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Introducción a la estadística (página 2)



Partes: 1, 2

EJERCICIO:

salarios

empleados

fr.

f.a

f.r.a

limite

inferior

limite

superior

tamaño de intervalo

marca de clase

28,000-32,949

8

12.30%

8

12.30%

28,000

32,949

4949

30,474.5

32,950-37,899

10

15.38%

18

27.69%

32,950

37,894

4949

35,424.5

37,900-42,849

16

24.61%

34

52.30%

37,900

42,849

4949

40,374.5

42,850-47,744

14

21.53%

48

73.84%

42,850

47,799

4949

45,324.5

47,800-52,749

10

15.38%

58

89.23%

47,800

52,749

4949

50,274,5

52,750-57,699

5

7.69%

63

96.92%

52,750

57,699

4949

55,224.5

57,700-62,649

2

3.07%

65

100%

57,700

62,649

4949

60,174.5

EJERCICIO:

SALARIO

FRECUENCIA

ACUMULADA

TAMAÑO DE INTERVALO

MARCA DE CLASE

FRECUENCIA

RELATIVA

FRECUENCIA ACUMULADA RELATIVA

249.99-259.99

2

10

254.99

3.08%

3.07%

260-269.99

7

9.99

264.995

7.69%

10.76%

270-279.99

17

9.99

274.995

15.38%

26.15%

280-289.99

31

9.99

284.995

21.53%

47.69%

290-299.99

47

9.99

294.995

24.61%

72.30%

300-309.99

57

9.99

304.995

15.38%

87.69%

310-319.99

65

9.99

310.995

12.30%

100%

2.3. PRESENTACIÓN GRÁFICAS DE LOS
DATOS

Problemas

1.-En una fiesta el 50% de los invitados son hombres de
todos los hombres de la fiesta el 40% de ellos son calvos y de
ellos el 50% habla ingles, si 4 calvos hablan ingles.

¿Cuantas mujeres hay en la fiesta?

8=40%

12=50%

8+12=20 MUJERES

R=20 MUJERES

2.-efectuar dos descuentos consecutivos primero de un
10% y luego uno de 20%, este equivalente a efectuar un descuento
de.

R=28%

3.-Si pedro tuviera un 15% menos de la edad que tiene
tendría 34 años.¿cuantos años tiene en este
momento?

34 años*85%=6+34+6 años=40
años

R=40 años

2.4. MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL, MEDIA, MEDIANA,
MODA.

MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL

Las medidas de centralización más
evidentes que podemos calcular para describir a un conjunto de
observaciones numéricas es su valor medio.

La medida es la suma de todo los valores de una variable
dividida entre el numero total de datos de los que se
disponen.

Ejemplo: consideremos 10 pacientes de edades
21,32,15,54,60,61,64,60,71,80.la medida de edad de estos sujetos
será:

_

X =
21+32+15+54+60+61+64+60+71+80

———————————————————-

10(n)

_

X= 52.3

Mas formalmente denotamos por x1, x2, xn.los n datos que
tenemos recogidos de la variable en cuestión el valor medio
vendrá denotando por la siguiente formula:

MEDIA:

Media(x) ∑xn/n

MEDIANA:

La mediana es la observación equidistante
de los extremos.

15, 21, 32, 59, 60, 60, 61, 61,
71,80

60+60÷2=60 mediana

1.-si son elementos pares buscar la parte media entre
ambos extremos.

2.-de los 2 valores encontrados realizar
la suma de ellos y dividir en 2

3.-si el número de elementos es impar: ubicar el
dato central de dicha lista ya que dicho valor es la
mediana

MODA:

Moda: es el valor que se presenta con mayor frecuencia,
en la lista de observaciones

Moda: 60

Cuando no existan datos repetidos en una lista de
observaciones se dice que no existe la moda.

Moda=Ø

Dato nulo

2.5. MEDIDAS DE DISPERSIÓN, RANGO,
VARIANZA.

MEDIDA DE DISPERSIÓN

RANGO

VARIANZA

La varianza de los datos es la medida de cuadrados de
las inferencias entre cada valor de la variable y la medida
aritmética de la distribución.

ЅІx=∑
(xj-media(x))²

N

Esta varianza muestral se obtiene como la suma de las
diferencias de cuadrados y por lo tanto tiene como unidades de
medida de la variable el cuadrado de la misma medida.

ЅІ=(21-52.3)²+(32-52.3)²+(15-52.3)²+(59-52.3)²+(60-52.3)²+(61-52.3)²+(64-52.3)²+(60-52.3)²+(71-52.3)²+(80-52.3)²

10

=427.61

La desviación típica es la raíz cuadrada
de la varianza, expresa la dispersión de la
distribución, la desviación típica, es la medida
mas utilizada en estadística.

Aunque esta formula de la desviación típica
muestral es correcta en la práctica la estadística nos
interesa para realizar inferencias poblacionales por lo que el
denominador en lugar de n se utiliza el valor de n-1.por lo
tanto, la medida que se utiliza es la cuasi desviación
típica dada por:

Sx=Σ (xj-media(x)²

N-1

S=21.797

AMPLITUD:

Es la diferencia entre el valor mayor y menor de la
distribución.

15-21

32-59

60-60

61-64

71-80

A=80-15

=65

COEFICIENTE DE VARIACION:

Es una medida de dispersión relativa de los datos y
se calcula dividiendo la desviación típica muestral por
la media y multiplicando el cociente por 100.

CV=5 100=20.678/52.3 *100=39.5%

X

EJERCICIO:

En esta tabla se exhibe las edades de una muestra de 36 personas que
asistieron a ver una película, calcular:

  1. frecuencia relativa de la cuarta clase
  2. frecuencia acumulada de la tercera clase
  3. media
  4. mediana
  5. moda
  6. desviación típica
  7. amplitud
  8. coeficiente de variación
  9. varianza
  10. coaxi desviación típica

AÑOS

FRECUANCIA

F.R.

F.A.

8-13

2

  

14-19

7

  

20-25

13

 

B)22

26-31

5

A)3.889

 

32-37

9

  

3.- 10.5+16.5+22.5+28.5+34.5=112.5/5=22.5

4.-

MEDIANA

8+13=10.5

14+19=16.5

20+25=22.5

26+31=28.5

32+37=34.5

5.-MODA

20-25

6.-

DESVIACIÓN TÍPICA

√72=8.48

7.-AMPLITUD

34.5-10.5=24

8.-COEFICIENTE DE VARIACIÓN

8.48

22.5 =37.68%

9.-VARIANZA

(10.5-22.5)²+(16.5-22.5)²+(22.5)²+(22.5)²+(28.5-22.5)²+(34.5-22.5)²

144+36+0+36+144=360/5=72

10.-COASI DESVIACIÓN TÍPICA

  1. √360/5-1=√90

EJERCICIO:

LA ASISTENCIA DE UNA SALA DE CINE ES DE 20 PERSONAS CON LAS
SIGUIENTES EDADES.

15 45 17 16

25 31 13 19

18 28 12 21

20 27 10 21

32 26 9 23

ENCONTRAR:

MODA

DESVIACIÓN TÍPICA

MEDIANA

MEDIA

COEFICIENTE VARIACIÓN

AMPLITUD

VARIANZA

COAXI DESVIACIÓN TÍPICA

MEDIANA:

23.25

23

19.75

19.5 107/5=21.4

22.5

MEDIANA

23.25

22

19.75

19.5

22.5

107

AMPLITUD:

VM-VM 45-9=36

VARIANZA:

(9-21.4)²+(16-21.)²+(12-21.4)²(13-21.4)²+(15-21.4)²+(16-21.4)²+(17-21.4)²+(18-21.4)²+(19-21.4)²+(20-21.4)²+(21-21.4)²+(21-21.4)²+(23-21.4)²+(25-21.4)²+(26-21.4)²+(27-21.4)²+(28-21.4)²+(31-21.4)²+(35-21.4)²+(45-21.4)²

422.68/20 =71.134

DESVIACIÓN TÍPICA:

√71.134=8.43

COASI DESVIACIÓN:

1422.68/19=√74.8=8.65

COEFI. DE VARIACIÓN

8.43/21.4*100=34.39%

UNIDAD 3:
ANÁLISIS COMBINATORIO

3.1. PRINCIPIO FUNDAMENTAL

3.2. ORDENACIONES

3.3. PERMUTACION

3.4. COMBINACIONES

El análisis combinatorio es
la rama de las matemáticas que estudia los
diversos arreglos o selecciones que podemos formar con los
elementos de cada conjunto dado, los cuales nos permite resolver
muchos problemas prácticos, por
ejemplo: podemos averiguar cuantos números diferentes de
teléfono hay, palcas o
loterías se pueden formar utilizando un conjunto dado de
letras y dígitos.

El principio fundamental del análisis combinatorio
en la mayoría de los problemas , se observa que una
operación o actividad aparece en forma repetitiva y es
necesario conocer las formas o maneras que se puede realizar
dicha operación, para estos casos es necesario conocer
determinadas técnicas o estrategias de conteo, que
facilitaran el calculo señalado.

Ejemplos:

  1. Diferentes maneras de vestir en una personas,
    utilizando un numero determinado de prendas
  2. Ordenar 5 artículos en 7 casilleros.
  3. Contestar 7 presuntas de un examen de 10
  4. Designar a 5 personas de un total de 50 para integrar
    una comisión.
  5. Sentarse en una fila de 5 asientos 4
    personas.
  6. Escribir una palabra de 7 letras utilizando 4
    consonantes y 3 vocales.

3.1. PRINCIPIO FUNDAMENTAL

PRINCIPIO DE
MULTIPLICACIÓN

Si un evento o suceso A puede ocurrir en forma
independiente de m maneras diferentes, entonces el numero de
maneras distintas en que puede suceder ambos sucesos es de m x
n.

Ejemplo:

En la etapa final de fútbol de la primera
división profesional.

4 equipos: América (A), Guadalajara
(G), Cruz Azul (C), UNAM (U), disputan el primer y segundo lugar
(campeón y subcampeón).

De cuantas maneras diferentes estos equipos pueden
ubicarse en dichos lugares.

A: Campeonato de fútbol

M: Campeón: 4

N: Subcampeón: 3

m.n= 4.3= 12 maneras diferentes.

MÉTODO DEL ÁRBOL

3.2. ORDENACIONES

MÉTODOS DE CONTEO

En diferentes casos se tomara de algún conjunto
parte de sus elementos o todos ellos, para formar diferentes
agrupaciones que se van a distinguir por el orden de sus
elementos o por la naturaleza de algunos de
ellos, si los elementos que forman una agrupación son
diferentes entre si, serán llamadas agrupaciones sin
repetición y si alguna de ellas son iguales se digan que son
agrupaciones con repetición, entre los métodos de conteo mas
conocidos tenemos la permutación, variación y
combinación.

3.3. PERMUTACIONES

PERMUTACIÓN

Es un arreglo de todos 0o parte de un conjunto de
objetos, considerando el orden en su ubicación, cuando en un
arreglo solo entran una parte de los elementos en conjunto. Es
importante resaltar que el orden es una característica
importante de la permutación, cuando variamos el orden de
los elementos o determinarlos.

Ejemplo: Determinar los siguientes arreglos o
permutaciones que se pueden hacer con las letras A, B y C tomadas
de 2 en 2.

3 x 2= 6 permutaciones.

ab

ac

ba

bc

ca

cb

TEOREMA I

PERMUTACIÓN LINEAL CON ELEMENTOS
DIFERENTES

El numero de permutaciones de n objetos
tomados en grupos de k elementos siendo k
menor que n y denotado P , estará dado por:

P= n!

(n-k!)

!=factorial

Donde n, k son elementos de números naturales y
O<=K<= n

Estas permutaciones son llamados lineales por que son
ordenados los objetos en una linea recta de
referencia.

Problema 1:

En una carretera de 400 metros planos participan 10
atletas, de cuantas formas distintas podrán ser premiados
los 3 primeros lugares con medallas de oro, plata y
bronce.

P= n!

(n-k!)

P10= 10! =
10!=10x9x8x7x6x5x4x3x2x1x

(10-3) 7!
7x6x5x4x3x2x1x

 

10x9x8x=720 puntuaciones

TEOREMA 2:

PERMUTACION LINEAL CON ELEMENTOS
REPETIDOS

El numero de permutaciones p distintas de n elementos
tomados de n en n , en donde hay un primer grupo de objetos iguales entre
si, n2 objetos iguales entre si de un segundo tipo y
así sucesivamente hasta n k objetos iguales entre si, de un
ultimo tipo.

  • De cuantas maneras distintas se podrán ordenar
    las siguientes figuras

  • n1=círculos=3

n2=triángulos=1

n3=cuadrados=2

n4=hexágonos=1

Pk
n1n2n3n4= k! /
n1!n2!n3!n4!nk!

P= 3,1,2,1= 7!/ 3!1!2!1! =
7x6x5x4x3x2x1x/ 3x2x1x1x2x1x1

840/2= 420

PERMUTACIÓN CIRCULAR

Son agrupaciones donde no hay primera ni último
elemento, por hallarse en una línea cerrada. Para encontrar
el número de permutaciones circulares se pueden formar con n
objetos distintos, hay que considerar fija la posición de un
elementos, el n-1 elemento restante, podrá cambiar el lugar
de n-1 formas diferentes, tomando todas las posiciones sobre la
circunferencia relativa del primer punto.

El número de permutaciones circulares
será:

Pnc =
(n-1)

Ejemplo: De cuantas formas diferentes pueden sentarse en
una mesa circular , 1 padre y sus 5 hijos.

Pnc= P6C=
(6-1)!

=5!= 120

De cuantas maneras diferentes se podrán ubicar las
cifras de 1 al 7 dentro de la siguiente figura:

=7x P6c

=7x(6-1)!=7×5!

=840

3.4. COMBINACIONES

COMBINACIÓN

Es cada uno de los diferentes arreglos que se pueden
hacer con parte o todos los elementos de un conjunto dado sin
considerar el orden de su ubicación. El numero de
combinaciones de n elementos diferentes tomados de k en k menor o
igual que n esta dado por:

Ckn= n! =
n(n-1)(n-2) . (n-k+1)

(n+k)k! k(k-1)(k-2) (1)

Ejemplo:

Si disponemos de 5 puntos no colineales cual es el
máximo numero de triángulos que se podrán
formar.

N= 5 puntos

K=3 puntos

C53= 5! =
5x4x3x2x1x=20=10

(5!-3)!3! 2!3x2x1 2×1

A . B. C ABC BCD ACE AED ABD BCE DCE ABE ACD
DBE

  1. E

Ejemplo:

Una señora tiene 3 frutas manzana, piña y
fresa ¿Cuántos sabores diferentes de jugo podrá
preparar con estas frutas?

n=3

k=1,2,3

C31= 3!/(3-1)!1!=
6/2 =3

C32=3!/(3-2)!2!=6/2=3

C33= 3!/
(3-3)!3!=6/1=1

COMBINACIONES

M MP MPF

P MF

F PF

Se desea formar parte de un comité de 7 personas
seleccionando a 4 físicos y 3 matemáticos de un grupo
de 8 físicos y 6 matemáticos.

¿De cuantas maneras podrá
seleccionarse?

PROBLEMAS

¿Cuántos de dos cifras se pueden formar con
los dígitos 1,3,5,7?

4×4= 16 maneras

1,3,5,7,11,13,15,17,,31,33,35,37,71,73,75,77

¿De cuantas formas se pueden ubicar en una fila de
7 asientos a 3 hombres y 4 mujeres si estas deben ocupar los
lugares impares?

4x3x3x2x2x1x1=144

-Determinar cuantos números de 3 cifras existen en
el sistema base 6:
0,1,2,3,4,5

5x6x6=180

-De un grupo de 5 estudiantes, cuantos grupos diferentes
de 3 alumnos podrían formarse.

n= 5

k= 3

Cnk= 5! = 5x 4x 3x 2x = 20/10=
10

(5-3)! 3! 2 3x 2x 1

EJERCICIOS

-Un hombre tiene 9 bonos financieros de 9
compañías distintas y piensa regalarlos a sus 3 hijos
de la siguiente manera, a su hijo mayor 4, a su segundo hijo 3, y
el menor. ¿De cuantas formas puede repartir los
bonos?

P9 = 4,3,2 = 9!/4! 3! 2! =9x8x7x6x5x4x3x2x1/
4x3x2x13x2x1x2x6

15120/ 12= 1260

-De cuantas maneras diferentes se pueden sentar 8
personas en una mesa redonda de 5 asientos, si
3 están en espera.

PC5= (5-1)!=24 formas

C85=8!/(8-5)!5!=56

56 x 24= 1344

-Las visitas a un hospital del 18 de septiembre se
obtuvieron los siguientes edades
15,45,17,16,25,31,13,19,42,33,20,28,22,27,25,26,32,32,31,22.
Calcular la media, moda, mediana, varianza, desviación
típica, cuasi desviación, amplitud y coeficiente de
variación.

13,15,16,7,19,20,22,22,25,25,26,27,28,31,31,32,32,33.42,45

– Media: 26.05 521/20= 26.05

-Moda: 22, 25, 31, 32

-Mediana: 25.5

-Desviación típica:

S2 =(13-26.05)2
+(15-26.05)2+(16-26.05)2+(17-26.05)2+(19-26.05)2+(20-26.05)2+(22+26.05)2+(25-26.05)2+(25-26.05)2+(26-26.05)2+(27-26.05)2+(28-26.05)2+(31-26.05)2+(32-26.05)2+(32-26.05)2+(33-26.05)2+(42-26.05)2+(45-26.05)2/20=

S2=170.3+122.10+101+81.90+49.70+36.60+16.40+1.10+1.10+0.0025+0.9025+3.80+24.5+24.5+35.40+35.40+48.30+254.40+359.10/20=
69.14

-Varianza: 69.14

-Desviación típica: 8.31

-Cuasi desviación:

=1382.90/20-1=1382.9/19= 72.78=8.53

-Coeficiente de variación: 31.40%

CV= 5/x 100=8.53 / 26.05 x 100= 31.40

-Amplitud: 145-13= 32

UNIDAD 4:
TEORÍA DE LA PROBABILIDAD

4.1. PROBABILIDAD SUBJETIVA

4.2. PROBABILIDAD COMO FRECUENCIA

4.3. ESPACIO MUESTRAL

4.4. EVENTOS

4.5. EVENTOS EXCLUYENTES

4.6. TABLAS DE PROBABILIDAD

4.7. INDEPENDECIA ESTADISTICA

4.8. PROBABILIDAD MARGINAL

4.9. TEOREMA DE BAYES

LA PROBABILIDAD

La probabilidad es la posibilidad de que algo
pase.

Las posibilidades se expresan como fracciones o como
decimales que están entre uno y cero. Tener una probabilidad
de cero significa que nunca va a suceder y tener una probabilidad
de una indica que va a suceder siempre.

  1. En la teoría de la
    probabilidad un evento es uno o más de los posibles
    resultados de hacer algo.
  2. La actividad que origine uno de dichos eventos se
    conoce como experimento aleatorio.
  3. Al conjunto de todos los resultados posibles de un
    experimento se le llama "espacio muestral" del
    experimento.
  4. Se dice que 2 eventos son mutuamente excluyentes si
    uno solo y solo uno de ellos puede tener lugar a un tiempo.

Existen 3 tipos básicos de clasificar a la
probabilidad, estas 3 formas presentan planteamientos
porcentuales.

  1. Probabilidad de planteamiento clásico: se define
    como:

0…1

0.153 = 15.3 %

1 = 100 %

  1. Numero de resultado en los que presenta el evento
    entre el numero total de resultados posibles.
  2. Cada uno de los resultados posibles debe ser
    igualmente posibles.
  1. Probabilidades de planteamiento de frecuencia
    relativa se define:
  1. La frecuencia relativa observada de un evento
    durante un gran numero de intentos.
  2. La fracción de veces que un evento se presenta
    a la larga, cuando los condiciones son estables.
  1. Probabilidad de planteamiento. Esta basada en las
    creencias de las personas que efectúan la estimación
    de probabilidad.

4.1. LA PROBABILIDAD SUBJETIVA

Se puede definir como la probabilidad asignada a un
evento por parte de un individuo basada en la
evidencia que tenga disponible.

ESPACIO MUESTRAL, EVENTOS Y PROBABILIDAD

Un experimento aleatorio es un experimento en el cual su
desarrollo no es previsible
con certeza. Para definir la probabilidad según la clase es necesario tener claro
el concepto de "equiprobabilidad" de
evento. Decimos que 2 eventos son equipadles si tienen misma
posibilidad de ocurrir. Es conveniente describir los sucesos
equiprobables mas sencillos del experimento aleatorio.

En algunos cosas los eventos equiprobables los dictara
el sentido común, en otras casos será un acuerdo
convencional.

El espacio muestral de un experimento aleatorio es el
conjunto formado por todos los posibles resultados equiprobables
mas elementales del experimento.

Un evento es un subconjunto del espacio muestral si "S"
denota el espacio muestral de un experimento aleatorio y "E"
denota un evento de ese experimento se define la probabilidad
según la clase del evento "E" como:

Ejemplo 1:

Se lanzan 2 dados sanos. Determinar la probabilidad de
que la suma que muestran los 2 dados es 8.

(1,1), (1,2), (1,3), (1,4), (1,5), (1,6)

(2,1), (2,2), (2,3), (2,4), (2,5), (2,6)

(3,1), (3,2), (3,3), (3,4), (3,5), (3,6)

(4,1), (4,2), (4,3), (4,4), (4,5), (4,6)

(5,1), (5,2), (5,3), (5,4), (5,5), (5,6)

(6,1), (6,2), (6,3), (6,4), (6,5), (6,6)

S = 36

E = 5

Ejemplo 2:

Se tienen 30 bolas en una urna y extraemos 1 bola al
azar, ¿cual es la probabilidad de extraer una bola
determinada?

S = 30

P (1) = 1 = 0.03333 = 3.33 %

30

Ejemplo 3:

Supongamos que 20 de color verde y 10 de color azul,
¿Cuál es la probabilidad de sacar una bola
azul?

P (A) = 10 = 0.333 = 33.3 %

30

TEOREMA DE LA ADICIÓN

Para el cálculo de probabilidades
hay que tomar en cuenta los axiomas y teoremas:

AXIOMA 1:

AXIOMA 2:

AXIOMA 3:

TEOREMA 1:

TEOREMA 2:

TEOREMA 3:

TEOREMA 4:

TEOREMA 5:

TEOREMA DE LA PROBABILIDAD
TOTAL

Sea A1, A2,…An un sistema completo de sucesos
tales que la probabilidad de cada uno de ellos es 0 y sea B un
suceso cualquiera del que se conoce las probabilidades
condicionales

P ( B / Ai )

Probabilidad de B tal que A iesima, entonces la
probabilidad del suceso B viene dado por la
expresión:

P(B) = P(A1) * P(B/A1) + P(A2) * P(B/A2) + … +
P(An) * PB/AN)

Ejemplo:

Una compañía dedicada al transporte público
explota 3 líneas de una ciudad, de forma que el 60% de los
autobuses cubre el servicio de la 1ra línea,
el 30% cubre la 2da y el 10% cubre el servicio de la 3ra
línea. Se sabe que la probabilidad que diariamente un
autobús se avería es del 2%, 4% y 1% respectivamente
para cada línea. Determine la probabilidad de que 1 día
el autobús sufra una avería.

L1 = 60 % Av1 = 2 %

L2 = 30 % Av2 = 4 %

L3 = 10 % Av3 = 1 %

P (Av) = p (L1) * P(AV/L1) + P(L2) * P(Av/2) + P(L3) *
P(Av/L3)

P (Av) = (0.6) (0.02) + (0.3) (0.04) + (0.1)
(0.01)

P (Av) = 0.02 + 0.012 +0.001

P (Av) = 0.025 = 2.5 %

Ejercicio:

Se tiene una urna vacía y se lanza una moneda. Si
sale águila, se introduce a la urna una bola blanca y si
sale sol una bola negra. El experimento se repite 3 veces y
posteriormente se introduce la mano en una urna retirando una
bola. ¿Cuál es la probabilidad de que en la urna quede
una bola blanca y una negra?

Águila B

Sol N

3

2

1

3

2

1

B

B

B

2B

1/8

N

B

B

2B

1N

B

B

N

2B

1N

N

B

N

1B

2N

B

N

B

2B

1N

N

N

B

1B

2N

B

N

N

1B

2N

N

N

N

3

N

 

PT = P (BBN) * P (BN) + P (BNN) * P (BN) = 3/8 * 2/3 +
3/8 * 2/3

PT = 6/24 + 6/24 = 12/24 = 50%

Ejercicio:

Se lanzan dos monedas al aire. Si sale 2 sol se extrae una
bola de la urna 1 que contiene 2 bolas blancas y 3 bolas negras.
Si sale 1 sol y 1 águila, se extrae una bola de la urna 2
que contiene 4 bolas blancas y 1 negra. Si salen 2 águilas
se extrae una bola de la urna 3 que contiene 3 bolas blancas y 2
negras. ¿Cuál es la probabilidad de extraer una bola
blanca después de lanzar las 2 monedas?

PT = P (U1) * P (U1/B) + P (U2) * P (U2/B) + P (U3) * P
(U3/B) =

(1/3) * (2/5) + (1/3) * (4/5) + (1/3) * (3/5) = 2/5 +
4/15 + 3/15 = 9/15 =

0.6 = 60 %

En cierto país hay una enfermedad peligrosa, se
sabe que un 12% de la población padece dicha
enfermedad. Se dispone a realizar una prueba para detectar esa
enfermedad pero nos indica el resultado de la enfermedad que es
positivo en un 90% de los casos de personas enfermas que
también da positivo en el 5% de las personas que se
consideraban sanas.

¿Cuál es la probabilidad total de encontrar 1
persona sin esta
enfermedad?

PT = P (E) * P (E/PS) + P (S) * P (S/PS)

PT = (0.12) (0.10) + (0.88) (0.95)

PT = 0.012 +0.836 = 0.848 = 84.8 %

En una asesoría fiscal se ha contratado a 3
personas para hacer declaraciones de renta. La primera de ellas
se encarga de efectuar el 30%, la segunda el 45% y la tercera el
25% restante. Se ha comprobado que de las declaraciones
realizadas por la primera persona, es del 1% erróneas, la
segunda comete errores en el 3% de los casos y la tercera en el
2% de los casos. Calcula la probabilidad de elegir al azar una
declaración de renta y esta sea errónea.

PT = P (P1) * (P1/E) + P (P2) * P (P2/E) + P (P3) * P
(P3/E) =

PT = (0.3) (0.01) + (0.45) (0.03) + (0.25) (0.02)
=

PT= 0.003 + 0.0135 + 0.005 = 0.0215 = 0.15 %

EJERCICIO:

Se tienen 3 urnas, cada una de ellas contiene un
número diferente de bolas blancas y rojas, la urna 1 tiene 3
bolas blancas y 2 rojas, la urna 2 tiene 4 blancas y 2 rojas y la
urna 3 tiene 3 bolas rojas. Alguien elige al azar una urna
teniendo cada una de ellas la probabilidad de 40, 35 y 25%
respectivamente y saca una bola. ¿Cuál es la
probabilidad de sacar una bola roja?

PT = P (U1) * P (U1/R) + P (U2) * P (U2/R) + P (U3) * P
(U3/R) =

PT = (0.40) (0.4) + (0.35) (0.33) + (0.25) (1)
=

PT = 0.16 + 0.1155 + 0.25 = 0.52 = 52 %

El 75% de los jóvenes asiste a clases en un tipo de
transporte y el resto acude a clases caminando. Llega puntual a
la clase el 60% de los que utilizan algún transporte y el
90% de los que legan caminando. ¿Cuál es la
probabilidad de que un alumno llegue puntual a clase?

PT = (PT) * P (T/PC) + (PC) * P (C/PC)

PT = (0.75) * (0.60) + (0.25) * (0.90)

PT = 0.45 + 0.225 = 0.675 (100) = 67.5 %

El volumen de producción diario de 3
fábricas de una empresa es de 1000 unidades
en la 1er fábrica, 1500 en la 2da y 2500 en la 3ra. Con
ciertos desajustes, algunas unidades salen defectuosas, en
concreto es el 1% en las
primeras 2 fabricas y el 3% en la 3ra. Calcular el % de unidades
buenas diseñadas en estas fábricas.

PT = P (P1) * P (P1/U1) + P (P2) * P (P2/U2) + P (P3) *
P (P3/U3) =

PT = (10) * (0.99) + (15) * (0.99) + (25) (0.97)
=

PT = 9.9 + 14.85 + 24.25 = 49 = 4900 Unidades

(4900) (100) / 5000 = 98

Se lanza una moneda al aire, si sale sol se ponen 7
bolas blancas en 1 urna, si sale águila se ponen 4 bolas
blancas. Se lanza por segunda ocasión la moneda y se colocan
5 bolas negras, si cae sol, o 2 bolas negras si cae águila.
Después se saca una bola de la urna resultante.
¿Cuál es la probabilidad de que la bola que se saque
sea negra?

 

PT = PA (A2N) + PA (S 5N) + PS (A 2N) + PS (S
5N)

PT = 4/11 (2/7) + 4/11 (5/7) + 7/11 (2/7) + 7/11
(5/7)

PT = 8/77 + 20/77 + 2/11 + 5/11 = 1

4.9. TEOREMA DE BAYES

El teorema de Bayes, dentro de la probabilidad
estadística proporciona la distribución de la
probabilidad condicional de un evento A dado otro evento B
(probabilidad posterior), en función de la
distribución de la probabilidad condicional del evento B
dado A y de la distribución de probabilidad marginal del
evento A (probabilidad simple)

Partiendo de las formulas de probabilidad
condicional.

P (A / B) = P (A B) / P (B)

P (A
B) = P (B) P (A / B)

Para eventos estadísticamente dependientes se
procederá a enunciar el teorema de Bayes.

Sean A1, A2,…An eventos mutuamente excluyentes
tales que, cualquier evento B en el espacio muestral pertenece a
uno y solo uno de estos eventos. Entonces la probabilidad que
ocurra cualquier evento Ak dado que ha ocurrido el evento B se
calculara

P (Ak / B) = P (Ak B) / P (B)

Por lo tanto, sustituyendo la formula de la probabilidad
condicional se obtiene la formula general del teorema de
Bayes

P (Ak / B) = P (Ak) P (B / Ak)

P (A1) P (B/A1) + P (A2) P (B/A2) + … + P (Ak) P
(B/Ak)

Ejemplo:

3 maquinas denominadas A,B,C, producen un 43, 26 y 31%
de la producción total de una empresa respectivamente se ha
detectado que un 8,2 y 16% del producto manufacturado por
estas maquinas es defectuoso.

  1. Se selecciona un producto al azar y se encuentra que
    es defectuoso. ¿Cuál es la probabilidad de que haya
    sido fabricado en la maquina B?
  2. Si el producto seleccionado resulta que no es
    defectuoso, ¿Cuál es la probabilidad de que haya sido
    fabricado en la maquina C?

PRODUCCIÓN DEFECTUOSO

A = 43 % 8 %

B = 26 % 2 %

C = 31 % 1.6 %

P (D / B) = P (B) P (D / B)

P (A) P (D/A) + P (B) P (D/B) + P (C) P (D/C)

= (0.26) (0.02)

(0.43) (0.08) + (0.26) (0.02) + (0.31)
(0.016)

= 0.0052

0.0344 + 0.0652 + 0.00496

 

= 0.0052 = 0.1166 = 11.66 %

0.04456

Una empresa recibe visitantes en sus instalaciones y los
hospeda en cualquiera de sus 3 hoteles de la ciudad, Los Andes, Terranova y Playa
Varadero. En una proporción de 18.5%, 32% y 49.5%
respectivamente, de las cuales se ha tenido información de que se les ha
dado un mal servicio en un 2.8%, 1% y 4%
respectivamente.

  1. Si se selecciona un visitante al azar,
    ¿Cuál es la probabilidad de que no se les haya dado
    respectivamente?
  2. Se selecciona un visitante al azar y se encuentra que
    el hospedado del servicio prestado es la probabilidad que se
    haya hospedado en Los Andes
  3. Si el visitante seleccionado se quejo del servicio
    prestado, ¿Cuál es la probabilidad de que se haya
    hospedado en el Playa Varadero?

  1. = (18.5) (97.2) + (32) (99) + (49.5) (96)

    = (0.17932 + 0.3168 + 0.4752)

    = 0.9718 = 97.18 % PROBABILIDAD DEL BUEN
    SERVICIO

     

  2. P (B.S) = P (A) P (B.S) + P (T) P (B.S) + P (PV) P
    (B.S)

    = (0.185) (0.972) = 0.17982 = 0.185 % QUE NO SE
    QUEJO

    0.9718 0.9718

  3. P (A) = P (A) P (BS)
  4. P (PV) = P ( PV) P (MS) = (0.495) (0.04)

P (MS) 0.02818

= 0.0198 / 0.02818 = 0.702 = 70.26 % QUE SE
QUEJO

P (MS) = P (A) P (MS) + P (T) P (MS) + P (PV) P
(MS)

= (0.185) (0.028) + (0.32) (0.01) + (0.495)
(0.04)

= 0.00518 + 0.0032 + 0.0198

= 0.02818 = 2.8 % TOTAL DE MAL SERVICIO

El 75% de los jóvenes que tiene videoconsola ha
recibido propaganda de un determinado
videojuego, y el 25% restante, no. El 30% de los que recibieron
la propaganda ha utilizado después, dicho videojuego y
también lo ha hecho el 5% de los que no la recibieron.
Calcular de forma razonada:

  1. La probabilidad de que un joven con videoconsola,
    seleccionado al azar haya utilizado este
    videojuego.
  2. La probabilidad de que un joven con videoconsola
    seleccionado al azar haya recibido propaganda y no haya
    utilizado el videojuego.

  1. = 0.225 + 0.0125

    = 0.2375 = 23.75 %

  2. P (0.75) (0.30) + (0.25) (0.05)
  3. P (0.75) (0.70) = 0.525 = 52.5 %

Se tienen 3 urnas, cada una de ellas contiene un numero
diferente de bolas blancas y rojas, la urna 1 contiene 3 bolas
blancas y 2 rojas, la urna 2, 4 bolas blancas y 2 rojas, y la
urna 3 contiene 3 bolas rojas.

Se elige al azar con una probabilidad de 40,20 y 40%
respectivamente para cada una, calcular:

  1. Si se extrae una blanca, ¿Cuál es la
    probabilidad de que esta sea de la urna 1?
  2. Si se extrae una bola roja, ¿Cuál es la
    probabilidad de que sea de la urna 3?
  3. Si se extrae una bola blanca, ¿Cuál es la
    probabilidad de que sea de la urna 2?

B = P (0.40) (0.6) + P (0.20) (0.66) = 0.372 = 37.2
B

R = P (0.40) (0.4) + P (0.20) (0.33) + P (0.40) (0.01) =
0.23 = 23 R

  1. P (B1) = P (0.40) (0.6) = 0.24 = 0.6451 = 64.51
    %

    0.372 0.372

  2. P (1) = (P1) (P3) / PTB

    P (R3) = P (0.40) (0.1) = 0.004 = 0.0173 = 1.73
    %

    0.23 0.23

  3. P (R3) = (P3) P (3R) / PTR
  4. P (B2) = (P2) P (4B) / PTB

P (B2) = P (0.20) (0.66) = 0.132 = 0.3548 = 35.48
%

0.372 0.372

En la UVG el 50% de los alumnos habla ingles, el 20%
francés y el 5% habla los 2 idiomas. ¿Cuál es la
probabilidad de encontrarse a un alumno que hable una lengua extranjera?

P (1) = 50 %

P (F) = 20 %

P (InF) = 50 %

P (LE) = P (T) + P (F) – P (InF)

P (LE) = 50 + 20 = 65 %

PROBABILIDAD CONDICIONAL

Sea un espacio muestral en donde se ha definido un
evento E donde la P(E)70, si deseamos determinar la probabilidad
de que ocurra un evento A (el también definido en el mismo
espacio muestral), dado que E ya ocurrió, entonces deseamos
determinar una probabilidad de tipo condicional que se determina
de la siguiente manera:

P (A /E) = P (A E)

P (E)

DONDE: P (A / E) = probabilidad de que ocurra a dado que
E ya ocurrió.

P (A
E) = probabilidad de que ocurra A y E en un mismo
momento.

P (E) = probabilidad de que ocurra E.

P (A
E) = | A E
|

| S |

P (E) = | E |

| S |

| A E
|

P (A / E) = | S |

| E |

| S |

Se lanzan al aire dos dados normales, si la suma de los
números que aparecen es de por lo menos 7:

  1. Determine la probabilidad de que en el segundo dado
    aparezca el numero 4
  2. Determine la probabilidad de que ambos números
    sean pares
  3. Determine la probabilidad de que en el primer dado
    aparezca el numero 2

(1,1), (1,2), (1,3), (1,4), (1,5), (1,6)

(2,1), (2,2), (2,3), (2,4), (2,5), (2,6)

(3,1), (3,2), (3,3), (3,4), (3,5), (3,6)

(4,1), (4,2), (4,3), (4,4), (4,5), (4,6)

(5,1), (5,2), (5,3), (5,4), (5,5), (5,6)

(6,1), (6,2), (6,3), (6,4), (6,5), (6,6)

E = 21

Se seleccionan al azar 2 números del 1 al 9, si la
suma de los 2 números es par:

  1. Determine la probabilidad de que ambos números
    sean pares.
  2. Determine la probabilidad de que ambos números
    sean impares.

1 , 2 , 3 , ,4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9

  1. P (E/A) = |E| = 6 = 0.375 = 37.5 %

    |A| 10

  2. E = 6
  3. E = 10

P (E/A) = |E| = 6 = 0.625 = 62.5 %

|A| 10

Dada la siguiente tabla referente a la producción
de flechas para camión de carga pesada, se inspeccionan 200
flechas del tipo A y B, 300 de tipo C y 400 de tipo D. El
resultado de la inspección fue la siguiente:

———-

A

B

C

D

Total

Defecto 1

54

23

40

15

132

Defecto 2

28

12

14

5

59

Sin defecto

128

165

246

380

909

total

200

200

300

400

1100

  1. Si se selecciona al azar una flecha y resulta que es
    del tipo B, ¿Cuál es la probabilidad de que no tenga
    defectos?
  2. Si la flecha seleccionada es del tipo C cual es la
    probabilidad de que tenga defectos del tipo 2?
  3. Si la flecha seleccionada tiene defecto del tipo 1,
    ¿Cuál es la probabilidad de que sea del tipo
    A?
  4. ¿Cuál es la probabilidad de que una flecha
    no tenga defectos?
  5. ¿Cuál es la probabilidad de que una flecha
    tenga defectos?
  1. P (TB) 2

  2. P (BS/D) = 1.65 = 0.825 = 82.5 %

    P (TC) 3

  3. P (C/CD2) = 0.14 = 0.0466 = 4.6 %

    P (TA) 1.32

  4. P (A/CD1) = 0.54 = 0.406 = 40.9 %

    PT 1100

  5. P (TS/D) = 909 = 0.826 = 82.6 %
  6. 100 – 82.6 % = 17. 41 %

Una pareja de recién casados ha decidido formar una
familia de solo 3
hijos.

  1. Determine la probabilidad de que tenga puros hijos
    varones.
  2. ¿Cuál es la probabilidad de que tenga como
    máximo 1 hijo varon?
  3. ¿Cuál es la probabilidad de que su segundo
    hijo sea varon?
  4. Si esta familia por lo menos tiene una hija,
    ¿Cuál es la probabilidad de que su segundo hijo sea
    varon?
  5. Si esta familia tiene como máximo un hijo varon,
    ¿Cuál es la probabilidad de que tenga puras
    hijas?

V

V

V

V

V

M

V

M

V

V

M

M

M

V

V

M

V

M

M

M

V

M

M

M

  1. 1/8 = 0.125 = 12.5 %
  2. 4/8 = 1.5 = 50 %
  3. 4/8 = 0.5 = 50 %

    VVV

    VVM P (A) = 3 = 0.75 = 75 %

    VMV P (E) 4

    MVV

  4. Por lo menos una hija
  5. Puras hijas

MMM

MMV P (A) = 1 = 0.25 = 25 %

MVM P (E) 4

VMM

Según las estadísticas, la
probabilidad de que un auto llegue a cierta gasolinera y cargue
gasolina es de 0.79, mientras que la probabilidad de que le ponga
aceite al motor es de 0.11 y la
probabilidad de que ponga gasolina y aceite al motor es de
0.06.

  1. Si un auto carga gasolina cual es la probabilidad de
    que le cargue aceite.
  2. Si un auto le pone aceite al motor cual es la
    probabilidad de que le ponga gasolina.

P (G) = 0.79

P (A) = 0.11

P (G
A) = 0.06

A)

P (A) = P (G A) = 0.06 = 0.75 = 7.5 % CARGO
ACEITE

P (E) P (G) 0.79

B)

P (G
A) = 0.06 = 0.54 = 5.4 % CARGA GASOLINA

P (A) 0.11

La probabilidad de que un auto de carreras cargue
gasolina en cierto circuito en la primera ½ hr. de recorrido
es de 0.58, la probabilidad de que cambie de neumático en
esa primera ½ hr. de recorrido es de 0.16, la probabilidad
de que cargue gasolina y cambie de neumáticos en la primera
½ hr. de recorrido es de 0.05.

  1. cual es la probabilidad de que cargue gasolina o
    cambie de neumáticos en la primera ½ hr. De
    recorrido.
  2. Cual es la probabilidad de que no cargue combustible
    y no cargue de neumáticos.
  3. Si el auto cambia de neumáticos en la primera
    ½ hr. De recorrido, cual es la probabilidad de que cargue
    combustible también.
  4. Si el auto carga combustible en la primera ½ hr.
    De recorrido, cual es la probabilidad de que cambie de
    neumáticos.

P (G) = 0.58

P (N) = 0.16

P (G
N) = 0.05

  1. P (G N) = 0.58 +0.16 – 0.05 = 0.69 = 69 %
  2. 100 – 69 = 31 %

    P (G) 0.58

  3. P (G N) = 0.05 = 0.0862 = 8.62 %
  4. P (G A) = 0.05 = 0.3125 = 31.25 %

P (N) 0.16

 

Betzaida Guadalupe
Reyes Santiago

Partes: 1, 2
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