Lo esencial en Combinatoria (página 2)

Capítulo I.

Reglas generales
de la combinatoria.

Los problemas combinatorios se clasifican según
la cantidad de operaciones que se necesite efectuar para
resolverlos en:

• Problemas combinatorios simples: los que se resuelven
  mediante una sola operación combinatoria.
• Problemas combinatorios compuestos: los que se
  resuelven aplicando más de una operación
  combinatoria.

En el desarrollo de los capítulos siguientes
ejemplificaremos estas clasificaciones.

En la matemática discreta existen problemas que
se resuelven aplicando determinadas fórmulas (según
la naturaleza de los elementos combinatorios presentes en ellos)
pero la mayoría puede resolverse mediante dos principios
generales:

1. El Principio Aditivo o Regla de la Suma.
2. El Principio Multiplicativo o Regla del
   Producto.

El Principio Multiplicativo generalmente se asocia con
el procedimiento utilizado en los primeros años escolares
para encontrar la cantidad de elementos que contiene determinado
conjunto; de ahí que la mayoría de los maestros lo
reconozcan como "Método de Conteo".

Como a menudo el número de combinaciones o
arreglos que se pueden hacer con los elementos de un conjunto
admite que en cada elección aparezca una y solo una clase
de combinaciones, entonces el Principio Aditivo se puede expresar
de la manera siguiente:´

1.1.-Principio Aditivo

"El número total de combinaciones que se
pueden hacer con todas las clases de elementos de un conjunto, es
igual a la suma de las combinaciones de cada una de las
clases".

Nota: se entiende como clase a todos los subconjuntos
que se forman con los elementos del conjunto en
cuestión.

A través del análisis y solución
del siguiente ejemplo puede apreciarse la aplicación de
este método.

Ejemplo 1: Marcos tiene 3 camisas y 4 pantalones.
¿De cuántas formas Marcos puede combinar las
camisas y los pantalones?

Designemos a las camisas por las letras a, b, c. y a los
pantalones por x, y, z, u. si establecemos la distribución
que puede hacerse entre las camisas y los pantalones se observa
que:

Observe usted que cada muestra formada aparece una y
solo una vez. El número total de muestras se obtiene
fácilmente sumando todas las combinaciones obtenidas
mediante el proceso anterior:

1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1= 12

¡Error!Marcador no definido.

12 veces

porque el número de combinaciones de cada clase
es uno.

Ejemplo 2: En un equipo de estudio hay 3
niñas y 2 niños. ¿Cuántas parejas
diferentes pueden formarse para estudiar?

De manera análoga a la anterior; podemos formar
dos conjuntos de diferente naturaleza: el conjunto de las
niñas: Diana, Claudia, Susana y el de los niños:
Rafael, Alejandro.

La selección de dúos puede realizarse
usando un diagrama de red de la forma siguiente:

Las líneas de unión entre los
círculos son 10. Evidentemente el número total de
muestras posibles se obtiene realizando el conteo de las
líneas formadas.

Ejemplo 3: ¿Cuántos números
de tres cifras no repetidas hay que?

a) Comiencen por 23.

Analizamos previamente que el lugar de las unidades
puede ser ocupado en cada muestra por uno y sólo uno de
los dígitos 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8,9. Si formamos cada
muestra, se obtiene: 230, 231, 234,
235, 236, 237, 238
,239.

Como puede apreciarse el número de combinaciones
de cada clase es 1 por lo tanto el número total de
combinaciones de todas las clases es 8.

El principio aditivo" permite conocer la
composición de todas las muestras de un experimento"
cuestión que resulta importante sobre todo en los primeros
grados de la enseñanza por la contribución que hace
en la esfera del desarrollo del pensamiento combinatorio en los
escolares.

Lógicamente "su inconveniencia radica en que es
racional su aplicación sólo en casos en que el
número total de muestras que componen el experimento no
sea muy elevado".

Los ejemplos anteriores pueden ser abordados haciendo
otros análisis, en los cuales se puede llegar a conocer el
número total de muestras que componen un experimento sin
necesidad de formar cada una de las muestras que los integran. En
este sentido enunciaremos el siguiente principio.

1.2.- Principio Multiplicativo.

"Si una cosa cualquiera puede ocurrir de m
maneras diferentes y si después de haber ocurrido una
cualquiera de esas maneras, otra cosa puede ocurrir de n maneras
diferentes, entonces las dos cosas en ese orden, pueden ocurrir
de m por n maneras".

En este principio se afirma que si dos cosas ocurren una
después de la otra, el número total de formas en
que pueden ocurrir ambas, se obtiene multiplicando el
número de formas de la primera por el número de
formas de la segunda.

Ejemplo 4: ¿Cuántas sílabas
de dos letras, que comienzan por una consonante, existen en el
idioma español?

En este caso la aplicación del método
aditivo a de conteo hace lenta la labor por el número de
muestras que tiene el experimento.

La primera cosa es la elección de la primera
letra (una consonante) y la segunda, la elección de una
vocal. Como en español existen 24 consonantes y solo 5
vocales, la segunda elección puede ocurrir de 5 formas. En
total pueden obtenerse de 24× 5 = 120
sílabas.

El principio multiplicativo puede extenderse a
más de dos cosas.

Ejemplo 5: "Los números 2, 3, 4 y 5 se
pueden multiplicar unos por otros en diferente orden. Escribe
todas las posibilidades que hay considerando el 2 como primer
facto".

En este caso tenemos 3 cosas diferentes. La primera
consiste en colocar al segundo factor del producto (considerando
el orden de izquierda a derecha); para lo cual existen tres
posibilidades, la segunda, colocar el tercer factor, para lo que
podemos contar con una posibilidad. En función del
principio multiplicativo tendremos que los números pueden
multiplicarse de 3×2×1 = 6 maneras
diferentes.

Resulta claro observar que fácilmente pueden
obtenerse todas las muestras que componen este
experimento.

En ocasiones pueden aplicarse ambos métodos para
resolver determinados problemas.

Ejemplo 6: ¿Cuántos números
de dos o de tres cifras no repetidas pueden formarse con los
dígitos del 1 al 4?

Aplicando el Principio Multiplicativo; para determinar
todos los números de 2 cifras no repetidas llegamos al
planteamiento: 4×3 = 12 números de 2 cifras no
repetidas. Análogamente para determinar la cantidad de
números de 3 cifras no repetidas obtenemos (4×3)
×2= 24 números.

Aplicando a continuación el Principio Aditivo se
obtiene:

12+24= 36 números de dos o de tres cifras no
repetidas.

La combinatoria permite la aplicación de varados
métodos de análisis para la solución de
problemas; en el siguiente ejemplo se muestra una forma en la que
puede resolverse un problema.

Ejemplo 7: Para hacer un viaje desde la ciudad A
hasta la ciudad B pueden utilizarse 3 ómnibus y para ir
desde la ciudad B hasta la ciudad C sólo 2. ¿De
cuántas formas diferentes se puede viajar desde la ciudad
A hasta la ciudad C?

El siguiente diagrama muestra la forma en que puede
realizarse el viaje.

En este diagrama cada segmento representa un viaje entre
dos de las ciudades señaladas en el problema.

Para realizar el viaje completa es necesario seleccionar
dos segmentos. Puede observarse con claridad que existen tantas
posibilidades como segmentos hay entre la ciudad A y la C; es
decir 6.a este resultado se llega fácilmente aplicando el
Principio Multiplicativo.

En la práctica no es necesario utilizar un
diagrama como este; pero si se hace; ayuda a la
comprensión del problema, que en casos más
complejos resulta esencial. Este tipo de diagrama se conoce como
Diagrama de Árbol porque cada punto se ramifica en la
misma forma en que lo hace un árbol.

Ejercicios.

1. ¿De cuántas maneras se puede escoger
   una vocal y una consonante de la palabra
   número?
2. A la cima de una montaña conducen 5 caminos.
   ¿De cuántas formas puede subir y bajar un
   campista utilizando tales caminos? ¿Y si el ascenso y
   descenso tienen lugar por caminos diferentes?
3. ¿De cuántas formas se pueden escoger
   dos fichas de dominó, de las 28 que hay en una mesa de
   juego, de forma tal que se puedan aplicar la una con la
   otra?
4. En una reunión hay 18 personas. Todas se
   saludan entre sí y ningún par de personas se
   saluda más de una vez. ¿Cuántos saludos de
   manos se dan?
5. En una tienda de ropa hay camisas de hombre en 4
   tallas diferentes y en tres colores distintos cada talla.
   ¿Cuántos tipos diferentes de camisas hay en la
   tienda?
6. De entre tras ejemplares de un texto de Algebra 2 de
   Geometría y 2 de Trigonometría hay que escoger un
   ejemplar de cada uno. ¿Cuántos modos hay de
   hacerlo?
7. ¿De cuántas maneras diferentes pueden
   escribirse las letras A, B, C, D, una detrás de la otra
   sin repetir ninguna?
8. ¿Cuántos números de dos cifras
   se pueden formar con los números 1, 2, 3 ,4 ,5 ,6 ,7?
   ¿Cuántos de ellos tienen sus dos cifras
   iguales?
9. ¿Cuántos números de tres cifras
   pueden formarse con las cifras del número 24 356?
   ¿Cuántos de ellos son pares?
10. ¿Cuántos números de tres cifras
    existen que son múltiplos de dos?
11. ¿Cuántos números de 4 cifras
    existen?
12. ¿Cuántos números naturales de 4
    cifras existen que no contienen la cifra 7?
13. ¿Cuántos números impares tienen
    3 cifras y son menores que 500?
14. ¿Cuántos números naturales entre
    100 y 999 tienen sus cifras diferentes?
15. ¿Cuántos de los primeros 1000
    números enteros positivos tienen todas sus cifras
    diferentes?
16. ¿Cuántos números naturales de
    tres cifras existen tales que la suma de sus dígitos es
    5? ¿Cuáles son?
17. ¿De cuántas formas se puede indicar en
    un tablero de ajedrez dos casillas: una blanca y otra
    negra?
18. En una corporación trabajan 67 personas. De
    estas, 47 dominan el idioma inglés, 35 el francés
    y 23 ambos idiomas. ¿cuántas personas de la
    corporación no hablan ni el inglés ni el
    francés?
19. De un grupo de jóvenes a 19 les gusta las
    matemáticas, a 17 las artes plástica, a 11 la
    historia, 12 prefieren matemática y artes
    plásticas, 7 historia y matemática, 5 artes
    plásticas e historia. A 2 les gusta las tres asignaturas
    y a 5 ninguna de ellas. ¿Cuántos jóvenes
    hay en el grupo?
20. al trasmitir informaciones por telégrafo se
    utiliza el código Morse. En este código las
    letras, las cifras y los signos de puntuación se
    representan por puntos y rayas. Por ejemplo, la letra t se
    representa por un punto (.) y la L por tres puntos y una raya
    (.-.). Empleando hasta dos signos, ¿Cuántas
    letras pueden codificarse?
21. se tienen tres tipos de de sobres sin sellos y cuatro
    tipos de sellos de un mismo valor. ¿de cuántas
    maneras se puede escoger un sobre y un sello para enviar una
    carta?
22. ¿De cuántas maneras se puede escoger
    una vocal y una consonante en la palabra
    Martí?
23. ¿De cuántas maneras se puede escoger
    una vocal y una consonante en la palabra Maceo?
24. En un estante hay tres ejemplares de un texto de de
    español, 7 de matemática y 6 de historia.
    ¿de cuántas maneras se puede escoger un
    ejemplar?
25. Una persona tiene 8 ejemplares de un libro de
    aritmética y otra posee 9 libros de álgebra.
    ¿de cuántas maneras se puede escoger un
    ejemplar?

Capítulo II.

Variaciones y
permutaciones.

Los principios combinatorios estudiados anteriormente
sirven para resolver la mayor parte de los problemas que se
presentan en la teoría combinatoria; sin embargo;
existen algunos casos particulares, que se dan con cierta
frecuencia y para los cuales resulta posible obtener
fórmulas sencillas. Pero si bien es cierto que estas
fórmulas agilizan el cálculo, se hace necesario
establecer un trabajo de identificación previo del
experimento combinatorio presente en el problema. En este
sentido podemos incluir a los problemas combinatorios en dos
grandes grupos: los problemas que tratan sobre variaciones y
los que tratan sobre combinaciones. Estableciendo esta
división, estudiaremos cada concepto por separado;
destacando las características del término que
los define con el objetivo específico de identificarlos
en la solución de problemas.

De la división anterior estudiaremos
primeramente las variaciones. Este grupo de las variaciones,
las dividiremos a su vez en 2 subgrupos: variaciones sin
repetición y variaciones con
repetición.

La estrategia que usaremos para la
identificación de los experimentos aleatorios la
representamos en el siguiente esquema:

• Estrategia para la Identificación de un
  Experimento Aleatorio.

La lógica de la estrategia propuesta se basa en
la existencia de un experimento combinatorio de naturaleza
desconocida. Para su identificación partimos de la
formación de algunas muestras del mismo (a lo sumo 3) y
analizamos sus características, centrando nuestra
atención en el orden.

El análisis conduce a la toma de decisión
relacionada con el tipo de experimento aleatorio: si el elemento
distintivo en el análisis de las muestras es el
orden, el experimento aleatorio trata sobre variaciones, de
lo contrario; trata sobre combinaciones.

Una vez tomada la decisión, se analiza si en las
muestras se admite la repetición y nuevamente decidimos:
es una variación con repetición o una
combinación con repetición. Esta decisión
caracteriza las muestras del experimento combinatorio y nos
permite identificarlo.

Si el experimento aleatorio fuese compuesto; porque
estuviese formado por varios experimentos aleatorios simples,
comenzamos nuevamente el análisis y repetimos el
ciclo.

Con esta lógica serán abordados los
conceptos del análisis combinatorio.

Por su parte, la solución de los problemas
combinatorios ha sido una de las barreras más
difíciles de vencer por los estudiantes porque no usan
una estrategia apropiada para la solución de los
mismos.

La estrategia para la solución de los problemas
combinatorios la expresamos en el siguiente esquema:

Esquema General para la
solución de un Problema Combinatorio.

La lógica de la estrategia tiene su primer
momento en la identificación del experimento
aleatorio aplicando la Estrategia para la
Identificación.

El segundo momento es seleccionar la vía
para el cálculo del número de muestras que componen
el experimento, aplicando cualquiera de los procedimientos de
cálculo conocidos en la Teoría Combinatoria: uso de
diagramas, Principios Generales o Fórmulas.

El tercer momento es la aplicación de la
vía de cálculo seleccionada, con la cual conocemos
el número de muestras que componen el
experimento.

La validación de la vía de cálculo
aplicada a la solución del problema es el cuarto
momento de la estrategia. Este paso adquiere
características peculiares en los problemas de la
matemática discreta porque resulta muy difícil
comprobar la solución en relación con el texto del
problema, a no ser en casos muy simples. La validación
debe realizarse usando una vía diferente a la escogida
para dar la solución y comparar los resultados
obtenidos.

Sobre las condiciones anteriores, daremos tratamiento
a los experimentos aleatorios y a la solución de
problemas sobre Teoría Combinatoria.

II.I.- Variaciones sin repetición.
Definición.

Se llaman variaciones sin repetición de n
objetos tomados p a p (o variaciones de orden p) a todas las
posibles ordenaciones de p objetos tomados de los n objetos
dados en las cuales no se admite repetición.

Las características que permiten identificar
las muestras de un experimento sobre variaciones sin
repetición son:

Dos muestras difieren:

• O en el orden de sus elementos.
• O por lo menos un elemento.
• Los elementos no se repiten en la misma
  muestra.

Ejemplo1: Formar todos los números de 2
cifras diferentes con los dígitos 1,2, 3, 4.

Como se pudo observar; resulta fácil el
análisis de las muestras formadas tomando como
patrón las características mencionadas. Las
muestras 12 y 21 son diferentes; pues el orden de los elementos
tomados es esencial (evidentemente los números 12 y 21
son diferentes). Si seleccionamos las muestras 12 y 14 la
diferencia radica en un elemento ( 2 y 4) y las muestras 12 y
43 difieren en todos sus elementos.

Es esencial el dominio de estas características
para su posterior aplicación al análisis de los
problemas combinatorios.

• Formación y número de variaciones
  sin repetición.

Las variaciones sin repetición con cierto
número de objetos dados, por ejemplo; los números
1, 2, 3, 4; se pueden ir formando sucesivamente, es decir;
primero las variaciones donde solo aparece un elemento
(variaciones monarias); luego las binarias, las terciarias,
etc. El método consiste en añadir a cada
variación de cierto orden cada uno de los números
que no figuran en ella.

Las variaciones monarias son evidentemente: 1, 2 3,
4.

Para formar las binarias, se añaden a cada
variación monaria, los números restantes,
obteniéndose:

Se forman ahora las ternarias, agregando a cada
binaria los números que no aparecen en ellas. Aplicando
el Principio Multiplicativo tenemos que: hay 12 variaciones
binarias y a cada una se le pueden añadir 4-2
números, de lo cual se obtienen 12×2= 24
variaciones ternarias.

Análogamente se realiza el análisis para
las variaciones cuaternarias o de cuarto orden.

En las variaciones sin repetición el proceso de
formación de las muestras concluye cuando el orden (p,
cantidad de elementos de la muestra) coincide con la cantidad
de elementos del conjunto(N).

Siguiendo el proceso descrito anteriormente se pueden
formar las variaciones sin repetición de n objetos
tomados p a p.

Teorema: El número de variaciones sin
repetición de "N "objetos tomados p a p es:

• V(N)= N(N-1) (N-2)… (N-p+1)

Con N ≥ p, N y p son números naturales, N
≥1.

Demostración.( inducción completa
respecto a n)

• Para n=p=1 se tiene

V (1,1)= 1.

• Para N=p resulta:

V (p, p)= p (p-1) (p-2)… (p-(p+2)) (p-(p+1)) se
obtienen las variaciones sin repetición de p elementos
tomados p a p; por lo cual resulta válida para
n=p.

• Supongamos que es cierta para n=k.

V (k, p) = k (k-1) (k-2)… (k – (p+2)) (k
– (p+1))

• De la validez para n=k se deduce la validez para
  n=k+1

V (K+1, p) = (k+1) K (k-1) (k-2) (k-3)… (k
– (p+2)) (k – (p+1))

La fórmula está compuesta por p factores
dispuestos en orden decreciente comenzando por n y terminado
por p.

El siguiente ejemplo muestra el proceso de
solución de un problema combinatorio.

Ejemplo 2: ¿Cuántos
números de tres cifras diferentes se pueden formar con
los dígitos que componen el número
24756?

En este problema tenemos como elementos a los
dígitos 2, 4, 7, 5, 6; en total 5 elementos y debemos
formar muestras de 3 elementos diferentes, es importante
destacar el hecho de la no repetición de los elementos
las muestras.

Formemos algunas muestras del experimento.

247, 724,245.

Resulta fácil observar el cumplimiento de las
características correspondientes a las variaciones sin
repetición

Dos muestras difieren:

• O en el orden de sus elementos(.247,
  724)
• O por lo menos un elemento. (247 y 245)
• Los elementos no se repiten en la misma
  muestra.

Comprobado que el elemento combinatorio presente en el
problema sin dudas variaciones sin repetición podemos
determinar fácilmente la cantidad de elementos del
conjunto (N=5) y la cantidad de elementos que tienen las
muestras (p=3).

Aplicando la fórmula para el cálculo y
efectuando los mismos obtenemos

V (5,3)=5x4x3=60 números de tres
cifras.

Para validar el resultado obtenido podemos aplicar el
Principio Multiplicativo:

Podemos designar al lugar de las centenas por la
variable m, las decenas por n y las unidades por p. El lugar m
puede ser ocupado de 5 formas, n de 4 formas y p de 3 formas.
El número de veces en que en ese orden pueden ocurrir
las cosas es:

m x n x p=5x4x3=60

El análisis de los problemas combinatorios es
la clave para determinar la naturaleza del experimento
aleatorio presente en el mismo. En ocasiones la diferencia
entre los elementos combinatorios es tan sutil que no es
fácil de apreciar si el análisis es
superficial.

Ejemplo 3: En un grupo de 8 personas hay que
elegir un presidente, un vicepresidente y un secretario.
¿De cuántas formas se puede hacer?

Se deben formar grupos de tres personas para los
cuales se van a designar responsabilidades, no importa el orden
de elección de las personas y sí el orden en que
se designen los cargos.

Formemos tres muestras del experimento.

Como no se repiten los cargos y la designación
de las responsabilidades difiere en cada muestra formada, nos
muestra que el experimento se trata de variaciones sin
repetición.

N=8 y p= 3

V (8,3)= 8x7x6=336.

La validación y análisis retrospectivo
del problema podemos hacerla de manera similar al ejemplo
2.

Si se cambia ligeramente la estructura del problema
como por ejemplo:

En un conjunto de 8 personas hay que elegir a un grupo
de tres para participar en un evento. ¿De cuántas
formas se puede hacer?

Formemos algunas muestras de ese
experimento.

Primer grupo: Pablo, Juan, Jonás.

Segundo grupo: Jonás, Pablo, Juan.

Tercer grupo: Pablo, Raquel, Juan.

No importa el orden en que se tomen los integrantes de
los grupos, puesto que si tienen los mismos integrantes, se
trata del mismo grupo: es lo que pasa con el primero y segundo
grupos. En el análisis de las muestras podemos darnos
cuenta que son diferentes el primero y tercer grupos o el
segundo y tercero. En las muestras de este experimento no es
el orden lo que determina la diferencia entre
ellas.

El problema se soluciona a través del
cálculo de otros elementos de la combinatoria. Por ahora
sólo mencionaremos el caso. Más adelante
abordaremos la teoría que permite identificar el
experimento presente en el problema y resolver el mismo,
así como los recursos matemáticos que nos
auxiliarán en el cálculo.

II.2.- Permutaciones sin
repetición.

En párrafos anteriores mencionamos que el
proceso de formación de las muestras de un experimento
sobre variaciones sin repetición concluye cuando el
número de elementos de la muestra coincide con la
cantidad de elementos del conjunto. (N=p).

"El tipo de variaciones sin repetición en
las cuales se cumple que la cantidad de elementos del conjunto
coincide con la cantidad de elementos de cada muestra (N=p) se
llama permutaciones sin repetición de los N elementos.
Se denota P(N)"

Las permutaciones de los N elementos de un conjunto
pueden entenderse como las variaciones sin repetición de
los N elementos de un conjunto tomados N a N.

Como hemos definido las permutaciones sin
repetición de los N elementos de un conjunto como un
caso particular de las variaciones sin repetición, se
hace necesario declarar cuáles son las
características que permiten diferenciarlas del resto de
las variaciones sin repetición. En este sentido
enunciaremos a título de características las
siguientes:

• Dos muestras difieren únicamente en el orden
  de sus elementos.
• En todas las muestras del experimento aparecen los
  N elementos del conjunto.
• Los elementos no se repiten en las
  muestras.

Las permutaciones sin repetición generalmente
no presentan muchas dificultades para identificarlas si aplica
como regla las características mencionadas.

Ejemplo 4: En una serie mundial de baseball
participan 6 equipos. ¿Cuántas posiciones finales
pueden obtenerse?

Formemos algunas muestras del experimento:

Designemos los equipos por los números 1, 2, 3,
4, 5,6 y analicemos en las muestras siguientes sus
características.

Es fácil apreciar el cumplimiento de las
características de las permutaciones sin
repetición.

Hemos dicho que las permutaciones sin
repetición son un caso particular de las variaciones sin
repetición de N elementos tomados N a N. Podemos aplicar
la fórmula conocida para el cálculo de las
variaciones sin repetición teniendo en cuenta que
N=p.

En este caso podemos plantear:

V (6,6)=6x5x4x3x2x1=720 posiciones finales
diferentes.

La aplicación del Principio Multiplicativo
servirá para realizar la validación y
análisis retrospectivo de la vía de
solución dada.

Resulta fácil observar que si en la
fórmula:

• I) V(N)= N(N-1) (N-2)… (N-p+1)

se sustituye p por N; en virtud de ser N=p,
resulta

• II) V(N)= N(N-1) (N-2)… (N-(N-1))= N(N-1)
  (N-2)… 2×1

Haciendo uso de la notación declarada para las
permutaciones sin repetición y correspondiendo su
cálculo con el desarrollo del miembro derecho de II
tendremos:

P(N)= N(N-1) (N-2)… (N-(N-1))= N(N-1)
(N-2)… 2×1

Que es la fórmula para el cálculo de las
permutaciones sin repetición de N elementos.

Teorema: El número de permutaciones sin
repetición de N elementos se denota P(N) y se calcula
por la fórmula:

P(N)= N(N-1) (N-2)… (N-(N-1))= N(N-1)
(N-2)… 2×1 donde N es un número natural mayor o
igual que 0.

Nota: Asumimos para N=0; que P (0)=1.

Demostración. (Inducción completa
respecto a N)

• Para N=0, P (0)=1.

Se cumple para N=0.

Para N=k

• P (k) = k (k-1) (k-2)… (K-(k-1))= k (k -1)
  (k -2)… 2×1

De la validez para n=k se infiere la validez para
k+1.

Multiplicando por k+1 en ambos miembros de la
igualdad anterior resulta:

P (k) (k+1) = (k+1) k (k -1) (k -2)…
2×1

P (k+1)= (k+1) k (k -1) (k -2)… 2×1 como se
quería.

El número P(N)= N(N-1) (N-2)… 2×1 se
llama factorial de N y se denota por N! .Representa el producto
de N números naturales dispuestos en orden decreciente,
comenzando por N y terminando en 1.

La fórmula para el cálculo de las
permutaciones sin repetición de N elementos se reduce
a:

• P(N)= N!= N(N-1) (N-2)… 2×1

El ejemplo 4 visto anteriormente quedaría
resuelto de la forma:

P (6)=6x5x4x3x2x1=720

La fórmula para el cálculo de las
permutaciones sin repetición se valida con el Principio
Multiplicativo.

Ejemplo 5: Determine el número de
palabras (con sentido o no) que se pueden obtener con las
letras de la palabra amor.

Formemos algunas muestras de este experimento
aleatorio: amor, roma, ramo.

Como puede observarse, se cumple que:

• Las muestras difieren únicamente en el orden
  de sus elementos.
• En todas las muestras del experimento aparecen los
  4 elementos del conjunto.(N=p=4)
• Los elementos no se repiten en las
  muestras.

Se trata de una permutación de 4
elementos.

Luego: P (4)=4x3x2x1=24 palabras.

Si como validación de la vía usada para
el cálculo usamos el Principio Multiplicativo podemos
razonar del siguiente modo:

Usando un modelo de colocación en celdas como
la que mostramos:

La primera celda puede ser ocupada de m=4 maneras
distintas, después de esto, la segunda celda puede
ocuparse de n= 3 formas, la tercera celda, de p=2 formas y la
cuarta de q=1 forma; con lo cual podemos expresar:

mxnxpxq=4x3x2x1= 24

En los experimentos aleatorios en los cuales el
número de muestras no es muy elevado podemos usar
también el conteo como método de
validación y control de la vía usada para el
cálculo.

Así por ejemplo, en este caso podemos proceder
usando el elemento pivote para la formación de las
muestras. El método consiste en dejar libres dos
elementos y permutarlos, fijando los restantes.

amor mora omra
roma

amor moar omar
roam

armo maro orma
raom

arom maor oram
ramo

aomr mrao oamr
rmao

aorm mroa oarm
rmoa

El conteo de las muestras formadas confirma la
solución dada.

Ejemplo 6: Coloca las cifras 6, 4, 3,1 en la
siguiente tabla de manera que al sumarlas vertical, horizontal
y diagonalmente obtengas el mismo resultado.

Siempre aparecen los mismos elementos en cada muestra
y la diferencia radica sólo en el orden. No se repiten
los elementos en cada muestra. Se confirman las
características de las permutaciones sin
repetición.

P (4)=24.

Al sumar los números siempre se obtiene 14. Hay
varias maneras de llenar la tabla; una de ellas es la
siguiente:

El orden de colocación de los elementos en la
diagonal sirve como pivote para la búsqueda de otras
soluciones.¡Encuentre usted la suya!

II.3.- Permutaciones circulares.

En los ejemplos anteriores hemos imaginado los
elementos que forman las permutaciones colocados ordenadamente
en línea recta. Hubiera sido lo mismo imaginarlos
situados en una curva abierta; pero las condiciones
varían si los situamos en una curva cerrada porque el
orden que se establece entre sus elementos es
relativo:

• No cambia si se efectúa una rotación
  de modo que cada elemento ocupe el lugar del
  otro.

A este tipo de permutaciones se les llama
permutaciones circulares o cíclicas. En las
permutaciones circulares los elementos se consideran
distribuidos sobre una circunferencia.

Las permutaciones circulares pueden identificarse si
el análisis de situación mencionada conlleva a la
confección de una curva cerrada, fijando uno de los N
elementos y permutando los N -1 restantes, tal y como se hace
en las permutaciones sin repetición. Para formar las
permutaciones circulares de N elementos; basta fijar uno de
ellos y elegir uno de los dos sentidos posibles en la curva,
permutando de todas las formas posibles los N -1
elementos.

El número de permutaciones circulares de N
elementos se calcula mediante la fórmula:

Pc(N)= (N -1)!, N es un número
natural mayor o igual que 1.

Demostración.

• Para n=1.

Pc (1) = (1-1)!= o!=1

• Para N=k

Pc(k) = (k-1) !=(k-1)
(k-2)…(k-(k-2))1

• Para N=k+1.

Multiplicando por k en ambos miembros de
Pc(k)= (k-1)! obtenemos:

Pc(k+1) =(k-1)! K=k (k-1)!=k!

Ejemplo 7: Con las letras M,N,O,P se pueden
formar las permutaciones circulares siguientes:

La saeta indica el sentido de la permutación.
Siempre que no se aclare el sentido de la permutación
pensaremos que es positivo. En la solución del ejemplo
hemos usado un diagrama para formar las muestras del
experimento.

A través del conteo podemos darnos cuenta que
hay 6 permutaciones cíclicas o circulares. Usando la
fórmula tendríamos:

Pc (4)= (4-1)!=3!=6

Ambos métodos se complementan y validan
mutuamente.

Ejemplo 8: ¿De cuántas formas se
pueden sentar 8 personas alrededor de una mesa?

Designemos a las personas por las letras
a,b,c,d,e,f,g,h y formemos algunas muestras del
experimento

Muestra 1 Muestra 2

En ambos casos fijamos un elemento y permutamos los
restantes: se trata de una permutación circular de 8
elementos.

Pc (8) = (8-1)!= 7!= 5040

Se pueden sentar alrededor de la mesa de 5040 formas.
En los problemas combinatorios cuyo total de muestras es muy
grande, la validación de la vía de
solución dada debe tener un sentido discreto, en el
orden que exige la Matemática Discreta. Podemos
mencionar algunas muestras del experimento usando el conteo y
comprobar el desarrollo del cálculo mediante al
Principio Multiplicativo.

II.4.-Permutaciones con
repetición.

Hasta ahora hemos tratado las permutaciones lineales y
las circulares, estableciendo las características que
permiten identificarlas. En ambos casos permutamos elementos
distintos entre sí. En cambio, si algunos fueran iguales
debemos hacer otras consideraciones.

Las permutaciones con repetición con
repetición se identifican fácilmente a
través de sus características esenciales. En un
experimento sobre permutaciones con repetición, las
muestras tienen las siguientes
características:

• En cada muestra aparecen los N elementos del
  conjunto.
• Las muestras difieren sólo en el orden
  entre los elementos de diferente naturaleza.

Ejemplo 9: El número 3344 tiene 2
números 3 y 2 números 4. si permutamos los cuatro
dígitos que lo componen, siempre observaremos la
presencia de estos en todas las muestras, sin embargo; si
permutamos entre sí los elementos de igual naturaleza,
no se apreciarán diferencias entre las muestras.
Deberemos permutar los elementos de diferente naturaleza
para poder distinguirlas.

Formación y número de
permutaciones con repetición.

Consideremos las permutaciones que podemos hacer con
los dígitos que componen al número
1234.

Formando todas las muestras de ese experimento podemos
observar:

1234 2134 3124 4123

1243 2143 3142 4132

1324 2341 3214 4231

1342 2314 3241 4213

1423 2413 3412 4312

1432 2431 3421 4321

Hay 24 permutaciones. Si en lugar de elegir el
número anterior, hubiésemos seleccionado el
número 3344, en todas las muestras obtenidas
anteriormente podríamos sustituir al 2 por el 4 y al 1
por el 3. En este caso de estas 24 permutaciones serían
diferentes sólo 6 de ellas.

3434 4334 3344 4343

3443 4343 3344 4334

3344 4433 3434 4433

3344 4433 3443 4343

3434 4343 3434 4343

3443 4334 3443 4334

El análisis del experimento demuestra el
cumplimiento de las características que tienen las
muestras de las permutaciones con repetición.

En el experimento anterior, de las 24 permutaciones
lineales del número 3344 hay 6 dígitos repetidos
4 veces cada uno, entonces el conjunto de cifras cuya
diferencia está en el orden de colocación se
calcula fácilmente mediante la operación
siguiente: 24/4=6.

La interpretación del resultado anterior
conlleva a plantear para el cálculo de las permutaciones
con repetición la siguiente relación:

P (4) ⁄ 4 =6

Sabemos que P (4)=4!=24, pero podemos escribir el
denominador como 4=2!x2!, cada uno de estos 2! significa la
cantidad de permutaciones de cada uno de los elementos que se
repiten en el conjunto de valores.

Teorema: El número de
permutaciones con repetición (Pr) que se pueden hacer
con N elementos, de los cuales hay repetidos
N1, N2…Nk
es:

Pr(N1N2…Nk) =N!
⁄ ( N1! x N2!
x…xNk!) Siendo N=
N1+N2+…+Nk

Ejemplo 10: ¿Cuántas
señales se pueden hacer con 5 banderas si de ellas hay
tres verdes y dos rojas; si cada señal se debe hacer
usando todas banderas a la vez?

Analicemos las características de las muestras
de este experimento:

Como puede apreciarse:

• En cada muestra aparecen los N elementos del
  conjunto.
• Las muestras difieren sólo en el orden entre
  los elementos de diferente naturaleza.

Se trata de un problema de permutaciones con
repetición.

N1= 2 N2=3

Pr(2,3)=5! ⁄ 2! 3! =10

Se pueden hacer 10 señales.

Como método de validación y control de
la vía de solución podemos usar el conteo porque
el número de muestras no es muy elevado.

Ejemplo 11: ¿De cuántas maneras
se pueden colocar las figuras blancas (dos caballos, dos
torres, dos alfiles, el rey y la reina) en la primera fila del
tablero de ajedrez?

Haciendo un análisis similar al del ejemplo
anterior podemos comprobar que se trata de un experimento sobre
permutaciones con repetición de N= 8 elementos agrupados
en subgrupos N1=2, N2=2, N3=2,
N4=1 y N5=1de elementos
iguales.

Pr (2, 2, 2, 1,1) = 8! ⁄ (2!x2!x2!x1!x1!) =
5040

En los problemas combinatorios cuyo total de muestras
es muy grande, la validación de la vía de
solución dada debe tener un sentido discreto, en el
orden que exige la Matemática Discreta. Podemos
mencionar algunas muestras del experimento usando el conteo y
comprobar el desarrollo del cálculo mediante al
Principio Multiplicativo si es posible y si el cálculo
no engendra mayores complicaciones que la vía usada para
la solución.

II.5.- Variaciones con
repetición.

Dentro de las variaciones, un lugar importante es
ocupado por las variaciones con repetición. Algunos
textos tratan las variaciones con repetición apoyados en
las correspondencias entre conjuntos. En este texto nos
apoyaremos en las características que tiene el concepto
y lo aplicaremos a la solución de problemas.

Resolvamos el siguiente ejemplo:

Ejemplo 12 ¿Cuántos resultados
son posibles si se lanzan dos dados sobre un tapete?

El experimento presupone la existencia de dos
conjuntos de elementos iguales uno a uno: cada dado tiene 6
caras y cada cara tiene un valor: un punto, dos puntos, tres,
cuatro, cinco o seis puntos respectivamente. Si consideramos el
lanzamiento de ambos dados a la vez puede ocurrir que el
resultado obtenido en uno de ellos sea cualquiera de los
valores mencionados anteriormente; en el otro dado se pueden
obtener idénticos resultados. Si consideramos que ambos
dados se deben lanzar juntos, entonces una muestra de este
experimento estaría constituida por los resultados
obtenidos en los dos dados; luego, la repetición es un
elemento a tener en cuenta en este experimento.

Cada muestra de este experimento contiene dos
resultados; cada uno de los cuales corresponde a cada
dado.

Separando los resultados para estudiarlos, el
análisis nos conduciría a:

• El primer dado (D1) puede caer de solo 6
  formas.
• El segundo dado (D2) puede caer de 6
  formas.

Aplicando el Principio Multiplicativo obtenemos el
siguiente resultado:

D1XD2 = 6×6 = 62 = 36
resultados.

Si aumenta el número de dados, el
análisis sería similar.

Si en lugar de dos fueran seis los dados, la
solución del problema sería:

6x6x6x6x6x6=66= 46 656

Según aumenta el número de dados,
aumenta el número de factores

Ejemplo 13 ¿Cuántos
números de 2 cifras se pueden formar con los
dígitos del 1 al 9?

Como se trata de un número de dos lugares,
podemos usar un modelo de colocación en celdas para
estudiar las características de las muestras del
experimento.

Como se aprecia en las celdas, las muestras del
experimento tienen diferencias en:

• el orden de sus elementos. (Muestra 1 y Muestra 2
  )
• por lo menos un elemento. (Muestra 1 y Muestra
  4)

Hasta aquí podemos ver que se trata de un tipo
de variación; sin embargo en la muestra 3 ambas celdas
están ocupadas por el mismo número, lo cual
denota repetición. A las características
anteriores podemos añadir la siguiente:

• los elementos pueden repetirse en la misma
  muestra.

En virtud de la aplicación del Principio
Multiplicativo a la solución del problema podemos
plantear que: si el primer lugar (m) se puede ocupar de 9
formas diferentes y el segundo (n), de 9 formas también,
ambas cosas en ese orden la podemos obtener:

m x n= 9×9=92=81
números de 2 cifras.

En los ejemplos 11 y 12 destacamos las
características de las muestras de los experimentos y
observamos que se admitía la
repetición.

Estas muestras de experimentos sobre variaciones en
las cuales se admite la repetición se llaman
variaciones con repetición.

Definición: "Se llaman variaciones
con repetición de N elementos tomados de p maneras, a
todas las posibles ordenaciones de los p elementos en los
cuales se admite la repetición".

Las características de las muestras de
variaciones con repetición son:

• Las muestras difieren en el
  orden.
• Los elementos pueden repetirse en las
  muestras.

La primera característica representa el
concepto genérico (variaciones); la segunda, la
diferencia que caracteriza el género
(repetición).

Las variaciones con repetición de N elementos
tomados de p maneras se calcula mediante la
fórmula:

Vr(N, p)=N p

Se lee variaciones con repetición de N en p, N
es la cantidad de elementos del conjunto y p la cantidad de
elementos que hay en cada muestra. N y p son números
naturales y se cumple que: N > p, N < p, N=p .

Ejemplo 14: De una caja que contiene 4 bolas de
diferentes colores se extrae una muestra de 3 bolas (una a
una), devolviendo cada bola a la caja antes de extraer la
siguiente. ¿Cuántas muestras se pueden
extraer?

En este experimento las muestras están
constituidas por la extracción de tres bolas, una a una,
devolviendo cada bola a la caja antes de realizar la
extracción de la siguiente.

Denotemos a las bolas por b1, b2, b3, b4 y formemos
algunas muestras.

Muestra 1: b1b2 b3

Muestra 2: b3 b2 b1

Muestra 3:b1b1b2

Las muestras corresponden a las variaciones con
repetición.

N=4 (cantidad de elementos del conjunto)

p=3 (cantidad de elementos que hay en cada
muestra)

Vr (4,3)=43=64 muestras.

Ejemplo 15: Una caja de caudales tiene un disco
con 12 letras y se han combinado para obtener una palabra de 5
letras que es la clave para abrirla. ¿Cuántas
pruebas deben ser efectuadas para encontrar la
clave?

En el problema se cuenta con un conjunto de 12 letras
del cual se deben escoger grupos de 5, admitiéndose la
repetición. El experimento resulta de variaciones con
repetición de 12 elementos tomados de 5 en 5, las
muestras siguientes lo confirman:

Supongamos que las letras son: a, e, i, o, u, m, n, p,
q, r, s, t

Muestra 1: trisa

Muestra 2: asirt

Muestra3: masa

Vr (12,5)=125=248 832 pruebas deben ser
efectuadas para encontrar la clave.

Podemos validar la vía de solución a
través del uso del Principio Multiplicativo.

Ejemplo 16: El código Morse es la
combinación de puntos y rayas con la finalidad de formar
letras. ¿Cuántas letras se pueden formar en las
cuales aparezca?

1. Un símbolo b) Dos símbolos c) Cuatro
   símbolos.

El experimento está compuesto por muestras de
puntos y rayas en las cuales se admite repetición. Se
trata de un experimento sobre variaciones con repetición
de N=2 elementos tomados:

1. de uno en uno.
2. de dos en dos.
3. De cuatro en cuatro.

La solución para cada uno es:

a) Vr (2,1)= 21=2

b) Vr (2,2)=22=4

c) Vr (2,4)=24=16

Con este ejemplo mostramos la relación que
existe entre N y p, (N ≥ p, N ≤ p).

Para el trabajo en los problemas sobre variaciones con
repetición es útil identificar inicialmente la
cantidad de elementos con los que se debe trabajar (N) porque
se mantiene constante durante el experimento. La
variación radica en la cantidad de elementos que tienen
las muestras (p).

Ejemplo 17: ¿Cuántos
números de 5 cifras se pueden formar con los
dígitos 1,2 y 3?

En este ejemplo las muestras del experimento (p)
tienen mayor cantidad de elementos que el propio conjunto del
cual se forman las muestras (N). Se cumple que N < p. Esto
solo se cumple en los experimentos sobre variaciones con
repetición.

Vr (3,5) = 35=243 números de cinco
cifras.

Para validar el resultado usando un modelo de
colocación:

Observamos que N < p. Acudiendo al Principio
Multiplicativo podemos plantear que

axbxcxdxe=3x3x3x3x3=243

En las variaciones con repetición resultan
útiles estos tipos de análisis entre N y p. En el
resto de los experimentos combinatorios la relación
entre N y p es más simple.

En ocasiones se hace necesario recurrir a analizar la
correspondencia entre los conjuntos que se desea comparar para
poder determinar quién es N y p.

Veamos el ejemplo siguiente:

Ejemplo 18: ¿De cuántas formas se
pueden depositar 3 cartas en 2 buzones?

Denotemos a las cartas por C1, C2 y C3, así
como a los buzones por B1 y B2.

Analicemos algunas muestras del
experimento.

Muestra 1 Muestra 2 Muestra
3

Como se aprecia, en los esquemas se ha establecido una
correspondencia desde el conjunto de las cartas
(conjunto de partida, de donde salen las flechas) hasta
el conjunto de los buzones (conjunto de llegada, donde llegan
las flechas). El conjunto de llegada representa a N y el de
partida, representa a p. La comparación entre las
muestras 1 y 2 denotan diferencias en el orden y denotan
repetición. Se trata de un experimento de variaciones
con repetición.

N=2, p=3.

V (2,3)=23=8 formas

Si aumentamos el número de cartas y el de
buzones, aumentarán los valores asignados a N y p, pero
el análisis de la situación será similar
al planteado.

El ejemplo 12 se puede realizar haciendo un
análisis similar.

Designando a los dados por D1 y D2 respectivamente y
los resultados por 1, 2, 3, 4, 5, 6. Establecemos una
correspondencia desde el conjunto de los dados
hasta el de los resultados.

La siguiente ilustración servirá para el
análisis:

En las muestras de este experimento se aprecian las
características de las variaciones con
repetición. El conjunto de partida en nuestro
experimento está compuesto por los dados (p) y el de
llegada por los resultados (N): por lo cual N=6,
p=2.

V (6,2)=62=36 formas

Al aumentar el número de dados,
aumentará el valor de p, mientras que N
permanecerá igual. De esta forma podemos obtener los
distintos casos en los cuales se cumple que: N >p, N<p,
N=p.

Ejemplo 19: Se lanza una moneda sobre un
tapete. ¿Cuántos resultados se pueden
obtener?

Supongamos que la moneda está marcada por una C
de un lado y por una E del otro. Al lanzarla podemos obtener la
muestra siguiente:

Resulta fácil observar que la correspondencia
se efectúa desde el conjunto de la moneda
hasta el conjunto de los resultados; con lo que podemos
decir que N=2 y p=1.

V (2,1)= 21= 1

Ejemplo 20: ¿Cuántos resultados
son posibles de obtener si se lanzan sobre una mesa dos
monedas?

En este ejemplo tenemos una situación similar
al anterior, pero; aumenta el número de monedas. En
este, como en el anterior, está claro que el conjunto de
partida (N) es el de las monedas y el de llegada el de los
resultados (p). Observemos que N aumenta y p permanece
igual.

N=2, p=2

V (2,2)=22= 4 formas

Los problemas sobre variaciones con repetición
se pueden validar a través del Principio Multiplicativo
o mediante el Conteo si el número de muestras es
pequeño, como en los dos últimos
ejemplos.

Ejercicios del capítulo
II.

1. Forme las variaciones sin repetición de los
números 1, 2, 3,4 tomados:

1. De2 en 2.
2. De 3 en 3
3. De 4 en 4.

2. En el ejercicio anterior diga por qué no es
posible obtener variaciones sin repetición tomando las
muestras de 5 en 5.

3. ¿De cuántas maneras se pueden
depositar 4 cartas en 7 buzones, sin depositar más de
una carta encada buzón?

4. De la Habana a Guantánamo cubren la ruta 6
ómnibus.¿ de cuántas maneras se puede
hacer el viaje tomando al regreso un ómnibus distinto
al de ida?

5. ¿Cuántas señales se pueden
hacer con 5 banderas de colores diferentes si cada
señal se puede hacer con 1, 2, o 3
banderas?

6. Con los dígitos 1, 2, 3, 4, 5,6.
¿Cuántos números menores que 1000 pueden
formarse que no tengan cifras repetidas?

7. ¿Cuántos números de 5 cifras
diferentes existen en el sistema decimal?

8. Un edificio tiene cinco puertas por las que se
puede entrar y salir de él. ¿De cuántas
formas se puede entrar y salir del edificio por puertas
diferentes?

9. ¿Cuántos números de tres
cifras están formados por dígitos impares
diferentes?

10.¿De cuántas formas puede
confeccionarse una bandera de tres colores si el color rojo
debe ocupar siempre el lugar intermedio y se dispone de los
colores azul, blanco, rojo, amarillo y verde?

11.¿Cuántos diccionarios diferentes
pueden editarse para que se puedan hacer traducciones
directamente entre dos cualesquiera de los idiomas
:español, ruso, inglés, francés y
alemán?

12. Una sociedad científica está
integrada por 25 personas. Es necesario elegir al presidente,
al vicepresidente, al secretario y el tesorero.¿De
cuántas formas puede realizarse la elección si
cada miembro puede ocupar sólo un cargo?

13. Hay 6 pares de de guantes de distintas
medidas.¿De cuántas maneras se pueden escoger
entre ellos un guante de la mano izquierda y otro de a
derecha de forma que estos sean de distintas
medidas?

14. ¿De cuántas maneras se puede
confeccionar una bandera de franjas, de tres colores, si se
tiene 5 rollos de tela cada una con un color
diferente?¿De cuántas formas una franja debe
ser siempre azul?

15. Un padre tiene 5 naranjas distintas dos a dos
las que entrega a sus 8 hijos de forma tal que cada uno
obtiene una naranja o nada.¿De cuántos modos lo
puede hacer?

16. En u club deportivo hay 30 atletas. ¿De
cuántas maneras puede formarse un equipo para
participar en la carrera de relevos de 4 por 100
metros?

17¿De cuántas maneras se pueden
disponer los jugadores de un equipo de football? ¿De
cuántas formas si el arquero y el delantero son
siempre los mismos?

18. ¿De cuántas maneras se pueden
poner en fila 6 personas si a una de ellas no se le permite
ocupar los extremos?

19. ¿De cuántas formas se puede
colocar una obra de 5 tomos en un estante? ¿De
cuántas formas si uno de ellos ocupa siempre el
extremo izquierdo?

20.¿Cuántos números de 4 cifras
diferentes pueden formarse con las cifras del número
2547? ¿Cuántos son pares?

21. ¿De cuántas maneras se pueden
colocar en un tablero de ajedrez 8 torres de forma que no se
puedan comer una a otra?

22. Los dígitos 0, 3, 4,5 pueden combinarse
de varias formas para obtener número de 4 cifras
diferentes. ¿Cuántas formas existen de hacerlo?
;teniendo en cuenta que el número que obtengas sea
divisible por:

a)2

b)3

c)2 y 5

d)3 y 10.

23. La fórmula para el cálculo de las
variaciones sin repetición puede escribirse usando
factoriales de la siguiente forma:

V(N,p)=N! ⁄ (N-p)!

• Pruebe que n(n-1)(n-2)…(n-p+1)= N! ⁄
  (N-p)!

24. Se sabe que V(N,N)=P(N). Fundamente por qué
0!=1.

25. ¿De cuántas formas se pueden colocar
8 llaves en un llavero?

26. ¿De cuántas formas se pueden
distribuir en un reloj los números del 1 al
12?

27. ¿De cuántas formas se pueden
distribuir 12 personas alrededor de una mesa si los extremos
están siempre ocupados por los anfitriones?

28¿Cuántas palabras diferentes se pueden
formar permutando las letras de la palabra
MATEMATICA?

29. ¿Cuántas palabras de 8 letras se
pueden formar con las letras de la palabra PARABOLA?

30. Se quiere diseñar un piso para un
restaurante y se dispone de 5 baldosas blancas, seis rosadas y
siete rojas para cubrir una superficie de 18 metros cuadrados.
Cada baldosa tiene un metro cuadrado. ¿De cuántas
formas diferentes puede diseñarse el piso?

31. ¿De cuántas formas se pueden
permutar las letras de la palabra morocho de forma que la c
vaya siempre detrás de una o?

32. ¿De cuántas formas se pueden
permutar las letras de la palabra MARACUYA, de forma que las
tres a vayan juntas

33. ¿De cuántos modos se pueden permutar
las letras de la palabra goloso de forma que las tres o no
estén juntas?

34. ¿Cuántos números de tres
cifras se pueden formar con los dígitos que componen al
número 12 335 233?

35. Una empresa dispone de 15 ómnibus para
trasladar sus empleados desde la casa hasta el trabajo.
¿De cuántas formas puede hacerse el viaje de
vuelta a las oficinas si este se hace?

a) En el mismo ómnibus.

b) en ómnibus diferentes.

36. Seis personas pasan una noche en una ciudad donde
existen 4 hoteles. Si dos de ellos no pueden alojarse en el
mismo hotel;¿De cuántas maneras distintas pueden
elegir un hotel?

37¿Cuántas palabras de 5 letras (con
sentido o no) se pueden formar con todas las letras del
alfabeto latino?

1. Sin que se repitan las letras.
2. Repitiendo las letras.

38. Un pastel necesita 6 ingredientes
diferentes.¿De cuántas maneras se pueden
mezclar?

39. Se tienen tres pares de calcetines de colores
diferentes.¿De cuántas maneras pueden combinarse
los colores para cada pie si en cada caso los colores pueden
ser diferentes (iguales)?

40. ¿De cuántas formas se pueden
distribuir las letras de la palabra TEENEGER?

41. ¿De cuántas formas se pueden
disponer las letras de la palabra MURCIELAGO sin alterar el
orden de las vocales?

42. Se lanzan 3 dados homogéneos que en cada
cara tienen un número entre 1 y 6.
¿Cuántos resultados se pueden obtener?

43. ¿Cuántos números de tres
cifras existen que no contengan ni un ocho ni un
uno?

44. En un club deportivo se imprimieron carnés
para sus miembros utilizando los dígitos del 1 al 9.
¿Cuántos miembros tenía el club si los
carnés tenían números
diferentes?

45. Cuatro estudiantes universitarios rinden un examen
en la Universidad de La Habana. ¿De cuántas
maneras se les puede otorgar las calificaciones si se sabe que
ninguno de ellos fue desaprobado?

46. ¿Cuántos y cuáles son los
números de dos cifras que tienen un 4 en el lugar de las
decenas?

47. ¿Cuántos números de 6 cifras
tienen el 7 en el lugar de las centenas?

48. ¿Cuántos números de 4 cifras
tienen un 6 en las unidades de millar?

49. ¿Cuántos y cuáles
números de dos cifras tienen un 8 en las
unidades?

50. ¿Cuántos números de tres
cifras tienen un tres en las centenas?

51. ¿Cuántos números de tres
cifras tienen un cero en el lugar de las decenas?

52. Los dígitos 0, 3, 4, 5 pueden combinarse de
varias maneras para obtener números de 4 cifras.
¿Cuántos números pueden
obtenerse?

53. Demuestre por inducción completa respecto a
N.

"El número de variaciones con repetición
de n elementos tomados p a p es:

Vr(N, p)=N p, con N y p
números naturales.

Sugerencia: Multiplicar ambos miembros de la
hipótesis de inducción por el término
(k+1) p ⁄ kp con k ≠ 0 y aplicar
propiedades de la potenciación.

Capítulo III:
Combinaciones.

En el cálculo combinatorio un lugar importante
lo ocupan las combinaciones. Estos elementos tienen
características propias que lo diferencian de las
variaciones tratadas anteriormente.

Haremos la introducción de las combinaciones a
través del siguiente ejemplo:

Ejemplo 1. "En un equipo de estudio hay 3
niñas y 2 niños. ¿Cuántas parejas
diferentes pueden formarse para estudiar?

La solución dada al ejemplo en el
capítulo 1 fue la siguiente:

La selección de dúos puede realizarse
usando un diagrama de red de la forma siguiente:

Los dúos que se forman utilizando el diagrama
de red arrojan las siguientes muestras:

AD,AS,AC,AR,DS,SC,CR,DC,SR,DR.( 10, según el
conteo)

Las muestras de este experimento tienen las siguientes
características:

Las muestras no difieren en el orden de sus
elementos. Si elegimos por ejemplo la muestra AD e invertimos
el orden por DA estaríamos formando el mismo equipo. Lo
mismo ocurre con las restantes muestras del
experimento.

Las muestras formadas en el experimento se llaman
combinaciones sin repetición.

Definición: Se llaman combinaciones sin
repetición de N objetos tomados p a p a todos los
subconjuntos de p elementos tomados de los N
objetos.

Denotamos a las combinaciones sin repetición
por:

C(N, p) y lo leemos "combinaciones sin
repetición de N elementos tomados de p maneras" o
combinaciones de N en p. N y p son números naturales,
N>0, N ≥ p.

Resulta conveniente resaltar las
características que presentan las combinaciones sin
repetición:

• Las muestras de un experimento sobre
  combinaciones sin repetición no difieren en el
  orden de colocación de sus
  elementos.

En el proceso de análisis de un problema
resulta muy útil aplicar este parámetro de
identificación para encontrar la vía de
solución.

Formación y número de
combinaciones sin repetición.

Haremos primeramente algunas consideraciones acerca de
cómo se puede obtener el número de combinaciones
sin repetición de N objetos tomados p a p.

Comencemos nuestro análisis partiendo del
conjunto: a, b, c, d

Las combinaciones de primer orden serían cada
uno de los elementos del conjunto: a, b, c, d (cuatro
combinaciones de primer orden)

Las combinaciones binarias se hallan a partir de las
de primer orden, añadiendo a cada combinación de
primer orden una letra distinta cada vez y desechando las
muestras que sólo difieran en el orden. Por este medio
se obtienen seis combinaciones binarias o de segundo orden: ab,
ac, ad, bc, bd, cd.

Las combinaciones terciarias o de tercer orden se
hallan a partir de las de segundo orden, añadiendo a
cada combinación binaria una letra distinta cada vez y
desechando las muestras que sólo difieran en el orden.
Las combinaciones de tercer orden serían: abc, abd, acd,
bcd.

Combinaciones de cuarto orden: de manera
análoga a la descrita en las casos anteriores se
obtienen las combinaciones de cuarto orden .Una sola de cuarto
orden: abcd.

Entre las combinaciones sin repetición, las
variaciones sin repetición y las permutaciones sin
repetición se establece la siguiente
relación:

C(N, p)=V(N, p) ⁄ P
(p).

Esta relación resulta útil para validar
la solución dada a un problema sobre combinaciones sin
repetición.

Ejemplo 2: Un equipo de 5 estudiantes
realizó un trabajo de investigación. En la
exposición participarán 4 estudiantes. ¿De
cuántas maneras se pueden seleccionar los 4
estudiantes?

En este problema debemos realizar particiones del
conjunto de los 5 estudiantes en subconjuntos de 4. Designemos
a los estudiantes por las letras A, B, C, D, E, y formemos
algunas muestras del experimento:

Muestra 1: A, B, C, D

Muestra 2: D, C, B, A

Muestra 3: A, B, C, E

Los subconjuntos representados en las muestras 1 y 2
contienen a los mismos elementos (se trata del mismo equipo):
no difieren en el orden

Las muestras 1 y 3 contienen diferencias en al
menos un elemento. Esta diferencia indica que estas
muestras no se diferencian por el orden de colocación de
sus elementos. El experimento analizado es sobre
combinaciones.

Para calcular su número podemos en este caso
usar un modelo de muestreo:

Muestra 1: A, B, C, D Muestra 3: B, C, D, E Muestra 4:
C, D, E, A

Muestra 2: A, B, C, E Muestra 5: B, C, A, D

A través del conteo podemos observar que son 5
los equipos que se pueden formar.

Ejemplo 3: ¿Cuántas rectas de
unión se pueden trazar entre seis puntos de un plano si
tres de ellos nunca están alineados?

La situación la podemos modelar
gráficamente de forma similar a la siguiente:

Las muestras de este experimento están
constituidas por rectas, cada una de las cuales se trazan por
dos puntos. De ahí que la recta AB sea la misma de BA
(no se tiene en cuenta el sentido). Aquí se aprecia la
característica esencial de las muestras sobre
combinaciones: no difieren en el orden.

Formando todas las muestras del experimento,
obtendremos:

AB,AF,AE,AD,AC,BF,BE,BD,BC,FE,FD,FC,ED,EC,DC

El conteo de las muestras formadas nos indica que el
número de rectas que se pueden trazar es 10.

"El número de combinaciones sin
repetición que se pueden formar con N elementos tomados
de p en p es:

C(N, p) = N! ⁄ p!(N –
p)!

Los ejemplos anteriores se pueden resolver usando esta
fórmula. De ese modo la vía de solución
del ejemplo 2 se reduce a:

N=5, p= 4

C (5, 4) = 5! ⁄ 4! (5 – 4)!=5

Por su parte, la solución del ejemplo 3
es:

N= 6, p=2

C (6, 2) = 6! ⁄ 2! (6 – 2)!= 6! ⁄ 2!
4!=15

Ejemplo 4: En un departamento docente hay 8
personas. Deben extraerse tres para participar en un evento.
¿De cuántas maneras se puede realizar la
selección?

Designemos a las personas por a, b, c, d, e, f, g,
h.

Formemos algunas muestras del experimento.

Muestra 1: a, b, c

Muestra 2: c, b, a

Muestra 3: a, b, d

Las muestras 1 y 2 no difieren en el orden: son
las mismas personas.

Se trata de un experimento sobre
combinaciones.

N=8, p=3.

C (8, 3) = 8! ⁄ 3! (8 – 3)!= 56
maneras.

Como vía de validación y control en los
problemas sobre combinaciones puede aplicarse el conteo,
siempre que el número de muestras no sea muy elevado. Es
posible validar el resultado usando la fórmula que
relaciona a las variaciones sin repetición con las
combinaciones sin repetición:

• C(N, p)= V(n, p) ⁄ P(p).

La aplicación del Principio Multiplicativo no
resulta conveniente para la validación de los resultados
de los problemas sobre combinaciones.

III.2.- Combinaciones con
repetición.

"En una dulcería se venden 4 tipos de pasteles
diferentes. ¿De cuántas formas se pueden comprar
3 pasteles?

Como se puede apreciar este problema tiene otra
estructura que los ya resueltos. No se trata de una
variación porque el orden en que se dispongan los
pasteles en una caja es indiferente. Por esta razón la
naturaleza del problema se halla más cerca de las
combinaciones que de las variaciones, sin embargo en las
muestras de este experimento los elementos pueden aparecer
repetidos. Estamos en presencia de un caso especial de las
combinaciones conocido como combinaciones con
repetición.

Para una mejor comprensión del problema
consideremos una vez más el conteo.

Formemos para ello las muestras que componen este
experimento; considerando al conjunto formado por las letras a,
b, c, d como los tipos de pasteles.

Formando todas las muestras de tres pasteles,
obtendríamos el siguiente resultado:

aaa,aab,aac,aad,abb,abc,abd,acc,acd,add,bbb,bbc,bbd,bcc,bcd,bdd,ccc,ccd,cdd,ddd.

Mediante conteo podemos ver que hay 20 muestras
diferentes.

En este experimento la diferencia entre las muestras
no está en el orden sino por lo menos en un elemento. Es
preciso observar que los elementos pueden repetirse en una
muestra.

Definición:" Se llaman combinaciones con
repetición de
M1,M2,..Mn conjuntos de
elementos de diferentes tipos, a todas las selecciones de p
elementos pertenecientes a los Mn conjuntos en los
cuales se admite la repetición".

Las características que destacan los rasgos de
este concepto son:

• Las muestras no difieren en el orden
  entre sus elementos.
• Los elementos se pueden repetir en las
  muestras.

Para designar a las combinaciones con
repetición de N elementos tomados de p en p usaremos la
siguiente notación:

Cr(N, p) y la leeremos "combinaciones con
repetición de N en p ".

Teorema: El número de combinaciones con
repetición de N objetos tomados p a p es:

Cr(N, p)=(n+p -1)! ⁄ p!(n-1)! Con N ≥
p

En lo sucesivo esta fórmula nos
permitirá el cálculo de las combinaciones con
repetición.

Ejemplo 5: ¿De cuántas formas
puedo escoger dos bolas de un conjunto de seis, entre las que
hay tres rojas y tres azules?

Si usamos el muestreo de las particiones del conjunto
en subconjuntos de dos bolas, podemos obtener algunas muestras
del experimento.

• Las muestras no difieren en el orden entre
  sus elementos.( muestras 3 y 4)
• Los elementos se pueden repetir en las
  muestras.( muestras 1 y 2)

Se trata de un experimento sobre combinaciones con
repetición.

N=6 p= 2

Cr (6, 2)= (6+2 -1)! ⁄ 2!(6-1)!=7! ⁄ 2!
5!=21 formas de escoger 2 bolas.

La vía usada para la solución puede
validarse a través del conteo, pues el número de
muestras del experimento no es elevado.

Cuando el número de muestras del experimento
combinatorio sea elevado, podemos usar para la
validación la siguiente relación:

Relación entre las combinaciones sin
repetición y con repetición.

"El número de combinaciones con
repetición de n+1 elementos de diferentes tipos, tomados
de m maneras es igual al número de combinaciones sin
repetición de n+m elementos tomados m a m."

Es decir:

Cr(n+1, m)=C(n+m, m)

Los ejercicios y problemas de combinaciones con
repetición pueden reducirse al uso de esta
fórmula.

Ejercicios del capítulo
III.

1. De un grupo de 10 personas hay que seleccionar 3
   delegados para un evento. ¿De cuántas formas
   puede hacerse?
2. Hay 20 puntos en un plano de los cuales nunca hay
   tres de ellos alineados.¿Cuántas rectas de
   unión se pueden trazar?.¿Cuántos
   triángulos pueden formarse cuyos vértices sean
   tres de estos puntos?
3. En una circunferencia hay 20 puntos. Si se
   consideran estos puntos como vértices:
   ¿cuántos triángulos inscritos en la
   circunferencia se pueden trazar?
4. En un plano hay 12 puntos, de los cuales 4
   están en línea recta. Determine el
   número de rectas de unión.
5. En una serie mundial de pelota participan 8
   equipos. Si cada par de equipos se enfrenta 9
   veces.¿Cuántos juegos se realizan en
   total?
6. Una compañía está formada por
   tres oficiales, seis sargentos y sesenta soldados ¿De
   cuántos modos se puede elegir entre un destacamento
   formado por un oficial, dos sargentos y 20
   soldados?
7. ¿De cuántas formas se pueden escoger
   12 personas entre 17, si dos de ellas no pueden ser escogidas
   juntas?
8. En una urna hay boletas con los números 1,
   2, 3, 4…10. De ella se extraen 3 fichas a la
   vez.¿En cuántos casos la suma de los
   números escritos es 9?¿En cuántos casos
   es menor que 9?
9. Dados los segmentos de longitudes 4cm, 6cm, 7cm,
   8cm, 9 cm. ¿Cuántos triángulos
   diferentes pueden construirse?
10. Un examen escrito consta de 10 preguntas.
    ¿De cuántas maneras puede elegir 8 preguntas
    para responderlas?
11. Un examen escrito consta de 10 preguntas.
    ¿De cuántas maneras puede responder
    erróneamente 2 preguntas?
12. ¿Cuál es el número de
    diagonales de un polígono?
13. Se tienen segmentos cuyas longitudes
    son4cm,7cm,8cm,6cm y 9cm.¿Cuántos
    triángulos diferentes de triángulos se pueden
    construir?
14. En un estante hay una obra en dos tomos con 5
    ejemplares del tomo 1 y 4 del tomo 2.¿De
    cuántas maneras es posible colocarlos en el estante,
    de manera que :

1. No se establezcan restricciones.
2. Los del primer tomo estén juntos y los del
   segundo tomo también.
3. No haya dos tomos juntos.

15.En un concurso universitario de belleza participan
20 mujeres y se van a otorgar 6 premios: 3 ejemplares de un
libro, dos de otro y un ejemplar de un tercero.¿De
cuántos modos se pueden entregar lo premios si a nadie
se le otorgan dos ejemplares del mismo libro pero se le pueden
entregar dos o tres libros diferentes?

16. Debe construirse una escalera desde el punto A
hasta el punto B. la longitud de AC es igual a 4.5 m y la de BC
es 1.5 m. La altura de cada escalón es iguala 30 cm. y
su ancho, a un múltiplo entero de 50. ¿De
cuántas maneras se puede construir la
escalera?

17.¿Cuántos triángulos existen,
cuyos vértices sean a la vez vértices de un
hexágono convexo?

18.¿ Cuántos triángulos se pueden
construir con segmentos cuyas longitudes son 4cm,5cm,6cm y 7
cm?

19. En el plano se han trazado 4 rectas entre las
cuales no hay dos paralelas y no hay 3 que pasen por un mismo
punto. ¿Cuántos triángulos se
forman?

20. En el plano se han trazado n líneas entre
las cuales no hay dos paralelas ni tres se cortan en el mismo
punto ¿Cuántos puntos de intersección
tienen estas rectas?

21. Se tienen dos dados homogéneos cuyos lados
están marcados con los números 1, 2, 3 ,4 ,5 ,6.
¿Cuántas sumas diferentes pueden ser obtenidas al
arrojar estos dados sobre un tapete?

22. Una persona tiene 7 libros de Aritmética l
y otra tiene 9 de Álgebra. ¿De cuántas
maneras pueden intercambiarse dos libros de uno por dos del
otro?

23. Una madre tiene tres naranjas y dos guayabas. Cada
día durante 5 días seguidos, le regala a su hijo
una fruta.

a) ¿De cuántas maneras puede repartir
las naranjas?

b) ¿De cuántas maneras puede repartir
las guayabas?

c) ¿De cuántas maneras puede repartirlas
totalmente?

24. En una oficina postal se puede comprar tarjetas de
felicitaciones de 10 tipos.

a) ¿De cuántas formas se pueden comprar
en ella 8 tarjetas?

b) ¿De cuántas formas si las 8 son
diferentes?

25. En una estación ferroviaria se expiden 8
tipos de boletos para viajar. ¿De cuántas maneras
pueden comprarse 3 o 4 boletos?

26. ¿Cuántos triángulos escalenos
(isósceles) se pueden formar con segmentos de 3cm, 4cm,
5cm y 6cm?

Soluciones y
respuestas.

Respuestas a los ejercicios del
capítulo I.

1. 9
2. 25,20
3. 7×6+21×12=294
4. 153
5. 12
6. 147
7. 24
8. 49×7
9. 125;75
10. 450
11. 9000
12. 5832
13. 200
14. 14648
15. 738
16. 15(500,401,410,140,104,302,320,230,203,212,221,122,311,131,113)
17. 1024
18. 8
19. 30
20. 62
21. 20
22. 6
23. 6
24. 126
25. 72

Respuestas a los ejercicios del
capítulo II.

1. V(7,4)
2. 30
3. 5+20+60
4. 6+30+120
5. 9V(9,4)
6. 20
7. V(5,3),V(5,3)-12
8. V(4,2)
9. V(5,2)
10. V(25,4)
11. V(6,2)
12. 60,12
13. Siendo distintas dos a dos las naranjas, se tiene
    V(8,5)
14. V(30,4)
15. P(11);P(9)
16. P(6)-2P(5)
17. P(5);5P(4)
18. P(4);12,12
19. P(8)
20. 3P(3), a) 10,b)18 ,c)6, d)6

25. P (7)

26. P (11)

27. P (10)

28 Pr (3, 2, 2, 1, 1,1)

29. Vr (6,8) + Pr (3, 1, 1, 1, 1,1)

30. Pr (5, 6,7)

31. Como la C va inmediatamente después de una
O las tres O pueden unirse y considerarse como una sola letra.
Por esto el número de permutaciones es :

Pr (1, 1, 1, 1, 1, 1)

32. Pr (3, 1, 1, 1,1 ,1) – P(5)

33. Pr (3, 1, 1, 1) – P(4)

34. Vr(4,5)

35.Vr(15,2), V(15,2)

36. P(6)

37.V(25,5); Vr(25,5)

38. P(6)

39.20 ,5

40. Pr(3,1,1,1,1,1)

41. P(6)

42 Vr(6,3)

43.Vr(8,3)

44.Vr(9,3)

45.Vr(4,3)

46. 10 ( 40,41,..50)

47.9 Vr(9,4)

48. Vr(10,3)

49.9 ( 18,28,38,48,58,68,78,88,98)

50. 9 Vr(10,3)

51. 90

52.3 V(,3)

Respuestas a los ejercicios del
capítulo III

1. C(10,3)
2. C(20,2); C(20,3)
3. C(20,3)
4. C(12,2) – C(4,1) +1
5. 9 C(8,2)
6. C(3,1)xC(6,2)xC(60,20)
7. C(17,12) – C(15,10)
8. 3; C(10,3) -4
9. C(5,3)
10. C(10,8)
11. C(10,10) + C(10,9) + C(10,8)
12. C(N,2) – N
13. C(5,3)
14. P(9), 2P(4) x P(5), P(4) x P(5)
15. C(20,3) x C(20,2) x C(20,1)
16. De las consideraciones hechas se aprecia que la
    escalera debe tener 5 escalones. Además como 4.5
    dividido por 0.9 es igual a 9 tendremos 10 lugares donde se
    puede hacer un escalón. Hay que escoger 5 lugares
    entre 10 posibles, esto es: C(10,5)
17. C(6,3)
18. Cr(4,3)
19. C(4,3)
20. C(n,2)
21. C(6,2) +6
22. C(7,2) x C(9,2)
23. C(5,3); C(5,2) ; 2xC(5,3)
24. Cr(10,8) ; C(10,8)
25. Cr(8,3) + Cr(8,4)

Autor:

Rolando Reytor Rodríguez