Resumen
En este ensayo
esbozamos un algoritmo para
determinar el primer par de números primos que definen a
cada uno de los elementos correspondientes del conjunto de los
números enteros pares iguales o mayores que doce; esto con
el fin de obtener una secuencia de números que den cuenta
del orden en el que van "apareciendo" cada una de las dichas
sumas. Se trata pues, de definir una secuencia de números
ordinales que nos sirvan para observar la ubicación de los
números denominados "primos gemelos" (aquéllos cuya
diferencia es de dos unidades) y de la relación de
éstos con la llamada Conjetura Binaria de Goldbach (misma
que afirma: todo número par mayor o igual que cuatro es la
suma de dos números primos).
Nociones básicas manejadas explícita o
implícitamente en el ensayo:
primos gemelos, secuencias, razón numérica,
módulos de números congruentes entre sí,
cuadrados perfectos, teorema de la infinitud de los primos de la
forma 4n+1.
Desarrollo
El conjunto de los números primos
(aquéllos que son divisibles únicamente por
sí mismos y la unidad) ha sido definido, de manera
más reciente, como la "caja fuerte" de la información. Su importancia como objeto de
estudio es evidente pues, a pesar de su infinitud, la secuencia
de éstos es irreducible a una razón
numérica. Existen algoritmos que
pueden producirlos, pero no reúnen de manera
simultánea las características de ser a la vez
eficientes y económicos.
Comprender la manera como están distribuidos los
números primos dentro del conjunto de los números
enteros permitirá abordar problemas tan
complejos como la Hipótesis de Riemman (claramente
relacionado con la Física
Cuántica o el problema de determinar las ecuaciones que
permitirían la "Gran Unificación" de las teorías
que existen sobre las fuerzas fundamentales que dan coherencia a
nuestro universo).
Creemos que la clave para lograr comprender la distribución de los números primos
dentro del conjunto de los números enteros está en
el estudio de los denominados primos gemelos que son, como bien
sabemos, aquéllos que dentro de la secuencia de los
números primos guardan una distancia de tan solo dos
unidades.
Asumimos que éstos son los "elementos
organizadores" que dan coherencia a la secuencia de todos los
tipos de números primos y que esta coherencia no puede
estudiarse de manera lineal, sino que requiere un enfoque de
relaciones complejas.
Dado que los primos gemelos son los "elementos
organizadores" no es posible pensar en ellos como un conjunto
finito.
Nuestro esbozo de algoritmo apunta a una propuesta que
consiste en partir de la descomposición de los
números pares en una secuencia de sumas de dos
números por vez hasta lograr el "pareamiento" de dos
números primos para poder
determinar los números que dan cuenta de la distancia de
la primera suma (vale decir la primera expresión) con la
"suma de destino" que expresa precisamente la suma de dos
números primos. Como veremos más adelante esto, a
su vez, nos permitirá establecer la equivalencia de la
Conjetura de la Infinitud de los Números Primos Gemelos y
la Conjetura Binaria de Goldbach; equivalencia que también
nos permitirá enlazar con los especiales números
primos de la forma 4n+1.
A) Proposiciones de base.
Proposición uno: la suma de dos números
primos (diferentes entre sí) da por resultado un
número par dado que los números primos mayores que
dos, son números impares.
Proposición dos: la semidiferencia de dos
números primos diferentes entre sí es un
número ordinal que expresa el lugar en el que aparece la
suma de dicho par de primos, como resultado de la
descomposición sucesiva (±1, ±2, ±3
… ±N+1…) de un número par en dos
sumandos por vez hasta lograr el "pareamiento" de los primos
mencionados. Esto se reduce a la pregunta: ¿para cada
número par mayor que diez, cuál es el primer par de
primos diferentes entre sí que los define y en qué
lugar aparecen éstos?
Así, por ejemplo, si consideramos los
números primos 41 y 47 que al sumarlos forman el
número par 88, apostamos a que la semidiferencia (a-b)/2
(en la que "a" y "b" son números primos diferentes entre
sí y a>b) dirá cuándo se cumple la
proposición dos.
Siguiendo con el ejemplo:
(47-41)/2=3. Nuestra apuesta: la suma de estos
números primos aparecerá en el tercer intento.
Veamos si acertamos…
Desde 88.
Descomposición cero o "inicial":
44+44.
Primera descomposición: (44-1)+(44+1)=43+45; 43
es primo en tanto que 45 es compuesto, por lo tanto el "1" no nos
sirve.
Segunda descomposición: (44-2)+(44+2)=42+46; 42 y
46 son números compuestos, por lo tanto el "2" no nos
sirve.
Tercera descomposición: (44-3)+(44+3)=41+47; 41 y
47 son números primos; "3" es el número que nos
interesa. Hemos acertado en nuestra apuesta: en este procedimiento,
41+47 aparece en el tercer lugar.
Observamos que la primera descomposición 44+44 no
cuenta, dado que (44+0)+(44+0) es la misma descomposición
de inicio y "cero" no refiere "cambio de
lugar" alguno, pues
(a-b)/2=0/2 cuando a=b.
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