Sobre extremos relativos o locales de funciones reales de tres variables reales (página 2)

¿Y cuándo hablamos de puntos de
extremo local o relativo?

Pues cuando el máximo o el mínimo lo es
respecto al resto de los valores
que toma la función
en cierto entorno del punto (este entorno se asume subconjunto
de A) pero no necesariamente respecto al esto de los valores de
la función en los demás puntos de A.

En símbolos:

Ejemplos:

El punto es un punto de mínimo absoluto y local para la
función definida por

El punto
es un punto de máximo absoluto y local para la
función definida por

Al igual que en el caso de funciones de una
variable una función de varias variables
puede alcanzar un extremo local en puntos donde puede o no ser
diferenciable. ¿Pero en cualquier punto en el cual sea
diferenciable ella puede alcanzar un máximo o
mínimo? La respuesta se recoge en el teorema siguiente el
cual es una extensión del llamado Teorema de Fermat
al caso de funciones de varias variables aunque solo será
enunciado para el caso de tres variables.

Como se ve este teorema solo expresa condiciones
necesarias de existencia de extremo local bajo el supuesto de que
la función tiene derivadas
parciales respecto a cada variable definida en dicho punto (para
ello es suficiente pero no necesario que la función sea
diferenciable). A los puntos que anulan todas las parciales de
primer orden se les denomina puntos
estacionarios.

Análogamente al caso de una o dos variables
existen en el caso de tres variables puntos estacionarios que no
son puntos de extremo local.

¿Cómo saber si un punto estacionario es
realmente un punto de extremo local?

Se hace necesario enunciar condiciones suficientes de
existencia de puntos de extremo local. Estas condiciones pueden
expresarse en términos de determinantes de matrices
reales simétricas o en términos de valores
propios de tales matrices.

Recordemos que si A es una matriz
cuadrada e I es la matriz identidad del
mismo orden que A pues al polinomio definido por el determinante se le denomina polinomio
característico de A y a sus ceros o raíces se les
denomina valores propios, auto valores o valores
característicos de A.

Nota: Este teorema puede ser enunciado en
términos del determinante de la matriz
Hessiana y sus menores principales

A continuación muestro algunos ejemplos en cada
uno de los cuales se desea determinar los puntos de extremo
local de una función polinomial en por lo que ya tenemos
garantizado que:

• El dominio de la
  función es todo
• La función es diferenciable por lo que los
  únicos candidatos a puntos de extremo son los puntos
  estacionarios debido a lo cual de no haber puntos estacionarios
  pues no habría extremos locales.

a)

En este caso

Hallemos los puntos estacionarios para lo cual tenemos
que resolver el sistema de
ecuaciones:

Este
sistema es compatible determinado y su solución es
.

Investiguemos el cumplimiento de las condiciones
suficientes conformando la matriz Hessiana.

Esta
matriz es diagonal por lo que sus valores propios son sus
entradas o elementos diagonales. Como los valores propios son
no nulos y de diferente signo pues el punto estacionario
encontrado no es un punto de extremo local.

Nota: Los puntos estacionarios que no son
puntos de extremo local se denominan puntos de
ensilladura.

b)

En este caso .Resolviendo el sistema compatible determinado
obtenemos el
punto estacionario . La matriz Hessiana es cuyos valores propios son todos iguales a 2
por lo que el punto es un punto de mínimo
local.

c)

En este caso mas tenemos que resolver el sistema el cual tiene
exactamente dos soluciones
las cuales son

. Las matrices Hessianas son y .Los valores característicos de son 6,4 y 16 mientras
que los de son
-6,4 y 16 por lo que el primero de los puntos estacionarios es
un punto de mínimo local y segundo no es ni de
mínimo ni de máximo.

Te proponemos investigues en los incisos siguientes la
existencia de extremos locales.

d)

e)

f)

g)

h)

i)

j)

Considero conveniente resaltar que en muchos casos la
investigación del cumplimiento de estas
condiciones suficientes no son muy recomendables debido a la
complicación algebraica de la expresión
analítica de la función.

Ejemplo:

En los casos en los que al menos uno de los valores
propios sea nulo pues para poder
decidir habría que recurrir a otros recursos entre
los cuales se encuentran criterios de suficiencia los que a su
vez involucran derivadas parciales de orden superior al
segundo.

Conclusiones

Con este material he pretendido mostrar cómo
ciertos resultados que se tienen para funciones reales de dos
variables reales y que tienen que ver con la determinación
de puntos de extremo local se pueden extender a mayor
número de variables.

Autor:

Alejandro Martínez Castellini

Universidad de Ciencias
Informáticas

Facultad 7

La Habana

– 2007-