del problema, lo que supone una operación
lingüística que pone en juego las
representaciones simbólicas de los sujetos.

Desde hace varios años en el campo de la didáctica se ha asumido el aporte
cognitivista de la estructuración del pensamiento en
esquemas y, para su desarrollo de
representaciones.

Frente a un problema, el niño debe desarrollar
alguna clase de representación para su resolución,
esto nos habla de dos procesos que
si bien están estrechamente ligados, son diferentes. El
primero permite pensar la situación y el segundo pasar a
la acción y así arribar a la resolución
final.

Estas representaciones pueden agruparse en dos grandes
categorías según su nivel de abstracción:
las modalidades icónicas, figurativas o
analógicas (aquellas que sostienen una base concreta,
una relación directa con el objeto, como diagramas,
puntos, colecciones, etc.) y las simbólicas
(aquellas que reparan en las relaciones entre los objetos, son
más abstractas y ricas en el plano operativo, y permiten
identificar con mayor claridad los objetos matemáticos.
Aquí se encuentran las operaciones
aritméticas, que constituyen una modalidad experta y
permiten dar respuesta más eficiente a una gran diversidad
de situaciones, y supone un avance desde las modalidades
más concretas, una construcción de lo que llamamos
sentido).

En suma, el análisis de un problema (y con
él de una clase de problemas), como se dijo, supone el
desarrollo de esquemas. Éstos están asociados a
modelos de representación lingüística
que permiten 1- designar elementos y relaciones, 2- anticipar los
efectos de las relaciones, 3- pensar, razonar e inferir, 4-
organizar la acción, y 5- planificar y
controlar.

Se reconoce pues, una triple función
del lenguaje: comunicar, representar y auxiliar al
pensamiento.

Relevancia didáctica de la Teoría de los Campos
Conceptuales

Lo interesante de pensar didácticamente desde
esta teoría es que permite visualizar el aprendizaje de
las operaciones como un proceso largo
y lento en el cual el sujeto construye los conceptos a partir de
las diferentes facetas analizadas en cada situación
presentada. Reconociendo así que la intervención
docente no se agota en sí misma, ni en un nivel, sino que
contribuye a complejizar este proceso.

La Teoría de los Campos Conceptuales cobra
relevancia en tanto al trabajar desde la resolución de
problemas, como se verá, se puede desarrollar unas
secuencias de enseñanza que permitan abordar los
diferentes aspectos de los conceptos matemáticos. En
particular, el abordaje facetas relacionadas a las operaciones
artiméticas.

A su vez se estimula el desarrollo de respuestas que en
tanto invariantes, sirven para resolver problemas dentro de un
mismo campo conceptual. Es decir, en tanto el niño logre
abstraer de cada situación particular la regularidad,
podrá luego utilizar la respuesta dada como un esquema
ante situaciones del mismo tipo (lo que denomináramos
clases de problemas).

Los problemas:
eje de la propuesta didáctica

Actualmente se sostiene casi por unanimidad que el
problema debe ser utilizado como elemento gestor del aprendizaje, sin
desmedro de los otros usos que se le pueden dar a dicho recurso
(p. ej. evaluación, utilización de
conocimientos ya adquiridos en otros campos). Quizás lo
más importante sea tener en cuenta que el problema debe
tener un fuerte componente de obstáculo, siempre que el
alumno se vea enfrentado a una situación que no pueda
resolver mediante la simple aplicación de un esquema
conocido (lo cual constituiría un ejercicio), se
estará frente a un "problema".

El problema por ser una herramienta didáctica que
permite no sólo la reproducción de conocimientos sino
también la producción de los mismos, ejerce una
acción liberadora, por lo cual es a su vez una buena
opción teleológica.

¿Qué entendemos por
problema?

Siguiendo a J. Brun, "Un problema generalmente se define
como una situación inicial con un objetivo por
alcanzar, que le pide al sujeto realizar una serie de acciones o de
operaciones para alcanzar ese objetivo. Sólo hay un
problema en la relación sujeto–situación, y
sólo cuando la situación no está disponible
de golpe pero es posible construirla.".

De esta definición vale la pena resaltar, tal
como lo hace Vergnaud dos aspectos. En primer lugar, un problema
para un individuo lo es sí y sólo sí tiene
los conceptos que le permiten abordarlo pero además si la
resolución supone la reorganización y síntesis
de los mismos.

En segundo lugar que constituye una relación
dialéctica entre la conceptualización y la
resolución, es decir, al enfrentarse a un problema se
está ante una clase de problemas. En el proceso se
van desarrollando esquemas eficientes para la resolución
de dicha clase de problemas. Cuando ya se construyeron los
esquemas para su resolución estas situaciones dejan de ser
problemas, y pasan a formar parte del repertorio que permite
abordar nuevas situaciones, nuevas clases de
problemas.

Definiendo las operaciones
aritméticas

La Aritmética es la rama de las matemáticas que estudia ciertas
operaciones de los números y sus propiedades
elementales. Etimológicamente proviene del griego
arithmos y techne que quieren decir números
y habilidad, respectivamente.

Se pueden definir las operaciones
aritméticas como un conjunto de acciones por las
cuales se transforman numéricamente unas cantidades en
otras; una función dentro de un campo numérico, que
relaciona todos los pares ordenados con su resultado.

Así una operación es la
acción de un operador sobre una selección
de elementos (numéricos) de un conjunto. El operador
toma los elementos iniciales del conjunto de partida y los
relaciona con otro u otros elementos de un conjunto final que
puede ser de la misma naturaleza o no.

En la escuela se
trabaja básicamente con el campo de los números
enteros, y consecuentemente se deberá investigar
cuál es la definición de cada operación
aritmética y sus propiedades en dicho campo. Ello
aportará conocimientos que permitan elaborar las
secuencias didácticas pertinentes según el aspecto
de las operaciones que se desee enseñar

A continuación se intentará relacionar
estos conceptos con la propuesta didáctica desarrollada:
la TCC

Aplicando la Teoría de los Campos
Conceptuales a la enseñanza de las Operaciones
Aritméticas

Conocer la definición y las propiedades de las
operaciones aritméticas, cómo resolverlas,
relacionando correctamente los elementos iniciales con el
resultado; es muy necesario mas no suficiente.

Como se ha visto, la conceptualización de las
operaciones aritméticas tiene mucho que ver con el sentido
de que cobran en cada situación. Siendo este el
núcleo duro de la propuesta.

En este marco es necesario tener en cuenta a la hora de
planificar la intervención docente la necesidad de
presentar secuenciadamente diversas situaciones que involucren
los distintos sentidos de las operaciones.

Se propone organizar el campo conceptual en dos estructuras
que ya fueron mencionadas: el campo de las estructuras
aditivas y el de las estructuras multiplicativas. Tal
como sugiere Peltier "Desde un punto de vista práctico, es
muy compleja la tarea delegada al maestro, que consiste en
seleccionar o construir clases de problemas que permitan a los
alumnos construir un concepto tal como el de una operación
aritmética (…) el parámetro fundamental
es la estructura del
problema. El análisis de esta estructura, la
identificación de la subcategoría dentro de la
estructura dada, que es función del elemento que se busca,
permite ubicar con precisión los conocimientos en juego,
entrever a priori los procedimientos y, en consecuencia, preparar
las ayudas que puedan ser necesarias." (el subrayado no es del
original).

A continuación se enumeran las diferentes
categorías de cada estructura. En el trabajo de
Pena (2002) se desarrollan y ejemplifican de manera más
exhaustiva.

Estructuras aditivas

Según el tipo de relación entre los
elementos se pueden reconocer diferentes tipos de problemas
aditivos.

Vergnaud propone la siguiente clasificación, que
como se dijo, no se profundizará en ella por lo basta, se
deja al lector la tarea:

* Composición de dos medidas: son
problemas de reunión o fraccionamiento de colecciones o
magnitudes medibles.

* Relación de transformación de
estados: se puede identificar un estado
inicial y una transformación (positiva o negativa) que
opera sobre este estado para llegar a un estado
final.

* Relación de comparación
aditiva: dos estados relativos a dos magnitudes o
localizables se comparan de manera aditiva, donde una de las
magnitudes desempeña el papel de referente de la
otra

* Las composiciones de transformaciones: dos
transformaciones o más se aplican sucesivamente a
estados desconocidos. Que no aparece en el currículo escolar, al igual que las
siguientes:

* Las composiciones de relaciones

* Las composiciones de
transformaciones

Estructuras multiplicativas

En este campo se distinguen:

* La comparación múltiple de
magnitudes: una única magnitud y dos estados
relativos a esa magnitud son objeto de la comparación
multiplicativa: uno representa el papel de referente del
otro.

* La proporcionalidad simple: pueden
representarse mediante tablas numéricas y están
asociadas a una función lineal o a una regla de
tres.

* La proporcionalidad simple compuesta:
intervienen tres magnitudes, se definen dos relaciones de
proporcionalidad simple y la situación conduce a
componer estas dos relaciones de proporcionalidad.

* La proporcionalidad doble o múltiple:
intervienen dos dominios de magnitudes o más que son
independientes, y tales que una relación asocia a una
pareja de medidas de cada magnitud una tercera magnitud,
llamada magnitud producto.

Aspectos a tener en cuenta para la enseñanza
de las Operaciones

Luego de haber explicitado el marco conceptual y
referencial didáctico, se presentarán diversos
aspectos que deben ser tenidos en cuenta para el abordaje
didáctico.

La problematización como estrategia
didáctica orientadora.
La secuenciación de las propuestas, de modo de
abordar los distintos sentidos de cada una de las operaciones
en los dos campos conceptuales.
Tener en cuenta el orden jerárquico de los
conocimientos, es decir, cuales son los conceptos
estructurantes necesarios para lograr un nuevo conocimiento.
Tener en cuenta que las operaciones deben entenderse
como una de las posibles formas de calcular.
La necesidad de establecer acuerdos
institucionales.

La relevancia de los dos primeros aspectos se ha
intentado desarrollar a lo largo de todo lo previo. Por lo cual
sólo se desarrollarán los restantes a
continuación:

Tener en cuenta el orden jerárquico de los
conocimientos, es decir, cuales son los conceptos estructurantes
necesarios para lograr un nuevo conocimiento

Si bien el currículo organiza este contenido de
una manera explícita, existen otras posibles
secuenciaciones que tienen en cuenta la naturaleza del objeto,
las relaciones internas y entre objetos, y que por lo tanto
pueden ser exploradas y fundamentadas. Teniendo en cuenta la
naturaleza compleja, que no se elabora de forma lineal sino que
se va complejizando al abordar las distintas
situaciones.

Pena (retomando un documento francés, en la
Revista de
la
Educación del Pueblo Nº103) propone un
análisis en etapas para cada operación.

En general plantea la necesidad de conocer y manejar las
propiedades de nuestro sistema de
numeración decimal así como debe existir un
dominio o
reconocimiento de los sentidos de las
operaciones.

En el caso de la suma o adición de
números enteros plantea como requisito la
comprensión fundamental del sistema decimal: el
agrupamiento en base 10, y la eficacia en la
adición de números inferiores a 10 (tabla de
adición).

Para la suma de números decimales debe
existir además una comprensión de la escritura de
los ‘números con coma’, trasladándose
así la agrupación en base 10, y el valor
posicional. Un número de n–cifras:
anan-1…a1a0=
an×10n+
an-1×10n-1+…+
a1×101+
a0×100. Es decir, la
posición de cada cifra determina la potencia a la que
se eleva la base, que se va acumulando (p.ej.
735=7×102+3×101+5×100=700+30+5).

En el caso de la resta o sustracción se
enumera entre otras dificultades la relacionada con la existencia
de diversas técnicas
(o algoritmos)
que se sustentan en propiedades y principios
diversos (lo cual no sucede con la suma). Igualmente se destaca
que cada técnica requiere del manejo de conceptos
previamente adquiridos, por ejemplo, la invariabilidad de una
diferencia al agregar simultáneamente un mismo
número a ambos términos de la sustracción
(a – b = (a+c) – (b+c)).

La multiplicación de números
naturales supone conocer y manejar las tablas de
multiplicación, la numeración decimal (al
"llevarse" desde una potencia a la otra tanto en los productos
parciales como en la adición final), la "regla del cero",
y la propiedad
distributiva de la multiplicación respecto de la
adición.

La multiplicación de decimales requiere
conocer la relación entre los números decimales y
los enteros (p.ej. 145,86 = 14586 / 100, o 145,86 x 100 =
14586).

La división en los enteros es una
operación que se destaca por varias
características, entre ellas, que el resultado es un par
de ordenado de números, el cociente y el resto, se define
a través del resultado (a/b = <c,r>,
tal que a = bxc + r), presenta
incertidumbre en el momento de calcular, en tanto se utiliza la
estimación incluso en los algoritmos
estándar.

Evidentemente es imposible realizar en este trabajo un
análisis exhaustivo de las propiedades de cada
operación y en consecuencia de qué conocimientos
involucra el trabajo con cada una de ellas. Esa será una
tarea que invitamos al lector a realizar.

Tener en cuenta que las operaciones deben entenderse
como una de las posibles formas de calcular

El cálculo
es una de las opciones que surgen luego del
análisis de un problema, existiendo diversas alternativas;
siendo el cálculo una relación entre cantidades
según propiedades y relaciones numéricas.
Aquí es donde el dominio de las estructuras aditivas y
multiplicativas, es decir, del campo conceptual, permitirá
optar por la o las operaciones aritméticas
adecuadas.

Se pueden distinguir diversas formas de cálculo.
Una clasificación utilizada habitualmente reconoce:
cálculo mental, cálculo escrito y
cálculo instrumental. El cálculo escrito
suele identificarse con las técnicas operatorias escritas,
que se desarrollan mediante algoritmos y durante mucho tiempo ha sido
el centro de la enseñanza escolar.

Interesa destacar la importancia de trabajar con los
distintos tipos de cálculo ya que esto posibilita
reconocer que el sujeto desarrolla diferentes estrategias
personales, y que esas estrategias permiten construir el sentido
de las operaciones y sirven de plataforma para el desarrollo de
las técnicas.

El cálculo mental es el camino en la
búsqueda de respuestas ante un problema y que no utiliza
las técnicas operatorias (entendidas como algoritmos).
Puede utilizar soportes escritos o concretos. Se asocia a la
expresión de cálculo reflexivo o razonado en tanto
pone énfasis en el método y
no tanto en la eficiencia y
velocidad del
mismo.

Respecto al cálculo instrumental, teniendo en
cuenta el cada vez mayor acceso a los medios
tecnológicos, como computadoras,
calculadoras, etc. es relevante la incorporación a la
propuesta didáctica de estos instrumentos.

¿Cuál es
el lugar de los algoritmos?

Comencemos con la definición del concepto: se
trata de un método que se realiza paso a paso para
solucionar un problema, de manera precisa (debe describir los
datos de entrada, el orden de realización de cada paso y
la salida o resultado), definida (cada vez que se aplique se debe
obtener el mismo resultado) y finita (debe terminar en
algún momento).

La enseñanza y utilización de algoritmos
es relevante, tal como señala Calvo (2004) en cuanto: es
una demanda
social, siendo un resultado esperado y un bien cultural; son
útiles como estrategia que ahorra tiempo y esfuerzo;
pueden reforzar la comprensión del sistema numérico
y de las propias operaciones, sobre todo si se hacen
explícitas tales relaciones y propiedades; permiten
desarrollar estrategias de estimación, cálculo
mental y verificación.

Los algoritmos desde la óptica
analizada deben entenderse como herramientas
que deben mecanizarse luego de haber construido el sentido
de su uso. Ahora bien, en la escuela el tiempo que se debe
dedicar a este tema es importante, ya que está en
construcción, ese proceso debe ser monitoreado por los
docentes.

Lo que está en discusión no es la
presencia de los algoritmos aritméticos en la escuela sino
la forma de enfocarlos, sobre lo que se ha intentado
polemizar.

La necesidad de
establecer acuerdos institucionales

Tal es la complejidad en el abordaje de este tema y la
diversidad de estrategias, factibles de ser desarrolladas, que se
hace imprescindible el establecimiento de acuerdos
institucionales que den continuidad y coherencia al proceso de
aprendizaje de los sujetos. Buscando que la historia de
aprendizaje sea tenida en cuenta.

La existencia de rupturas en las propuestas
didácticas desconoce la integralidad de los sujetos que
transitan por la institución. El proceso largo y complejo
de construcción del sentido de las operaciones
aritméticas debe estar acompañado por propuestas
coherentes. (Por ejemplo, si un docente trabaja en profundidad la
naturaleza de la potencia de diez en nuestro sistema de
numeración, y usa luego ese conocimiento en
relación a las operaciones genera ciertos esquemas de
pensamiento. Es necesario que al año siguiente se
reconozca su existencia y se potencie el aprendizaje a partir de
los mismos).

Finalizando…

Luego de haber transitado por el desafío de
pensar la tarea docente en un tema tan sensible, se deja abierta
la aventura de debatir y profundizar estas ideas bajo la luz de los
autores referenciados, y la bibliografía
recomendada.

Bibliografía
consultada

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