- Entre manos y
pies… - El Conjunto de los
Números Naturales: enseñanza y aprendizaje del
Sistema Decimal - La
motivación por medio de los hechos - Aritmética:
introducción a las operaciones
fundamentales - La
Suma - La
Multiplicación
El número natural, a pesar de la
imposibilidad de dar una definición lógica
de él es una concepción del pensamiento,
una "idea" en el sentido platónico del
término.
Paul Germain
El número reside en todo lo que
es conocido. Sin él es imposible pensar nada, ni conocer
nada.
Filolao
Preámbulo
Para dar inicio a esta discusión es necesario
indagar desde la raíz del problema, si es que lo que se
denomina como discalculia es en sí un problema.
Para esto me veo en la tarea de averiguar cómo el
niño, desde sus primeros años de vida
aprende, y para esto puede que recurra a la Teoría
del Aprendizaje
Significativo de Ausubel. En
primera instancia, los números son las representaciones
globales de conjuntos
contables. Para esto deberemos cuestionarnos lo que significa un
conjunto. Conjunto es colección de
elementos. Matemáticamente hablando, un conjunto es un
axioma, al igual que la palabra elemento. Al decir un
axioma lo planteo como es debido en la Teoría de
Conjuntos, establecida con mucha profundidad por George Cantor a
finales del siglo XIX.
Los números que conocemos actualmente provienen
de los árabes, de ahí que se designen como
arábigos. Pero, según muchos individuos que
especulan acerca de la discalculia, es un grave problema, ya que
el niño no aprende a insertarse en el mundo de los
números (y por consiguiente, el del cálculo).
Si bien es cierto, la mayoría de las personas manipulan a
estos extraños garabatos que representan a un
sinnúmero de objetos, ya sea con diferencias cualitativas
o similitudes entre las mismas. Pero, si yo le preguntase a un
sujeto que sabe con demasía fórmulas y las domina
al dedillo qué es lo que significa número para
él, seguramente no sabría responderme lo que
representan y mucho menos el para qué de las
fórmulas mágicas con las que hace malabares. Mi
conjetura sería con certeza una verosimilitud,
aproximándose cada vez más a lo verdadero cuando
compruebe que casi todos no conocen la misteriosa
aparición del número como tal. Entonces
concluiría, al igual que Sócrates,
que ¡nadie sabe nada y sin embargo aparentan saberlo
todo!
La definición de número tiene historicidad
(al mejor estilo de Heidegger) y con esto, ha pasado por muchas
transiciones que lo han llevado al estado actual
de perfección universal: La Teoría de los
Números. Pero volvamos a los primeros rudimentos del ser
humano y la aparición de todo lo que es humano. Del
hombre
primitivo podremos asegurar: la necesidad de asociación es
inherente al hombre, lo que muchos llaman como socialización. Eso hizo que el primitivo
sintiera la necesidad de expresar tal inherencia natural por
medio de representaciones puramente objetivas: palos, piedras
(calculus), huesos, y
más tarde: dibujos sobre
paredes lúgubres y fascinantes.
Para los primeros habitantes con algún indicio de
raciocinio, andar en manadas o tribus era parte de la
sobrevivencia, ya que ellos eran escasos y como en el relato
bíblico: "la tierra
estaba desolada". El caso es que el número nace como una
mera consecuencia del hábito diario: provino de la
naturaleza,
del hombre cazador que seleccionaba determinada cantidad de presa
de acuerdo con las exigencias de los otros y del hambre que le
invadiera, de la mujer que
sembraba y recolectaba los frutos de su cosecha, al mismo
tiempo que se
encargaba de la educación de sus
hijos e hijas.
Después de varios milenios de andar divagando con
la sombra nómada, el hombre se
adueñó de otro de sus mejores inventos: la
agricultura.
Ciertamente aquí podremos decir que nace el número
para fines prácticos: la distribución de alimentos
cosechados, los animales en
cierto terreno, en fin, la contabilidad.
El conteo o contar es la acción
efectuada en el tiempo en la cual se seleccionan objetos de forma
sucesiva, de aquí que el humano no pueda visualizar todos
los entes que conforman un conjunto de manera simultánea:
es necesario verlos como unidad. Entonces la unidad, que
ya desde tiempos míticos representaba a los dioses, al
designio de los hados, la fuente de todo lo creado. La unidad es
parte de una limitada visión, de un enfoque
específico, de un perspectivismo restringido, y el
absolutismo es
un derivado directo de la unidad. La contrapartida de lo Uno vino
a ser la pluralidad, las partes del todo. La diversidad y lo
relativo son derivados directos de la pluralidad. Bien sabido es
que las religiones
supieron aprovechar esto. Y entonces los griegos nos hablaron de
lo Uno como infinito (Parménides), otro de los
conceptos que han dado dolor de cabeza a tantos
matemáticos y físicos, ha hecho que los literatos
echen a volar su imaginación. Pero el genial
Demócrito y su atomismo nos indujeron a un infinito
microscópico, de divisiones de una unidad tan
pequeña que llegaría hasta un límite: lo
indivisible y contable. Los pitagóricos creían que
el número conformaba a todo el universo, la
perfección estaba en los números conmensurables
(racionales) y los cinco poliedros regulares.
Pero el descubrimiento de los números
irracionales impactó de lleno, dejando un vacío de
agonía para los aseguradores de tal perfección, y
algunos se atreven a decir que Pitágoras murió de
pena por esto; Zenón de Elea nos dio una de las lecciones
más espectaculares con su sin igual paradoja acerca de
Aquiles y la Tortuga.
Entre
manos y pies…
La búsqueda de un patrón para "medir" hizo
de las manos, los pies, los codos y cualquier otra parte del
cuerpo instrumento para delimitar un terreno desde que se
inventó la propiedad
privada. Así heredaron los números el
sinónimo de dígitos (dedos) y el sistema decimal
(mano). Los nativos americanos (mayas) tuvieron
la dicha de crear el sistema vigesimal (dedos de manos y pies) y
sexagesimal dándonos una exactitud de medición temporal. Los babilonios
también utilizaron el sistema sexagesimal (60). Los
egipcios se destacan por su habilidad para el conteo de cultivos
y distribución de tierras para siembra, pero, precisamente
el Nilo los impulsó a ello, tanto así que hay
papiros (el de Rhind y Rusia) que
indican un conocimiento
sobre el Teorema de Pitágoras antes de que este saliera a
la luz
convencionalmente, y no solo eso: también los chinos
tenían una demostración de siglos antes que
Pitágoras. Esto es de importancia relevante, ya que se
asegura que el Teorema de Pitágoras hizo surgir la
incógnita de los irracionales. Pero los irracionales no se
quedan allí, Arquímedes con su famoso eureka y los
noventa y seis lados de un polígono regular dio una
aproximación de la tan famosa constante pi (π). Ahora
es parte de los números trascendentes, que son las
raíces de una ecuación algebraica sin coeficientes
racionales.
El
Conjunto de los Números Naturales: enseñanza y aprendizaje del
Sistema Decimal.
Ahora haré un énfasis acerca de los
números naturales. Se adjetivan como tales porque se
supone, surgieron de forma intuitiva, deductiva y natural.
Así, el número 1 representa a todos los conjuntos
de la forma {x}, es decir, con "x" elementos o
único. El cero (0) representa al conjunto vacío ({
}= Ø) o al cual no pertenece ningún objeto.
El dos (2) vendría a representar al conjunto {x, y}, es
decir {x} U {y} = {x, y}, o como se dice
vernáculamente: 1 + 1 = 2.
Así, por pensamiento inductivo podríamos
construir el tres (3), cuatro (4), etcétera. La
importancia de que el niño en sus primeros años de
vida tenga plena interacción con objetos para que los pueda
clasificar, primeramente como objetos de juego, luego
identificarlos según la clasificación que se le
quiera dar: color, forma,
tamaño, es decir, por sus caracteres cualitativos. Luego
la noción de cantidad tendrá más significado
siendo ésta la colección de elementos u entes sin
importar sus cualidades, sino su mero agrupamiento. Más
tarde el niño por medio del juego manipula los objetos
realizando la reunión de estos (suma) y la
separación (resta o sustracción). La noción
de multiplicación lleva consigo la agrupación de
elementos con las mismas características cualitativas
siendo esta una especie de derivado de la suma. Así
verá que si tiene las letras a y b reunidas
en una caja (representando al vacío) :{a, b}, y
teniendo tres de estas cajas deducirá que hay en total
seis (6) objetos y esto será corroborado cuando todos
estén en una misma caja: 2 x 3 = 6. La acción
inversa, es decir, tomar los seis objetos y distribuirlos en las
tres cajas es la de dividir. Hasta aquí tenemos una
"definición" de las "operaciones
básicas": suma( + ), resta( – ), multiplicación(
x ) y división( / ).
Surge una incógnita: ¿es necesario
realizar las operaciones (básicas) a posteriori con
números? Es muy fácil tomar unas cuantas piedritas
y acumularlas para realizar cálculos, pero si las
cantidades son muy considerables, será demasiado penoso
para un niño el cargar un saco con piedras. Por esto, los
números vienen a reemplazar a los objetos y aquí
hablamos de abstracción: el número
trasciende al objeto y es abstraído por la capacidad de
relación en la estructura
cognitiva del niño. Pero, si desde temprana edad el
niño no ha tenido una continua interacción con
objetos por medio del juego, entonces será muy
difícil que se familiarice con los números. Y
más aún: realizar operaciones o calcular. Si bien
el número es algo específico, viene a ser una
generalización de representaciones contables. Pero es
menester que el aprendizaje
que se tiene sobre ellos sea significativo. Por esto, los
niños
de primaria que poseen problemas para
realizar cálculos sencillos simplemente, o desconocen la
relación entre número y objetos, o fueron
enseñados a realizar trazos sin ningún significado
práctico y mucho más palpable u objetivo. El
número por ser una abstracción no puede ser
tomado a la ligera como un objeto de estudio sin conocer primero
su origen. Éste nació de forma intuitiva pero
impulsar su aprendizaje por medio de una enseñanza
memorística hace que se le olvide al niño lo que es
un número, y la consecuencia es que no hay ninguna
importancia en aprender algo que "no es real".
Quizá, atendiendo al behaviorismo: "el
estímulo X no producirá la reacción R; el
estímulo Y producirá la reacción R (reflejo
incondicionado); pero cuando el estímulo X se presenta
primero y el estímulo Y (que produce R) inmediatamente
después, X producirá en lo sucesivo la
reacción R. En otras palabras, el estímulo X
podrá sustituir en adelante al estímulo Y",
daré un ejemplo particular.
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