¿El Algebra Lineal
tiene puntos de contacto con el Cálculo?
(Ampliación de una propuesta de tratar dos temas en
uno)
Introducción
Generalmente en las bibliografías que tratan el
Cálculo
Diferencial de funciones reales
de varias variables
reales pues al abordar la teoría
de extremos locales de tales funciones aun cuando se exponga la
teoría en forma general pues solo se ilustra la
aplicación de teoremas correspondientes en el caso de dos
variables independientes. Con este documento tengo el objetivo de
ilustrar algunos ejemplos de resolución de ejercicios de
búsqueda de puntos de extremo local para funciones reales
de dos o tres variables independientes (aunque la teoría
se expondrá para el caso de n variables independientes)
por lo que solo abordaré el caso de extremos no
condicionados o sea de extremos libres.
Objetivos:
- Reactivar algunos conceptos y teoremas relacionados
con los extremos de funciones de varias variables. - Ilustrar mediante la resolución de ejercicios
cómo determinar puntos de extremo local de una función
real de tres variables reales diferenciables mostrando a su vez
la vinculación con el Algebra Lineal.
Desarrollo
Recordemos algunos aspectos teóricos
esenciales.
¿Qué conceptos englobamos en la
categoría Extremos?
- Pues los máximos y mínimos.
¿Qué es un punto de extremo absoluto
o global sobre un conjunto A para una función real de n
variables reales?
Es un punto de A en el cual la función alcanza el
mayor o el menor valor respecto
al resto de los valores
que toma dicha función en los puntos de A.
En símbolos:
Sea una función
decimos que
es un punto de
máximo absoluto o global si para todo 
es verdadero que
.
¿Y cuándo hablamos de puntos de
extremo local o relativo?
Pues cuando el máximo o el mínimo lo es
respecto al resto de los valores que
toma la función en cierto entorno del punto (este entorno
se asume subconjunto de A) pero no necesariamente respecto al
esto de los valores de la función en todos los
demás puntos de A.
Sea una función
decimos que
es un punto
de máximo local o relativo si existe al menos
un número
positivo
tal
que para todo 
es
verdadero que 
.
Sea una función
decimos que
es un punto de
mínimo absoluto o global si para todo es verdadero que
En símbolos:
Sea una función
decimos que
es un punto
de mínimo local o relativo si existe al menos
un número
positivo tal
que para todo es
verdadero que 
.
Ejemplos:
El punto 
es un punto de mínimo absoluto y local para la
función definida por 
El punto es un punto de máximo absoluto y local para la
función definida por 
.
Es importante que usted tenga en cuenta que aunque estos
dos ejemplos anteriores ha sido la casualidad que el extremo
local es a la vez global en general esto no es así. Tal es
el caso de la función definida por 
la cual tiene un
mínimo local en (1;-1) e igual a
-1 pero este mínimo no es global (¿Por
qué?).
Obsérvese además que según la
definición un punto de extremo relativo tienen que ser un
punto interior del conjunto A por lo que puede darse el caso que
hayan extremos globales y no locales. Tal es el caso de la
función definida por 
la cual tiene extremos globales y no locales en el
conjunto 
.Trate de justificar usted esta afirmación
utilizando sus conocimientos sobre extremos o inmediatamente
después de haber leído este material u otro
análogo!
Al igual que en el caso de funciones de una variable una
función de varias variables puede alcanzar un extremo
local en puntos donde puede o no ser diferenciable. ¿Pero,
en cualquier punto en el cual sea diferenciable ella puede
alcanzar un máximo o mínimo? La respuesta se recoge
en el teorema siguiente el cual es una extensión del
llamado Teorema de Fermat al caso de funciones de varias
variables aunque solo será enunciado para el caso de tres
variables.
Página siguiente  |